2024年山東省濟南市萊蕪區(qū)九年級二?？荚嚁?shù)學試題（原卷版+解析版）

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本試題分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷共2頁，滿分為40分；第Ⅱ卷共4頁，滿分為110分．本試題共6頁，滿分為150分，考試時間為120分鐘，答卷前，考生務必用0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的考點、姓名、準考證號、座號填寫在答題卡上和試卷規(guī)定的位置上，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回，本考試不允許使用計算器．
第Ⅰ卷（選擇題 共40分）
注意事項：第Ⅰ卷為選擇題，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．答案寫在試卷上無效．
一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）
1. 6的算術平方根是（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)算術平方根的定義：如果一個正數(shù)的平方等于，那么這個正數(shù)叫做的算術平方根．
【詳解】解：6的算術平方根是，
故選：C．
【點睛】本題考查了求一個數(shù)的算術平方根，熟記算術平方根的概念是解題關鍵．
2. 已知水星的半徑約為24400000米，用科學記數(shù)法表示為（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．
【詳解】解：將數(shù)24400000米用科學記數(shù)法表示是米．
故選：C．
3. 如圖，將一副三角板按不同位置擺放，其中和不一定相等的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了余角和對頂角的性質(zhì)，主要考查學生的觀察圖形的能力和理解能力．根據(jù)對頂角和余角的性質(zhì)即可判斷．
【詳解】解：A、∠α與∠β互余，但不一定相等，故本選項符合題意；
B、根據(jù)同角的余角相等，則和一定相等，故本選項不合題意；
C、根據(jù)等角的余角相等，則和一定相等，故本選項不合題意；
D、根據(jù)對頂角相等，則和一定相等，故本選項不合題意；
故選：A．
4. 將一張正方形紙片按如圖所示方式連續(xù)對折兩次，并在中心點處打孔，則展開后的圖形是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】嚴格按照圖中的方法親自動手操作一下，即可很直觀地呈現(xiàn)出來．
【詳解】解：由折疊可知，得到的四個圓形小洞一定不在一條直線上，故C不正確；
四個圓形小洞不靠近原正方形的四邊中間，所以A不正確；
選項B的位置也不符合原題意的要求，
故只有D是按要求得到的．
故選：D．
【點睛】本題主要考查學生的動手能力及空間想象能力．對于此類問題，學生只要親自動手操作，答案就會很直觀地呈現(xiàn)．
5. 華為手機鎖屏密碼是6位數(shù)，若密碼的前5位數(shù)字已經(jīng)知道，則一次解鎖該手機密碼的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】考查了概率公式，如果一個事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現(xiàn)種可能，那么事件的概率．
最后一個數(shù)字可能是中任一個．總共有十種情況，其中解鎖只有一種情況．利用概率公式進行計算即可．
【詳解】解：一次解鎖該手機密碼的概率是．
故選：B．
6. 若關于的分式方程有增根，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)關于分式方程有增根得出最簡公分母為，把分式方程化為整式方程，再把增根代入計算即可．
【詳解】解：∵關于的分式方程有增根，
∴，
解得：，
原分式方程去分母后得：，
∴，
解得：．
故選：C．
【點睛】本題考查分式方程的增根，解題的關鍵是掌握最簡公分母為是分式方程有增根的條件．
7. 如圖，△ABC的面積為9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，連接PC，則△PBC的面積為（ ）
A. 3cm2B. 4cm2C. 4.5cm2D. 5cm2
【答案】C
【解析】
【分析】證△ABP≌△EBP，推出AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出，代入求出即可．
【詳解】延長AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，
∠ABP＝∠EBP
BP＝BP
∠APB＝∠EPB，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴，
故答案選：C．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積的應用，注意：等底等高的三角形的面積相等．
8. 如圖，在平面直角坐標系中，點P在反比例函數(shù)的圖象上，點A，B在x軸上，且，交y軸于點C，．若的面積是4，則k的值是（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義的應用，等邊三角形的確定、三角形中線平分面積是解題關鍵．
連接，作軸于D，根據(jù)三角形中線平分面積求出三角形的面積，再求證出三角形是等邊三角形，再利用反比例函數(shù)的幾何意義求出k即可．
【詳解】解：連接，作軸于D，
的面積是4，，
的面積為2，
，，
，
，
，
，
為等邊三角形，
，
，
，
∵反比例函數(shù)的圖象位于第一象限，
．
故答案為：B．
9. 如圖，菱形的周長為20，對角線長為8，則邊上的高為（ ）
A. 4B. 5C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了菱形對角線互相垂直平分的性質(zhì)，菱形各邊長相等的性質(zhì)，勾股定理在直角三角形中的運用．根據(jù)菱形的周長可以計算菱形的邊長，菱形的對角線互相垂直平分，已知根據(jù)勾股定理即可求得的值，再利用菱形的面積公式即可求解．
【詳解】解：菱形的周長為20，，
，，
四邊形是菱形，
，，
．
．
∵，
∴，
故選：C．
10. 對于二次函數(shù)，定義函數(shù)是它的相關函數(shù)．若一次函數(shù)與二次函數(shù)的相關函數(shù)的圖象恰好兩個公共點，則的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點問題，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分兩種情況解答：一次函數(shù)分別與，相交一點；一次函數(shù)與有兩個交點，與不相交 ；求出的取值范圍，即可求解，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關鍵．
【詳解】解：當時，二次函數(shù)的相關函數(shù)為
當時，二次函數(shù)的相關函數(shù)為，
∴二次函數(shù)的相關函數(shù)為，
二次函數(shù)的圖象開口向上，與軸的交點為，對稱軸為直線,
當時，隨的增大而減小，當 時，隨的增大而增大；
二次函數(shù)圖象開口向下，與軸的交點為，對稱軸為直線，當時，隨的增大而增大；
一次函數(shù)與軸的交點為
一次函數(shù)與二次函數(shù)的相關函數(shù)的圖象恰好兩個公共點可分為兩種情況：
一次函數(shù)分別與，相交一點，
則有，
解得；
一次函數(shù)與有兩個交點，與不相交 ，
則有，
解得，
且，
即有兩個不相等的實數(shù)根，
∴，
解得，
∴；
綜上所述，或，
∴的值可能是，
故選：．
第Ⅱ卷（非選擇題 共110分）
注意事項：
1．第Ⅱ卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應的位置，不能寫在試卷上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶．不按以上要求作答的答案無效．
2．填空題請直接填寫答案，解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）
11. 一元二次方程x2﹣2x=0的解是_____．
【答案】
【解析】
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【詳解】方程整理得：x(x﹣2)=0
可得x=0或x﹣2=0
解得：x1=0，x2=2
故答案為：x1=0，x2=2．
12. “學史明智”，歷史是最好的教科書，也是最好的清醒劑和營養(yǎng)劑．在如圖所示的四張無差別卡片上分別寫有不同的歷史事件，將卡片置于暗箱搖勻后隨機抽取兩張，則所抽取事件都發(fā)生于新中國成立以后的概率為____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了利用列舉法求概率．先畫出樹狀圖，從而可得所有可能結(jié)果，再找出抽取事件都發(fā)生于新中國成立以后的結(jié)果，然后利用概率公式進行計算即可得．
【詳解】解：設①商鞅變法，②改革開放，③虎門銷煙，④香港回歸，
畫樹狀圖如下：

