2024年山東省濟南市長清區(qū)第三初級中學(xué)九年級中考一模通關(guān)數(shù)學(xué)試題(含答案)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．
如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．
回答非選擇題時，用0．5mm黑色簽字筆將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．每小題只有一個選項符合題目要求．
1. 下圖是由一個長方體和一個圓柱組成的幾何體，它的俯視圖是（）

A. B. C. D.
第24屆北京冬季奧運會總建筑面積約為平方米，數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）
A．B．C．D．
3.如圖，直線，的直角頂點A落在直線上，點B落在直線上，
若，，則的大小為（）

A．B．C．D．
4.實數(shù)m，n在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）
A． B． C．D．
5. 下列新能源汽車標(biāo)志圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）
A． B． C． D．
6. 若點A(?1，a)，B(1，b)，C(2，c)在反比例函數(shù)的圖象上，則a，b，c的大小關(guān)系是（）
A．B．C．D．
7. 從甲、乙、丙三人中任選兩人參加青年志愿者活動，甲被選中的概率是（）
A．B．C．D．
8. 如圖，⊙O中，點D，A分別在劣弧BC和優(yōu)弧BC上，∠BDC=130°，則∠BOC =（）

A．120°B．110°C．105°D．100°
如圖，在中，，，以為圓心，任意長為半徑畫弧分別交、于點和，再分別以、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接并延長交于點，
以下結(jié)論錯誤的是（）
A．是的平分線B．
C．點在線段的垂直平分線上D．
定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點，當(dāng)點滿足時，
稱點是點的“倍增點”，已知點，有下列結(jié)論：
①點，都是點的“倍增點”；
②若直線上的點A是點的“倍增點”，則點的坐標(biāo)為；
③拋物線上存在兩個點是點的“倍增點”；
④若點是點的“倍增點”，則的最小值是．
其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．直接填寫答案．
11.已知實數(shù)a，b，滿足，，則的值為____________．
12. 一個袋子中裝有4個黑球和個白球，這些球除顏色外其余完全相同，搖勻后隨機摸出一個，
摸到白球的概率為，則白球的個數(shù)為___________
13. 代數(shù)式與代數(shù)式的值相等，則x＝____________．
14. 如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，以頂點A為圓心，AB的長為半徑畫圓，
則圖中陰影部分的面積為．

小澤和小帥兩同學(xué)分別從甲地出發(fā)，騎自行車沿同一條路到乙地參加社會實踐活動，
如圖折線和線段分別表示小澤和小帥離甲地的距離（單位：千米）與時間（單位：小時）
之間函數(shù)關(guān)系的圖象，則當(dāng)小帥到達(dá)乙地時，小澤距甲地的距離為___________千米．
如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB=12，AD=10，點E是CD的中點．將這張紙片依次折疊兩次；
如圖2，第一次折疊紙片使點A與點E重合，折痕為MN，連接ME、NE；
如圖3，第二次折疊紙片使點N與點E重合，點B落在處，折痕為HG，連接HE，
則____________．
三、解答題：本題共10小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17.計算：．
18. 解不等式組：，并寫出它的所有非負(fù)整數(shù)解．
19. 如圖，在?ABCD中，點E是AB邊的中點，DE的延長線與CB的延長線交于點F．求證：BC=BF．
圖1是安裝在傾斜屋頂上的熱水器，圖2是安裝熱水器的側(cè)面示意圖．
已知屋面AE的傾斜角為，長為3米的真空管AB與水平線AD的夾角為，
安裝熱水器的鐵架豎直管CE的長度為0.5米．
(1)真空管上端B到水平線AD的距離．
(2)求安裝熱水器的鐵架水平橫管BC的長度．（結(jié)果精確到0.1米）
參考數(shù)據(jù)：，，，，，
某校為加強書法教學(xué)，了解學(xué)生現(xiàn)有的書寫能力，隨機抽取了部分學(xué)生進(jìn)行測試，
測試結(jié)果分為優(yōu)秀、良好、及格、不及格四個等級，分別用A，B，C，D表示，
并將測試結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．

