注意事項：
1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、座號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．
2.回答選擇題時，選出每小題答案，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，用0.5mm黑色簽字筆將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．每小題只有一個選項符合題目要求．
1. 下圖是由一個長方體和一個圓柱組成的幾何體，它的俯視圖是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)從上面看得到圖形是俯視圖即可解答．
【詳解】解：從上面看下邊是一個矩形，矩形的上邊是一個圓，
故選：D．
【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，掌握從上面看得到的圖形是俯視圖是解答本題的關鍵．
2. 第24屆北京冬季奧運會總建筑面積約為平方米，數(shù)字用科學記數(shù)法表示應為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了科學記數(shù)法，根據(jù)科學記數(shù)法的表示方法：，，為整數(shù)，進行表示即可．確定，的值，即可．
【詳解】解：；
故選：B．
3. 如圖，直線，的直角頂點A落在直線上，點B落在直線上，若，，則的大小為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補，進行求解即可.
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴.
故選：C
【點睛】此題考查了平行線的性質，熟練掌握兩直線平行，同旁內角互補是解題的關鍵.
4. 實數(shù)m，n在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，下列結論正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)軸的位置，可得，，逐項分析判斷即可求解．
【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸的位置，可得，，，
A．，錯誤，不符合題意；
B．，正確，符合題意；
C．，錯誤，不符合題意；
D．，錯誤，不符合題意．
故選：B．
【點睛】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，絕對值的意義，數(shù)形結合是解題的關鍵．
5. 下列新能源汽車標志圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形定義進行逐一判斷即可：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．
【詳解】解：A、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意；
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；
C、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；
D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；
故選A．
【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別，熟知二者的定義是解題的關鍵．
6. 若點A(?1，a)，B(1，b)，C(2，c)在反比例函數(shù)的圖象上，則a，b，c的大小關系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出a、b、c的值，判斷即可；
【詳解】∵點A(?1，a)，B(1，b)，C(2，c)在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，，，
∵，
∴
故選：C．
【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上的點的特征，代入求出a、b、c的值是解題的關鍵．
7. 從甲、乙、丙三人中任選兩人參加青年志愿者活動，甲被選中的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】畫出樹狀圖，共有6種等可能的結果，其中甲被選中的結果有4種，由概率公式即可得出結果．
【詳解】解：根據(jù)題意畫圖如下：
共有6種等可能的結果數(shù)，其中甲被選中的結果有4種，
則甲被選中的概率為．
故選：C．
【點睛】本題考查了樹狀圖法求概率以及概率公式，解題的關鍵是畫出樹狀圖．
8. 如圖，⊙O中，點D，A分別在劣弧BC和優(yōu)弧BC上，∠BDC=130°，則∠BOC=( )
A. 120°B. 110°C. 105°D. 100°
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)圓內接四邊形的性質，對角互補可知，∠D+∠BAC=180°，求出∠D，再利用圓周角定理即可得出．
【詳解】解：∵四邊形ABDC為圓內接四邊形
∴∠A+∠BDC=180°
∵∠BDC=130°
∴∠A=50°
∴∠BOC=2∠A=100°
故選：D．
【點睛】本題考查了圓內接四邊形的性質，圓周角定理，掌握圓內接四邊形的性質是解題的關鍵．
9. 如圖，在中，，，以為圓心，任意長為半徑畫弧分別交、于點和，再分別以、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接并延長交于點，以下結論錯誤的是( )