由樹狀圖可知共有12種等可能結(jié)果，其中所抽取事件都發(fā)生于新中國成立以后的有2種結(jié)果，
所以所抽取事件都發(fā)生于新中國成立以后的概率為．
故答案為：．
13. 已知一個正多邊形的每個外角為，則這個多邊形的邊數(shù)是______．
【答案】8##八
【解析】
【分析】本題主要考查了多邊形的外角，解題的關鍵是掌握多邊形的外角和是．利用外角和定理求出邊數(shù)即可．
【詳解】解：，
故答案為：8．
14. 若不等式組無解，則m的取值范圍是_____________
【答案】m≥7
【解析】
【分析】由求不等式組解集的口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解了”，依據(jù)不等式的無解的情況即可求解．
【詳解】解：∵不等式組無解，
∴m≥7．
故答案為：m≥7
【點睛】此題主要考查不等式無解的情況，解題的關鍵是熟知求不等式的解集口訣，同時注意界點的取值．
15. 如圖1，在長方形中，動點R從點N出發(fā)，沿方向運動至點M處停止，設點R運動的路程為x，三角形的面積為y，如果y隨x變化的圖象如圖2所示，則三角形的最大的面積是______．
【答案】12
【解析】
【分析】本題考查了動點問題的函數(shù)圖像，解決本題的關鍵是理解函數(shù)圖像與原矩形的關系．根據(jù)題意利用隨變化的圖像可得，，進而可以解決問題．
【詳解】解：當在上運動時，面積不斷在增大，當?shù)竭_點時，面積開始不變，到達后面積不斷減小，
由圖可知：當時，點與點重合，，
當時，點與點重合，，
長方形的面積為：，即三角形的最大面積是，
故答案為：．
16. 如圖，在正方形中，是等邊三角形，、的延長線分別交于點、，連接、，與相交于點．給出下列結(jié)論：①；②；③；④；其中正確的是______．