請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息解答以下問題；
本次抽取的學(xué)生共有_______人，扇形統(tǒng)計圖中A所對應(yīng)扇形的圓心角是______°，
并把條形統(tǒng)計圖補充完整；
依次將優(yōu)秀、良好、及格、不及格記為90分、80分、70分、50分，
則抽取的這部分學(xué)生書寫成績的眾數(shù)是_______分，中位數(shù)是_______分，平均數(shù)是_______分；
若該校共有學(xué)生2800人，請估計一下，書寫能力等級達(dá)到優(yōu)秀的學(xué)生大約有_____人：
A等級的4名學(xué)生中有3名女生和1名男生，現(xiàn)在需要從這4人中隨機抽取2人參加電視臺舉辦的
“中學(xué)生書法比賽”，請用列表或畫樹狀圖的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．
如圖，在中，，點F在上，以為直徑的恰好經(jīng)過點E，
且邊與切于點E，連接．

(1)求證：平分；
(2)若，求的長．
第19屆杭州亞運會，吉祥物為“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”，
如圖，某校準(zhǔn)備舉行“第19屆亞運會”知識競賽活動，
擬購買30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”）作為競賽獎品．某商店有甲，乙兩種規(guī)格，
其中乙規(guī)格比甲規(guī)格每套貴20元．

(1)若用700元購買甲規(guī)格與用900元購買乙規(guī)格的數(shù)量相同，求甲、乙兩種規(guī)格每套吉祥物的價格；
(2)在（1）的條件下，若購買甲規(guī)格數(shù)量不超過乙規(guī)格數(shù)量的2倍，如何購買才能使總費用最少？
如圖，直線y=﹣x+3與雙曲線數(shù)y=（k≠0）在第一象限交于A（1，a）和B兩點，與x軸交于點C．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點P在x軸上，且△APC的面積為5，求點P的坐標(biāo)；
（3）若點P在y軸上，是否存在點P，使△ABP是以AB為一直角邊的直角三角形？
若存在，求出所有符合條件的P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
25. 如圖，拋物線與x軸交于，B兩點，與y軸交于點C，連接．
(1)求拋物線的解析式．
(2)點P是第三象限拋物線上一點，直線與y軸交于點D，的面積為12，求點P的坐標(biāo)．
(3)拋物線上是否存在點Q使得？若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
26 . 在中，，，點D在BC上，且滿足，
將線段DB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)至DE，連接CE，BE，以CE為斜邊在其右側(cè)作直角三角形CEF，
且，，連接AF．

如圖1，當(dāng)點E落在BC上時，直接寫出線段BE與線段AF的數(shù)量關(guān)系；
如圖2，在線段DB旋轉(zhuǎn)過程中，（1）中線段BE與線段AF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？
請利用圖2說明理由；
如圖3，連接DF，若，求線段DF長度的最小值．
2024年山東省濟南市長清區(qū)第三初級中學(xué)中考一模通關(guān)數(shù)學(xué)試題（解析版）
本試卷共26題，滿分150分．考試時間為120分鐘．
注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．
如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．
回答非選擇題時，用0．5mm黑色簽字筆將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．每小題只有一個選項符合題目要求．
1. 下圖是由一個長方體和一個圓柱組成的幾何體，它的俯視圖是（）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)從上面看得到的圖形是俯視圖即可解答．
【詳解】解：從上面看下邊是一個矩形，矩形的上邊是一個圓，
故選：D．
第24屆北京冬季奧運會總建筑面積約為平方米，數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法：，，為整數(shù)，進(jìn)行表示即可．確定，的值，即可．
【詳解】解：；
故選：B．
3.如圖，直線，的直角頂點A落在直線上，點B落在直線上，
若，，則的大小為（）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，進(jìn)行求解即可.
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴.
故選：C
4.實數(shù)m，n在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）
A． B． C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)數(shù)軸的位置，可得，，逐項分析判斷即可求解．
【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸的位置，可得，，，
A．，錯誤，不符合題意；
B．，正確，符合題意；
C．，錯誤，不符合題意；
D．，錯誤，不符合題意．
故選：B．
5. 下列新能源汽車標(biāo)志圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．
【詳解】解：A、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意；
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；
C、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；
D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；
故選A．
6. 若點A(?1，a)，B(1，b)，C(2，c)在反比例函數(shù)的圖象上，則a，b，c的大小關(guān)系是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出a、b、c的值，判斷即可；
【詳解】∵點A(?1，a)，B(1，b)，C(2，c)在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，，，
∵，
∴
故選：C．
7. 從甲、乙、丙三人中任選兩人參加青年志愿者活動，甲被選中的概率是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】畫出樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中甲被選中的結(jié)果有4種，由概率公式即可得出結(jié)果．
【詳解】解：根據(jù)題意畫圖如下：
共有6種等可能的結(jié)果數(shù)，其中甲被選中的結(jié)果有4種，
則甲被選中的概率為．
故選：C．
8. 如圖，⊙O中，點D，A分別在劣弧BC和優(yōu)弧BC上，∠BDC=130°，則∠BOC =（）

