一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，若，則的子集有（ ）
A. 3個B. 4個C. 7個D. 8個
2. 下列命題為真命題的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列各式正確的是（ ）
A. B. C. D.
4. 設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A. B.
C. D.
5. 函數(shù)圖像為（ ）
A. B.
C. D.
6. 若函數(shù)則（ ）
A. B. 2C. D. 3
7. 若是不平行的兩個向量,其中,,則A、B、C三點共線的充要條件是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函數(shù)，則關(guān)于x的不等式的解集為（ ）
A. B. C. D.
二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，計20分.在每小題給出的選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對得5分，有選錯的得零分，部分選對得2分.
9. 下列函數(shù)中是偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)有（ ）．
A. B. C. D.
10. 同時拋鄭兩個質(zhì)地均勻的四面分別標(biāo)有的正四面體一次，記事件第一個四面體向下的一面出現(xiàn)偶數(shù)；事件第二個四面體向下的一面出現(xiàn)奇數(shù)；事件兩個四面體向下的一面或同時出現(xiàn)奇數(shù)，或者同時出現(xiàn)偶數(shù)，則（ ）
A. B.
C. D.
11. 若，，，則下列命題正確是（ ）
A. 若且，則B. 若，則
C. 若，則D. 若且，則
12. 已知函數(shù)有兩個零點，，以下結(jié)論正確的是（ ）
A. B. 若，則
C. D. 函數(shù)有四個零點
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，計20分.
13. ________．
14. 已知四邊形的對角線交于點為的中點，若，則__________.
15. 抽樣統(tǒng)計某位射擊運動員10次的訓(xùn)練成績分別為，則該運動員這10次成績的分位數(shù)為__________.
16. 已知函數(shù)，若對任意的正數(shù)a、b，滿足，則的最小值為：______．
四?解答題：本題共6小題，共計70分.解答時應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 已知集合，.
（1）分別求，；
（2）已知，若，求實數(shù)的取值范圍.
18. 在平面內(nèi)給定三個向量．
（1）求滿足的實數(shù)m,n的值；
（2）若向量滿足，且，求向量的坐標(biāo)．
19. 已知關(guān)于的不等式的解集為或.
（1）求，的值；
（2）當(dāng)，且滿足時，有恒成立，求的取值范圍.
20. 某學(xué)校為了解本校歷史?物理方向?qū)W生學(xué)業(yè)水平模擬測試數(shù)學(xué)成績情況，分別從物理方向的學(xué)生中隨機(jī)抽取60人的成績得到樣本甲，從歷史方向的學(xué)生中隨機(jī)抽取人的成績得到樣本乙，根據(jù)兩個樣本數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：
已知乙樣本中數(shù)據(jù)在的有10個.
（1）求和乙樣本直方圖中的值；
（2）試估計該校物理方向的學(xué)生本次模擬測試數(shù)學(xué)成績的平均值和歷史方向的學(xué)生本次模擬測試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值為代表）.
（3）采用分層抽樣的方法從甲樣本數(shù)據(jù)中分?jǐn)?shù)在和的學(xué)生中抽取6人，并從這6人中任取2人，求這兩人分?jǐn)?shù)都在中的概率.
21. 已知函數(shù)
（1）解關(guān)于的不等式；
（2）若方程有兩個正實數(shù)根，求的最小值.
22. 已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求滿足的的值；
(2)若函數(shù)是定義在R上奇函數(shù)，函數(shù)滿足，若對任意且≠0,不等式恒成立，求實數(shù)m的最大值.
數(shù)學(xué)試卷
考試時間：120分鐘 滿分：150分
一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，若，則的子集有（ ）
A. 3個B. 4個C. 7個D. 8個
【答案】B
【解析】
【分析】先將集合A化簡，求出集合C得解.
【詳解】集合，因為，
所以，其子集有4個.
故選：B.
2. 下列命題為真命題的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)全稱量詞命題和特稱量詞命題的定義判斷.
【詳解】對于A，因為，所以，A錯誤；
對于B，當(dāng)時，，B錯誤；
對于C，當(dāng)時，，C正確；
由可得均為無理數(shù)，故D錯誤，
故選:C.
3. 下列各式正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)冪運算的規(guī)則逐項分析即可.
【詳解】對于A， ，正確；
對于B， ，錯誤；
對于C， ，錯誤；
對于D， ，錯誤；
故選：A.
4. 設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】計算，，，得到答案.
【詳解】，，，
故.
故選：D
5. 函數(shù)的圖像為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】以函數(shù)的定義域、奇偶性去排除錯誤選項即可.
【詳解】函數(shù)的定義域為，可以排除選項B、C；
由，
可知函數(shù)為偶函數(shù)，其圖像應(yīng)關(guān)于y軸軸對稱，可以排除選項D.
故選：A
6. 若函數(shù)則（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】首先計算，再計算的值.
【詳解】，.
故選：D.
7. 若是不平行的兩個向量,其中,,則A、B、C三點共線的充要條件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】將三點共線轉(zhuǎn)化為兩個向量共線，利用向量共線的充要條件求出兩參數(shù)的關(guān)系.