A. 是的平分線B.
C. 點在線段的垂直平分線上D.
【答案】D
【解析】
【分析】A根據(jù)作圖的過程可以判定是的角平分線；B利用角平分線的定義可以推知，則由直角三角形的性質來求的度數(shù)；C利用等角對等邊可以證得，由線段垂直平分線的判定可以證明點在的垂直平分線上；D利用角所對的直角邊是斜邊的一半求出，進而可得，則．
【詳解】解：根據(jù)作圖方法可得是的平分線，故A正確，不符合題意；
∵，
∴，
∵是的平分線，
∴，
∴，故B正確，不符合題意；
∵，
∴，
∴點在的垂直平分線上，故C正確，不符合題意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
則，故D錯誤，符合題意，
故選：D．
【點睛】本題主要考查角平分線的尺規(guī)作圖，角平分線的定義，等角對等邊，線段垂直平分線的判定，含直角三角形的性質等知識，能夠熟練通過尺規(guī)作圖的痕跡得出是角平分線是解題關鍵．
10. 定義：在平面直角坐標系中，對于點，當點滿足時，稱點是點的“倍增點”，已知點，有下列結論：
①點，都是點的“倍增點”；
②若直線上的點A是點的“倍增點”，則點的坐標為；
③拋物線上存在兩個點是點的“倍增點”；
④若點是點“倍增點”，則的最小值是．
其中，正確結論的個數(shù)是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】①根據(jù)題目所給“倍增點”定義，分別驗證即可；②點，根據(jù)“倍增點”定義，列出方程，求出a的值，即可判斷；③設拋物線上點是點的“倍增點”，根據(jù)“倍增點”定義列出方程，再根據(jù)判別式得出該方程根的情況，即可判斷；④設點，根據(jù)“倍增點”定義可得，根據(jù)兩點間距離公式可得，把代入化簡并配方，即可得出的最小值為，即可判斷．
【詳解】解：①∵，，
∴，
∴，則是點的“倍增點”；
∵，，
∴，
∴，則是點的“倍增點”；
故①正確，符合題意；
②設點，
∵點A是點的“倍增點”，
∴，
解得：，
∴，
故②不正確，不符合題意；
③設拋物線上點是點的“倍增點”，
∴，整理得：，
∵，
∴方程有兩個不相等實根，即拋物線上存在兩個點是點的“倍增點”；
故③正確，符合題意；
④設點，
∵點是點的“倍增點”，
∴，
∵，，
∴
，
∵，
∴的最小值為，
∴的最小值是，
故④正確，符合題意；
綜上：正確的有①③④，共3個．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了新定義，解一元一次方程，一元二次方程根的判別式，兩點間的距離公式，解題的關鍵是正確理解題目所給“倍增點”定義，根據(jù)定義列出方程求解．
二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．直接填寫答案．
11. 已知實數(shù)a，b，滿足，，則的值為______．
【答案】42
【解析】
【分析】首先提取公因式，將已知整體代入求出即可．
【詳解】
．
故答案為：42．
【點睛】此題考查了求代數(shù)式的值，提公因式法因式分解，整體思想的應用，解題的關鍵是掌握以上知識點．
12. 一個袋子中裝有4個黑球和個白球，這些球除顏色外其余完全相同，搖勻后隨機摸出一個，摸到白球的概率為，則白球的個數(shù)為_______．
【答案】6
【解析】
【分析】本題考查利用概率求個數(shù)，根據(jù)白球概率求出黑球概率，黑球共有4個，就可以求出球的總數(shù)，再減去黑球個數(shù)即可解答，熟練掌握簡單概率公式是解決問題的關鍵．
【詳解】解：∵搖勻后隨機摸出一個，摸到白球的概率為，
∴摸到黑球的概率為，
∵袋子中有4個黑球和個白球，
∴由簡單概率公式可得，解得，
∴白球有6個，
故答案為：6．
13. 代數(shù)式與代數(shù)式的值相等，則x＝______．
【答案】7
【解析】
【分析】根據(jù)題意列出分式方程，求出方程的解，得到x的值即可．
【詳解】解：∵代數(shù)式與代數(shù)式的值相等，
∴，
去分母
，
去括號號
，
解得，
檢驗：當時，，
∴分式方程的解為．
故答案為：7．
【點睛】本題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗．
14. 如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，以頂點A為圓心，AB的長為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積為______．
【答案】##
【解析】
【分析】延長FA交⊙A于G，如圖所示：根據(jù)六邊形ABCDEF是正六邊形，AB=2，利用外角和求得∠GAB=，再求出正六邊形內角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， 利用扇形面積公式代入數(shù)值計算即可．
