考法一 函數(shù)的單調(diào)性
【例1-1】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【例1-2】（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，且，函數(shù)在上單調(diào)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式】
1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·吉林長春·長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·吉林長春·東北師大附中?？家荒＃┫铝泻瘮?shù)中，即是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則（ ）
A．函數(shù)在R上單調(diào)遞增
B．函數(shù)在上單調(diào)遞增
C．函數(shù)在上單調(diào)遞減
D．函數(shù)在上單調(diào)遞減
考法二 函數(shù)的奇偶性
【例2-1】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知是偶函數(shù)，則（ ）
A．B．C．1D．2
【例2-2】（2023·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)在其定義域上是奇函數(shù)，則的值為（ ）
A．B．3C．或3D．不能確定
【變式】
1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）若為偶函數(shù)，則（ ）．
A．B．0C．D．1
2．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則的值是（ ）
A．0B．C．12D．10
3．（2023·遼寧鞍山·鞍山一中校考二模）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的函數(shù)是（ ）
A．B．
C．D．
考法三 解不等式
【例3-1】（2023·四川雅安·校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【例3-2】（2023·安徽·池州市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)則滿足的的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【變式】
1．（2023·安徽·池州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）定義在上的函數(shù)滿足：對，且都有，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，若關(guān)于實(shí)數(shù)t的不等式恒成立，則t的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足：①為奇函數(shù)；②對任意的，且，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．已知函數(shù)具有性質(zhì)，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·江西鷹潭·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若對于一切的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
考法四 函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用
【例4-1】（2023·河南信陽·信陽高中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，則（ ）
A．是偶函數(shù)B．是奇函數(shù)
C．的圖象關(guān)于直線對稱D．的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱
【例4-2】（2023·安徽·池州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知定義在上的偶函數(shù)滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．函數(shù)的一個(gè)周期為2
C．
D．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
【例4-3】（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，當(dāng)時(shí)，，則的值為（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
【變式】
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對稱，，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)定義域均為，記，且，為偶函數(shù)，則（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．（2023·陜西西安·?？既＃┮阎嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，若的最小正周期為1，則下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
① ②
③的一個(gè)對稱中心為 ④的一條對稱軸為
A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)
4．（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測）（多選）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，，若，，，則（ ）
A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱B．是周期為4的周期函數(shù)
C．D．
考法五 函數(shù)的圖像
【例5-1】（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的圖像為（ ）
A．B．C．D．
【例5-2】（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的圖象如下圖所示，則的解析式可能為（ ）

A．B．
C．D．
【變式】
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)的大致圖像是（ ）
A． B．
C． D．
考法六 抽象函數(shù)
【例6】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（ ）
A．B．C．0D．1
【變式】
1（2023·河南·模擬預(yù)測）已知不恒等于零的函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，且，則下列說法正確的是（ ）
A．B．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱
C．D．的最小正周期是6
2．（2023·黑龍江佳木斯·佳木斯一中?？寄M預(yù)測）函數(shù)對任意x，總有，當(dāng)時(shí)，，，則下列命題中正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)B．是R上的減函數(shù)
C．在上的最小值為D．若，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為
3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（ ）．
A．B．
C．是偶函數(shù)D．為的極小值點(diǎn)
考法七 函數(shù)角度解三角函數(shù)
【例7】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．是周期函數(shù)
B．在區(qū)間上是增函數(shù)
C．的值域?yàn)?br>D．關(guān)于對稱
【變式】
1．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）下列函數(shù)中，以為最小正周期的函數(shù)是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全國·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）（多選）已知函數(shù)，則（ ）
A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
B．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸
C．函數(shù)的值域?yàn)?br>D．方程最多有8個(gè)根，且這些根之和為
3．（2023·河北保定·河北省唐縣第一中學(xué)校考二模）（多選）已知函數(shù)，則（ ）
A．是的周期
B．的圖象有對稱中心，沒有對稱軸
C．當(dāng)時(shí)，
D．對任意，在上單調(diào)
一、單選題
1．（2023·四川雅安·?？寄M預(yù)測）定義在R上的奇函數(shù)滿足是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．B．C．0D．2
2．（2023·貴州六盤水·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若為奇函數(shù)，則（ ）
A．－1B．0C．D．1
3．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）“函數(shù)在上單調(diào)遞減”是“函數(shù)是偶函數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．（2023·四川南充·四川省南充高級中學(xué)校考三模）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．B．1C．0D．
5．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)為偶函數(shù)，則（ ）
A．2B．1C．D．0
6．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義域?yàn)樯系钠婧瘮?shù)，滿足，若，則（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測）如圖為函數(shù)的大致圖象，其解析式可能為（ ）

A．B．
C．D．
8．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若為奇函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．B．0C．1D．e
10．（2023·四川南充·四川省南充高級中學(xué)?？既＃┖瘮?shù)和的定義域均為，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，對，均有，則（ ）
A．615B．616C．1176D．2058
11．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足，，，且在區(qū)間上單調(diào)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023·福建·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覍θ我夥橇銓?shí)數(shù)，都有.則函數(shù)是（ ）
A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)
C．既奇又偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)
13．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)，若，不等式恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
14．（2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
15．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)且在上為減函數(shù)，則關(guān)于的值表述正確的是（ ）
A．B．
C．D．
16．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋膱D象關(guān)于點(diǎn)對稱，，且對任意的，，滿足，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
