考法一 曲線的定義及應(yīng)用
【例1-1】（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若到直線的距離為5，則（ ）
A．7B．6C．5D．4
【例1-2】．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知橢圓C：的左?右焦點(diǎn)分別是，，為橢圓C上一點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．的周長為6B．的面積為
C．的內(nèi)切圓的半徑為D．的外接圓的直徑為
【變式】
1．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且，則的面積為（ ）
A．6B．12C．D．
2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（ ）
A．1B．2C．4D．5
3．（2023·北京·101中學(xué)?？既＃┮阎謩e是雙曲線的左右焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，且，則的周長是 ．
4．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且，的面積為8，則到雙曲線的漸近線的距離為 .
考法二 曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
【例2-1】（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于點(diǎn)A，若，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
【例2-2】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn)．若，則C的方程為（ ）
A．B．C．D．
【例2-3】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）過四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為 ．
【例2-4】（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，于.若，則拋物線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【變式】
1．（2023·吉林白山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3，且的開口朝左，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知雙曲線的左頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離為3，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
3（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，左、右焦點(diǎn)分別為，，延長交橢圓E于點(diǎn)P．若點(diǎn)A到直線的距離為，的周長為16，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點(diǎn)M在直線上，點(diǎn)和均在上，則的方程為 ．
5．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線C的焦點(diǎn)為和，離心率為，則C的方程為 ．
考法三 離心率
【例3-1】（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】．（2023·福建廈門·廈門一中?？寄M預(yù)測）已知為雙曲線：的右焦點(diǎn)，平行于軸的直線分別交的漸近線和右支于點(diǎn)，，且，，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【變式】
1．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)是橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于平分線的對稱點(diǎn)也在橢圓上，若，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知右焦點(diǎn)為的橢圓：上的三點(diǎn)，，滿足直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，若于點(diǎn)，且，則的離心率是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
4（2023·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測）“”是“方程表示橢圓”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
考法四 折線段距離最值
【例4-1】．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考三模）已知為橢圓：的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為圓：上一點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．5B．6C．D．
【例4-2】（2023秋·北京）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)A在雙曲線的右支上，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【例4-3】（2023·湖南）設(shè)點(diǎn)P是圓上的一動點(diǎn)，，，則的最小值為（ ）．
A．B．C．6D．12
【變式】
1．（2023秋·黑龍江大慶 ）已知定點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上移動，求的最大值和最小值為（ ）
A．12，B．，
C．12，8D．9，
2．（2023·寧夏中衛(wèi)·統(tǒng)考一模）已知雙曲線C：的左右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，則（ ）
A．－8B．8C．10D．－10
3．（2023·廣西）已知，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是雙曲線左支上一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．5B．7C．9D．11
4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，若點(diǎn)A為拋物線任意一點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·河南周口 ）已知點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，若，則的最小值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
考法五 直線與曲線的位置關(guān)系
【例5-1】．（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線l：與橢圓C：的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．相切C．相離D．不能確定
【例5-2】（2023·上海）已知雙曲線，直線，若直線與雙曲線的交點(diǎn)分別在兩支上，求的范圍 ．
【變式】
1．（2023·上海）已知雙曲線，直線，若直線與雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍 ．
2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) ．
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過拋物線上一點(diǎn)的拋物線的切線方程為 .
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)直線和橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求和的取值范圍 ．
考法六 弦長
【例6-1】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【例6-2】．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（ ）
A．2B．C．3D．
【變式】
1．（2023·北京大興·校考三模）已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，過作直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，則線段的長為
2．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）若直線與圓相交所得的弦長為，則 ．
3（2023·廣西欽州 ）已知橢圓與直線交于A，B兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）
A．±1B．±
C．D．±
考法七 中點(diǎn)弦
【例7-1】．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰為弦的中點(diǎn)，則橢圓的離心率是（ ）
A．B．C．D．
【例7-2】．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為1的直線交橢圓于兩點(diǎn).若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【例7-3】．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）已知橢圓的上頂點(diǎn)為B，斜率為的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，若△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【變式】
1．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）已知直線過雙曲線的左焦點(diǎn)，且與的左?右兩支分別交于兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若是以為底邊的等腰三角形，則直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的離心率為，直線與交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則與的斜率的乘積為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·四川成都·校考模擬預(yù)測）已知拋物線，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則的方程為（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考三模）如圖，已知過原點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，雙曲線的右支上一點(diǎn)滿足，若直線的斜率為-3，則雙曲線的離心率為 .
5．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若雙曲線上存在兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
考法八 綜合運(yùn)用
【例8-1】．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）（多選）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則（ ）．
A．B．
C．以MN為直徑的圓與l相切D．為等腰三角形
【例8-2】（2023·湖南·模擬預(yù)測）（多選）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別是雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線E的右支上一點(diǎn)，若，雙曲線E的離心率為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為
B．雙曲線E的漸近線方程為
C．點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為
D．若直線與雙曲線E的另一支交于點(diǎn)M，點(diǎn)N為PM的中點(diǎn)，則
【變式】
1（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，過作圓O：的一條切線，切點(diǎn)為T．線段交C于點(diǎn)P，若的面積為，且，則C的方程為（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）（多選）雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
一、單選題
1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若面積是面積的2倍，則（ ）．