A．120°B．110°C．105°D．100°
【答案】D
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，對角互補可知，∠D+∠BAC=180°，求出∠D，再利用圓周角定理即可得出．
【詳解】解：∵四邊形ABDC為圓內(nèi)接四邊形
∴∠A+∠BDC=180°
∵∠BDC=130°
∴∠A=50°
∴∠BOC=2∠A=100°
故選：D．
如圖，在中，，，以為圓心，任意長為半徑畫弧分別交、于點和，再分別以、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接并延長交于點，
以下結(jié)論錯誤的是（）
A．是的平分線B．
C．點在線段的垂直平分線上D．
【答案】D
【分析】由作圖可得：平分可判斷A，再求解可得可判斷B，再證明可判斷C，過作于再證明再利用，可判斷D 從而可得答案．
【詳解】解：

由作圖可得：平分故A不符合題意；

故B不符合題意；

在的垂直平分線上，故C不符合題意；
過作于
平分

故D符合題意；
故選：D．
定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點，當(dāng)點滿足時，
稱點是點的“倍增點”，已知點，有下列結(jié)論：
①點，都是點的“倍增點”；
②若直線上的點A是點的“倍增點”，則點的坐標(biāo)為；
③拋物線上存在兩個點是點的“倍增點”；
④若點是點的“倍增點”，則的最小值是．
其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】①根據(jù)題目所給“倍增點”定義，分別驗證即可；②點，根據(jù)“倍增點”定義，列出方程，求出a的值，即可判斷；③設(shè)拋物線上點是點的“倍增點”，根據(jù)“倍增點”定義列出方程，再根據(jù)判別式得出該方程根的情況，即可判斷；④設(shè)點，根據(jù)“倍增點”定義可得，根據(jù)兩點間距離公式可得，把代入化簡并配方，即可得出的最小值為，即可判斷．
【詳解】解：①∵，，
∴，
∴，則是點的“倍增點”；
∵，，
∴，
∴，則是點的“倍增點”；
故①正確，符合題意；
②設(shè)點，
∵點A是點的“倍增點”，
∴，
解得：，
∴，
故②不正確，不符合題意；
③設(shè)拋物線上點是點的“倍增點”，
∴，整理得：，
∵，
∴方程有兩個不相等實根，即拋物線上存在兩個點是點的“倍增點”；
故③正確，符合題意；
④設(shè)點，
∵點是點的“倍增點”，
∴，
∵，，
∴
，
∵，
∴的最小值為，
∴的最小值是，
故④正確，符合題意；
綜上：正確的有①③④，共3個．
故選：C．
二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．直接填寫答案．
11.已知實數(shù)a，b，滿足，，則的值為____________．
【答案】42
【解析】
【分析】首先提取公因式，將已知整體代入求出即可．
【詳解】
．
故答案為：42．
12. 一個袋子中裝有4個黑球和個白球，這些球除顏色外其余完全相同，搖勻后隨機摸出一個，
摸到白球的概率為，則白球的個數(shù)為___________
【答案】6
【分析】根據(jù)白球概率求出黑球概率，黑球共有4個，就可以求出球的總數(shù)，再減去黑球個數(shù)即可解答．
【詳解】解：∵搖勻后隨機摸出一個，摸到白球的概率為，
∴摸到黑球的概率為．
∵袋子中有4個黑球，
∴袋子中共有10個球，
∴白球有6個．
故答案為：6．
13. 代數(shù)式與代數(shù)式的值相等，則x＝____________．
【答案】7
【分析】根據(jù)題意列出分式方程，求出方程的解，得到x的值即可．
【詳解】解：∵代數(shù)式與代數(shù)式的值相等，
∴，
去分母
，
去括號號
，
解得，
檢驗：當(dāng)時，，
∴分式方程的解為．
故答案為：7．
14. 如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，以頂點A為圓心，AB的長為半徑畫圓，
則圖中陰影部分的面積為．

