1. 點(diǎn)P(?3,1)在極坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（ ）
A.(2,5π6)B.(2,?5π6)C.(4,5π6)D.(4,?5π6)

2. 已知ab0，則直線ax+by+c＝0通過（ ）象限
A.第一、二、三B.第一、二、四C.第一、三、四D.第二、三、四

3. 拋物線x2＝?2y的準(zhǔn)線方程是（ ）
A.y=18B.y=?18C.y=?12D.y=12

4. 若直線x=1?ty=2+3t （t為參數(shù)）與直線kx+y+1＝0平行，則常數(shù)k＝（ ）
A.?3B.?13C.13D.3

5. 與圓C1：(x+1)2+(y?3)2＝16，C2:x2+y2?4x+2y+4＝0都相切的直線有（ ）
A.1條B.2條C.3條D.4條

6. 圓x2+y2+4x?2y＝0和圓x2+y2?2x?3＝0交于A、B兩點(diǎn)，則相交弦AB的垂直平分線的方程為（ ）
A.6x?2y+3＝0B.x+3y?1＝0C.2x?2y+3＝0D.x?3y?1＝0

7. 已知F1，F(xiàn)2是橢圓C:x24+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且SΔPF1F2=3，則∠F1PF2＝（ ）
A.π6B.π3C.π2D.2π3

8. 雙曲線x2m?y2n=1(mn≠0)離心率為2，且其焦點(diǎn)與橢圓x29+y25=1的焦點(diǎn)重合，則mn的值為（ ）
A.3B.3C.1D.4

9. 若拋物線y2＝2px(p>0)上的點(diǎn)A(x0,42)到其焦點(diǎn)的距離是點(diǎn)A到y(tǒng)軸距離的3倍，則p等于（ ）
A.2B.4C.6D.8

10. 已知F是雙曲線y24?x212=1的下焦點(diǎn)，A(4, 1)是雙曲線外一點(diǎn)，P是雙曲線上支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|+|PA|的最小值為（ ）
A.9B.8C.7D.6

11. 已知點(diǎn)P是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，I為ΔPF1F2的內(nèi)心，若SΔIPF1+SΔIPF2=3SΔIF1F2成立，則橢圓的離心率為（ ）
A.13B.23C.34D.35

12. 雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F(4, 0)，設(shè)A、B為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，AF的中點(diǎn)為M，BF的中點(diǎn)為N，若原點(diǎn)O在以線段MN為直徑的圓上，直線AB的斜率為377，則雙曲線的離心率為（ ）
A.4B.2C.5D.3
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

曲線C:x2+y2＝1經(jīng)x?′=xy?′=2y 坐標(biāo)變換后所得曲線的方程為________．

已知直線x?2y+2＝0經(jīng)過橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，那么這個(gè)橢圓的方程為________，離心率為________．

點(diǎn)P(x, y)是直線kx+y+3＝0上一動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓C:x2+y2?4y+3＝0的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，若四邊形PACB面積的最小值為2，則k的值為________．

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C:y2＝2px上一點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離為4，若點(diǎn)M為拋物線C準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，給出以下命題：
①當(dāng)△MAF為正三角形時(shí)，p的值為2；②存在M點(diǎn)，使得MA→?MF→=0→；③若MF→=3FA→，則p等于3；④|OM|+|MA|的最小值為213，則p等于4或12．
其中正確的是________．
三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x?1)2+(y+1)2＝3，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)系方程為θ=π4(ρ∈R)．
（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；

（2）判斷：直線l與曲線C是否相交？若相交，請(qǐng)求出公共弦的長；若不相交，請(qǐng)說明理由．

已知雙曲線C:x22?y2=1．
（1）求與雙曲線C有共同的漸近線，且過點(diǎn)(?2,2)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線l與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且A、B的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 1)，求直線l的斜率．

如圖拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，圓(x?2)2+y2＝4的圓心恰是拋物線的焦點(diǎn)．