A．B．C．D．
3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知圓和點(diǎn)，由圓外一點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)分別為，若，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·四川巴中·南江中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知橢圓四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，則橢圓C的方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)和橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且拋物線的準(zhǔn)線截橢圓的弦長為3，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓E：的焦距為4，平行四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E，且直線AB與AD的斜率之積為，則橢圓E的方程為（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·湖南郴州·安仁縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知集合，則集合的真子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．7C．15D．31
9．（2023·四川瀘州·瀘縣五中?？寄M預(yù)測）設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過左焦點(diǎn)作直線與圓切于點(diǎn)，與雙曲線右支交于點(diǎn)，且滿足，，則雙曲線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·天津南開·統(tǒng)考二模）已知拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線的漸近線和拋物線的一個(gè)公共點(diǎn)，若到拋物線焦點(diǎn)的距離為5，則雙曲線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023·全國·校聯(lián)考三模）若雙曲線與雙曲線有相同的焦距，且過點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．或D．或
12．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
13．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn) P在C上，，則（ ）
A．B．C．D．
14．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)A，B為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（ ）
A．B．C．D．
15．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
16．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)是直線：和：的交點(diǎn)，點(diǎn)是圓：上的動點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．
17．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)是橢圓上位于第一象限的一點(diǎn)，且與軸平行，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
18．（2023·浙江·模擬預(yù)測）費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)中的重要原理，可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些光學(xué)性質(zhì)，如：點(diǎn)為橢圓（為焦點(diǎn)）上一點(diǎn)，則點(diǎn)處的切線平分外角.已知橢圓為坐標(biāo)原點(diǎn)，是點(diǎn)處的切線，過左焦點(diǎn)作的垂線，垂足為，則為（ ）
A．B．2C．3D．
19．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
20．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則（ ）
A．直線的斜率為B．
C．D．
21．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則（ ）
A．C的準(zhǔn)線為B．直線AB與C相切
C．D．
22．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）已知直線，圓的圓心坐標(biāo)為，則下列說法正確的是（ ）
A．直線恒過點(diǎn)
B．
C．直線被圓截得的最短弦長為
D．當(dāng)時(shí)，圓上存在無數(shù)對點(diǎn)關(guān)于直線對稱
23．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的上焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，并與另一條漸近線交于點(diǎn)，若，則的離心率可能為（ ）
A．B．C．D．
24．（2023·遼寧錦州·校考一模）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，若直線與的右支交于兩點(diǎn)，且為的重心，則（ ）
A．的離心率的取值范圍為
B．的離心率的取值范圍為
C．直線斜率的取值范圍為
D．直線斜率的取值范圍為
25（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)，為橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限，為的內(nèi)心，且內(nèi)切圓半徑為1，則（ ）
A．B．C．D．
26．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作x軸的垂線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若為直角三角形，則（ ）
A．
B．雙曲線的離心率
C．雙曲線的焦距為
D．的面積為
三、填空題
27．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知點(diǎn)在拋物線C：上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為 .
28．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）過原點(diǎn)的一條直線與圓相切，交曲線于點(diǎn)，若，則的值為 ．
29．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為 ．
30．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知直線與交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足“面積為”的m的一個(gè)值 ．
31．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于點(diǎn)且．若，則雙曲線的離心率是 ．
32．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則l的方程為 ．
33．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點(diǎn)，若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是 ．
34．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值 ．
35．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則 ．
36．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的漸近線方程為，則 ．
37．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程 ．
38．（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，若，則 .
39．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程 .
40．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，坐標(biāo)原點(diǎn)為，若在雙曲線右支上存在一點(diǎn)滿足，且，則雙曲線的離心率為 .
41．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的右焦點(diǎn)為外的一點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且，若直線的斜率之積為，則 ．
42．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓C：的焦距為2c，左焦點(diǎn)為F，直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為．若直線l與直線PF的斜率之積等于，則C的離心率為 ．
43．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）不與x軸重合的直線l過點(diǎn)N（,0）（xN≠0），雙曲線C：（a＞0，b＞0）上存在兩點(diǎn)A、B關(guān)于l對稱，AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為．若，則C的離心率為 ．
44．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）已知拋物線上兩點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)對稱，則直線AB的斜率為 .
45．（2023·四川眉山·仁壽一中?？寄M預(yù)測）已知是橢圓上的點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的面積為 ．
46．（2023秋·黑龍江伊春 ）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓：上任意一點(diǎn)，則的最小值為 .
47．（2023春·寧夏石嘴山 ）已知F是雙曲線C：的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，，則的最小值為 .
48．（2023秋·河南南陽·高二南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，若點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為 .
49．（2023秋·廣東廣州·高三廣州大學(xué)附屬中學(xué)校考開學(xué)考試）設(shè)動點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在軸上的射影為點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的最小值是 ．
50．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)作雙曲線： 的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求直線的方程
專題14 圓錐曲線（選填題8種考法）
考法一 曲線的定義及應(yīng)用
【例1-1】（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若到直線的距離為5，則（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】D
【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)在上，
所以到準(zhǔn)線的距離為，
又到直線的距離為，
所以，故.
故選：D.
【例1-2】．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知橢圓C：的左?右焦點(diǎn)分別是，，為橢圓C上一點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．的周長為6B．的面積為
C．的內(nèi)切圓的半徑為D．的外接圓的直徑為
【答案】D
【解析】由題意知，，，，
由橢圓的定義知，，，
∴的周長為，即A正確；
將代入橢圓方程得，解得，
∴的面積為，即B正確；
設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為r，則，
即，∴，即C正確；
不妨取，則，，
∴的面積為，
即，∴，
由正弦定理知，的外接圓的直徑，即D錯誤，
故選:D.