17．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）已知定義在R上的函數(shù)在上單調(diào)遞增，是奇函數(shù)，的圖像關(guān)于直線對稱，則（ ）
A．在上單調(diào)遞減B．在上單調(diào)遞增
C．在上單調(diào)遞減D．在上單調(diào)遞增
二、多選題
18．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
19．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知非常數(shù)函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（ ）
A．B．
C．D．
20．（2023·吉林長春·東北師大附中?？家荒＃┮阎铝姓f法正確的是（ ）
A．時(shí)，
B．若方程有兩個(gè)根，則
C．若直線與有兩個(gè)交點(diǎn)，則或
D．函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)
21．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，使，則下列函數(shù)中符合上述條件的是（ ）
A．B．C．D．
22．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知定義在上的函數(shù)滿足且，則（ ）
A．B．
C．為偶函數(shù)D．為周期函數(shù)
23．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)與的定義域均為，，且，為偶函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．4為的一個(gè)周期B．
C．D．
24（2023·貴州六盤水·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，其圖象關(guān)于直線對稱，且.當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．為偶函數(shù)B．
C．的圖象關(guān)于直線對稱D．在區(qū)間上單調(diào)遞減
25．（2023·浙江·模擬預(yù)測）設(shè)是定義在上的函數(shù)，對，有，且，則（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，的定義域?yàn)?，是的?dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則（ ）
A．B．
C．D．
27．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？寄M預(yù)測）已知為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，且當(dāng)時(shí)，，下列命題正確的是（ ）
A．
B．函數(shù)在定義域上是周期為2的函數(shù)
C．函數(shù)的值域?yàn)?br>D．直線與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)
28．（2023·安徽滁州·校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域，滿足，且當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（ ）
A．是定義在上的偶函數(shù)
B．在上單調(diào)遞增
C．若，則
D．當(dāng)是鈍角的兩個(gè)銳角時(shí)，
29．（2023·湖南長沙·長沙一中?？寄M預(yù)測）定義在R上的偶函數(shù)滿足，且在上是增函數(shù)，則（ ）
A．關(guān)于對稱B．
C．D．
30．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，則（ ）
A．的最小正周期為
B．的圖象關(guān)于直線對稱
C．時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增
D．時(shí)，在區(qū)間既有極大值點(diǎn)也有極小值點(diǎn)
31．（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)定義域?yàn)?，是奇函?shù)，，函數(shù)在上遞增，則下列命題為真命題的是（ ）
A．B．函數(shù)在上遞減
C．若，則D．若，則
32．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）．
A．若，，，則
B．若，則
C．若，則的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱
D．若，則
33．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是（ ）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱
B．
C．當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
D．在區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
34．（2023·湖南常德·常德市一中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，時(shí)，，，則（ ）
A．
B．函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增
C．函數(shù)是奇函數(shù)
D．函數(shù)的一個(gè)解析式為
35．（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，且．?dāng)時(shí)，，則（ ）
A．
B．是偶函數(shù)
C．為增函數(shù)
D．當(dāng)，且，時(shí)，
三、填空題
36．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）若為偶函數(shù)，則 ．
37．（2023·陜西咸陽·咸陽彩虹學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知分別是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)和奇函數(shù)，且，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是 ．
38．（2023·海南省直轄縣級單位·校考模擬預(yù)測）若函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則 ．
39．（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若對任意，且，都有，則不等式的解集為 ．
40．（2023·吉林長春·長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若不等式恒成立，則a的最小值為 .
41．（2023·河南鄭州·三模）已知函數(shù)，，對于下述四個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)的零點(diǎn)有三個(gè)；
②函數(shù)關(guān)于對稱；
③函數(shù)的最大值為2；
④函數(shù)在上單調(diào)遞增．
其中所有正確結(jié)論的序號為： ．
42．（2023·江西南昌·南昌縣蓮塘第一中學(xué)校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，若對定義域內(nèi)兩任意的（），都有成立，則a的取值范圍是 ．
43．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)則 ；若當(dāng)時(shí)，，則的最大值是 ．
44．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若是奇函數(shù)，則 ， ．
45．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個(gè)取值為 ；a的最大值為
專題05 函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用（選填題7種考法）
考法一 函數(shù)的單調(diào)性
【例1-1】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D
【例1-2】（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，且，函數(shù)在上單調(diào)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)，
由函數(shù)解析式可得函數(shù)在R上單調(diào)遞增不滿足題意，
故在R上單調(diào)遞減，
所以，解得：.故選：D.
【變式】
1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】對于A，函數(shù)圖象的對稱軸為，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A錯誤；
對于B，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確；
對于C，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故C錯誤；
對于D，當(dāng)時(shí)，是常數(shù)函數(shù)，D錯誤，
故選：B.
2．（2023·吉林長春·長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】對于A選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)函數(shù)為，
所以在時(shí)單調(diào)遞減，故A選項(xiàng)不符合題意；
對于B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)函數(shù)為，
所以在時(shí)單調(diào)遞減，故B選項(xiàng)不符合題意；
對于C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)函數(shù)為，
所以在時(shí)單調(diào)遞減，故C選項(xiàng)不符合題意；
對于D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)函數(shù)為，
所以在時(shí)單調(diào)遞增，
又函數(shù)的定義域?yàn)椋?，故D選項(xiàng)符合題意.
故選：D.
3．（2023·吉林長春·東北師大附中?？家荒＃┫铝泻瘮?shù)中，即是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】A選項(xiàng)，在R上單調(diào)遞減，不合題意；
B選項(xiàng)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，不合題意；
C選項(xiàng)，，定義域?yàn)镽，，函數(shù)為奇函數(shù)，
由函數(shù)和都是R上的增函數(shù)，所以為R上的增函數(shù)，C選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)，，
當(dāng)時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)單調(diào)遞減，則單調(diào)遞減，不合題意.
故選：C.
4．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則（ ）
A．函數(shù)在R上單調(diào)遞增
B．函數(shù)在上單調(diào)遞增
C．函數(shù)在上單調(diào)遞減
D．函數(shù)在上單調(diào)遞減
【答案】AB
【解析】因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增，故A正確；
因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)榈闹涤蚴欠裨谏蠠o法判斷，
所以在上的單調(diào)性無法判斷，故C錯誤；
因?yàn)樵赗上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，因的值域是否在上無法判斷，所以在上的單調(diào)性無法判斷，故D錯誤.
故選：AB.
考法二 函數(shù)的奇偶性
【例2-1】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知是偶函數(shù)，則（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，
又因?yàn)椴缓銥?，可得，即，
則，即，解得.