（1）求拋物線的方程；

（2）一直線的斜率等于2，且過拋物線焦點(diǎn)，它依次截拋物線和圓于A、B、C、D四點(diǎn)，求|AB|+|CD|的值．

在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為x=1+22ty=1?22t （t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2?6ρcsθ+5＝0，圓C與直線l交于A，B兩點(diǎn)，P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1, 1)．
（1）將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

（2）求|AB|及|PA|+|PB|的值．

已知拋物線的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x＝?1，直線l與拋物線相交于不同的A，B兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）如果直線l過拋物線的焦點(diǎn)，求OA→?OB→的值；

（3）如果OA→?OB→=?4，直線l是否過一定點(diǎn)，若過一定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)；若不過一定點(diǎn)，試說明理由．

如圖，橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為32，過拋物線C2:x2＝4by焦點(diǎn)F的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)|MF|=74時(shí)，M點(diǎn)在x軸上的射影為F1，連接NO，MO并延長分別交C1于A，B兩點(diǎn)，連接AB，ΔOMN與ΔOAB的面積分別記為SΔOMN，SΔOAB，設(shè)λ=SΔOMNSΔOAB．

（1）求橢圓C1和拋物線C2的方程；

（2）設(shè)ON，OM所在直線的斜率為kOM，kON，求證kOM?kON為定值；

（3）求λ的取值范圍．
參考答案與試題解析
2020-2021學(xué)年江西省高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1.
【答案】
A
【考點(diǎn)】
點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化
【解析】
求出極徑與極角，即可得到結(jié)果．
【解答】
點(diǎn)P(?3,1)在極坐標(biāo)系中，極經(jīng)為：(?3)2+12=2，點(diǎn)在第二象限，
∠POx=5π6，
所以點(diǎn)P(?3,1)在極坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(2, 5π6)．
2.
【答案】
C
【考點(diǎn)】
確定直線位置的幾何要素
【解析】
先由已知分析可得ac0)中，c＝2，b＝1，∴ a=5，
故這個(gè)橢圓的方程為 x25+y2=1，
【答案】
±2
【考點(diǎn)】
直線與圓的位置關(guān)系
【解析】
依題意分析得PC⊥l，PC為圓心到直線l的距離時(shí)，四邊形的面積最?。?br>【解答】
∵ 圓C:x2+(y?2)2＝1，C(0, 2)，半徑AC＝1
∴ SPACB＝2SPAC＝2×12|PA|?||AC|＝|PA|=|PC|2?1，
∴ |PC|的最小值是圓心到直線的距離d=2+3k2+1，
∴ (5k2+1)2?1＝4，解得k＝±2，
【答案】
①③
【考點(diǎn)】
拋物線的性質(zhì)
【解析】
根據(jù)等邊三角形性質(zhì)判斷①，根據(jù)A，F(xiàn)不重合判斷②，利用相似三角形判斷③，根據(jù)最短距離列方程計(jì)算p，判斷④．
【解答】
對(duì)于①，當(dāng)△MAF為正三角形時(shí)，|AF|＝|AM|，故AM與x軸平行，
∵ |AF|＝|AM|＝4，∴ F到準(zhǔn)線的距離等于12|AM|＝2，即p＝2，故①正確；
對(duì)于②，MA→?MF→=FA→，而A在拋物線上，F(xiàn)A→≠0→，故②不正確；
對(duì)于③，若MF→=3FA→，則A，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線，且|MF|＝12，
由三角形的相似比可得1216=p4，得p＝3，故③正確；
對(duì)于④，設(shè)B(?p, 0)，則O，B關(guān)于準(zhǔn)線對(duì)稱，故|MO|＝|MB|，
∵ |AF|＝4，∴ A點(diǎn)橫坐標(biāo)為4?p2，不妨設(shè)A在第一象限，則A點(diǎn)縱坐標(biāo)為8p?p2，