【變式】
1．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且，則的面積為（ ）
A．6B．12C．D．
【答案】C
【解析】由橢圓，得，，.

設(shè)，，
∴，在中，由余弦定理可得：，
可得，得，故.故選：C.
2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】B
【解析】方法一：因?yàn)椋裕?br>從而，所以．
故選：B.
方法二：
因?yàn)?，所以，由橢圓方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故選：B.
3．（2023·北京·101中學(xué)?？既＃┮阎謩e是雙曲線的左右焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，且，則的周長是 ．
【答案】34
【解析】因?yàn)椋裕?br>故，則，
又，故，則，，
所以的周長為.
故答案為：34.
4．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且，的面積為8，則到雙曲線的漸近線的距離為 .
【答案】2
【解析】由題意及雙曲線的定義知，則，
由余弦定理可得，
所以，
因?yàn)?，所以，?br>因?yàn)榈拿娣e為8，所以，
所以，所以，
因?yàn)辄c(diǎn)到該雙曲線漸近線的距離為，
所以點(diǎn)到該雙曲線漸近線的距離為2.
故答案為：2.
考法二 曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
【例2-1】（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于點(diǎn)A，若，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，則，則、，
不妨設(shè)點(diǎn)為第二象限內(nèi)的點(diǎn)，聯(lián)立，可得，即點(diǎn)，
因?yàn)榍遥瑒t為等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：C.
【例2-2】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn)．若，則C的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)殡x心率，解得，，
分別為C的左右頂點(diǎn)，則，
B為上頂點(diǎn)，所以.
所以，因?yàn)?br>所以，將代入，解得，
故橢圓的方程為.
故選：B.
【例2-3】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）過四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為 ．
【答案】或或或．
【解析】[方法一]：圓的一般方程
依題意設(shè)圓的方程為，
（1）若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
（2）若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
（3）若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
（4）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；
故答案為：或 或 或．
[方法二]：【最優(yōu)解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（三點(diǎn)中的兩條中垂線的交點(diǎn)為圓心）
設(shè)
（1）若圓過三點(diǎn)，圓心在直線，設(shè)圓心坐標(biāo)為，
則，所以圓的方程為；
（2）若圓過三點(diǎn)， 設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，所以圓的方程為；
（3）若圓過 三點(diǎn)，則線段的中垂線方程為，線段 的中垂線方程 為，聯(lián)立得 ，所以圓的方程為；
（4）若圓過三點(diǎn)，則線段的中垂線方程為， 線段中垂線方程為 ，聯(lián)立得，所以圓的方程為．
故答案為：或 或 或．
【例2-4】（2023·北京·北京四中校考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，于.若，則拋物線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】如圖，連接，設(shè)準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)為

拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線：
又拋物線的定義可得，又，所以為等邊三角形，
所以，
所以在中，，則，所以拋物線的方程為.
故選：C.
【變式】
1．（2023·吉林白山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3，且的開口朝左，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依題意可設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
因?yàn)榈慕裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3，所以，
所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：A
2．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知雙曲線的左頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離為3，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
故拋物線的準(zhǔn)線方程為，即拋物線焦點(diǎn)為，
漸近線方程過，則，
雙曲線的左頂點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)距離是，則左頂點(diǎn)為，即.
故雙曲線方程為.
故選：B.
3（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，左、右焦點(diǎn)分別為，，延長交橢圓E于點(diǎn)P．若點(diǎn)A到直線的距離為，的周長為16，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由題意，得，，，則直線的方程為，
所以點(diǎn)A到直線的距離①．
由的周長為16，得，即a+c=8②，
聯(lián)立①②，解得③．
因?yàn)?，所以④?br>聯(lián)立②④，解得a=6，c=2，所以，
故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為是.
故選：B．
4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點(diǎn)M在直線上，點(diǎn)和均在上，則的方程為 ．
【答案】
【解析】[方法一]：三點(diǎn)共圓
∵點(diǎn)M在直線上，
∴設(shè)點(diǎn)M為，又因?yàn)辄c(diǎn)和均在上，
∴點(diǎn)M到兩點(diǎn)的距離相等且為半徑R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程為.
故答案為：
[方法二]：圓的幾何性質(zhì)
由題可知，M是以（3，0）和（0，1）為端點(diǎn)的線段垂直平分線 y=3x-4與直線的交點(diǎn)(1,-1)., 的方程為.
故答案為：
5．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線C的焦點(diǎn)為和，離心率為，則C的方程為 ．
【答案】
【解析】令雙曲線的實(shí)半軸、虛半軸長分別為，顯然雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其半焦距，由雙曲線的離心率為，得，解得，則，
所以雙曲線的方程為.故答案為：
考法三 離心率
【例3-1】（2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意可知，，
在中，由余弦定理得，化簡得，
則，所以，
故選：C.
【例3-2】．（2023·福建廈門·廈門一中?？寄M預(yù)測）已知為雙曲線：的右焦點(diǎn)，平行于軸的直線分別交的漸近線和右支于點(diǎn)，，且，，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】雙曲線：的漸近線方程為.
設(shè)，聯(lián)立方程組，解得.
因?yàn)椋?，即，可?
又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，
將代入，可得，
由，所以，所以，即，
化簡得，則，所以雙曲線的離心率為.
故選：B.

【變式】
1．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)是橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于平分線的對稱點(diǎn)也在橢圓上，若，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意可作圖如下：

由圖可知：，
由平分，則，所以，
由，則解得，
由是關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則共線，，，，
所以，在中，，
可得，解得，，
在中，由余弦定理，可得，
代入可得：，化簡可得：，
所以其離心率.
故選：C.
2．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知右焦點(diǎn)為的橢圓：上的三點(diǎn)，，滿足直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，若于點(diǎn)，且，則的離心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，連接 ，，，
設(shè)，，結(jié)合橢圓對稱性得，
由橢圓定義得，，則.
因?yàn)?，?br>則四邊形為平行四邊形，
則，而，故，
則，即，
整理得，在中，，
即，即，
∴，故.
故選：A

3．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，，，如圖所示，

又因?yàn)?，所以?br>所以四邊形為矩形，
設(shè)，則，
由雙曲線的定義可得：，，
又因?yàn)闉橹苯侨切危?br>所以，即，解得，
所以，，
又因?yàn)闉橹苯侨切?，?br>所以，即：，
所以，即.
故選：D.
4（2023·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測）“”是“方程表示橢圓”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】方程表示橢圓，
所以“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件，
故選：B.
考法四 折線段距離最值
【例4-1】．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考三模）已知為橢圓：的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為圓：上一點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．5B．6C．D．
【答案】D
【解析】依題意，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，
圓的圓心為，半徑為，
，
當(dāng)三點(diǎn)共線，且在之間時(shí)等號成立.
而，
所以，
當(dāng)四點(diǎn)共線，且在之間，是的延長線與圓的交點(diǎn)時(shí)等號成立.
故選：D

【例4-2】（2023秋·北京）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)A在雙曲線的右支上，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以要求的最小值?br>只需求的最小值.
如圖,連接交雙曲線的右支于點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)A位于點(diǎn)處時(shí)，
最小，最小值為.
故的最小值為.