【答案】
【分析】延長FA交⊙A于G，如圖所示：根據(jù)六邊形ABCDEF是正六邊形，AB=2，
利用外角和求得∠GAB=，再求出正六邊形內(nèi)角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
利用扇形面積公式代入數(shù)值計算即可．
【詳解】解：延長FA交⊙A于G，如圖所示：
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，AB=2，
∴∠GAB=，
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案為．
小澤和小帥兩同學(xué)分別從甲地出發(fā)，騎自行車沿同一條路到乙地參加社會實踐活動，
如圖折線和線段分別表示小澤和小帥離甲地的距離（單位：千米）與時間（單位：小時）
之間函數(shù)關(guān)系的圖象，則當(dāng)小帥到達(dá)乙地時，小澤距甲地的距離為___________千米．
【答案】
【分析】設(shè)直線的解析式為：，直線的解析式為：；得到直線和的解析式，求出當(dāng)時，的值，即可．
【詳解】由圖象可知，點和在直線上，
∴設(shè)直線的解析式為：，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為：；
當(dāng)時，，
∴，
∵點，點在直線上，
∴直線的解析式為：，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為：；
∴當(dāng)時，，
∴小澤距甲地的距離為：（千米）．
故答案為：．
如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB=12，AD=10，點E是CD的中點．將這張紙片依次折疊兩次；
如圖2，第一次折疊紙片使點A與點E重合，折痕為MN，連接ME、NE；
如圖3，第二次折疊紙片使點N與點E重合，點B落在處，折痕為HG，連接HE，
則____________．
【答案】
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，是的中點，是斜邊上的中線，故有，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，可求的值，如圖，作，四邊形是矩形，，有即，可求的值，進(jìn)而可求的值，根據(jù)，求的值，進(jìn)而可求的值．
【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知，，，，是線段的垂直平分線
∴，
∴
∴是的中點
∴是斜邊上的中線
∴
∴
設(shè)，則
在中，由勾股定理得即
解得
∴
如圖，作
∵
∴四邊形是矩形
∵
∴
∴
∴即
解得
∴
∴
∴
故答案為：．
三、解答題：本題共10小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17.計算：．
【答案】2
【分析】首先計算零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值和絕對值，然后計算乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值即可．
【詳解】解：

