一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．下列各式：①；②；③；④；⑤．其中是一元一次不等式的有（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
2．不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如圖，為了讓電線桿垂直于地面，工程人員的操作方法是：從電線桿DE上一點(diǎn)A往地面拉兩條長度相等的固定繩AB與AC，當(dāng)固定點(diǎn)B，C到桿腳E的距離相等，且B、E、C在同一直線上時，電線桿DE就垂直于BC工程人員這種操作方法的依據(jù)是（ ）
A．等邊對等角B．等角對等邊
C．垂線段最短D．等腰三角形“三線合一”
4．如圖，一塊直尺與一個直角三角形如圖放置，若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
5．若，則下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．用反證法證明命題“三角形中至少有一個內(nèi)角小于或等于60°”時，首先應(yīng)該假設(shè)這個三角形中（ ）
A．每一個內(nèi)角都大于60°B．每一個內(nèi)角都小于60°
C．有一個內(nèi)角大于60°D．有一個內(nèi)角小于60°
7．三角形三邊長為、、，滿足，則這個三角形是（ ）
A．等邊三角形B．鈍角三角形C．銳角三角形D．直角三角形
8．如圖，一次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
9．如圖，在中，，，．以點(diǎn)A為圓心，以長為半徑作弧，交于點(diǎn)D；再分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，以大于長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E，作射線交于點(diǎn)F，則的長為（ ）

A．5B．6C．7D．8
10．在矩形中，，，點(diǎn)P是線段上一個動點(diǎn)，若將沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連結(jié)、，若P、E、D三點(diǎn)在同一條直線上，則的長度是（ ）
A．1B．1.5C．2D．0.5
二、填空題（每題3分，共15分）
11．如圖，在四邊形中，，若根據(jù)“”判定，則需要添加的條件是 ．
12．命題“直角三角形的兩個銳角互余”的逆命題是 ，
它是 (填真/假)命題．
13．如圖，在中，是的平分線，于E，，則的長為 ．
14．若關(guān)于x的不等式組有且只有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是 ．
15．如圖，已知中，，，直角的頂點(diǎn)P是的中點(diǎn)，兩邊分別交于點(diǎn)E、F，當(dāng)在內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時（點(diǎn)E不與A、B重合），給出下列四個結(jié)論：①；②是等腰直角三角形；③；④，上述結(jié)論中始終正確的有 ．
三、解答題（本大題共8個小題，共75分）
16．（8分）解下列不等式并把解集表示在數(shù)軸上．
(1)； (2)．
17．下面是某同學(xué)解不等式組的過程，請閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．
解：由不等式①，得．第一步
解得．第二步
由不等式②，得．第三步
移項，得．第四步
解得 第五步
所以，原不等式組的解集是．第六步
(1)任務(wù)一：小明的解答過程中，第______步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是______．
(2)任務(wù)二：請你求出這個不等式組正確的解集．
18．已知：如圖，在中，于點(diǎn)D，E為AC上一點(diǎn)，且，．
(1)求證：；
(2)已知，，求AF的長．
19．電信公司要修建一座電視信號發(fā)射塔P，按照設(shè)計要求，發(fā)射塔P到兩城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等．請在圖中作出發(fā)射塔P的位置．（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

20．已知關(guān)于x、y的方程組．
(1)若此方程組的解滿足，求a的取值范圍；
(2)在（1）的條件下，若關(guān)于的不等式的解集為，求滿足條件的a的整數(shù)值．
21．習(xí)近平總書記指出：“扶貧先扶志，扶貧必扶智”．某企業(yè)扶貧小組準(zhǔn)備在端午節(jié)前夕慰問貧困戶，為貧困戶送去溫暖，該扶貧小組購買了一批慰問物資并安排兩種貨車運(yùn)送．據(jù)調(diào)查得知，1輛大貨車與5輛小貨車一次可以滿載運(yùn)輸650件；2輛大貨車與3輛小貨車一次可以滿載運(yùn)輸600件．
(1)求1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別滿載運(yùn)輸多少件物資？
(2)計劃租用兩種貨車共10輛運(yùn)輸這批物資，每輛大貨車一次需費(fèi)用500元，每輛小貨車一次需費(fèi)用300元．若運(yùn)輸物資不少于1300件，且總費(fèi)用不超過4600元．請你計算該扶貧小組共有幾種運(yùn)輸方案？并計算哪種方案所需費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是多少？
22．定義運(yùn)算：當(dāng)時，；當(dāng)時，．如：；；．根據(jù)該定義完成下列問題：
(1)_________，當(dāng)時，_________；
(2)若，求x的取值范圍；
(3)如圖，已知直線與相交于點(diǎn)，若，結(jié)合圖象，直接寫出x的取值范圍；
23．閱讀理解，自主探究：“一線三垂直”模型是“一線三等角”模型的特殊情況，即三個等角角度為，于是有三組邊相互垂直．所以稱為“一線三垂直模型”．當(dāng)模型中有一組對應(yīng)邊長相等時，則模型中必定存在全等三角形．