故選：C
【例4-3】（2023·湖南）設(shè)點(diǎn)P是圓上的一動點(diǎn)，，，則的最小值為（ ）．
A．B．C．6D．12
【答案】B
【解析】設(shè)，
則點(diǎn)P的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)，為實(shí)軸長的雙曲線的上支，
∴點(diǎn)P的軌跡方程為，依題意，雙曲線與圓有公共點(diǎn)，
將圓的方程代入雙曲線方程得，
即，
判別式，解得，
當(dāng)時(shí)，，且，
∴等號能成立．∴．
故選：B
【變式】
1．（2023秋·黑龍江大慶 ）已知定點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上移動，求的最大值和最小值為（ ）
A．12，B．，
C．12，8D．9，
【答案】C
【解析】令橢圓的左焦點(diǎn)為，有，由橢圓定義知，

顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)，，直線交橢圓于，
而，即，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)取等號，
當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，則，
當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，則，
所以的最大值和最小值為12，8.
故選：C
2．（2023·寧夏中衛(wèi)·統(tǒng)考一模）已知雙曲線C：的左右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，則（ ）
A．－8B．8C．10D．－10
【答案】A
【解析】設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長為，
則，所以，
因?yàn)殡p曲線C的左右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，
所以，
故選：A
3．（2023·廣西）已知，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是雙曲線左支上一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．5B．7C．9D．11
【答案】C
【解析】由雙曲線，則，即，且，
由題意，
，
當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)，等號成立.
故選：C.
4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，若點(diǎn)A為拋物線任意一點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)點(diǎn)A在準(zhǔn)線上的射影為D，如圖，

則根據(jù)拋物線的定義可知，
求的最小值，即求的最小值，
顯然當(dāng)D，B，A三點(diǎn)共線時(shí)最小，
此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，代入拋物線方程可知.
故選：B.
5．（2023春·河南周口 ）已知點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，若，則的最小值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【解析】由拋物線可知其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為
記拋物線的焦點(diǎn)為，

所以，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)等號成立，
所以的最小值為3．故選：A．
考法五 直線與曲線的位置關(guān)系
【例5-1】．（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線l：與橢圓C：的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．相切C．相離D．不能確定
【答案】A
【解析】將直線l：變形為l：，
由得，于是直線l過定點(diǎn)，
而，于是點(diǎn)在橢圓C：內(nèi)部，
因此直線l：與橢圓C：相交．
故選：A．

【例5-2】（2023·上海）已知雙曲線，直線，若直線與雙曲線的交點(diǎn)分別在兩支上，求的范圍 ．
【答案】
【解析】聯(lián)立雙曲線、直線方程，消去整理得，
由題意，設(shè)方程的兩根為，則，解得．
故答案為：

【變式】
1．（2023·上海）已知雙曲線，直線，若直線與雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍 ．
【答案】或
【解析】依題意，聯(lián)立方程，消去，得，
設(shè)直線與雙曲線的右支的兩個(gè)交點(diǎn)為，，

則，解得或，
所以或.
故答案為：或.
2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) ．
【答案】或
【解析】由消去y，整理得，
當(dāng)時(shí)，由得；
又注意到直線恒過點(diǎn)，且漸近線的斜率為時(shí)，直線與漸近線平行時(shí)也成立．
故答案為：或

3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過拋物線上一點(diǎn)的拋物線的切線方程為 .
【答案】
【解析】解法一：設(shè)切線方程為．
由??，
由，得，
∴.
故切線方程為，即.
故答案為：.
解法二：由得，∴.
∴.
∴切線方程為，即.
故答案為：.
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)直線和橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求和的取值范圍 ．
【答案】，
【解析】令，則已知橢圓和直線變?yōu)橄鄳?yīng)的圓和直線，
要使已知的直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，只要相應(yīng)的直線與圓相切．
由直線和圓相切的充要條件可知，即，
故得，即，
解得．
考法六 弦長
【例6-1】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，則解得，
所以雙曲線的一條漸近線不妨取，
則圓心到漸近線的距離，
所以弦長.
故選：D
【例6-2】．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【解析】由題意得，，則，
即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，代入得，，
所以.
故選：B
【變式】
1．（2023·北京大興·校考三模）已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，過作直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，則線段的長為
【答案】6
【解析】是拋物線的焦點(diǎn)，
準(zhǔn)線方程，
設(shè)，線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2, .
，線段的長為6.
故答案為：6.
2．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）若直線與圓相交所得的弦長為，則 ．
【答案】
【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
圓心到直線的距離為，
由勾股定理可得，因?yàn)椋獾?
故答案為：.
3（2023·廣西欽州 ）已知橢圓與直線交于A，B兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）
A．±1B．±
C．D．±
【答案】A
【解析】由，消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0．
設(shè)，則，．
由題意，得，解得．故選:A
考法七 中點(diǎn)弦
【例7-1】．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰為弦的中點(diǎn)，則橢圓的離心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依題意，直線的斜率為，設(shè)，則，且，
由兩式相減得：，于是，
解得，此時(shí)橢圓，顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)，符合要求，
所以橢圓的離心率.
故選：A
【例7-2】．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為1的直線交橢圓于兩點(diǎn).若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)，則，
由已知有，，
作差得，
則，
所以，解得，
則的方程為.
故選：D．
【例7-3】．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）已知橢圓的上頂點(diǎn)為B，斜率為的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，若△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)，的中點(diǎn)為，
因?yàn)槎荚跈E圓上，
所以，作差可得，
即，所以，
即，因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)闉椤鰾MN的重心，所以，
所以，則，
所以，整理得，即，
所以，則，
所以離心率.
故選: A.
【變式】
1．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）已知直線過雙曲線的左焦點(diǎn)，且與的左?右兩支分別交于兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若是以為底邊的等腰三角形，則直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè),
由均在上，為的中點(diǎn)，
得，則，
∴，
∴，
設(shè)直線的傾斜角為，則，不妨設(shè)為銳角，
∵是以為底邊的等腰三角形，∴直線的傾斜角為，則.
∴，
∴，解得，
∴由對稱性知直線的斜率為.
故選：D
2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的離心率為，直線與交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則與的斜率的乘積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)，，，
則，兩式作差，并化簡得，
，
所以，
因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，即
所以，
即，由，得.
故選：B.
3．（2023·四川成都·?？寄M預(yù)測）已知拋物線，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)點(diǎn)、，則，
若直線軸，則線段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意，則直線的斜率存在，
由已知，兩式作差可得，
所以，直線的斜率為，
因此，直線的方程為，即.
故選：A.
4．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考三模）如圖，已知過原點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，雙曲線的右支上一點(diǎn)滿足，若直線的斜率為-3，則雙曲線的離心率為 .
【答案】/
【解析】如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，
所以，設(shè)直線的傾斜角為，則，
所以，
所以直線的斜率為.設(shè)，則.
由，得到.，
所以，所以，則.
故答案為：
5．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若雙曲線上存在兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【解析】依題意，雙曲線上兩點(diǎn)，，，，
若點(diǎn)A、B關(guān)于直線對稱，則
設(shè)直線的方程是，代入雙曲線方程化簡得：
，
則，且，解得，且
又，設(shè)的中點(diǎn)是，，
所以，．
因?yàn)榈闹悬c(diǎn)在直線上，
所以，所以，又
所以，即，所以
所以，整理得，
所以或，
實(shí)數(shù)的取值范圍為：
故答案為：.
考法八 綜合運(yùn)用
【例8-1】．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）（多選）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則（ ）．
A．B．
C．以MN為直徑的圓與l相切D．為等腰三角形
【答案】AC
【解析】A選項(xiàng)：直線過點(diǎn)，所以拋物線的焦點(diǎn)，
所以，則A選項(xiàng)正確，且拋物線的方程為.
B選項(xiàng)：設(shè)，
由消去并化簡得，
解得，所以，B選項(xiàng)錯誤.
C選項(xiàng)：設(shè)的中點(diǎn)為，到直線的距離分別為，
因?yàn)椋?br>即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng)：直線，即，
到直線的距離為，
所以三角形的面積為，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D選項(xiàng)錯誤.
故選：AC.