故|OM|+|MA|的最小值為|AB|=(4+p2)2+8p?p2=213，解得p＝4或p＝12，
由4?p2≥0，p≤8，故p＝4，故④不正確．
三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
【答案】
將(x?1)2+(y+1)2＝3轉(zhuǎn)換為x2+y2?2x+2y?1＝0，
根據(jù)x=ρcsθy=ρsinθ ，化為極坐標(biāo)方程為ρ2?2ρcsθ+2ρsinθ?1＝0；
將θ=π4代入ρ2?2ρcsθ+2ρsinθ?1＝0得，ρ2?1＝0，Δ>0，
所以方程ρ2?1＝0有2個(gè)不同的根ρ1＝1，ρ2＝?1，
所以直線l與曲線C相交，公共弦的長為|ρ1?ρ2|＝2．
【考點(diǎn)】
圓的極坐標(biāo)方程
【解析】
（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的進(jìn)行轉(zhuǎn)換．
（2）利用極徑的應(yīng)用和一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】
將(x?1)2+(y+1)2＝3轉(zhuǎn)換為x2+y2?2x+2y?1＝0，
根據(jù)x=ρcsθy=ρsinθ ，化為極坐標(biāo)方程為ρ2?2ρcsθ+2ρsinθ?1＝0；
將θ=π4代入ρ2?2ρcsθ+2ρsinθ?1＝0得，ρ2?1＝0，Δ>0，
所以方程ρ2?1＝0有2個(gè)不同的根ρ1＝1，ρ2＝?1，
所以直線l與曲線C相交，公共弦的長為|ρ1?ρ2|＝2．
【答案】
設(shè)所求雙曲線方程為x22?y2=k(k≠0)，
代入(?2,2)，得k＝?1，
所以所求雙曲線方程為y2?x22=1．
設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，因?yàn)锳、B在雙曲線上，
A、B的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 1)，
x1+x2＝2，y1+y2＝2，
∴ x122?y12=1?x222?y22=1? ，
①-②得：(x1?x2)(x1+x2)2=(y1?y2)(y1+y2)，
∴ kl=y1?y2x1?x2=x1+x22(y1+y2)=12．
直線l的斜率：12．
【考點(diǎn)】
直線與雙曲線的位置關(guān)系
雙曲線的離心率
【解析】
（1）設(shè)所求雙曲線方程為x22?y2=k(k≠0)，代入(?2,2)，得k＝?1，得到雙曲線方程．
（2）設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，利用A、B的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 1)，通過點(diǎn)差法轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】
設(shè)所求雙曲線方程為x22?y2=k(k≠0)，
代入(?2,2)，得k＝?1，
所以所求雙曲線方程為y2?x22=1．
設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，因?yàn)锳、B在雙曲線上，
A、B的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 1)，
x1+x2＝2，y1+y2＝2，
∴ x122?y12=1?x222?y22=1? ，
①-②得：(x1?x2)(x1+x2)2=(y1?y2)(y1+y2)，
∴ kl=y1?y2x1?x2=x1+x22(y1+y2)=12．
直線l的斜率：12．
【答案】
設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，
∵ 圓(x?2)2+y2＝22的圓心恰是拋物線的焦點(diǎn)，
∴ p2=2即p＝4．
∴ 拋物線的方程為：y2＝8x；
依題意直線AB的方程為y＝2x?4，
設(shè)A(x1, y1)，D(x2, y2)，
則y=2x?4y2=8x ，得x2?6x+4＝0，
∴ x1+x2＝6，|AD|＝x1+x2+p＝6+4＝10．
則|AB|+|CD|＝|AD|?|CB|＝10?4＝6．
【考點(diǎn)】
圓錐曲線的綜合問題
【解析】
（1）設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，由已知得p＝4．即可得拋物線的方程；
（2）依題意直線AB的方程為y＝2x?4，設(shè)A(x1, y1)，D(x2, y2)，則y=2x?4y2=8x ，得x2?6x+4＝0，由拋物線的定義可得|AD|＝x1+x2+p．可得|AB|+|CD|＝|AD|?|CB|，計(jì)算即可得到所求和．
【解答】
設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，