故選：D.
【例2-2】（2023·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)在其定義域上是奇函數(shù)，則的值為（ ）
A．B．3C．或3D．不能確定
【答案】B
【解析】函數(shù)在其定義域上是奇函數(shù)，
由于奇函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，
即，解得或，
由區(qū)間定義可知，當(dāng)時(shí)，，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，符合題意；
可得.
故選：B．
【變式】
1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）若為偶函數(shù)，則（ ）．
A．B．0C．D．1
【答案】B
【解析】因?yàn)?為偶函數(shù)，則 ，解得，
當(dāng)時(shí)，，，解得或，
則其定義域?yàn)榛?，關(guān)于原點(diǎn)對稱.
，
故此時(shí)為偶函數(shù).
故選：B.
2．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則的值是（ ）
A．0B．C．12D．10
【答案】D
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，
所以，即，即或，
顯然函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，
且當(dāng)時(shí)，有，從而有，
當(dāng)時(shí)，有，但，
所以，即，
所以.
故選：D.
3．（2023·遼寧鞍山·鞍山一中?？级＃┫铝泻瘮?shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的函數(shù)是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】對于A，因?yàn)榈亩x域?yàn)椴魂P(guān)于原點(diǎn)對稱，所以不是偶函數(shù)，
故A選項(xiàng)不符合題意；
對于B，因?yàn)?，所以的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，
但，所以是奇函數(shù)不是偶函數(shù)，
故B選項(xiàng)不符合題意；
對于C，因?yàn)榈亩x域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，且，
所以是偶函數(shù)，
又，注意到當(dāng)時(shí)，有，
所以此時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，
故C選項(xiàng)符合題意；
對于D，因?yàn)榈亩x域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，但，
所以是奇函數(shù)不是偶函數(shù)，
故D選項(xiàng)不符合題意.
故選：C.
考法三 解不等式
【例3-1】（2023·四川雅安·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)?
又因?yàn)楹愠闪ⅲ?br>所以在上單調(diào)遞減.
則由可得，解得，
即原不等式的解集為.
故選：C.
【例3-2】（2023·安徽·池州市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)函數(shù)則滿足的的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】假設(shè)，
所以，所以，
所以為奇函數(shù)，
而，
則其圖象是的圖象向右平移1個(gè)單位長度，向上平移4個(gè)單位長度得到的，
所以的對稱中心為，所以，
因?yàn)?，所以?br>易得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
而，則，
所以恒成立，即在上單調(diào)遞增，
所以在R上單調(diào)遞增，
因?yàn)榈茫?br>所以，解得.
故選：B.
【變式】
1．（2023·安徽·池州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）定義在上的函數(shù)滿足：對，且都有，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根據(jù)題意：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí),
可得函數(shù)在單調(diào)遞增.
則
，
在同一坐標(biāo)系中畫出與圖象.
得，則不等式的解集為，
故選：B.

2．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，若關(guān)于實(shí)數(shù)t的不等式恒成立，則t的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，
所以，所以，
所以函數(shù)是偶函數(shù)，
又，
則，即為，
即，
又因在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，解得或，
所以t的取值范圍是.
故選：A.
3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足：①為奇函數(shù)；②對任意的，且，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．已知函數(shù)具有性質(zhì)，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)閷θ我獾?，且，都有?br>即對任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)不妨設(shè)，都有，
所以有，
所以函數(shù)是上的減函數(shù)，
又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，即有，有，
所以有，
所以為偶函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞增．
當(dāng)，即時(shí)，有,由，得，
所以，解得，此時(shí)無解；
當(dāng)，即時(shí)，由，得，
所以，解得或．
綜上所述，不等式的解集為．
故選：C.
4．（2023·江西鷹潭·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，定義域?yàn)镽，
，
所以為奇函數(shù)，
又.
當(dāng)時(shí)，令，
則有，
因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以，所以在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以在R上單調(diào)遞增，
所以，可轉(zhuǎn)化為，，
所以，所以，即，解得
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：C.
5．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若對于一切的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】易知函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>則，
因?yàn)?，?br>所以，
又因?yàn)?，所以，即恒成立?br>故函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，
因?yàn)椋裕矗?br>當(dāng)時(shí)，左邊成立，故符合題意；
當(dāng)時(shí)，有，解得：，
綜上所述：的取值范圍為：.
故選：D.
考法四 函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用
【例4-1】（2023·河南信陽·信陽高中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，則（ ）
A．是偶函數(shù)B．是奇函數(shù)
C．的圖象關(guān)于直線對稱D．的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱
【答案】D
【解析】對AB，由，易知選項(xiàng)A，B不正確；
對C，易得，，故，故選項(xiàng)C不正確；
對D，，故，
故的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱.
故選：D.
【例4-2】（2023·安徽·池州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知定義在上的偶函數(shù)滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．函數(shù)的一個(gè)周期為2
C．
D．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
【答案】C
【解析】函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對稱，因此選項(xiàng)D不正確；
又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，
由，
所以函數(shù)的周期為，所以選項(xiàng)B不正確；
因?yàn)楹瘮?shù)是周期為的偶函數(shù)，
所以，因此選項(xiàng)A不正確；
在中，令，得，
因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，因此選項(xiàng)C正確，
故選：C
【例4-3】（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，當(dāng)時(shí)，，則的值為（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
【答案】D
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是上的偶函數(shù)，所以，
因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，即，
所以，所以，所以函數(shù)是上周期為4的函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，所以，，
又，，所以，
所以.故選：D.
【變式】
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對稱，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線對稱，
所以，
因?yàn)?，所以，即?br>因?yàn)?，所以?br>代入得，即，
所以，
.
因?yàn)?，所以，即，所?
因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?br>聯(lián)立得，，
所以的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，
所以
因?yàn)?，所?
所以.