【詳解】A、B、C三點共線共線，
存使

整理得
故選：C
【點睛】本題主要考查向量共線的充要條件以及充要條件的求法，在解決三點共線的問題時，可先證明兩向量共線.
8. 已知函數(shù)，則關(guān)于x的不等式的解集為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，判斷單調(diào)性和奇偶性，由此求得不等式的解集.
【詳解】，
由于，所以的定義域為，
又
，所以是奇函數(shù)，
當(dāng)時，為增函數(shù)，為增函數(shù)，
所以是增函數(shù)，則，由是奇函數(shù)可知，在上單調(diào)遞增，
由得，即，
則，解得，所以不等式的解集是.
故選：D
二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，計20分.在每小題給出的選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對得5分，有選錯的得零分，部分選對得2分.
9. 下列函數(shù)中是偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)的有（ ）．
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義和基本初等函數(shù)的性質(zhì)，逐項判定，即可得解.
【詳解】對于A：定義域為，關(guān)于原點對稱，是奇函數(shù)，不滿足題意；
對于B：定義域為R，關(guān)于原點對稱，，，是偶函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上為增函數(shù)，滿足題意；
對于C：定義域為R，關(guān)于原點對稱，，，是奇函數(shù)，不滿足題意；
對于D：定義域為，關(guān)于原點對稱，，，是偶函數(shù)，當(dāng)時，，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，在上為增函數(shù)，滿足題意.
故選：BD.
10. 同時拋鄭兩個質(zhì)地均勻的四面分別標(biāo)有的正四面體一次，記事件第一個四面體向下的一面出現(xiàn)偶數(shù)；事件第二個四面體向下的一面出現(xiàn)奇數(shù)；事件兩個四面體向下的一面或同時出現(xiàn)奇數(shù)，或者同時出現(xiàn)偶數(shù)，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用古典概率公式，互斥事件的概率公式以及相互獨立事件的概率乘法公式，逐一判斷即可求解.
【詳解】依題意，，
，故選項A正確，B不正確；
因為，為相互獨立事件，
所以，故選項C正確；
又因為事件、、不可能同時發(fā)生，
所以，故選項D不正確；
故選：AC.
11. 若，，，則下列命題正確的是（ ）
A. 若且，則B. 若，則
C. 若，則D. 若且，則
【答案】BC
【解析】
【分析】直接根據(jù)所給條件不等式結(jié)合作差法去證明結(jié)論正確或者舉出反例推翻結(jié)論即可.
【詳解】對于A，若，滿足且，但，故A錯誤；
對于B，若，則，即，故B正確；
對于C，若，則，即，故C正確；
對于D，若，這當(dāng)然也滿足，但此時，故D錯誤.
故選：BC.
12. 已知函數(shù)有兩個零點，，以下結(jié)論正確的是（ ）
A. B. 若，則
C. D. 函數(shù)有四個零點
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)零點和二次函數(shù)的相關(guān)知識對選項逐一判斷即可．
【詳解】二次函數(shù)對應(yīng)二次方程根的判別式，故A正確；
韋達(dá)定理，， ，故B正確；
對于C選項，，，所以，故C選項正確；
對于D選項，當(dāng)時，由得，所以故有三個零點，則D選項錯誤．
故選:：ABC
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，計20分.
13. ________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則及冪的運算性質(zhì)計算可得.
【詳解】
.
故答案為：
14. 已知四邊形的對角線交于點為的中點，若，則__________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用向量線性運算及共線向量定理的推論求解即得.
【詳解】由為的中點，及，得，即，
又四邊形的對角線交于點，即點共線，因此，
所以.
故答案為：
15. 抽樣統(tǒng)計某位射擊運動員10次的訓(xùn)練成績分別為，則該運動員這10次成績的分位數(shù)為__________.
【答案】89.5
【解析】
【分析】利用百分位數(shù)的定義及中位數(shù)的定義即可求解.
【詳解】該射擊運動員10次的訓(xùn)練成績從小到大分別為
.又，
這10次成績的分位數(shù)為.
故答案為：.
16. 已知函數(shù)，若對任意的正數(shù)a、b，滿足，則的最小值為：______．
【答案】4
【解析】
【分析】分析函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，可得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.
【詳解】對任意的，，所以，函數(shù)的定義域為，
因為，即函數(shù)為奇函數(shù)，
又因為，且函數(shù)在上為增函數(shù)，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，
對任意的正數(shù)，滿足，則，
所以，，即，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故的最小值為4.
故答案為：4.
四?解答題：本題共6小題，共計70分.解答時應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 已知集合，.
（1）分別求，；
（2）已知，若，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合一元二次不等式的解法、集合交并集的定義進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)子集的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
，，解得，則，
，，解得，則，
，；
【小問2詳解】
，，
.
18. 在平面內(nèi)給定三個向量．
（1）求滿足的實數(shù)m,n的值；
（2）若向量滿足，且，求向量的坐標(biāo)．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求解即可.
(2) 設(shè)向量再根據(jù)平行與模長的公式列式求解即可.