(1)問題解決：如圖1，在等腰直角中，，，過點(diǎn)C作直線，于D，于E，求證：；
(2)問題探究：如圖2，在等腰直角中，，，過點(diǎn)C作直線，于D，于E，，，求的長；
(3)拓展延伸：在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)B在第一、第三象限的角平分線l上．點(diǎn)C在y軸上，為等腰直角三角形；
①如圖3，當(dāng)時，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
②直接寫出其他符合條件的C點(diǎn)的坐標(biāo)．
2023-2024學(xué)年下學(xué)期八年級數(shù)學(xué)第一次月考模擬卷參考答案：
1．A
【分析】本題考查不等式的識別，一般地，用不等號表示不相等關(guān)系的式子叫做不等式，其中只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次為1的不等式叫做一元一次不等式．解答此類題關(guān)鍵是會識別常見的不等號：．
【思路點(diǎn)撥】解：①未知數(shù)的次數(shù)不是1，不是一元一次不等式，不符合題意；
②含有兩個未知數(shù)，不是一元一次不等式，不符合題意；
③是一元一次不等式，符合題意；
④不是不等式，不符合題意；
⑤是一元一次不等式，符合題意；
∴一元一次不等式一共有2個，
故選：A．
2．D
【分析】
本題考查在數(shù)軸上表示一元一次不等式的解集，解不等式求得其解集，然后在數(shù)軸上表示出其解集即可，熟練掌握解一元一次不等式及正確在數(shù)軸上表示解集．
【思路點(diǎn)撥】
解：，
兩邊同乘得：，
那么在數(shù)軸上表示其解集如圖所示：
，
故選：．
3．D
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【思路點(diǎn)撥】解：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
故工程人員這種操作方法的依據(jù)是等腰三角形“三線合一”，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形“三線合一”是解題的關(guān)鍵．
4．B
【分析】
本題考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，然后根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出，最后根據(jù)直角三角形兩個銳角互余求出即可．準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．
【思路點(diǎn)撥】解：如圖，
直尺的兩邊互相平行，
，
，
故選：．
5．B
【分析】
本題主要考查不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行排除選項．
【思路點(diǎn)撥】解：A、由可得，故不符合題意；
B、由可得，故符合題意；
C、由，但的大小不確定，所以不一定成立，故不符合題意；
D、由，當(dāng)時，則，所以不一定成立，故不符合題意；
故選B．
6．A
【分析】本題考查的是反證法的運(yùn)用，反證法的一般步驟是：①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確．
反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立，據(jù)此進(jìn)行判定．
【思路點(diǎn)撥】解：反證法證明命題“三角形中至少有一個內(nèi)角小于或等于60°”時，
首先應(yīng)假設(shè)這個三角形中每一個內(nèi)角都大于60°．
故選：A．
7．D
【分析】由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得、、的值，再利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可．
【思路點(diǎn)撥】解：，
，，，
，，，
，，
，
由勾股定理的逆定理可知，是直角三角形．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的逆定理，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得、、的值是解題的關(guān)鍵．
8．D
【分析】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，正確數(shù)形結(jié)合是解題關(guān)鍵．直接利用圖象得出不等式的解集．
【思路點(diǎn)撥】解：如圖所示：
一次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，
關(guān)于的不等式的解集是：．
故選：D．
9．B
【分析】本題考查了作圖-基本作圖，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)即可得到結(jié)論．
【思路點(diǎn)撥】解：由作圖知，，
∵．
∴,
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
10．C
【分析】本題考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理，根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得到，利用勾股定理算出，設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理建立方程求解，即可解題．
【思路點(diǎn)撥】解：當(dāng)P、E、D三點(diǎn)在同一條直線上，如圖所示：
在矩形中，，，，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得，，，
，
在中，根據(jù)勾股定理，得，
設(shè)，則，，
在中，根據(jù)勾股定理，得，
解得，
，