【詳解】解：延長FA交⊙A于G，如圖所示：
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，AB=2，
∴∠GAB=，
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案為．
【點睛】本題主要考查扇形面積計算及正多邊形的性質，熟練掌握扇形面積計算及正多邊形的性質是解題的關鍵．
15. 小澤和小帥兩同學分別從甲地出發(fā)，騎自行車沿同一條路到乙地參加社會實踐活動，如圖折線和線段分別表示小澤和小帥離甲地的距離（單位：千米）與時間（單位：小時）之間函數(shù)關系的圖象，則當小帥到達乙地時，小澤距甲地的距離為______千米．
【答案】
【解析】
【分析】設直線的解析式為：，直線的解析式為：；得到直線和的解析式，求出當時，的值，即可．
【詳解】由圖象可知，點和在直線上，
∴設直線的解析式為：，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為：；
當時，，
∴，
∵點，點在直線上，
∴直線的解析式為：，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為：；
∴當時，，
∴小澤距甲地的距離為：（千米）．
故答案為：．
【點睛】本題考查函數(shù)的知識，解題的關鍵是理解函數(shù)圖象，掌握待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式．
16. 如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB=12，AD=10，點E是CD的中點．將這張紙片依次折疊兩次；如圖2，第一次折疊紙片使點A與點E重合，折痕為MN，連接ME、NE；如圖3，第二次折疊紙片使點N與點E重合，點B落在處，折痕為HG，連接HE，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)折疊的性質可知，是的中點，是斜邊上的中線，故有，設，則，在中，由勾股定理得，可求 的值，如圖，作，四邊形是矩形，，有即，可求的值，進而可求的值，根據(jù)，求的值，進而可求的值．
【詳解】解：由折疊的性質可知，，，，是線段的垂直平分線
∴，
∴
∴是的中點
∴是斜邊上的中線
∴
∴
設，則
在中，由勾股定理得即
解得
∴
如圖，作
∵
∴四邊形是矩形
∵
∴
∴
∴即
解得
∴
∴
∴
故答案為：．
【點睛】本題考查了矩形的性質與判定，折疊的性質，勾股定理，三角形相似，正切等知識．解題的關鍵在于對知識的靈活運用．
三、解答題：本題共10小題，共86分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 計算：．
【答案】2
【解析】
【分析】首先計算零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值和絕對值，然后計算乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值即可．
【詳解】解：


．
【點睛】此題主要考查了實數(shù)的運算，解答此題的關鍵是要明確：在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．
18. 解不等式組：，并寫出它的所有非負整數(shù)解．
【答案】；非負整數(shù)解為0、1、2、3
【解析】
【分析】先求出每個不等式的解集，再找出不等式組的解集，最后找出非負整數(shù)解即可．
【詳解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
原不等式組的解集是，
非負整數(shù)解為0、1、2、3．
【點睛】本題考查了求一元一次不等式組的整數(shù)解，解本題的關鍵在熟練掌握求解一元一次不等式組的一般步驟．
19. 如圖，在?ABCD中，點E是AB邊的中點，DE的延長線與CB的延長線交于點F．求證：BC=BF．
【答案】證明見解析
【解析】
【分析】首先由平行四邊形的性質可得AD=BC，再由全等三角形的判定定理AAS可證明△ADE≌△BFE由此可得AD=BF，進而可證明BC=BF．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ADBC，AD=BC，
又∵點F在CB的延長線上，
∴ADCF，
∴∠1=∠2．
∵點E是AB邊的中點，
∴AE=BE．
在△ADE與△BFE中，
∵∠DEA=∠FEB，∠1=∠2，AE=BE，
∴△ADE≌△BFE（AAS），
∴AD=BF，
∴BC=BF．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質．在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊、對頂角以及公共角．
