1.掌握平方差公式的結構特征，能運用公式進行簡 便運算；2.會用幾何圖形說明公式的意義，體會數(shù)形結合的 思想方法.
1.平方差公式：(a+b)(a－b)=a2－b2
2.公式的結構特點：左邊是兩個二項式的乘積，即兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積；右邊是兩數(shù)的平方差。
3.利用平方差公式計算：（1）(2x+7b)(2x–7b)； （2）(－m+3n)(m+3n).
某同學在計算97×103時將其變成(100-3)(100+3)并很快得出結果，你知道他運用了什么知識嗎？這節(jié)課我們一起來探討上述計算的規(guī)律.
陰影部分的面積為S=a2-b2
陰影部分的面積為S=(a+b)(a-b)
例1：如圖①，從邊長為a的正方形紙片中剪去一個邊長為b的小正方形，再沿著線段AB剪開，把剪成的兩張紙片拼成如圖②的等腰梯形．(1)設圖①中陰影部分面積為S1，圖②中陰影部分面積為S2，請直接用含a，b的代數(shù)式表示S1，S2；(2)請寫出上述過程所揭示的乘法公式．
分析：直先計算圖①中陰影部分面積為S1＝a2－b2，再計算圖②中陰影部分面積為S2＝ (2b＋2a) (a－b)，然后根據(jù)面積相等得到乘法公式．解：(1) S1＝a2－b2， S2＝ (2b＋2a)(a－b) ＝(a＋b)(a－b)． (2) (a＋b)(a－b)＝ a2－b2.
相鄰兩個自然數(shù)的乘積(1)計算下列各組算式，并觀察它們的特點
一個自然數(shù)的平方比它相鄰兩數(shù)的積大1
是不是大于1的所有自然數(shù)都有這個特點呢？
你能用字母表示這一規(guī)律嗎？設這個自然數(shù)為a，與它相鄰的兩個自然數(shù)為a－1，a+1，則有(a+1)(a－1)=a2－1．
例2 用平方差公式進行計算：(1)103×97； (2)118×122.解：(1)103×97=(100+3) (100－3)=1002－32=9 991 ；
(2)118×122=(120－2) (100+2)=1202－22=14 396 .
關鍵：a為兩數(shù)和的平均數(shù)；b為|兩數(shù)差|的平均數(shù)
解： (1)a2 (a+b)(a-b)+a2 b2 =a2(a2-b2)+a2b2 =a4-a2b2+a2b2 =a4
(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)=4x2-52-(4x2-6x)=4x2-25-4x2+6x=6x-25
例4：公式的逆用(1)(x+y)2－(x－y)2 (2)252－242分析：逆用平方差公式可以使運算簡便．
解：(1)(x+y)2－(x－y)2=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］=2x·2y=4xy
(2)252－242=(25+24)(25－24)=49
解：李大媽吃虧了．理由如下：原正方形的面積為a2，改變邊長后面積為(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大媽吃虧了．
例5. 王大伯家把一塊邊長為a米的正方形土地租給了鄰居李大媽．今年王大伯對李大媽說：“我把這塊地一邊減少4米，另外一邊增加4米，繼續(xù)原價租給你，你看如何？”李大媽一聽，就答應了．你認為李大媽吃虧了嗎？為什么？
1. 將圖甲中陰影部分的小長方形變換到圖乙位置,根據(jù)兩個圖形的面積關系可以得到一個關于a,b的恒等式為(　　)A.(a-b)2=a2-2ab+b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.(a+b)(a-b)=a2-b2 D.a(a-b)=a2-ab
2.如圖，在邊長為a的正方形中裁掉一個邊長為b的小正方形(如圖1)，將剩余部分沿虛線剪開后拼接(如圖2)，通過計算，用拼接前后兩個圖形中陰影部分的面積可以驗證等式( )A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2D.(a-b)2=a2-2ab+b2
3.如圖，從邊長為a的大正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開，拼成右邊的長方形．根據(jù)圖形的變化過程寫出的一個正確的等式是(　　)A.a(a－b)＝a2－abB.(a－b)2＝a2－2ab＋b2C.(a－b)2＝a2－b2D.a2－b2＝(a＋b)(a－b)
4. 計算2 0162－2 015×2 017的結果是(　　)A．1　　　 B．－1　　　C．2　　　 D．－2
5.(x+6)(x－6)－x(x－9)=0的解是______.
6.(1)如圖①,可以求出陰影部分的面積是　　　 (寫成兩數(shù)平方差的形式); (2)若將陰影部分裁剪下來,重新拼成一個長方形,如圖②,則這個長方形的寬是　　　　,長是　　　,面積是　　　　　 (寫成多項式乘法的形式); (3)比較圖①②中陰影部分的面積,可以得到什么結論?
結論:(a+b)(a-b)=a2-b2.
7. 填空：(1)已知(x－a)(x＋a)＝x2－9，則a的值為________；(2)若(m＋4x)(m－4x)＝36－nx2，則mn的值為________．
8. 97×103=_______________=______________=________________=_______________.
(100-3)(100+3)
9． 請先觀察下列算式，再填空：32-12=8×1，52-32=8×2．①72-52=8×______；②92-（_____）2=8×4；③（_____）2-92=8×5；④132-（_____）2=8×______；….
10.計算：(1)102×98(用簡便方法計算)； (2)(x－1)(x＋1)(x2＋1)．
解：原式＝(100＋2)(100－2) ＝1002－22 ＝10 000－4 ＝9 996
解：原式＝(x2－1)(x2＋1) ＝(x2)2－12 ＝x4－1
10. 計算：(3)999×1 001(用簡便方法計算)； (4)(a－b)(a＋b)(a2＋b2)．
解：原式＝(1 000－1)(1 000＋1) ＝1 0002－12 ＝1 000 000－1 ＝999 999
解：原式＝(a2－b2)(a2＋b2) ＝(a2)2－(b2)2 ＝a4－b4
11． 計算：（1）1232-122×124.
解：原式=1232-(123-1)(123+1)=1232-(1232-12)=1.
（2）20092－2008×2010.
解：20092－2008×2010＝20092－(2009－1)(2009＋1)＝20092－20092＋1＝1.
12. 先化簡，再求值：［2(x-y)2-2(x-2y)(2y+x)］÷(-2y)，其中x=2，y=-1.
解：原式=(2x2-4xy+2y2-2x2+8y2)÷(-2y) =(-4xy+10y2)÷(-2y) =2x-5y.當x=2，y=-1時，原式=2×2-5×(-1)=4+5=9.

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5 平方差公式

版本： 北師大版

年級： 七年級下冊

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