故選：C．
11．或
【分析】本題考查用“”證明三角形全等． 斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．
根據(jù)已知條件分析還缺少一對對應(yīng)直角邊相等，據(jù)此便可知曉需要添加的條件．
【思路點(diǎn)撥】，
和是直角三角形，
在和中
或
故答案為：或
12． 兩個銳角互余的三角形是直角三角形． 真
【分析】根據(jù)給出的命題將其結(jié)論與條件互換即得到其逆命題，然后分析其真假即可．
【思路點(diǎn)撥】解：逆命題為：如果三角形有兩個角互余，則三角形為直角三角形．
因?yàn)榉先切蝺?nèi)角和定理，故是真命題．
故答案為：兩個銳角互余的三角形是直角三角形．真
【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對逆命題的掌握及對命題真假的判定能力．
13．2
【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，熟知角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．
先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，再由即可得出結(jié)論．
【思路點(diǎn)撥】解：是的平分線，且,
是等腰直角三角形，
故答案為∶3．
14．
【分析】本題考查一元一次不等式組的整數(shù)解，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式的方法．先解出每個不等式的解集，即可得到不等式組的解集，然后根據(jù)不等式組有且只有3個整數(shù)解，即可得到a的取值范圍．
【思路點(diǎn)撥】
解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得： ，
∴該不等式組的解集是，
∴不等式組有且只有3個整數(shù)解，
∴這三個整數(shù)解是3，4，5，
∴，
解得，
故答案為：．
15．①②④
【分析】本題以旋轉(zhuǎn)為背景考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題時需要運(yùn)用等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)題意得出是解答此題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)．
利用證明，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，，根據(jù)全等三角形的面積相等，推出，即可求解．
【思路點(diǎn)撥】解：解：、都是的余角，
，
，且P是的中點(diǎn)，
，
在和中，
，
，故結(jié)論①正確；
，
，
又，
是等腰直角三角形，故結(jié)論②正確；
隨著點(diǎn)E的變化而變化，
，故結(jié)論③錯誤；
，
，
，
故結(jié)論④正確；
則正確的選項有：①②④，
故答案為：①②④
16．(1)，數(shù)軸見解析；
(2)，數(shù)軸見解析．
【分析】本題主要考查了解一元一次不等式，解題根據(jù)是熟練掌握解一元一次不等式的一般步驟．
（1）根據(jù)解一元一次不等式的一般步驟，移項，合并同類項，系數(shù)化1,求出不等式的解集，并在數(shù)軸上表示出來即可．
（2）根據(jù)解一元一次不等式的一般步驟，確保正確無誤分母，再去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化1,求出不等式的解集，并在數(shù)軸上表示出來即可．
【思路點(diǎn)撥】（1）解：
∴解集在數(shù)軸上表示為：
（2）解：
，
∴解集在數(shù)軸上表示為：
17．(1)五，沒有改變符號；
(2)
【分析】
本題考查了解一元一次不等式組；
（1）根據(jù)等式的性質(zhì)可判斷第五步錯誤；
（2）通過解一元一次不等式得到這個不等式組正確的解集．
【思路點(diǎn)撥】（1）
明的解答過程中，第五步開始出現(xiàn)了錯誤，產(chǎn)生錯誤的原因是沒有改變符號；
故答案為：五，沒有改變符號；
（2）
不等式組正確的解集是．
解：由不等式①，得．
解得．
由不等式②，得．
移項，得．
解得
所以，原不等式組的解集是．
故答案為：．
18．(1)見解析
(2)2
【分析】（1）由可得和都是直角三角形，已經(jīng)給出一條直角邊和斜邊對應(yīng)相等，直接用“HL”證明全等即可；
（2）由可得對應(yīng)邊相等，通過勾股定理求出BD，進(jìn)而求出AF的長．
【思路點(diǎn)撥】（1）證明：∵于點(diǎn)，
∴，
在與中，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
在中，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于利用全等三角形的性質(zhì)將相等的邊進(jìn)行轉(zhuǎn)化．
19．見解析
【分析】此題考查了線段的垂直平分線和角的平分線的性質(zhì)，根據(jù)題意，點(diǎn)既在線段的垂直平分線上，又在兩條公路所夾角的平分線上．得到兩線交點(diǎn)即為發(fā)射塔的位置是解決問題的關(guān)鍵．
【思路點(diǎn)撥】解：設(shè)兩條公路相交于O點(diǎn)．P為線段的垂直平分線與的平分線交點(diǎn)或是與的平分線交點(diǎn)即為發(fā)射塔的位置．
如圖，滿足條件的點(diǎn)有兩個，即P、．
20．(1)
(2)、0
【分析】本題考查解二元一次方程組和一元一次不等式；
（1）根據(jù)列出關(guān)于的不等式，可解得的范圍；
（2）結(jié)合（1），由為整數(shù)，可得的值．
【思路點(diǎn)撥】（1），
①②得：，
，
，
，
解得；
（2）關(guān)于的不等式的解集為，
，
，
，
，
滿足條件的的整數(shù)值是、0．
21．(1)1輛大貨車一次滿載運(yùn)輸150件物資，1輛小貨車一次滿載運(yùn)輸100件物資
(2)一共有3種租車方案，租用大貨車6輛，小貨車4輛，所需費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是4200元