∵ 圓(x?2)2+y2＝22的圓心恰是拋物線的焦點(diǎn)，
∴ p2=2即p＝4．
∴ 拋物線的方程為：y2＝8x；
依題意直線AB的方程為y＝2x?4，
設(shè)A(x1, y1)，D(x2, y2)，
則y=2x?4y2=8x ，得x2?6x+4＝0，
∴ x1+x2＝6，|AD|＝x1+x2+p＝6+4＝10．
則|AB|+|CD|＝|AD|?|CB|＝10?4＝6．
【答案】
直線l的參數(shù)方程為x=1+22ty=1?22t （t為參數(shù)），
轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為：x+y?2＝0．
圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2?6ρcsθ+5＝0，
轉(zhuǎn)換為：x2+y2?6x+5＝0．
把直線的方程x=1+22ty=1?22t （t為參數(shù)），
代入圓的方程得：t2?32t+1=0，（t1和t2為A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)），
|AB|=|t1?t2|=(t1+t2)2?4t1t2=14，
因?yàn)辄c(diǎn)P在圓外，
所以|PA|+|PB|=|t1+t2|=32．
【考點(diǎn)】
圓的極坐標(biāo)方程
【解析】
（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之進(jìn)行轉(zhuǎn)換．
（2）利用一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系求出結(jié)果．
【解答】
直線l的參數(shù)方程為x=1+22ty=1?22t （t為參數(shù)），
轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為：x+y?2＝0．
圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2?6ρcsθ+5＝0，
轉(zhuǎn)換為：x2+y2?6x+5＝0．
把直線的方程x=1+22ty=1?22t （t為參數(shù)），
代入圓的方程得：t2?32t+1=0，（t1和t2為A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)），
|AB|=|t1?t2|=(t1+t2)2?4t1t2=14，
因?yàn)辄c(diǎn)P在圓外，
所以|PA|+|PB|=|t1+t2|=32．
【答案】
已知拋物線的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x＝?1，
所以p2=1，p＝2．
∴ 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x．
設(shè)l:my＝x?1，與y2＝4x聯(lián)立，得y2?4my?4＝0，
設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，∴ y1+y2＝4m，y1y2＝?4，
∴ OA→?OB→=x1x2+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=?3．
假設(shè)直線l過定點(diǎn)，設(shè)l:my＝x+n，
my=x+ny2=4x ，得y2?4my+4n＝0，
設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，∴ y1+y2＝4m，y1y2＝4n．
由OA→?OB→=?4=(m2+1)y1y2?mn(y1+y2)+n2=n2+4n，解得n＝?2，
∴ l:my＝x?2過定點(diǎn)(2, 0)．
【考點(diǎn)】
直線與拋物線的位置關(guān)系
【解析】
（1）由拋物線的準(zhǔn)線方程可知：p2=1，p＝2．即可求得拋物線方程；
（2）設(shè)l:my＝x?1，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得OA→?OB→的值；
（3）設(shè)直線l方程，my＝x+n，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得n的值，可知直線l過定點(diǎn)．
【解答】
已知拋物線的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x＝?1，
所以p2=1，p＝2．
∴ 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x．
設(shè)l:my＝x?1，與y2＝4x聯(lián)立，得y2?4my?4＝0，