故選：D
2．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)定義域均為，記，且，為偶函數(shù)，則（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，，
所以，
對兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得，所以有
所以函數(shù)的周期為，
在中，令，所以，
因此，
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，
所以有，
，
由可得：，
所以，
故選：C
3．（2023·陜西西安·?？既＃┮阎嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，若的最小正周期為1，則下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
① ②
③的一個(gè)對稱中心為 ④的一條對稱軸為
A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)
【答案】B
【解析】因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以；
即，所以2是的周期；
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，②正確；
，不一定為零，①不正確；
因?yàn)?，所以的一個(gè)對稱中心為，③正確；
通過題目條件無法得出的一條對稱軸為，④不正確；
故選：B
4．（2023·遼寧撫順·校考模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，，若，，，則（ ）
A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱B．是周期為4的周期函數(shù)
C．D．
【答案】ABD
【解析】由，，得，
當(dāng)時(shí)，可得；
當(dāng)時(shí)，，也滿足；
綜上所述：，對任意實(shí)數(shù)都成立，
因此函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，A正確；
又是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則，因此是周期為4的周期函數(shù)，B正確；
顯然，C錯誤；
由是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，得，，
又，
于是，，因此，
所以
，D正確．
故選：ABD
考法五 函數(shù)的圖像
【例5-1】（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的圖像為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>且，
函數(shù)為奇函數(shù)，A選項(xiàng)錯誤；
又當(dāng)時(shí)，，C選項(xiàng)錯誤；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故B選項(xiàng)錯誤；
故選：D.
【例5-2】（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的圖象如下圖所示，則的解析式可能為（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，其為偶函數(shù)，且，
由且定義域?yàn)镽，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；
當(dāng)時(shí)、，即A、C中上函數(shù)值為正，排除；
故選：D
【變式】
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)，則，故排除B;
設(shè)，當(dāng)時(shí)，，
所以，故排除C;
設(shè)，則，故排除D.
故選：A.
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，
則，
所以為奇函數(shù)，排除BD；
又當(dāng)時(shí)，，所以，排除C.
故選：A.
3．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)的大致圖像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，，
由，得為奇函數(shù)，故B,D錯誤；
由，故A正確，C錯誤，故選：A．
考法六 抽象函數(shù)
【例6】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【解析】[方法一]：賦值加性質(zhì)
因?yàn)?，令可得，，所以，令可得，，即，所以函?shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個(gè)周期為．因?yàn)?，，，，，所?br>一個(gè)周期內(nèi)的．由于22除以6余4，
所以．故選：A．
[方法二]：【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)
由，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式
，可設(shè)，則由方法一中知，解得，取，
所以，則
，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故選：A．
【變式】
1（2023·河南·模擬預(yù)測）已知不恒等于零的函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且，則下列說法正確的是（ ）
A．B．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱
C．D．的最小正周期是6
【答案】D
【解析】由，
令，，有，可得, 故A錯；
因?yàn)?，令，則，則，
函數(shù)是偶函數(shù)，故B錯誤，
令，則，故C錯誤，
令，則,
所以，
則，
，
所以，
則周期為6，D正確．
故選：D
2．（2023·黑龍江佳木斯·佳木斯一中?？寄M預(yù)測）函數(shù)對任意x，總有，當(dāng)時(shí)，，，則下列命題中正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)B．是R上的減函數(shù)
C．在上的最小值為D．若，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為
【答案】C
【解析】取，，則，解得，，
則．即，函數(shù)是奇函數(shù)，所以選項(xiàng)A錯誤；
令，，且，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以．
則．即，
函數(shù)是R上的增函數(shù)，所以選項(xiàng)B錯誤；
因?yàn)楹瘮?shù)是R上的增函數(shù)，所以函數(shù)在上的最小值為，
，，．
故，在的最小值為-2，所以選項(xiàng)C正確；
，即，
因?yàn)楹瘮?shù)是R上的增函數(shù)，所以，所以，
所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為，所以選項(xiàng)D不正確．
故選：C．
3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（ ）．
A．B．
C．是偶函數(shù)D．為的極小值點(diǎn)
【答案】ABC
【解析】方法一：
因?yàn)椋?br>對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.
對于C，令，，則，
令，
又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，故正確，
對于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)無極值，故錯誤.
方法二：
因?yàn)椋?br>對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.
對于C，令，，則，
令，
又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，故正確，
對于D，當(dāng)時(shí)，對兩邊同時(shí)除以，得到，
故可以設(shè)，則，
當(dāng)肘，，則，
令，得；令，得；
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

顯然，此時(shí)是的極大值，故D錯誤.故選：.
考法七 函數(shù)角度解三角函數(shù)
【例7】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．是周期函數(shù)
B．在區(qū)間上是增函數(shù)
C．的值域?yàn)?br>D．關(guān)于對稱
【答案】D
【解析】由題知，，
，
是函數(shù)的一個(gè)周期，故A正確；
在區(qū)間上是增函數(shù)，其值域?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減法則知，在區(qū)間上是增函數(shù)，故B正確；的值域?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，
的值域?yàn)?，故C正確；
不關(guān)于對稱，故錯誤，
故選：D.
【變式】
1．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）下列函數(shù)中，以為最小正周期的函數(shù)是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】對于A，，最小正周期為，故A正確；
對于B，令，，故B錯誤；
對于C，令，，故C正確；
對于D，令，，
故的最小正周期為，故D錯誤.
故選：AC.
2．（2023·全國·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）（多選）已知函數(shù)，則（ ）
A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
B．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸
C．函數(shù)的值域?yàn)?br>D．方程最多有8個(gè)根，且這些根之和為
【答案】BCD
【解析】，
，
則是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱.
，
是周期函數(shù)，周期.
又
且，
，即圖象關(guān)于軸對稱，
故直線都是的對稱軸.
當(dāng)時(shí)，，
則，
令，則可看成由與復(fù)合而成的函數(shù)，
單調(diào)遞增，
當(dāng)，則，單調(diào)遞增，則單調(diào)遞增；
當(dāng)，則，單調(diào)遞減，則單調(diào)遞減；
且.