【例8-2】（2023·湖南·模擬預(yù)測）（多選）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別是雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線E的右支上一點(diǎn)，若，雙曲線E的離心率為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為
B．雙曲線E的漸近線方程為
C．點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為
D．若直線與雙曲線E的另一支交于點(diǎn)M，點(diǎn)N為PM的中點(diǎn)，則
【答案】ACD
【解析】根據(jù)雙曲線的定義得，，故，由，得，
所以，所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為，漸近線方程為，即，所以A正確，B不正確；
設(shè)，則點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為，所以C正確；
設(shè)，，因?yàn)镻，M在雙曲線E上，所①，②，
①－②并整理得，，即，所以，所以D正確．
故選：ACD．
【變式】
1（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，過作圓O：的一條切線，切點(diǎn)為T．線段交C于點(diǎn)P，若的面積為，且，則C的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
由圓的方程知，，
又，在直角△中，，
且.
在△中，則，故.
在△中，，
由正弦定理，，則，
∴由雙曲線定義，，又，，則，
∴，即.
∵為直角，易知為鈍角，由知，，
在△中，由余弦定理，，
∴，
∴，整理得，
∴.
又，將代入，解得.
∴雙曲線C的方程：.
故選：A
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）（多選）雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用
情況一
M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為B，
所以，因?yàn)椋栽陔p曲線的左支，
，， ，設(shè)，由即，則，
選A
情況二
若M、N在雙曲線的兩支，因?yàn)?，所以在雙曲線的右支，
所以，， ，設(shè)，
由，即，則，
所以，即，
所以雙曲線的離心率
選C
[方法二]：答案回代法
特值雙曲線
，
過且與圓相切的一條直線為，
兩交點(diǎn)都在左支,，
，
則，
特值雙曲線，
過且與圓相切的一條直線為，
兩交點(diǎn)在左右兩支，在右支，，
，
則，
[方法三]：
依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為，
若分別在左右支，
因?yàn)?，且，所以在雙曲線的右支，
又，，，
設(shè)，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以雙曲線的離心率
若均在左支上，
同理有，其中為鈍角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故選：AC.
一、單選題
1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得，因此，而，所以.故選：A
2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若面積是面積的2倍，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】將直線與橢圓聯(lián)立，消去可得，
因?yàn)橹本€與橢圓相交于點(diǎn)，則，解得，
設(shè)到的距離到距離，易知，
則，，
，解得或（舍去），
故選：C.
3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】[方法一]：設(shè)而不求
設(shè)，則
則由得：，
由，得，
所以，即，
所以橢圓的離心率，故選A.
[方法二]：第三定義
設(shè)右端點(diǎn)為B，連接PB，由橢圓的對稱性知：
故，
由橢圓第三定義得：，
故
所以橢圓的離心率，故選A.
4．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知圓和點(diǎn)，由圓外一點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)分別為，若，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，連接，則，可得，
所以，
即，可得，
所以，
當(dāng)時(shí)，.
故選：C.

5．（2023·四川巴中·南江中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，則橢圓C的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)，，則，，兩式作差并化簡整理得
，因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為，所以，，
所以，由，得，又因?yàn)?，解得，?br>所以橢圓C的方程為．
故選：A．
6．（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)和橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且拋物線的準(zhǔn)線截橢圓的弦長為3，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，
設(shè)橢圓的方程為，橢圓中，，當(dāng)時(shí)， ，故
又，所以，故橢圓方程為，
故選：B
7．（2023·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓E：的焦距為4，平行四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E，且直線AB與AD的斜率之積為，則橢圓E的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)，由對稱性可得，
則，
所以兩式相減可得，
因?yàn)橹本€AB與AD的斜率之積為，
所以，即，所以，
設(shè)橢圓的半焦距為，
因?yàn)闄E圓的焦距為4，所以，所以，
又，所以，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
故選：A.