【答案】①②③④
【解析】
【分析】由正方形的性質(zhì)得出，，由等邊三角形的性質(zhì)得出，，進而得出，即可判斷選項①；由等腰三角形的性質(zhì)得出，由正方形對角線的性質(zhì)得出，得，得出，由平行線的性質(zhì)得出，得出，即可判斷選項②；由三角形內(nèi)角和定理求出，進而求出，即可判斷選項③；由，，得出，由相似三角形的性質(zhì)即可判斷選項④；從而得出答案．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，是等邊三角形，
∴，，，，，
∴，，，
∴，，
∴結(jié)論①正確；
∴，
∵是正方形的對角線，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴結(jié)論②正確；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴結(jié)論③正確；
∵°，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴結(jié)論④正確；
∴正確的是①②③④．
故答案為：①②③④．
【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識是解題的關鍵．
三、解答題：（本大題共10個小題，共86分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17. 計算：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了實數(shù)的運算，利用負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、絕對值的意義，二次根式的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)化簡計算即可．
【詳解】解：原式
．
18. 解不等式組并把解集在數(shù)軸上表示出來.

【答案】，在數(shù)軸上表示見解析
【解析】
【分析】本題考查解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解題關鍵．先解出每個不等式的解集，再取公共解集，最后在數(shù)軸上表示出來即可．
【詳解】解：，
解得，
解得，
在數(shù)軸上表示為：