．
18. 解不等式組：，并寫出它的所有非負(fù)整數(shù)解．
【答案】；非負(fù)整數(shù)解為0、1、2、3
【分析】先求出每個不等式的解集，再找出不等式組的解集，最后找出非負(fù)整數(shù)解即可．
【詳解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
原不等式組的解集是，
非負(fù)整數(shù)解為0、1、2、3．
19. 如圖，在?ABCD中，點E是AB邊的中點，DE的延長線與CB的延長線交于點F．求證：BC=BF．
【答案】證明見解析
【分析】首先由平行四邊形的性質(zhì)可得AD=BC，再由全等三角形的判定定理AAS可證明△ADE≌△BFE由此可得AD=BF，進(jìn)而可證明BC=BF．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ADBC，AD=BC，
又∵點F在CB的延長線上，
∴ADCF，
∴∠1=∠2．
∵點E是AB邊的中點，
∴AE=BE．
在△ADE與△BFE中，
∵∠DEA=∠FEB，∠1=∠2，AE=BE，
∴△ADE≌△BFE（AAS），
∴AD=BF，
∴BC=BF．
圖1是安裝在傾斜屋頂上的熱水器，圖2是安裝熱水器的側(cè)面示意圖．
已知屋面AE的傾斜角為，長為3米的真空管AB與水平線AD的夾角為，
安裝熱水器的鐵架豎直管CE的長度為0.5米．
(1)真空管上端B到水平線AD的距離．
(2)求安裝熱水器的鐵架水平橫管BC的長度．（結(jié)果精確到0.1米）
參考數(shù)據(jù)：，，，，，
【答案】(1)1.8米
(2)0.9米
【分析】（1）過B作BF⊥AD于F．構(gòu)建Rt△ABF中，根據(jù)三角函數(shù)的定義與三角函數(shù)值即可求出答案．
（2）根據(jù)BF的長可求出AF的長，再判定出四邊形BFDC是矩形，可求出AD，根據(jù)BC＝DF＝AD?AF計算即可．
【詳解】（1）如圖，過B作BF⊥AD于F．
在Rt△ABF中，
∵sin∠BAF＝，
∴BF＝ABsin∠BAF＝3sin37°≈1.8．
∴真空管上端B到AD的距離約為1.8米．
（2）在Rt△ABF中，
∵cs∠BAF＝，
∴AF＝ABcs∠BAF＝3cs37°≈2.4，
∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，
∴四邊形BFDC是矩形．
∴BF＝CD，BC＝FD，
∵EC＝0.5米，
∴DE＝CD?CE＝1.3米，
在Rt△EAD中，
∵tan∠EAD＝，
∴，
∴AD＝3.25米，
∴BC＝DF＝AD?AF＝3.25?2.4＝0.85≈0.9
∴安裝熱水器的鐵架水平橫管BC的長度約為0.9米．
某校為加強書法教學(xué)，了解學(xué)生現(xiàn)有的書寫能力，隨機抽取了部分學(xué)生進(jìn)行測試，
測試結(jié)果分為優(yōu)秀、良好、及格、不及格四個等級，分別用A，B，C，D表示，
并將測試結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．

請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息解答以下問題；
本次抽取的學(xué)生共有_______人，扇形統(tǒng)計圖中A所對應(yīng)扇形的圓心角是______°，
并把條形統(tǒng)計圖補充完整；
依次將優(yōu)秀、良好、及格、不及格記為90分、80分、70分、50分，
則抽取的這部分學(xué)生書寫成績的眾數(shù)是_______分，中位數(shù)是_______分，平均數(shù)是_______分；
若該校共有學(xué)生2800人，請估計一下，書寫能力等級達(dá)到優(yōu)秀的學(xué)生大約有_____人：
A等級的4名學(xué)生中有3名女生和1名男生，現(xiàn)在需要從這4人中隨機抽取2人參加電視臺舉辦的
“中學(xué)生書法比賽”，請用列表或畫樹狀圖的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．
【答案】(1)40；36；見解析
(2)70；70；66.5
(3)280
(4)
【分析】（1）由C等級人數(shù)及其所占百分比可得總?cè)藬?shù)，用360°乘以A等級人數(shù)所占比例即可得；
（2）由中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)的定義結(jié)合數(shù)據(jù)求解即可；
（3）利用總?cè)藬?shù)乘以樣本中A等級人數(shù)所占比例即可得；
（4）列表或畫樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出剛好抽到一男一女的情況數(shù)，即可求出所求的概率．
【詳解】（1）本次抽取的學(xué)生人數(shù)是（人），
扇形統(tǒng)計圖中A所對應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)是，
故答案為40人、36°；
B等級人數(shù)為（人），
補全條形圖如下：
（2）由條形統(tǒng)計圖可知眾數(shù)為：70
由A、B、C的人數(shù)相加得：4+6+16=26>20，所以中位數(shù)為：70
平均數(shù)為：
（3）等級達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)大約有（人）；
（4）畫樹狀圖為：
∵共有12種等可能情況，1男1女有6種情況，
∴被選中的2人恰好是1男1女的概率為．
如圖，在中，，點F在上，以為直徑的恰好經(jīng)過點E，
且邊與切于點E，連接．