20. 圖1是安裝在傾斜屋頂上的熱水器，圖2是安裝熱水器的側面示意圖．已知屋面AE的傾斜角為，長為3米的真空管AB與水平線AD的夾角為，安裝熱水器的鐵架豎直管CE的長度為0.5米．
（1）真空管上端B到水平線AD的距離．
（2）求安裝熱水器的鐵架水平橫管BC的長度．（結果精確到0.1米）
參考數(shù)據(jù)：，，，，，
【答案】（1）1.8米
（2）0.9米
【解析】
【分析】（1）過B作BF⊥AD于F．構建Rt△ABF中，根據(jù)三角函數(shù)的定義與三角函數(shù)值即可求出答案．
（2）根據(jù)BF的長可求出AF的長，再判定出四邊形BFDC是矩形，可求出AD，根據(jù)BC＝DF＝AD?AF計算即可．
【小問1詳解】
如圖，過B作BF⊥AD于F．
在Rt△ABF中，
∵sin∠BAF＝，
∴BF＝ABsin∠BAF＝3sin37°≈1.8．
∴真空管上端B到AD的距離約為1.8米．
【小問2詳解】
在Rt△ABF中，
∵cs∠BAF＝，
∴AF＝ABcs∠BAF＝3cs37°≈2.4，
∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，
∴四邊形BFDC是矩形．
∴BF＝CD，BC＝FD，
∵EC＝0.5米，
∴DE＝CD?CE＝1.3米，
在Rt△EAD中，
∵tan∠EAD＝，
∴，
∴AD＝3.25米，
∴BC＝DF＝AD?AF＝3.25?2.4＝0.85≈0.9
∴安裝熱水器的鐵架水平橫管BC的長度約為0.9米．
【點睛】此題考查了解直角三角形的應用，培養(yǎng)學生運用三角函數(shù)知識解決實際問題的能力，掌握三角函數(shù)是解題的關鍵．
21. 某校為加強書法教學，了解學生現(xiàn)有的書寫能力，隨機抽取了部分學生進行測試，測試結果分為優(yōu)秀、良好、及格、不及格四個等級，分別用A，B，C，D表示，并將測試結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．
請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息解答以下問題；
（1）本次抽取的學生共有_______人，扇形統(tǒng)計圖中A所對應扇形的圓心角是______°，并把條形統(tǒng)計圖補充完整；
（2）依次將優(yōu)秀、良好、及格、不及格記為90分、80分、70分、50分，則抽取的這部分學生書寫成績的眾數(shù)是_______分，中位數(shù)是_______分，平均數(shù)是_______分；
（3）若該校共有學生2800人，請估計一下，書寫能力等級達到優(yōu)秀的學生大約有_____人：
（4）A等級的4名學生中有3名女生和1名男生，現(xiàn)在需要從這4人中隨機抽取2人參加電視臺舉辦的“中學生書法比賽”，請用列表或畫樹狀圖的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．
【答案】（1）40；36；見解析
（2）70；70；66.5
（3）280 （4）
【解析】
【分析】（1）由C等級人數(shù)及其所占百分比可得總人數(shù)，用360°乘以A等級人數(shù)所占比例即可得；
（2）由中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)的定義結合數(shù)據(jù)求解即可；
（3）利用總人數(shù)乘以樣本中A等級人數(shù)所占比例即可得；
（4）列表或畫樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出剛好抽到一男一女的情況數(shù)，即可求出所求的概率．
【小問1詳解】
本次抽取的學生人數(shù)是（人），
扇形統(tǒng)計圖中A所對應扇形圓心角的度數(shù)是，
故答案為40人、36°；
B等級人數(shù)為（人），
補全條形圖如下：
【小問2詳解】
由條形統(tǒng)計圖可知眾數(shù)為：70
由A、B、C的人數(shù)相加得：4+6+16=26>20，所以中位數(shù)為：70
平均數(shù)為：
【小問3詳解】
等級達到優(yōu)秀的人數(shù)大約有（人）；
【小問4詳解】
畫樹狀圖為：
∵共有12種等可能情況，1男1女有6種情況，
∴被選中的2人恰好是1男1女的概率為．
【點睛】本題考查了扇形統(tǒng)計圖，條形統(tǒng)計圖，中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)，樹狀圖等知識點，解題時注意：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
22. 如圖，在中，，點F在上，以為直徑的恰好經過點E，且邊與切于點E，連接．
（1）求證：平分；
（2）若，求的長．