∴不等式組的解集為．
19. 如圖，四邊形是平行四邊形，F(xiàn)是中點，延長交延長線于點E．證明：．
【答案】見解析
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定是解題的關鍵；由平行四邊形的性質(zhì)可得，進而可證，即可證明；
【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵F是中點，
，
∴，
；
20. 小偉站在一個深為3米的泳池邊，他看到泳池內(nèi)有一塊鵝卵石，據(jù)此他提出問題：鵝卵石的像到水面的距離是多少米？小偉利用光學知識和儀器測量數(shù)據(jù)解決問題，具體研究方案如下：
請你根據(jù)上述信息解決以下問題：
（1）求的大??；
（2）求鵝卵石的像G到水面的距離．（結(jié)果精確到）
（參考數(shù)據(jù)：，，，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是：
（1）根據(jù)，求出，然后結(jié)合即可求解；
（2）先求出，在中，利用正切定義求出，在中，，利用正切定義求出即可．
【小問1詳解】
解：∵，
∴，
又，
∴，
又，
∴；
【小問2詳解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
在中，，
∴．
21. 青少年體重指數(shù)（）是評價青少年營養(yǎng)狀況、肥胖的一種衡量方式．其中體重指數(shù)計算公式：（），其中表示體重（），表示身高（）．《國家學生體質(zhì)健康標準》將學生體重指數(shù)（）分成四個等級（如表），為了解學校學生體重指數(shù)分布情況，八年級某數(shù)學綜合實踐小組開展了一次調(diào)查．
【數(shù)據(jù)收集】小組成員從本校學生中隨機抽取部分學生進行問卷調(diào)查，并收集數(shù)據(jù)：
【數(shù)據(jù)整理】調(diào)查小組根據(jù)收集的數(shù)據(jù)，繪制了兩組不完整的統(tǒng)計圖．
【問題解決】根據(jù)以上信息，解決下列問題：
（1）若一位男生的身高為，體重為，則他的體重指數(shù)（）屬于_____等級；（填“”，“”，“”，“”）
（2）求本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)，并補全條形統(tǒng)計圖；
（3）求扇形統(tǒng)計圖中表示體重指數(shù)（）“”等級的扇形的圓心角的度數(shù)；
（4）若該校共有2000名學生，估計全校體重指數(shù)為“肥胖”的學生約為多少人？
【答案】（1）
（2）調(diào)查的總?cè)藬?shù)為人，條形統(tǒng)計圖見解析
（3）
（4）人
【解析】
【分析】本題考查了頻數(shù)分布表與扇形統(tǒng)計圖，求扇形統(tǒng)計圖的圓心角及樣本估計總體，從統(tǒng)計圖表中獲取信息是解題的關鍵．
（1）根據(jù)體重指數(shù)（）公式計算即可判斷出答案；
（2）用等級的人數(shù)除以可得總?cè)藬?shù)，用總?cè)藬?shù)乘，再減去等級的男生人數(shù)，進而得出等級的女生人數(shù)，再補全條形統(tǒng)計圖即可；
（3）用乘以等級所占的百分比即可；
（4）利用樣本估計總體，可估計出全校體重指標為“肥胖”的學生人數(shù)．
【小問1詳解】
解：（1）∵，，
∴他的體重指數(shù)（）屬于等級；
故答案為：
【小問2詳解】
本次調(diào)查的樣本容量是：，
等級的女生人數(shù)為：（人），
補全條形統(tǒng)計圖如下：
【小問3詳解】
，
答：“”等級的扇形的圓心角的度數(shù)為；
【小問4詳解】
（人），
答：估計全校體重指數(shù)為“肥胖”的學生約為120人．
22. 如圖，是的直徑，是外的一點，且，與相交于點，過點作的切線交于點．
（1）求證：；
（2）當，時，求的半徑．
【答案】（1）見詳解 （2）的半徑為
【解析】
【分析】（1）如圖，連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到結(jié)論；
（2）如圖，連接．由（1）知，，根據(jù)垂直的定義得到．根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【小問1詳解】
證明：如圖，連接．

是的切線，
，
∴，
，
．
，
，
，
，
∴，
．
【小問2詳解】
解：如圖，連接．
，
．
．
是的直徑，
，
∴，
，
．
，
，
即，
，
的半徑為．
【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確地作出輔助線是解題的關鍵．
23. 某物流公司有360箱貨物需要運送，現(xiàn)有甲、乙、丙三種車型供運輸選擇，每輛車的運載能力和運費如表所示： (假設每輛車均滿載)
（1）全部貨物一次性運送可用甲型車6輛， 乙型車4輛， 丙型車 輛：
（2）若全部貨物僅用甲、 乙兩種車型一次性運完， 需運費5100元，求甲、 乙兩種車型各需多少輛？
（3）若該公司打算用甲、 乙、丙三種車型同時參與運送， 已知車輛總數(shù)為11輛， 且一次性運完所有貨物， 請設計出所有的運送方案， 并寫出最少運費．
【答案】（1）3 （2）甲種車型需9輛，乙種車型需6輛
（3）所有的運送方案為：①甲車 1輛， 乙車6輛， 丙車4輛；②甲車2輛， 乙車4輛， 丙車5輛；③甲車3輛，乙車2輛，丙車6輛．最低運費為4400元
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程組的應用、方程的應用以及有理數(shù)的混合運算，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出二元一次方程組；
（1）利用所需丙型車的數(shù)量（貨物的總箱數(shù)每輛甲型車的運載量使用用型車的輛數(shù)一每輛乙型車的運載量使用乙型車的輛數(shù)）每輛丙型車的運載量，即可求出結(jié)論；
（2）設甲型車需x輛，乙型車需y輛，根據(jù)“甲、乙兩種車型一次性可運送360箱貨物，且需運費5100元”，可列出關于必，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（3）設使用a輛甲型車，b輛乙型車，則使用輛丙型車，根據(jù)使用的三種車型一次性可運送360箱貨物，可列出關于a，b的二元一次方程，結(jié)合a，b，均為正整數(shù)，可得出各運輸方案，再求出各方案所需運費，比較后即可得出結(jié)論．
【小問1詳解】
根據(jù)題意得：
（輛）；
故答案為：3；
【小問2詳解】
設甲種車型需x輛，乙種車型需y輛，根據(jù)題意得：