結(jié)合以上性質(zhì)，作出函數(shù)的大致圖象.
選項(xiàng)A，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故A項(xiàng)錯誤；
選項(xiàng)B，直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故B項(xiàng)正確；
選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，由函?shù)周期，函數(shù)的值域?yàn)?，故C項(xiàng)正確；
選項(xiàng)D，如圖可知，方程最多有8個(gè)根，設(shè)為，不妨設(shè)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，
則，
即這些根之和為，故D項(xiàng)正確.
故選：BCD.
3．（2023·河北保定·河北省唐縣第一中學(xué)?？级＃ǘ噙x）已知函數(shù)，則（ ）
A．是的周期
B．的圖象有對稱中心，沒有對稱軸
C．當(dāng)時(shí)，
D．對任意，在上單調(diào)
【答案】ACD
【解析】對于A選項(xiàng)：因?yàn)椋?br>則是的周期，所以A選項(xiàng)正確；
對于B選項(xiàng)：因?yàn)椋?br>且，
所以，，
則的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，關(guān)于直線成軸對稱，所以B選項(xiàng)錯誤；
對于C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，易知，，
且，即，
則，
所以，
則，所以C選項(xiàng)正確；
對于D選項(xiàng)：由A選項(xiàng)知：是的周期，所以只需考慮，即可，
當(dāng)時(shí)，，所以和均單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，所以和均單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞減，所以D選項(xiàng)正確.
故選：ACD．
一、單選題
1．（2023·四川雅安·?？寄M預(yù)測）定義在R上的奇函數(shù)滿足是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，且，
又函數(shù)是偶函數(shù)，則，變形可得，
則有，進(jìn)而可得，
所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，
則.
故選：C.
2．（2023·貴州六盤水·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若為奇函數(shù)，則（ ）
A．－1B．0C．D．1
【答案】D
【解析】的定義域?yàn)镽，
若為奇函數(shù)，
則恒成立，
整理得恒成立，
所以，即.
故選：D
3．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）“函數(shù)在上單調(diào)遞減”是“函數(shù)是偶函數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】由題意，
在中，
當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞減時(shí)，，
在中，函數(shù)是偶函數(shù)，
∴，解得：，
∴“函數(shù)在上單調(diào)遞減”是“函數(shù)是偶函數(shù)”的必要不充分條件，
故選：B.
4．（2023·四川南充·四川省南充高級中學(xué)?？既＃┮阎x在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．B．1C．0D．
【答案】D
【解析】因?yàn)樵谏蠟槠婧瘮?shù)，所以，
又因?yàn)?，所以①?br>所以②，
所以由①②得，即的一個(gè)周期為4，
所以.
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，
所以.
故選：D.
5．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)為偶函數(shù)，則（ ）
A．2B．1C．D．0
【答案】D
【解析】若函數(shù)為偶函數(shù)，則，都有，
又因?yàn)椋?br>所以，有，
所以當(dāng)時(shí)，有，解得.
故選：D.
6．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義域?yàn)樯系钠婧瘮?shù)，滿足，若，則（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)樯系钠婧瘮?shù)，則，即，
由，得，因此，即，
則，于是函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，
由，得，由，得，，
從而，
所以.
故選：A
7．（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測）如圖為函數(shù)的大致圖象，其解析式可能為（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】對于A，與圖象不符，故A項(xiàng)錯誤；
對于B，當(dāng)時(shí)，的振幅不會再變化，故B項(xiàng)錯誤；
對于D，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，與圖象不符，故D項(xiàng)錯誤．
故選：C．
8．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若為奇函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】函數(shù)為奇函數(shù)，的定義域?yàn)椋?br>由，∴，
函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.
故選：D．
9．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．B．0C．1D．e
【答案】C
【解析】為奇函數(shù)，即，
所以關(guān)于中心對稱，則，
為偶函數(shù)，即，
所以，
故，即是周期為8的周期函數(shù)，
所以，
故選：C
10．（2023·四川南充·四川省南充高級中學(xué)?？既＃┖瘮?shù)和的定義域均為，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，對，均有，則（ ）
A．615B．616C．1176D．2058
【答案】B
【解析】由函數(shù)為偶函數(shù)，則，即函數(shù)關(guān)于直線對稱，故；
由函數(shù)為奇函數(shù)，則，
整理可得，即函數(shù)關(guān)于對稱，故；
由，可得，
所以，故，
解得，
所以，
所以.
故選：B.
11．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)滿足，，，且在區(qū)間上單調(diào)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于中心對稱，
又因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于中心對稱，
所以，即，
所以，所以，
所以的周期為，又因?yàn)椋?br>所以令中，則，
所以，又因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)，
所以，
又因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)有四個(gè)零點(diǎn)，
令，即，即與的圖象在區(qū)間有四個(gè)交點(diǎn)，
又因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，斜率為，
如圖所示：

為臨界狀態(tài)，
當(dāng)處于時(shí)，此時(shí)直線的斜率為，
當(dāng)處于時(shí)，此時(shí)直線的斜率為，
因?yàn)闈M足，不滿足.
所以由圖可知，a的取值范圍是.
故選：C
12．（2023·福建·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且對任意非零?shí)數(shù)，都有.則函數(shù)是（ ）
A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)
C．既奇又偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)
【答案】B
【解析】令，則，所以.
令，則，所以.
令，，則，
所以為偶函數(shù)，故排除D選項(xiàng)；
由題意可知，函數(shù)滿足定義域?yàn)椋?br>且對任意非零實(shí)數(shù)，
都有，
符合題意，但不為奇函數(shù)，故排除AC.
故選：B.
13．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)，若，不等式恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)?，其中，則，且不恒為零，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，
又因?yàn)?，故函?shù)為奇函數(shù)，
由可得，
所以，，所以，，
令，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
所以，.
故選：B.