(1)求證：平分；
(2)若，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)．
【分析】（1）根據(jù)半徑相等以及切線的性質(zhì)證明，可推出，即可證明平分；
（2）設(shè)的半徑為R，在中，由勾股定理列式計算求得，再證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）證明：連接，
∵，
∴，
∵與切于點E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵，
∴，
設(shè)的半徑為R，則，
在中，
由勾股定理得：，即，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
第19屆杭州亞運會，吉祥物為“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”，
如圖，某校準(zhǔn)備舉行“第19屆亞運會”知識競賽活動，
擬購買30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”）作為競賽獎品．某商店有甲，乙兩種規(guī)格，
其中乙規(guī)格比甲規(guī)格每套貴20元．

(1)若用700元購買甲規(guī)格與用900元購買乙規(guī)格的數(shù)量相同，求甲、乙兩種規(guī)格每套吉祥物的價格；
(2)在（1）的條件下，若購買甲規(guī)格數(shù)量不超過乙規(guī)格數(shù)量的2倍，如何購買才能使總費用最少？
（1）解：設(shè)甲規(guī)格吉祥物每套價格元，則乙規(guī)格每套價格為元，
根據(jù)題意，得，
解得．
經(jīng)檢驗，是所列方程的根，且符合實際意義．
．
答：甲規(guī)格吉祥物每套價格為70元，乙規(guī)格每套為90元．
（2）解：設(shè)乙規(guī)格購買套，甲規(guī)格購買套，總費用為元
根據(jù)題意，得
，
解得，
，
，
隨的增大而增大．
當(dāng)時，最小值．
故乙規(guī)格購買10套、甲規(guī)格購買20套總費用最少．
如圖，直線y=﹣x+3與雙曲線數(shù)y=（k≠0）在第一象限交于A（1，a）和B兩點，與x軸交于點C．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點P在x軸上，且△APC的面積為5，求點P的坐標(biāo)；
（3）若點P在y軸上，是否存在點P，使△ABP是以AB為一直角邊的直角三角形？
若存在，求出所有符合條件的P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）（﹣2，0）或（8，0）；（3）存在，P（0，1）或 P（0，﹣1）
【分析】（1）將點A坐標(biāo)代入兩個解析式可求a的值，k的值，即可求解；
（2）設(shè)P（x，0），由三角形的面積公式可求解；
（3）分兩種情況討論，由兩點距離公式分別求出AP，AB，BP的長，由勾股定理可求解.
【詳解】（1）把點A（1，a）代入y=﹣x+3，得a=2，
∴A（1，2），
把A（1，2）代入反比例函數(shù)y=，
∴k=1×2=2；
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）∵一次函數(shù)y=﹣x+3的圖象與x軸交于點C，
∴C（3，0），
設(shè)P（x，0），
∴PC=|3﹣x|，
∴S△APC=|3﹣x|×2=5，
∴x=﹣2或x=8，
∴P的坐標(biāo)為（﹣2，0）或（8，0）；
（3）存在，
理由如下：聯(lián)立，
解得：或，
∴B點坐標(biāo)為（2，1），
∵點P在y軸上，
∴設(shè)P（0，m），
∴AB=，AP=，PB=,
若BP為斜邊，
∴BP2=AB2+AP2 ，
即 =2+，
解得：m=1，
∴P（0，1）；
若AP為斜邊，
∴AP2=PB2+AB2 ，
即 =+2，
解得：m=﹣1，
∴P（0，﹣1）；
綜上所述：P（0，1）或 P（0，﹣1）.
25. 如圖，拋物線與x軸交于，B兩點，與y軸交于點C，連接．
(1)求拋物線的解析式．
(2)點P是第三象限拋物線上一點，直線與y軸交于點D，的面積為12，求點P的坐標(biāo)．
(3)拋物線上是否存在點Q使得？若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）先由的面積求出的長，從而確定點坐標(biāo)為，再由待定系數(shù)法求出直線的解析式，直線與拋物線的交點即為所求；
（3）根據(jù)題意當(dāng)點Q在第一象限時，利用二次函數(shù)的對稱性求解；當(dāng)點Q在第四象限時，設(shè)與x軸交于點E，首先根據(jù)勾股定理求出點E的坐標(biāo)，然后求出的解析式，最后聯(lián)立直線和拋物線即可求出點Q的坐標(biāo)．
【詳解】（1）將，代入，
，
解得，
；
（2）令，則，
解得或，
，
，
，
，
，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得，
，
聯(lián)立方程組，
解得或，
；
（3）如圖所示，當(dāng)點Q在第一象限拋物線上時，
∵
∴
∴點Q和點C關(guān)于對稱軸對稱
∵，
∴拋物線的對稱軸為
∵
∴點Q的坐標(biāo)為；
如圖所示，當(dāng)點Q在第四象限的拋物線上時，設(shè)與x軸交于點E
∵
∴
∴設(shè)
∵，
∴，
∴在中，，即
∴解得
∴
∴
∴設(shè)直線的解析式為
將，代入得，
∴解得
∴
∴聯(lián)立直線和拋物線得，
∴解得
∴將代入得，
∴點Q的坐標(biāo)為．
綜上所述，點Q的坐標(biāo)為或．
26 . 在中，，，點D在BC上，且滿足，
將線段DB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)至DE，連接CE，BE，以CE為斜邊在其右側(cè)作直角三角形CEF，
且，，連接AF．