【分析】
本題考查二元一次方程組，一元一次不等式組，一次函數(shù)的應(yīng)用．
（1）假設(shè)出1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別滿載運(yùn)輸?shù)募?shù)，列出二元一次方程組即可；
（2）先根據(jù)運(yùn)輸物資和費(fèi)用求出大小貨車的輛數(shù)，再求出費(fèi)用比較即可．
【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)1輛大貨車一次滿載運(yùn)輸件物資，1輛小貨車一次滿載運(yùn)輸件物資，
根據(jù)題意得
解得
1輛大貨車一次滿載運(yùn)輸150件物資，1輛小貨車一次滿載運(yùn)輸100件物資；
（2）設(shè)租用大貨車輛，租車費(fèi)用為元，則租用小貨車輛，
運(yùn)輸物資不少于1300件，且總費(fèi)用不超過4600元
解得
為整數(shù)
可取6，7，8
一共有3種租車方案
根據(jù)題意得
隨的增大而增大
當(dāng)時，取最小值
此時．
租用大貨車6輛，小貨車4輛，所需費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是4200元．
22．(1)-3，2
(2)
(3)
【分析】（1）由定義可知：的值就是取?3和2的最小值，即?3；同理可得另一個式子的結(jié)果；
（2）由定義列不等式解出即可；
（3）根據(jù)圖象可知：當(dāng)時，有；
【思路點(diǎn)撥】（1）解：，當(dāng) 時，；
故答案為：?3，x；
（2）由題意得：，
，
；
（3）∵，
∴，
由圖象得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與不等式以及新定義的理解，此類題目要認(rèn)真閱讀并理解新定義的內(nèi)含：結(jié)果取最小值，第三問利用數(shù)形結(jié)合的思想求解更簡便．
23．(1)見解析
(2)
(3)①；②，，
【分析】（1）因?yàn)橛贒，，所以，因?yàn)?，即可通過證明作答．
（2）因?yàn)?，，得，因?yàn)椋纯赏ㄟ^證明，再運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)，即可作答．
（3）①過點(diǎn)B作軸，過點(diǎn)A作的延長線，易得，通過證明，再設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，，根據(jù)，進(jìn)行列式作答即可；②分類討論，當(dāng)，，和分別作圖，接著證明相應(yīng)三角形全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，列式作答即可．
【思路點(diǎn)撥】（1）解：∵于D，，
∴
即，
∵
∴
∵
∴
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
∵
∴
則
∵
∴
即；
（3）解：①過點(diǎn)B作軸，過點(diǎn)A作的延長線，如圖：
因?yàn)檫^點(diǎn)A作的延長線
∴
∵過點(diǎn)B作軸，
∴
∵
∴
∴
∵點(diǎn)B在第一、第三象限的角平分線l上．點(diǎn)C在y軸上，
∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
∵，
∴，
解得，
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為；
②，，過點(diǎn)B作軸，過點(diǎn)A作射線軸，且過點(diǎn)B作，如圖：
易知
因?yàn)?br>∴
∵過點(diǎn)B作軸，過點(diǎn)B作
∴
∵
∴
∴
∵點(diǎn)B在第一、第三象限的角平分線l上．點(diǎn)C在y軸上，
∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
∵，
∴，
此時無解，
當(dāng)，，過點(diǎn)A作直線軸，與軸交于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，如圖：
∵，
∴
即
∵
∴
∴
∵點(diǎn)B在第一、第三象限的角平分線l上．點(diǎn)C在y軸上，
∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
∵，
∴，
解得
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為；
當(dāng)，，過點(diǎn)A作直線軸，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，如圖：
∵，
∴
即
∵
∴
∴
∵點(diǎn)B在第一、第三象限的角平分線l上．點(diǎn)C在y軸上，
∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
∵，
∴，
解得
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為；
當(dāng)時，，過點(diǎn)C作直線軸，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，如圖：
∵，
∴
即
∵
∴
∴
∵點(diǎn)B在第一、第三象限的角平分線l上．點(diǎn)C在y軸上，
∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
∵，
∴，
解得
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為；
綜上，其他符合條件的C點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平角的定義，直角三角形的兩個銳角互余，“一線三直角”的模型，綜合性較強(qiáng)，難度較大，靈活使用分類討論思想以及正確掌握作輔助線是解題的關(guān)鍵．

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