14．（2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)，
因?yàn)椋?br>所以為偶函數(shù)，
所以的圖象關(guān)于直線對稱，
所以的圖象關(guān)于直線對稱，
設(shè)，則，
令，則，得，
所以在上遞增，
因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上單調(diào)遞增，
所以在單調(diào)遞增，
所以在單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，化簡得，解得．
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為，
故選：B
15．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)且在上為減函數(shù)，則關(guān)于的值表述正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為上的奇函數(shù)，且遞減，
所以且，
即，
所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，
故，
因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，
所以，所以.
故選：C.
16．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，，且對任意的，，滿足，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，是定義在上的奇函數(shù)，
對任意的，，，滿足，在上單調(diào)遞減，所以在上也單調(diào)遞減，
又所以，且，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以由可得或或，
解得或，即不等式的解集為．
故選：C.
17．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）已知定義在R上的函數(shù)在上單調(diào)遞增，是奇函數(shù)，的圖像關(guān)于直線對稱，則（ ）
A．在上單調(diào)遞減B．在上單調(diào)遞增
C．在上單調(diào)遞減D．在上單調(diào)遞增
【答案】C
【解析】是奇函數(shù)，
，即的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，
又在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增.
由，可得，
由圖像關(guān)于直線對稱可知為偶函數(shù)，
∴在上單調(diào)遞減，
，
，
是周期函數(shù)，最小正周期為4，
∵，，
∴在上的單調(diào)性和在上的單調(diào)性相同，
在上單調(diào)遞減.
故選：C.
二、多選題
18．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】[方法一]：對稱性和周期性的關(guān)系研究
對于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以即①，所以，所以關(guān)于對稱，則，故C正確；
對于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，，，所以關(guān)于對稱，由①求導(dǎo)，和，得，所以，所以關(guān)于對稱，因?yàn)槠涠x域?yàn)镽，所以，結(jié)合關(guān)于對稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯誤；
若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.
故選：BC.
[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.
由方法一知周期為2，關(guān)于對稱，故可設(shè)，則，顯然A，D錯誤，選BC.
故選：BC.
[方法三]：
因?yàn)?，均為偶函?shù)，
所以即，，
所以，，則，故C正確；
函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對稱，
又，且函數(shù)可導(dǎo)，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正確，D錯誤；
若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.
故選：BC.
19．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知非常數(shù)函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】因?yàn)榉浅?shù)函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，
若為奇函數(shù)，則，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且，故A錯誤；
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，
則，又，所以，
所以，即，所以，
故的周期為8，所以，，在中，令，得，所以，故B正確；
對兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得，
所以導(dǎo)函數(shù)的周期為8，所以，故C正確；
由周期，得，，對兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得，令，得，
所以，故D正確.
故選：BCD.
20．（2023·吉林長春·東北師大附中?？家荒＃┮阎?，下列說法正確的是（ ）
A．時(shí)，
B．若方程有兩個(gè)根，則
C．若直線與有兩個(gè)交點(diǎn)，則或
D．函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)
【答案】ABD
【解析】對A：當(dāng)時(shí)，，得滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，得不滿足題意，故A正確.
對B：作出的圖象，方程有兩個(gè)根可以看作的圖象與直線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，由圖知，故B正確.
對C：直線可化為，故直線是以為斜率且恒過的直線，
如圖，為過與兩點(diǎn)的直線，其斜率為，
當(dāng)位于時(shí)，直線與有兩個(gè)交點(diǎn)，
為過且與平行的直線， 其斜率為，
當(dāng)位于時(shí)，直線與只有一個(gè)交點(diǎn)，
為過的水平直線，其斜率為，
當(dāng)位于時(shí)，直線與只有一個(gè)交點(diǎn)，
為過的豎直直線，其斜率不存在，
當(dāng)位于時(shí)，直線與只有一個(gè)交點(diǎn)，
由圖可知，要使直線與有兩個(gè)交點(diǎn)，
則位于之間或位于之間，故，所以，故C錯誤.
對D：，即，所以或
由得，
由得進(jìn)而得或，
所以函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，故D正確.
故選：ABD
21．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，使，則下列函數(shù)中符合上述條件的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】對于A，，定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，又，故A正確；
對于B，恒成立，故B錯誤；
對于C，，定義域?yàn)?，，所以為偶函?shù)，又，故C正確；
對于D，因?yàn)椋院愠闪?，故D錯誤．
故選：AC．
22．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知定義在上的函數(shù)滿足且，則（ ）
A．B．
C．為偶函數(shù)D．為周期函數(shù)
【答案】ACD
【解析】依題意，，，
取，得，又，則，A正確；
取，得，則，B錯誤；
取，得，而，即，
于是，有，則為偶函數(shù)，C正確；
即，得，即，
有，于是，即有，
因此，所以為周期函數(shù)，D正確.
故選：ACD
23．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)與的定義域均為，，且，為偶函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．4為的一個(gè)周期B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】由于為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，
所以圖象關(guān)于對稱，
所以，
所以①，
而②，
兩式相加得，則③，
所以，
所以是的一個(gè)周期，A選項(xiàng)正確.
由③令得，
由①令得，
由②令得，則，
所以，
所以，C選項(xiàng)正確.
由①令得，
由，
得，
兩式相減得，即，
且關(guān)于對稱，，
所以④，
所以，
所以是周期為的周期函數(shù)，所以，所以B選項(xiàng)錯誤.
由④令得，所以，
由于，所以
所以，所以D選項(xiàng)正確.
故選：ACD
24（2023·貴州六盤水·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，其圖象關(guān)于直線對稱，且.當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．為偶函數(shù)B．
C．的圖象關(guān)于直線對稱D．在區(qū)間上單調(diào)遞減
【答案】AC
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且?br>所以，
所以函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，
又因函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
所以，即，
又，所以，
所以，
所以為偶函數(shù)，故A正確；
當(dāng)時(shí)，，
，故B錯誤；
因?yàn)闉榕己瘮?shù)且的圖象關(guān)于直線對稱，
所以的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
而函數(shù)在都是減函數(shù)，
所以函數(shù)在是減函數(shù)，
又因?yàn)榕己瘮?shù)，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D錯誤.