解得
答：甲種車型需9輛，乙種車型需6輛．
【小問3詳解】
設甲車有a輛，乙車有b輛，則丙車有輛， 由題意得
∵a、 b、均為正整數(shù)，
，，
∴所有的運送方案為：
①甲車 1輛， 乙車6輛， 丙車4輛；
(元)，
②甲車2輛， 乙車4輛， 丙車5輛；
(元)，
③甲車3輛，乙車2輛，丙車6輛．
(元)，
最低運費為4400元．
24. 綜合與探究
如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點，與軸交于點．
（1）求這個反比例函數(shù)的表達式；
（2）點是軸上的一個動點，連接，，當線段與之和最小時，求點的坐標；
（3）過點作直線軸，交反比例函數(shù)的圖象于點，若點是直線上的一個動點，點是平面直角系內(nèi)的一個動點，試判斷是否存在這樣的點，使得以點，，，為頂點的四邊形是菱形．若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或或或
【解析】
分析】（1）先將點代入一次函數(shù)解析式，求出點坐標，再代入反比例函數(shù)解析式，求解即可；
（2）求出點坐標，作點關于軸的對稱點，連接，與軸的交點即為點，求出的解析式，進而求出點的坐標即可；
（3）分為菱形的邊長，以及為菱形的對角線，兩種情況進行討論求解即可．
【小問1詳解】
解：把代入，得：，
∴，
∴，
∴反比例函數(shù)的解析式為：；
【小問2詳解】
∵，當時間，，
∴，
作點關于軸的對稱點，
則：，，
∴當三點共線時，的值最小，
連接，與軸的交點即為點，
設直線的解析式為：，把代入，得：，
∴，
∴當時，，
∴；
【小問3詳解】
∵過點作直線軸，交反比例函數(shù)的圖象于點，
∴點的縱坐標為，
∴，
設，設，
則：，，；
當點，，，為頂點的四邊形是菱形，分兩種情況：
①當為邊時，則：，
當時：，，
則：，解得：，
當時：，，即：；
當時：，，即：；
當時，，，
則：，解得：或（舍掉），
當時，，，即：；
②當為對角線時：則，
∴，
此時，即：，解得：，
∴，即：；
綜上：或或或．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合應用，反比例函數(shù)與幾何的綜合應用，涉及求函數(shù)解析式，利用軸對稱解決線段和最小問題，菱形的性質(zhì)．正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，進行求解，是解題的關鍵．屬于壓軸題．
25. 如圖1，△ABC是等腰直角三角形，AB＝BC，∠ABC＝90°，線段BD可繞點B在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，BD＝4．
（1）若AB＝8，在線段BD旋轉(zhuǎn)過程中，當點B，C，D三點在同一直線上時，直接寫出CD的長．
（2）如圖2，若將線段BD繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BE，連接AE，CE．
①當點D的位置由△ABC外的點D轉(zhuǎn)到其內(nèi)的點E處，且∠AEB＝135°，AE＝2時，求CE的長；
②如圖3，若AB＝8，連接DE，將△BDE繞點B在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，分別取DE，AE，AC的中點M，P，N，連接MP，PN，NM，請直接寫出△MPN面積S的取值范圍．

【答案】（1）CD的長為4或8；（2）①2；②2≤S≤18．
【解析】
【分析】（1）分兩種情形分別求解即可．
（2）①首先證明∠AED＝90°，利用勾股定理求出DE，AD，再利用全等三角形的性質(zhì)證明EC＝AD即可．
②如圖3中，連接AD，延長CE交AB于O，交AD于J．想辦法證明△PMN是等腰直角三角形，，求出AD的取值范圍即可．
【詳解】解：（1）當點D在CB的延長線上時，CD＝4+8＝12，
當點D在線段BC上時，CD＝8﹣4＝4，
故CD的長為4或12．
（2）①如圖2中，連接AD，DE．