設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，∴ y1+y2＝4m，y1y2＝?4，
∴ OA→?OB→=x1x2+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=?3．
假設(shè)直線l過定點(diǎn)，設(shè)l:my＝x+n，
my=x+ny2=4x ，得y2?4my+4n＝0，
設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，∴ y1+y2＝4m，y1y2＝4n．
由OA→?OB→=?4=(m2+1)y1y2?mn(y1+y2)+n2=n2+4n，解得n＝?2，
∴ l:my＝x?2過定點(diǎn)(2, 0)．
【答案】
由拋物線定義可得M(?c,74?b)，
∵ 點(diǎn)M在拋物線x2＝4by上，∴ c2=4b(74?b)，即c2＝7b?4b2①
又由ca=32，得 c2＝3b2將上式代入①，得7b2＝7b解得b＝1，
∴ c=3，∴ a＝2，
所以曲線C1的方程為x24+y2=1，曲線C2的方程為x2＝4y．
證明：設(shè)直線MN的方程為y＝kx+1，由y=kx+1x2=4y 消去y整理得x2?4kx?4＝0，
設(shè)M(x1, y1)，N(x2, y2)．則x1x2＝?4，
設(shè)kON＝m，kOM＝m′，則mm′=y2x2?y1x1=116x1x2=?14，
由（2），可得m′=?14m，②
設(shè)直線ON的方程為y＝mx(m>0)，由y=mxx2=4y ，解得xN＝4m，
所以|ON|=1+m2|xN|=4m1+m2，
由②可知，用?14m代替m，可得|OM|=1+(?14m)2|xM|=1m1+116m2，
由y=mxx24+y2=1 ，解得xA=24m2+1，所以|OA|=1+m2|xA|=21+m24m2+1，
用?14m代替m，可得|OB|=1+116m2|xB|=21+116m214m2+1，
所以λ=SΔOMNSΔOAB=|ON|?|OM||OA|?|OB|=4m1+m2?1m1+116m221+m24m2+1?21+116m214m2+1
=4m2+1?14m2+1
=4m2+2+14m2
=2m+12m≥2，當(dāng)且僅當(dāng)m=12時(shí)等號(hào)成立．
所以λ的取值范圍為[2, +∞)．
【考點(diǎn)】
直線與拋物線的位置關(guān)系
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
【解析】
（1）求出M(?c,74?b)，點(diǎn)M在拋物線x2＝4by上，推出c2＝7b?4b2，結(jié)合離心率，求解b，a得到橢圓以及拋物線方程．
（2）設(shè)直線MN的方程為y＝kx+1，由y=kx+1x2=4y 消去y整理得x2?4kx?4＝0，設(shè)M(x1, y1)，N(x2, y2)．通過韋達(dá)定理，結(jié)合斜率的乘積，求解即可．
（3）由m′=?14m，設(shè)直線ON的方程為y＝mx(m>0)，聯(lián)立y=mxx2=4y ，解得|ON|，|OM|，然后求解|OA|，|OB|，計(jì)算λ=SΔOMNSΔOAB，通過基本不等式求解λ的取值范圍．
【解答】
由拋物線定義可得M(?c,74?b)，
∵ 點(diǎn)M在拋物線x2＝4by上，∴ c2=4b(74?b)，即c2＝7b?4b2①
又由ca=32，得 c2＝3b2將上式代入①，得7b2＝7b解得b＝1，
∴ c=3，∴ a＝2，
所以曲線C1的方程為x24+y2=1，曲線C2的方程為x2＝4y．
證明：設(shè)直線MN的方程為y＝kx+1，由y=kx+1x2=4y 消去y整理得x2?4kx?4＝0，
設(shè)M(x1, y1)，N(x2, y2)．則x1x2＝?4，
設(shè)kON＝m，kOM＝m′，則mm′=y2x2?y1x1=116x1x2=?14，
由（2），可得m′=?14m，②
設(shè)直線ON的方程為y＝mx(m>0)，由y=mxx2=4y ，解得xN＝4m，
所以|ON|=1+m2|xN|=4m1+m2，
由②可知，用?14m代替m，可得|OM|=1+(?14m)2|xM|=1m1+116m2，
由y=mxx24+y2=1 ，解得xA=24m2+1，所以|OA|=1+m2|xA|=21+m24m2+1，
用?14m代替m，可得|OB|=1+116m2|xB|=21+116m214m2+1，
所以λ=SΔOMNSΔOAB=|ON|?|OM||OA|?|OB|=4m1+m2?1m1+116m221+m24m2+1?21+116m214m2+1
=4m2+1?14m2+1
=4m2+2+14m2
=2m+12m≥2，當(dāng)且僅當(dāng)m=12時(shí)等號(hào)成立．
所以λ的取值范圍為[2, +∞)．

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