(1)如圖1，當(dāng)點E落在BC上時，直接寫出線段BE與線段AF的數(shù)量關(guān)系；
(2)如圖2，在線段DB旋轉(zhuǎn)過程中，（1）中線段BE與線段AF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？
請利用圖2說明理由；
(3)如圖3，連接DF，若，求線段DF長度的最小值．
【答案】(1)
(2)成立，見解析
(3)
【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)可得AC=BC，由旋轉(zhuǎn)的的性質(zhì)可得BD=DE=BC，BE=BC，由直角三角形的性質(zhì)可求CF=CE=CB，即可求解；
（2）通過證明△CBE∽△CAF，由相似三角形的性質(zhì)可得，則可得出結(jié)論；
（3）在CA上截取CG，使，連接GF，證明，求得，即點F在以G為圓心，以1為半徑的圓上運動，當(dāng)D，G，F(xiàn)三點共線，且點F在DG之間時，DF取得最小值，最小值為，再證明即可進(jìn)一步得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，
∴AC=BC，
∵BD=BC，將線段DB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)至DE，
∴BD=DE=BC，BE=CB，
∴CE=CB，
∵∠CFE=90°，∠ECF=60°，
∴∠CEF=30°，
∴CF=CE=CB，
∴AF=AC-CF=CB，
∴BE=2AF；
故答案為：BE=2AF；
（2）結(jié)論仍然成立，；
證明：理由如下：
在中，，，
∴，，
同理可證，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）在CA上截取CG，使，連接GF，
∴，
∵由（2）知，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，D，G分別是BC，AC三等分點，，
∴，，，
∴，即點F在以G為圓心，以1為半徑的圓上運動，
∴當(dāng)D，G，F(xiàn)三點共線，且點F在DG之間時，DF取得最小值，最小值為，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴線段DF長度的最小值為．

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