∵BD＝BE＝4，∠DBE＝90°，
∴，∠DEB＝45°，
∵∠AEB＝135°，
∴∠AED＝90°，
∵，
∴
∵∠DBE＝∠ABC＝90°，
∴∠DBA＝∠EBC，
∵BD＝BE，BA＝BC，
∴△DBA≌△EBC（SAS），
∴．
②如圖3中，連接AD，延長CE交AB于O，交AD于J．

∵∠DBE＝∠ABC＝90°，
∴∠DBA＝∠EBC，
∵BD＝BE，BA＝BC，
∴△DBA≌△EBC（SAS），
∴EC＝AD，∠DAB＝∠ECB，
∵∠BOC+∠BCE＝90°，∠AOJ＝∠BOC，
∴∠AOJ+∠DAB＝90°，
∴∠AJC＝90°，
∴CJ⊥AD，
∵AP＝EP，EM＝MD，
∴PM∥AD，，
同法可得，PN∥EC，，
∴PM＝PN，PM⊥JC，
∴PN⊥PM，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴
∵4≤AD≤12，
∴2≤S△PMN≤18．
【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，三角形的中位線定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題．
26. 如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C，連接．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是直線上方拋物線上一動點，過點P作軸交于點M，過點P作交于點N，求的最大值及此時點P的坐標；
（3）把原拋物線）沿射線方向平移8個單位，點E為平移后新拋物線對稱軸上的一點，連接，將沿直線翻折，使得點E的對應點點Q落在坐標軸上．寫出所有符合條件的點E的坐標．
【答案】（1）
（2）；
（3）點的坐標為或
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求出，則；再求出直線解析式為；解直角三角形得到，則，同理可得，則，進而得到，則，則，設，則，可得，則，據(jù)此可得答案；
（3）先推出把原拋物線）沿射線方向平移8個單位，相當于把拋物線向右移動4個單位，向上移動個單位，則可求出平移后的拋物線對稱軸為直線；再分當點E在x軸上下且點Q在y軸上時，當點E在x軸下方，且點Q恰好在x軸上時，兩種情況討論求解即可．
【小問1詳解】
解：把，代入中得：，
∴，
∴拋物線解析式為；
【小問2詳解】
解：在中，當時，，
∴，
∴；
設直線解析式為，
∴，
∴，
∴直線解析式為；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
設，則，
∴，
∴，
∵當時，有最大值，最大值為，
∴此時點P坐標為；
【小問3詳解】
解：由（2）得，
∴把原拋物線沿射線方向平移8個單位，相當于把拋物線向右移動4個單位，向上移動個單位，
∵原拋物線對稱軸為直線，
∴平移后的拋物線對稱軸為直線；
如下圖所示，當點E在x軸上下且點Q在y軸上時，設直線于直線交于H，
在中，當時，，
∴；
由（2）得，
∵，
∴，
由翻折的性質(zhì)可得，
∴是等邊三角形，
∴點C在線段的垂直平分線上，
∴，
∴，
∴；

如下圖所示，當點E在x軸下方，且點Q恰好在x軸上時，設直線于軸交于H，
由翻折的性質(zhì)可得，
由（2）得，即，
∴，
∴直線與y軸所夾的銳角和直線與直線所夾的銳角相同，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴；

綜上所述，點E的坐標為或．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)與幾何綜合，解題的關鍵是數(shù)形結(jié)合，注意進行分類討論．
問題
鵝卵石的像到水面的距離
工具
紙、筆、計算器、測角儀等
圖形
說明
根據(jù)實際問題畫出示意圖（如上圖），鵝卵石在C處，其像在G處，泳池深為，且，于點N，于點B，于點H，點G在上，A，B，G三點共線，通過查閱資料獲得．
數(shù)據(jù)
，．
等級
偏瘦（）
標準（）
超重（）
肥胖（）
男
女
車型
甲
乙
丙
運載量(箱/輛)
20
30
40
運費(元/輛)
300
400
450