8．（2023·湖南郴州·安仁縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知集合，則集合的真子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．7C．15D．31
【答案】A
【解析】方法一：聯(lián)立 ，解得 或，
,
集合的真子集的個(gè)數(shù)為.
方法二：在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù) 以及的圖象，由圖象可知兩圖形有2個(gè)交點(diǎn)，所以的元素個(gè)數(shù)為2，進(jìn)而真子集的個(gè)數(shù)為.

故選：A.
9．（2023·四川瀘州·瀘縣五中校考模擬預(yù)測）設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過左焦點(diǎn)作直線與圓切于點(diǎn)，與雙曲線右支交于點(diǎn)，且滿足，，則雙曲線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】∵為圓上的點(diǎn)，，
，∴是的中點(diǎn)，
又是的中點(diǎn)，，
且，
又，，
是圓的切線，，
又，，
，
∴雙曲線方程為．

故選：D
10．（2023·天津南開·統(tǒng)考二模）已知拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線的漸近線和拋物線的一個(gè)公共點(diǎn)，若到拋物線焦點(diǎn)的距離為5，則雙曲線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
由題意知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以雙曲線的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以雙曲線的.
又因?yàn)辄c(diǎn)為雙曲線的漸近線和拋物線的一個(gè)公共點(diǎn)，若到拋物線焦點(diǎn)的距離為5，所以，所以，代入拋物線方程即可得.
因?yàn)樵陔p曲線的漸近線方程上，所以，又因?yàn)殡p曲線中，，所以，
所以雙曲線的方程為：.
故選：D
11．（2023·全國·校聯(lián)考三模）若雙曲線與雙曲線有相同的焦距，且過點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】因?yàn)楹陀邢嗤慕咕?，又雙曲線的焦距為，所以雙曲線的焦距，又過點(diǎn)，
當(dāng)?shù)慕裹c(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為，
若將點(diǎn)代入，得①，
又②，聯(lián)立①②兩式得，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
當(dāng)?shù)慕裹c(diǎn)在y軸上，設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)代入，得③，又④，
聯(lián)立③④兩式得，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
綜上所述，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.
故選：C.
12．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
【答案】C
【解析】法一：令，則，
代入原式化簡得，
因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，則，即，
化簡得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
則，
，所以，則，即時(shí)，取得最大值，
法三：由可得，
設(shè)，則圓心到直線的距離，
解得
故選：C.
13．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn) P在C上，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】方法一：設(shè)，所以，
由，解得：，
由橢圓方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故選：B．
方法二：因?yàn)棰伲?br>即②，聯(lián)立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故選：B．
方法三：因?yàn)棰伲?br>即②，聯(lián)立①②，解得：，
由中線定理可知，，易知，解得：．
故選：B．
14．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)A，B為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)，則的中點(diǎn)，
可得，
因?yàn)樵陔p曲線上，則，兩式相減得，
所以.
對于選項(xiàng)A： 可得，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時(shí)，
所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故A錯誤；
對于選項(xiàng)B：可得，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時(shí)，
所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故B錯誤；
對于選項(xiàng)C：可得，則
由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，
所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故C錯誤；
對于選項(xiàng)D：，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時(shí)，故直線AB與雙曲線有交兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確；
故選：D.
15．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】如圖，

因?yàn)椋环猎O(shè)漸近線方程為，即，
所以，
所以.
設(shè),則，所以，所以.
因?yàn)?所以，所以，所以，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，解得，
所以雙曲線的方程為
故選：D
16．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)是直線：和：的交點(diǎn)，點(diǎn)是圓：上的動點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)橹本€：，即，
令，解得，可知直線過定點(diǎn)，
同理可知：直線過定點(diǎn)，
又因?yàn)?，可知?br>所以直線與直線的交點(diǎn)的軌跡是以的中點(diǎn)，半徑的圓，
因?yàn)閳A的圓心，半徑，
所以的最大值是.
故選：B.
17．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)是橢圓上位于第一象限的一點(diǎn)，且與軸平行，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由令，得，
由于與軸平行，且在第一象限，所以.
由于，
所以，
即，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓的方程得，
，
，
所以離心率.
故選：B

18．（2023·浙江·模擬預(yù)測）費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)中的重要原理，可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些光學(xué)性質(zhì)，如：點(diǎn)為橢圓（為焦點(diǎn)）上一點(diǎn)，則點(diǎn)處的切線平分外角.已知橢圓為坐標(biāo)原點(diǎn)，是點(diǎn)處的切線，過左焦點(diǎn)作的垂線，垂足為，則為（ ）
A．B．2C．3D．
【答案】A
【解析】依題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
代入得，
整理得，
由于直線和橢圓相切，則，
整理得，
所以直線的方程為，
對于橢圓，，所以，
所以直線的方程為，
由解得，所以.
故選：A

19．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如圖所示：

設(shè)，因?yàn)椋?
又因?yàn)?，所以，?
因?yàn)椋?
因?yàn)?，所?
在中，，解得，
即，所以，即.
所以，.
故選：B
二、多選題
20．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則（ ）
A．直線的斜率為B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】對于A，易得，由可得點(diǎn)在的垂直平分線上，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；
對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，
設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，
則，B錯誤；
對于C，由拋物線定義知：，C正確；
對于D，，則為鈍角，
又，則為鈍角，
又，則，D正確.
故選：ACD.
21．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則（ ）
A．C的準(zhǔn)線為B．直線AB與C相切
C．D．
【答案】BCD
【解析】將點(diǎn)的代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故準(zhǔn)線方程為，A錯誤；
，所以直線的方程為，
聯(lián)立，可得，解得，故B正確；
設(shè)過的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，
所以，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，，
聯(lián)立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正確；
因?yàn)?，?br>所以，而，故D正確.
故選：BCD
22．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）已知直線，圓的圓心坐標(biāo)為，則下列說法正確的是（ ）
A．直線恒過點(diǎn)
B．
C．直線被圓截得的最短弦長為
D．當(dāng)時(shí)，圓上存在無數(shù)對點(diǎn)關(guān)于直線對稱
【答案】ABD
【解析】直線，恒過點(diǎn)，所以A正確；
圓的圓心坐標(biāo)為，，，所以B正確；
圓的圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為2．
直線，恒過點(diǎn)，圓的圓心到定點(diǎn)的距離為：，
直線被圓截得的最短弦長為，所以C不正確；
當(dāng)時(shí)，直線方程為：，經(jīng)過圓的圓心，所以圓上存在無數(shù)對點(diǎn)關(guān)于直線對稱，所以D正確．
故選：ABD．
23．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的上焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，并與另一條漸近線交于點(diǎn)，若，則的離心率可能為（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】當(dāng)時(shí)，兩漸近線的斜率為，此時(shí)直線與另一漸近線平行，不滿足題意.
當(dāng)時(shí)，如圖1所示，