【答案】（1）見解析 （2）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)半徑相等以及切線的性質證明，可推出，即可證明平分；
（2）設的半徑為R，在中，由勾股定理列式計算求得，再證明，利用相似三角形的性質求解即可．
【小問1詳解】
證明：連接，
∵，
∴，
∵與切于點E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
【小問2詳解】
解：∵，
∴，
設的半徑為R，則，
在中，
由勾股定理得：，即，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了平行線的性質和判定，切線的性質定理，相似三角形的判定與性質，勾股定理等知識點，證明是解此題的關鍵．
23. 2022年7月19日亞奧理事會宣布將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉辦第19屆亞運會，吉祥物為“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”，如圖，某校準備舉行“第19屆亞運會”知識競賽活動，擬購買30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”）作為競賽獎品．某商店有甲，乙兩種規(guī)格，其中乙規(guī)格比甲規(guī)格每套貴20元．
（1）若用700元購買甲規(guī)格與用900元購買乙規(guī)格的數(shù)量相同，求甲、乙兩種規(guī)格每套吉祥物的價格；
（2）在（1）的條件下，若購買甲規(guī)格數(shù)量不超過乙規(guī)格數(shù)量的2倍，如何購買才能使總費用最少？
【答案】（1）甲規(guī)格吉祥物每套價格為70元，乙規(guī)格每套為90元
（2）乙規(guī)格購買10套、甲規(guī)格購買20套總費用最少
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等量關系：700元購買甲規(guī)格數(shù)量900元購買乙規(guī)格的數(shù)量，列出方程求解即可；
（2）設乙規(guī)格購買套，根據(jù)題意列出總費用與所滿足的關系式為一次函數(shù)，再求出的取值范圍，用一次函數(shù)的增減性可求解．
【小問1詳解】
解：設甲規(guī)格吉祥物每套價格元，則乙規(guī)格每套價格為元，
根據(jù)題意，得，
解得．
經檢驗，是所列方程的根，且符合實際意義．
．
答：甲規(guī)格吉祥物每套價格為70元，乙規(guī)格每套為90元．
【小問2詳解】
解：設乙規(guī)格購買套，甲規(guī)格購買套，總費用為元
根據(jù)題意，得
，
解得，
，
，
隨的增大而增大．
當時，最小值．
故乙規(guī)格購買10套、甲規(guī)格購買20套總費用最少．
【點睛】本題考查了分式方程的應用、一元一次不等式及一次函數(shù)的應用，根據(jù)實際意義找出所含的等量關系，并正確列出分式方程及一次函數(shù)是解題的關鍵．
24. 如圖，一次函數(shù)y=﹣x+3的圖象與反比例函數(shù)y=（k≠0）在第一象限的圖象交于A（1，a）和B兩點，與x軸交于點C．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點P在x軸上，且△APC的面積為5，求點P的坐標；
（3）若點P在y軸上，是否存在點P，使△ABP是以AB為一直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的P點坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）（﹣2，0）或（8，0）；（3）存在，P（0，1）或 P（0，﹣1）
【解析】
【分析】（1）將點A坐標代入兩個解析式可求a的值，k的值，即可求解；
（2）設P（x，0），由三角形的面積公式可求解；
（3）分兩種情況討論，由兩點距離公式分別求出AP，AB，BP的長，由勾股定理可求解.
【詳解】（1）把點A（1，a）代入y=﹣x+3，得a=2，
∴A（1，2），
把A（1，2）代入反比例函數(shù)y=，
∴k=1×2=2；
∴反比例函數(shù)的表達式為；
（2）∵一次函數(shù)y=﹣x+3的圖象與x軸交于點C，
∴C（3，0），
設P（x，0），
∴PC=|3﹣x|，
∴S△APC=|3﹣x|×2=5，
∴x=﹣2或x=8，
∴P的坐標為（﹣2，0）或（8，0）；
（3）存在，
理由如下：聯(lián)立，
解得：或，
∴B點坐標為（2，1），
∵點P在y軸上，
∴設P（0，m），
∴AB=，AP=，PB=,
若BP為斜邊，
∴BP2=AB2+AP2 ，
即 =2+，
解得：m=1，
∴P（0，1）；
若AP為斜邊，
∴AP2=PB2+AB2 ，
即 =+2，
解得：m=﹣1，
∴P（0，﹣1）；
綜上所述：P（0，1）或 P（0，﹣1）.
