滿分：150分 考試時(shí)間：120分鐘
一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知等差數(shù)列中，，，則等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知等比數(shù)列的前兩項(xiàng)分別為1，－2，則該數(shù)列的第4項(xiàng)為（ ）
A. 4B. －4C. 8D. －8
3. 在數(shù)列中，已知，，且（），則（ ）
A. 13B. 9C. 11D. 7
4. 已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a，b，c成等比數(shù)列，且，則（ ）
A. B.
C. D.
5. 在正項(xiàng)等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若，，則的值為（ ）
A. 50B. 70C. 90D. 110
6. “數(shù)列和都是等比數(shù)列”是“數(shù)列是等比數(shù)列”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
7. 已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則中最小的一項(xiàng)是（ ）
A. B. C. D.
8. 謝爾賓斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一種分形，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出．先取一個(gè)實(shí)心正三角形，挖去一個(gè)“中心三角形”（即以原三角形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，即圖中的白色三角形），然后在剩下的每個(gè)小三角形中又挖去一個(gè)“中心三角形”，用上面的方法可以無(wú)限操作下去．操作第1次得到圖2，操作第2次得到圖3．．．．．，若繼續(xù)這樣操作下去后得到圖2024，則從圖2024中挖去的白色三角形個(gè)數(shù)是（ ）
A. B.
C D.
二、多選題：本大題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，錯(cuò)選或不選得0分，少選得部份分.
9. 下面四個(gè)數(shù)列中，既是無(wú)窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是（ ）．
A 1，，，，…，，…
B ，，，，…，，…
C. ，，，…，，…
D. 1，，，…，，…
10. 古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來(lái)研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀诺男螤睿褦?shù)分成許多類，如圖1，圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，3，6，10，…稱為三角形數(shù)，如圖2，圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，4，9，16，…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)為數(shù)列，正方形數(shù)為數(shù)列，則（ ）
A B. C. D.
11. 普林斯頓大學(xué)的康威教授于1986年發(fā)現(xiàn)了一類有趣的數(shù)列并命名為“外觀數(shù)列”（Lkandsaysequence），該數(shù)列由正整數(shù)構(gòu)成，后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的“外觀描述”.例如：取第一項(xiàng)為1，將其外觀描述為“1個(gè)1”，則第二項(xiàng)為11；將11描述為“2個(gè)1”，則第三項(xiàng)為21；將21描述為“1個(gè)2，1個(gè)1”，則第四項(xiàng)為1211；將1211描述為“1個(gè)1，1個(gè)2，2個(gè)1”，則第五項(xiàng)為，這樣每次從左到右將連續(xù)的相同數(shù)字合并起來(lái)描述，給定首項(xiàng)即可依次推出數(shù)列后面的項(xiàng).則對(duì)于外觀數(shù)列，則（ ）
A. 若，則從開始出現(xiàn)數(shù)字2；
B. 若，則的最后一個(gè)數(shù)字均為；
C. 可能既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；
D. 若，則均不包含數(shù)字4.
三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.
12. 在等差數(shù)列中，，則________．
13. 數(shù)列是等比數(shù)列，且前項(xiàng)和為，則實(shí)數(shù)___________．
14. 習(xí)近平總書記在黨的二十大報(bào)告中提出：堅(jiān)持以人民為中心發(fā)展教育，加快建設(shè)高質(zhì)量教育體系，發(fā)展素質(zhì)教育，促進(jìn)教育公平，加快義務(wù)教育優(yōu)質(zhì)均衡發(fā)展和城鄉(xiāng)一體化.某師范大學(xué)學(xué)生會(huì)為貫徹黨的二十大精神，成立“送教下鄉(xiāng)志愿者服務(wù)社”，分期分批派遣大四學(xué)生赴鄉(xiāng)村支教.原計(jì)劃第一批派遣20名學(xué)生，以后每批都比上一批增加5人.由于志愿者人數(shù)暴漲，服務(wù)社臨時(shí)決定改變派遣計(jì)劃，具體規(guī)則為：把原計(jì)劃擬派遣的各批人數(shù)依次構(gòu)成的數(shù)列記為，在數(shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)與之間插入個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列.按新數(shù)列的各項(xiàng)依次派遣支教學(xué)生.記為派遣70批學(xué)生后支教學(xué)生的總數(shù)，則的值為__________.
四、解答題：本大題共6個(gè)小題，共計(jì)70分.
15. 在等比數(shù)列中.
（1）若它的前三項(xiàng)分別為5，－15，45，求；
（2）若an＝625，n＝4，q＝5，求；
（3）若a4＝2，a7＝8，求an.
16. 已知數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列，
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，求的最小值及此時(shí)的值.
17. 已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，的前項(xiàng)和為，求.
18. 王先生今年初向銀行申請(qǐng)個(gè)人住房貸款80萬(wàn)元購(gòu)買住房，按復(fù)利計(jì)算，并從貸款后的次月初開始還貸，分10年還清．銀行給王先生提供了兩種還貸方式：①等額本金：在還款期內(nèi)把本金總額等分，每月償還同等數(shù)額的本金和剩余本金在該月所產(chǎn)生的利息；②等額本息：在還款期內(nèi)，每月償還同等數(shù)額的貸款(包括本金和利息)．
（1）若王先生采取等額本金的還貸方式，已知第一個(gè)還貸月應(yīng)還12000元，最后一個(gè)還貸月應(yīng)還5000元，試計(jì)算王先生該筆貸款的總利息；
（2）若王先生采取等額本息的還貸方式，貸款月利率為0.3％，銀行規(guī)定每月還貸額不得超過(guò)家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入為 17000元，試判斷王先生該筆貸款能否獲批(不考慮其他因素)．參考數(shù)據(jù)
19. 隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來(lái)越廣泛．差分和差分方程是描述離散變量變化的重要工具，并且有廣泛的應(yīng)用．對(duì)于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中，規(guī)定為數(shù)列的二階差分?jǐn)?shù)列，其中．
（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，試判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，請(qǐng)說(shuō)明理由？
（2）數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，且，對(duì)于任意的，都存在，使得，求的值；
（3）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且為常數(shù)列，對(duì)滿足，的任意正整數(shù)都有，且不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．

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