.
，又，解得，
， ，
，即漸近線的斜率為，
當(dāng)時(shí)，如圖2所示，設(shè)與軸交于點(diǎn)P，

，，
又，解得
，即漸近線的斜率為，
綜上，雙曲線的離心率為或.
故選：AC.
24．（2023·遼寧錦州·?？家荒＃┰O(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，若直線與的右支交于兩點(diǎn)，且為的重心，則（ ）
A．的離心率的取值范圍為
B．的離心率的取值范圍為
C．直線斜率的取值范圍為
D．直線斜率的取值范圍為
【答案】AC
【解析】為的中點(diǎn)，根據(jù)重心性質(zhì)可得，
因?yàn)?，則，
因?yàn)橹本€與的右支交于兩點(diǎn)，所以點(diǎn)在雙曲線右支內(nèi)部，
故有，解得，
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，的中點(diǎn)在軸上，
故三點(diǎn)不共線，不符合題意舍，
設(shè)直線斜率為，設(shè)，
所以，，
因?yàn)樵陔p曲線上，所以，
兩式相減可得：，
即，
即有成立，
即有，因?yàn)椴还簿€，
即，即，即，
所以的離心率的取值范圍為，
因?yàn)?br>，
因?yàn)?，即?br>所以，
所以.
故選：AC
25（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)，為橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限，為的內(nèi)心，且內(nèi)切圓半徑為1，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】如下圖所示，設(shè)切點(diǎn)為，，，
對于A，由橢圓的方程知：，
由橢圓的定義可得：，
易知，所以，
所以，故A正確；
對于BCD，，
又因?yàn)?，解得：?br>又因?yàn)闉樯弦稽c(diǎn)且在第一象限，所以，解得：，故B正確；
從而，所以，
所以，而，所以，故C錯誤；
從而，故D正確.
故選:ABD．

26．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作x軸的垂線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若為直角三角形，則（ ）
A．
B．雙曲線的離心率
C．雙曲線的焦距為
D．的面積為
【答案】BD
【解析】如圖所示：

若為直角三角形，由雙曲線的對稱性可知：
，且.
設(shè)，則由雙曲線的定義得：，.
所以在直角三角形中，由勾股定理得：.
解得：，所以，
所以的面積為：.故D正確；
，所以，故C不正確；
由可知，，，
所以，故A不正確；
，故B正確.
故選：BD.
三、填空題
27．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知點(diǎn)在拋物線C：上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為 .
【答案】
【解析】由題意可得：，則，拋物線的方程為，
準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為.
故答案為：.
28．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）過原點(diǎn)的一條直線與圓相切，交曲線于點(diǎn)，若，則的值為 ．
【答案】
【解析】易知圓和曲線關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)切線方程為，，
所以，解得：，由解得：或，
所以，解得：．
當(dāng)時(shí)，同理可得．
故答案為：．
29．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為 ．
【答案】/
【解析】方法一：
依題意，設(shè)，則，
在中，，則，故或（舍去），
所以，，則，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依題意，得，令，
因?yàn)椋?，則，
又，所以，則，
又點(diǎn)在上，則，整理得，則，
所以，即，
整理得，則，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案為：.
30．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知直線與交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足“面積為”的m的一個(gè)值 ．
【答案】（中任意一個(gè)皆可以）
【解析】設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由弦長公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案為：（中任意一個(gè)皆可以）．
31．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于點(diǎn)且．若，則雙曲線的離心率是 ．
【答案】
【解析】過且斜率為的直線，漸近線，
聯(lián)立，得，由，得
而點(diǎn)在雙曲線上，于是，解得：，所以離心率.
故答案為：．
32．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則l的方程為 ．
【答案】
【解析】[方法一]：弦中點(diǎn)問題：點(diǎn)差法
令的中點(diǎn)為，設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到，
設(shè)直線，，，求出、的坐標(biāo)，
再根據(jù)求出、，即可得解；
解：令的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以?br>設(shè)，，則，，
所以，即
所以，即，設(shè)直線，，，
令得，令得，即，，
所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直線，即；
故答案為：
[方法二]：直線與圓錐曲線相交的常規(guī)方法
解：由題意知，點(diǎn)既為線段的中點(diǎn)又是線段MN的中點(diǎn)，
設(shè)，，設(shè)直線，，，
則，，，因?yàn)?，所?br>聯(lián)立直線AB與橢圓方程得消掉y得
其中，
∴AB中點(diǎn)E的橫坐標(biāo),又，∴
∵，，∴,又，解得m=2
所以直線，即
33．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點(diǎn)，若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】關(guān)于對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在直線上，
所以所在直線即為直線，所以直線為，即；
圓，圓心，半徑，
依題意圓心到直線的距離，
即，解得，即；
故答案為：
34．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值 ．
【答案】2（滿足皆可）
【解析】，所以C的漸近線方程為,
結(jié)合漸近線的特點(diǎn)，只需，即，
可滿足條件“直線與C無公共點(diǎn)”
所以，
又因?yàn)?，所以?br>故答案為：2（滿足皆可）
35．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則 ．
【答案】
【解析】雙曲線的漸近線為，即，
不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，
依題意圓心到漸近線的距離，
解得或（舍去）．
故答案為：．
36．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的漸近線方程為，則 ．
【答案】
【解析】對于雙曲線，所以，即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則，，又雙曲線的漸近線方程為，
所以，即，解得；
故答案為：
37．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程 ．
【答案】或或
【解析】[方法一]：
顯然直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線方程為，
于是，
故①，于是或，
再結(jié)合①解得或或，
所以直線方程有三條，分別為，，
填一條即可
[方法二]：
設(shè)圓的圓心，半徑為，
圓的圓心，半徑，
則，因此兩圓外切，
由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；
又由方程和相減可得方程，
即為過兩圓公共切點(diǎn)的切線方程，
又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，
直線OC與直線的交點(diǎn)為，
設(shè)過該點(diǎn)的直線為，則，解得，
從而該切線的方程為填一條即可
[方法三]：
圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，
如圖，
當(dāng)切線為l時(shí)，因?yàn)椋?，設(shè)方程為
O到l的距離，解得，所以l的方程為，
當(dāng)切線為m時(shí)，設(shè)直線方程為，其中，，
由題意，解得，
當(dāng)切線為n時(shí)，易知切線方程為，
故答案為：或或.
38．（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，若，則 .
【答案】2
【解析】因橢圓方程為，則.
因，則.
又由橢圓定義，可得，
則
.
故答案為：2