【詳解】（1）由已知條件以及,
可得,
即解得
（2）設(shè)向量,則,.
∵,
∴解得或
∴向量的坐標(biāo)為或.
【點睛】本題主要考查了向量坐標(biāo)的運算以及平行的與模長的公式,屬于中等題型.
19. 已知關(guān)于的不等式的解集為或.
（1）求，的值；
（2）當(dāng)，且滿足時，有恒成立，求取值范圍.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解集，利用韋達(dá)定理可列出方程組，即得；
（2）利用基本不等式求得的最小值，根據(jù)恒成立可得，即得.
【小問1詳解】
因為不等式的解集為或，
所以1和是方程的兩個實數(shù)根，且，
所以，解得，
即，.
【小問2詳解】
由（1）知，于是有，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時，等號成立，
依題意有，即，
得，即，
所以的取值范圍為.
20. 某學(xué)校為了解本校歷史?物理方向?qū)W生的學(xué)業(yè)水平模擬測試數(shù)學(xué)成績情況，分別從物理方向的學(xué)生中隨機(jī)抽取60人的成績得到樣本甲，從歷史方向的學(xué)生中隨機(jī)抽取人的成績得到樣本乙，根據(jù)兩個樣本數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：
已知乙樣本中數(shù)據(jù)在的有10個.
（1）求和乙樣本直方圖中的值；
（2）試估計該校物理方向的學(xué)生本次模擬測試數(shù)學(xué)成績的平均值和歷史方向的學(xué)生本次模擬測試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值為代表）.
（3）采用分層抽樣的方法從甲樣本數(shù)據(jù)中分?jǐn)?shù)在和的學(xué)生中抽取6人，并從這6人中任取2人，求這兩人分?jǐn)?shù)都在中的概率.
【答案】（1）；；
（2）平均值81.5，中位數(shù)82；
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率定義即可求出，再根據(jù)小矩形面積和為1即可求出值；
（2）根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)定義計算即可；
（3）列出所有情況和滿足題意的情況，再利用古典概率公式即可.
【小問1詳解】
由直方圖可知，乙樣本中數(shù)據(jù)在的頻率為，
則，解得；
由乙樣本數(shù)據(jù)直方圖可知，，
解得；
【小問2詳解】
甲樣本數(shù)據(jù)的平均值估計值為
，
乙樣本數(shù)據(jù)直方圖中前3組的頻率之和為，
前4組的頻率之和為，
所以乙樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)在第4組，設(shè)中位數(shù)為，
，
解得，所以乙樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為82.
【小問3詳解】
由頻率分布直方圖可知從分?jǐn)?shù)在和的學(xué)生中分別抽取2人和4人，
將從分?jǐn)?shù)在中抽取的2名學(xué)生分別記為，從分?jǐn)?shù)在中抽取的4名學(xué)生分別記為，
則從這6人中隨機(jī)抽取2人的基本事件有
，共15個，
所抽取的兩人分?jǐn)?shù)都在中的基本事件有6個，所以所求概率為.
21. 已知函數(shù)
（1）解關(guān)于的不等式；
（2）若方程有兩個正實數(shù)根，求的最小值.
【答案】（1）答案見解析；
（2）6.
【解析】
【分析】（1）解含參一元二次不等式，即可得答案；
（2）根據(jù)方程有兩個正實數(shù)根可得相應(yīng)不等式組，進(jìn)而表示出，采用換元法結(jié)合基本不等式即可求得答案.
【小問1詳解】
不等式即為，
當(dāng)，即時，不等式的解集為，
當(dāng)，即時，不等式的解集為，
當(dāng)，即時，不等式的解集為，
綜上可知：當(dāng)時，不等式的解集為，
當(dāng)時，不等式的解集為，
當(dāng)時，不等式的解集為.
【小問2詳解】
方程有兩個正實數(shù)根，
即有兩個正實數(shù)根
故，解得，
所以
令，則，故
當(dāng)且僅當(dāng)即時取得等號，
故的最小值為6.
22. 已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求滿足的的值；
(2)若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)滿足，若對任意且≠0,不等式恒成立，求實數(shù)m的最大值.
【答案】（1）2；（2）
【解析】
【分析】（1）代入a=4，b=-2，解關(guān)于指數(shù)函數(shù)方程，即可得到所求值；
（2）運用奇函數(shù)的定義，可得a，b的值，所以，由解出,代入不等式,通過分離常數(shù)得出參數(shù)范圍.
【詳解】(1)當(dāng)時，.
即，
解得：或=?1(舍去)，
∴=2；
(2)若函數(shù)是定義在R上奇函數(shù)，
則，即，
即，
解得：，或
經(jīng)檢驗滿足函數(shù)的定義域為R，
∴.
當(dāng)≠0時,函數(shù)滿足，
∴,(≠0)，
則，
不等式恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
設(shè)，則，
即，恒成立，
由對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：當(dāng)時, 取最小值．
故，即實數(shù)m的最大值為.
【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性的判斷及應(yīng)用，不等式恒成立問題，采用分離常數(shù)是常見的方法，應(yīng)熟練掌握.

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