【點睛】此題考查一次函數(shù)的解析式，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，函數(shù)與動點構成的三角形面積問題，勾股定理，直角三角形的性質.
25. 如圖，拋物線與x軸交于，B兩點，與y軸交于點C，連接．
（1）求拋物線的解析式．
（2）點P是第三象限拋物線上一點，直線與y軸交于點D，的面積為12，求點P的坐標．
（3）拋物線上是否存在點Q使得？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）先由的面積求出的長，從而確定點坐標為，再由待定系數(shù)法求出直線的解析式，直線與拋物線的交點即為所求；
（3）根據(jù)題意當點Q在第一象限時，利用二次函數(shù)的對稱性求解；當點Q在第四象限時，設與x軸交于點E，首先根據(jù)勾股定理求出點E的坐標，然后求出的解析式，最后聯(lián)立直線和拋物線即可求出點Q的坐標．
【小問1詳解】
將，代入，
，
解得，
；
【小問2詳解】
令，則，
解得或，
，
，
，
，
，
設直線的解析式為，
，
解得，
，
聯(lián)立方程組，
解得或，
；
【小問3詳解】
如圖所示，當點Q在第一象限拋物線上時，
∵
∴
∴點Q和點C關于對稱軸對稱
∵，
∴拋物線的對稱軸為
∵
∴點Q的坐標為；
如圖所示，當點Q在第四象限的拋物線上時，設與x軸交于點E
∵
∴
∴設
∵，
∴，
∴在中，，即
∴解得
∴
∴
∴設直線的解析式為
將，代入得，
∴解得
∴
∴聯(lián)立直線和拋物線得，
∴解得
∴將代入得，
∴點Q坐標為．
綜上所述，點Q的坐標為或．
【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象及性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質，直角三角形的性質，勾股定理的應用是解題的關鍵．
26. 在中，，，點D在BC上，且滿足，將線段DB繞點D順時針旋轉至DE，連接CE，BE，以CE為斜邊在其右側作直角三角形CEF，且，，連接AF．
（1）如圖1，當點E落在BC上時，直接寫出線段BE與線段AF的數(shù)量關系；
（2）如圖2，在線段DB旋轉過程中，（1）中線段BE與線段AF的數(shù)量關系是否仍然成立？請利用圖2說明理由；
（3）如圖3，連接DF，若，求線段DF長度的最小值．
【答案】（1）
（2）成立，見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由直角三角形的性質可得AC=BC，由旋轉的的性質可得BD=DE=BC，BE=BC，由直角三角形的性質可求CF=CE=CB，即可求解；
（2）通過證明△CBE∽△CAF，由相似三角形的性質可得，則可得出結論；
（3）在CA上截取CG，使，連接GF，證明，求得，即點F在以G為圓心，以1為半徑的圓上運動，當D，G，F(xiàn)三點共線，且點F在DG之間時，DF取得最小值，最小值為，再證明即可進一步得出結論．
【小問1詳解】
解：∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，
∴AC=BC，
∵BD=BC，將線段DB繞點D順時針旋轉至DE，
∴BD=DE=BC，BE=CB，
∴CE=CB，
∵∠CFE=90°，∠ECF=60°，
∴∠CEF=30°，
∴CF=CE=CB，
∴AF=AC-CF=CB，
∴BE=2AF；
故答案為：BE=2AF；
【小問2詳解】
結論仍然成立，；
證明：理由如下：
在中，，，
∴，，
同理可證，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小問3詳解】
在CA上截取CG，使，連接GF，
∴，
∵由（2）知，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，D，G分別是BC，AC三等分點，，
∴，，，
∴，即點F在以G為圓心，以1為半徑的圓上運動，
∴當D，G，F(xiàn)三點共線，且點F在DG之間時，DF取得最小值，最小值為，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴線段DF長度的最小值為．
【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形性質，相似三角形的判定和性質，旋轉的旋轉等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題關鍵．

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