39．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程 .
【答案】（或或，寫出一個(gè)即可）
【解析】由題意得，圓，可得圓心，半徑為，
圓，可得圓心，半徑為，
因?yàn)椋傻?，所以圓與圓相外切，
將兩圓的方程相減，可得，此方程為圓與圓的公切線，
又由圓與圓的半徑相等，故外公切線與直線平行，
因?yàn)椋詧AC與圓D的外公切線的方程可設(shè)為，
即，則，解得或，
所以兩條外公切線的方程為或，
綜上所述，圓C與圓D公切線的方程為或或.
故答案為：或或.

40．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，坐標(biāo)原點(diǎn)為，若在雙曲線右支上存在一點(diǎn)滿足，且，則雙曲線的離心率為 .
【答案】
【解析】如圖，因?yàn)椋裕?br>所以，
則，
，
，
解得.
故答案為：

41．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的右焦點(diǎn)為外的一點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且，若直線的斜率之積為，則 ．
【答案】
【解析】如圖，取線段的中點(diǎn)為，連接，

則由題意可得，，又，所以．
因?yàn)橹本€的斜率之積為，所以．
設(shè)，則，
兩式相減可得，
整理得，即，
所以，所以．
故答案為：．
42．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓C：的焦距為2c，左焦點(diǎn)為F，直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為．若直線l與直線PF的斜率之積等于，則C的離心率為 ．
【答案】/
【解析】，
設(shè)，
因?yàn)辄c(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為，
所以，
則，
由直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，
得，
兩式相減得，
即，
所以，
即，所以，
則，
所以，
所以離心率.
故答案為：.

43．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）不與x軸重合的直線l過點(diǎn)N（,0）（xN≠0），雙曲線C：（a＞0，b＞0）上存在兩點(diǎn)A、B關(guān)于l對稱，AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為．若，則C的離心率為 ．
【答案】2
【解析】設(shè)，
則，兩式相減得，
即，
即 ，
所以，
因?yàn)槭茿B垂直平分線，有，所以，
即，化簡得，故.
故答案為：2
44．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）已知拋物線上兩點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)對稱，則直線AB的斜率為 .
【答案】2
【解析】設(shè)，代入拋物線，得，
則①，
因?yàn)閮牲c(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)對稱，則，
所以由①得，
直線AB的斜率為2.
則直線AB：與代入拋物線聯(lián)立，得，，解得.
所以直線AB的斜率為2.
故答案為：2.
45．（2023·四川眉山·仁壽一中?？寄M預(yù)測）已知是橢圓上的點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的面積為 ．
【答案】/
【解析】因?yàn)?，，所以?br>若，因?yàn)椋?br>則可得，
由余弦定理可得
，
所以，
則.
故答案為：.

46．（2023秋·黑龍江伊春 ）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓：上任意一點(diǎn)，則的最小值為 .
【答案】
【解析】由題意知為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓：上任意一點(diǎn)，
故，

故，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號，
而,
故的最小值為，
故答案為：
47．（2023春·寧夏石嘴山 ）已知F是雙曲線C：的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，，則的最小值為 .
【答案】6
【解析】由雙曲線C：可得，
設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，則，即，
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)P是線段與雙曲線的交點(diǎn)時(shí)，等號成立，
所以的最小值為6.
故答案為：6.
48．（2023秋·河南南陽·高二南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，若點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為 .
【答案】4
【解析】如圖所示：

拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，
圓的圓心為，半徑，
過點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線，垂直為點(diǎn)，
由拋物線的定義可知，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立,
綜上所述：的最小值為4.
故答案為：4.
49．（2023秋·廣東廣州·高三廣州大學(xué)附屬中學(xué)校考開學(xué)考試）設(shè)動點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在軸上的射影為點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的最小值是 ．
【答案】/
【解析】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，

延長PM交準(zhǔn)線于N，連PF，顯然垂直于拋物線的準(zhǔn)線，由拋物線定義知：
，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是線段與拋物線的交點(diǎn)時(shí)取等號，
而，所以的最小值為.
故答案為：
50．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)作雙曲線： 的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求直線的方程 ．
【答案】
【解析】設(shè)，易得兩條切線的斜率存在，設(shè)的斜率為，
則，聯(lián)立方程，
消去得，
因?yàn)榕c雙曲線相切，所以，
即，即，
即，
因?yàn)?，所以?br>代入可得，即，所以，
所以，即，
同理可得的方程為，
因?yàn)樵谇芯€上，所以，
所以滿足方程，
又由兩點(diǎn)確定一條直線，所以滿足直線方程，
所以過的直線方程為.
故答案為：

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