故選：AC.
25．（2023·浙江·模擬預(yù)測）設(shè)是定義在上的函數(shù)，對，有，且，則（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】A：在中，
令，則有，
在中，
令，則有，
因此本選項(xiàng)正確；
B：若成立，即有，
在中，
令，則有，
這與相矛盾，所以假設(shè)不成立，因此本選項(xiàng)不正確；
C：在中，
以代，得，
以代，得，
上面兩個(gè)等式相加，得
，或，
當(dāng)時(shí)，則有，顯然與矛盾，
因此，于是有，
因此函數(shù)的周期為，
由，
由，
在中，
令，得，
令，得，
由，
于是有，
因?yàn)?，所以由?br>于是，
因此，
，
因此本選項(xiàng)正確；
D：在中，
令，所以有，因此有：
因?yàn)?，，?br>函數(shù)的周期為，
所以
，因此本選項(xiàng)正確，
故選：ACD.
26．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，的定義域?yàn)?，是的?dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】因?yàn)?，令，則①，
，令，則②，
聯(lián)立①②可得，故A正確；
由題可知，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以是奇函數(shù)，
由可得，
所以的周期為4，
又∵，故，
，故，故B正確；
因?yàn)?，由得?br>故，又，，
若，則，
可得，即，而不一定等于0，故C錯誤；
因?yàn)?，得?br>在中，令，可得，又，
故，又的周期為4，
所以，故D正確.
故選：ABD.
27．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？寄M預(yù)測）已知為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，且當(dāng)時(shí)，，下列命題正確的是（ ）
A．
B．函數(shù)在定義域上是周期為2的函數(shù)
C．函數(shù)的值域?yàn)?br>D．直線與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)
【答案】AC
【解析】由題意知，當(dāng)時(shí)，有，所以，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，可得，可得，
又因?yàn)椋?br>所以，
又由函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，所以可作出函數(shù)的圖象如下：
對于A中，由
，所以A正確；
對于B中，由圖象可知函數(shù)不是周期函數(shù)，所以B是錯誤的；
對于C中，由圖象可知函數(shù)的值域?yàn)?，所以C正確．
對于D中，由圖象可知直線與函數(shù)的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，所以D錯誤.
故選：AC.

28．（2023·安徽滁州·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)的定義域，滿足，且當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（ ）
A．是定義在上的偶函數(shù)
B．在上單調(diào)遞增
C．若，則
D．當(dāng)是鈍角的兩個(gè)銳角時(shí)，
【答案】BC
【解析】對于A，令得，即得，
在定義域范圍內(nèi)令得，即是奇函數(shù)，故A錯誤；
對于B，令，且，所以，
又，且，所以，
所以，所以是單調(diào)增函數(shù)，故B正確；
對于C，由，可得，即，即，所以是等比數(shù)列，
又，所以，故C正確；
對于D，因?yàn)槭氢g角的兩個(gè)銳角，則，
所以，故D錯誤.
故選：BC.
29．（2023·湖南長沙·長沙一中?？寄M預(yù)測）定義在R上的偶函數(shù)滿足，且在上是增函數(shù)，則（ ）
A．關(guān)于對稱B．
C．D．
【答案】BC
【解析】為偶函數(shù)，
所以，所以，
所以關(guān)于點(diǎn)對稱，A錯誤；
又，所以，B正確；
因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，
所以，故C正確；
因?yàn)椋?br>所以，而的值不確定，故D錯誤.
故選:BC．
30．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，則（ ）
A．的最小正周期為
B．的圖象關(guān)于直線對稱
C．時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增
D．時(shí)，在區(qū)間既有極大值點(diǎn)也有極小值點(diǎn)
【答案】BC
【解析】對于A，，
不是的周期，A錯誤；
對于B，，
的圖象關(guān)于直線對稱，B正確；
對于C，；
當(dāng)時(shí)，，，，
令，則，；
與在上均單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，
又在上單調(diào)遞減，
由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞增，C正確；
對于D，由C知：；
當(dāng)時(shí)，，，；
令，則，；
，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，
在上單調(diào)遞增，
又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則當(dāng)時(shí)，在上有極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)，D錯誤.
故選：BC.
31．（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)定義域?yàn)?，是奇函?shù)，，函數(shù)在上遞增，則下列命題為真命題的是（ ）
A．B．函數(shù)在上遞減
C．若，則D．若，則
【答案】BCD
【解析】對于A，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，故A錯誤；
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，即有，
所以，所以的圖象關(guān)于直線對稱，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，故B正確；
因?yàn)?，所以，即，故C正確；
因?yàn)?，且，由函?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，得，解得，故C正確.
故選：BCD.
32．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）．
A．若，，，則
B．若，則
C．若，則的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱
D．若，則
【答案】BC
【解析】令，則，
∴為奇函數(shù)，把y用代替，得到，
設(shè)，，∴．
又∵當(dāng)時(shí)，，∴，
∴在上單調(diào)遞減．
∵，，
當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，則，，
當(dāng)時(shí)，則，．
綜上，，∴A錯誤．
令，得，∴，
令，得，∴，∴B正確．
由，得，得，
又∵，為奇函數(shù)，∴，
則，則的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，∴C正確．
，
假設(shè)，可得，即，
當(dāng)時(shí)，不成立得出矛盾假設(shè)不成立，∴D錯誤．
故選：BC.
33．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是（ ）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱
B．
C．當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
D．在區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
【答案】ACD
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，可知A正確；
由，可得，知函數(shù)的周期，
由周期和奇偶性得，故B不正確；
當(dāng)時(shí)，則，，所以，
由函數(shù)為偶函數(shù)且周期為2可得，，
由函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，即.得C正確；
函數(shù)在區(qū)間有4個(gè)零點(diǎn)，有4個(gè)解，
即與直線在有4個(gè)交點(diǎn)，利用周期和偶函數(shù)，結(jié)合在的解析式，
可畫出函數(shù)和函數(shù)在上的圖像.如圖：
由圖可得，即，實(shí)數(shù)的取值范圍是,D正確.
故選：ACD.
34．（2023·湖南常德·常德市一中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，時(shí)，，，則（ ）
A．
B．函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增
C．函數(shù)是奇函數(shù)
D．函數(shù)的一個(gè)解析式為
【答案】ABD
【解析】A項(xiàng)：因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，令，
則，解得，A正確；
B項(xiàng)：任?。?，
則，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以，，
所以，即，
所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，B正確；
C項(xiàng)：令，則，
解得或，當(dāng)，且時(shí)，令，
則，
若為奇函數(shù)，則，即，
解得，與題意矛盾；
當(dāng)時(shí)不為奇函數(shù)．
綜上所述，函數(shù)不是奇函數(shù)，C錯誤；
D項(xiàng)：當(dāng)，
則，
，
所以，易得在上單調(diào)遞增，
所以時(shí)，，，
故函數(shù)的一個(gè)解析式為，D正確．
故選 :ABD
35．（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，且．?dāng)時(shí)，，則（ ）
A．
B．是偶函數(shù)
C．為增函數(shù)
D．當(dāng)，且，時(shí)，
【答案】ACD
【解析】因?yàn)槎x在上，且滿足恒成立，
令，即，解得，故A正確；
再令，則，故，故是奇函數(shù)，又，
所以函數(shù)一定不是偶函數(shù)，故B錯誤；
任取，且，則．
因?yàn)?，所以?br>所以，由于，所以，，
所以．
因?yàn)?，，所以，?br>即在區(qū)間上單調(diào)遞增．故C正確；
對于D，因?yàn)?，?br>因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號成立；
所以，所以，又，所以．
令，則．
令，則，所以．
因?yàn)?，所以是首?xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，
故D正確．
故選：ACD．
三、填空題
36．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）若為偶函數(shù)，則 ．
【答案】2
【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，定義域?yàn)椋?br>所以，即，
則，故，
此時(shí)，
所以，
又定義域?yàn)?，故為偶函?shù)，
所以.
故答案為：2.
37．（2023·陜西咸陽·咸陽彩虹學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知分別是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)和奇函數(shù)，且，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是 ．
【答案】/
【解析】因?yàn)榉謩e是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)和奇函數(shù)，且①，
所以，即②，
聯(lián)立①②解得，，
因?yàn)樵谏隙紴樵龊瘮?shù)，
所以在上單調(diào)遞增，，
故不等式
令，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，
又，
所以，
因?yàn)樵谏隙紴樵龊瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以，即實(shí)數(shù)的最大值是.
故答案為:
38．（2023·海南省直轄縣級單位·?？寄M預(yù)測）若函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則 ．
【答案】/
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，
依題意，函數(shù)是偶函數(shù)，
于是，，
即
而不恒為0，整理得，即，
因此，解得，
所以.
故答案為：
39．（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若對任意，且，都有，則不等式的解集為 ．
【答案】
【解析】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，
所以，則，
所以的圖像關(guān)于直線對稱，
因?yàn)閷θ我猓?，都有?br>所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
因?yàn)?，，所以，所以?br>解得，
故不等式的解集為．
故答案為：.
40．（2023·吉林長春·長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，若不等式恒成立，則a的最小值為 .
【答案】/
【解析】依題意，，
，在R上單調(diào)遞增，
且，為奇函數(shù)，
，
令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，有，于是，當(dāng)時(shí)，顯然成立，
因此，即，令，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
因此當(dāng)時(shí)，，則，而，有，
所以a的最小值為.
故答案為：
41．（2023·河南鄭州·三模）已知函數(shù)，，對于下述四個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)的零點(diǎn)有三個(gè)；
②函數(shù)關(guān)于對稱；
③函數(shù)的最大值為2；
④函數(shù)在上單調(diào)遞增．
其中所有正確結(jié)論的序號為： ．
【答案】②③④
【解析】，
令，解得或，
∵，∴或或或，故①錯誤；
∵，
∴函數(shù)關(guān)于對稱，故②正確；
，
∵，∴，
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值2，故③正確；
，
令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
∵，∴，∴單調(diào)遞減，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，故④正確．
故答案為：②③④.
42．（2023·江西南昌·南昌縣蓮塘第一中學(xué)校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，若對定義域內(nèi)兩任意的（），都有成立，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)閷?，都有成立?br>設(shè)，則，于是，都有成立，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，求導(dǎo)得，
則有成立，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，必有，函數(shù)的圖象過點(diǎn)，對稱軸，從而，解得，
而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，符合題意，
所以a的取值范圍是.
故答案為：
43．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)則 ；若當(dāng)時(shí)，，則的最大值是 ．
【答案】 /
【解析】由已知，，
所以，
當(dāng)時(shí)，由可得，所以，
當(dāng)時(shí)，由可得，所以，
等價(jià)于，所以，
所以的最大值為.
故答案為：，.
44．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若是奇函數(shù)，則 ， ．
【答案】 ； ．
【解析】[方法一]：奇函數(shù)定義域的對稱性
若，則的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對稱
若奇函數(shù)的有意義，則且
且，
函數(shù)為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，
，解得，
由得，，
，
故答案為：；．
[方法二]：函數(shù)的奇偶性求參
函數(shù)為奇函數(shù)
[方法三]：
因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．
由可得，，所以，解得：，即函數(shù)的定義域?yàn)?，再由可得，．即，在定義域內(nèi)滿足，符合題意．
故答案為：；．
45．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個(gè)取值為 ；a的最大值為 ．
【答案】 0（答案不唯一） 1
【解析】若時(shí)，，∴；
若時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故沒有最小值，不符合題目要求；
若時(shí)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，
當(dāng)時(shí)，
∴或，解得，綜上可得；
故答案為：0（答案不唯一），

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