一、選擇題
1．已知數(shù)列為等比數(shù)列,若,,則的值為( )
A.8B.C.16D.
2．下列說(shuō)法不正確的是( )
A.直線必過定點(diǎn)
B.直線在y軸上的截距為-2
C.直線的傾斜角為
D.過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為
3．函數(shù)的圖象如圖所示,下列數(shù)值排序正確的是( )
A.B.
C.D.
4．設(shè)是可導(dǎo)函數(shù),且,則( )
A.2B.C.-1D.-2
5．如圖,在正方體中,點(diǎn)E是上底面的中心,則異面直線AE與所成角的余弦值為( )
A.B.C.D.
6．已知三角形ABC的周長(zhǎng)為12,且,,則頂點(diǎn)C的軌跡方程為( )
A.B.
C.D.
7．下列三個(gè)圖中的多邊形均為正多邊形,是正多邊形的頂點(diǎn),橢圓過且均以圖中的,為焦點(diǎn),設(shè)圖①,②,③中的橢圓的離心率分別為,,,則( )
A.B.C.D.
8．已知S,A,B,C是球O表面上的點(diǎn),平面ABC,,,,則球O的表面積等于( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是( )
A.B.
C.D.
10．拋物線的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在x軸的下方),則下列結(jié)論正確的是( )
A.若,則中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為4
B.弦的中點(diǎn)的軌跡為拋物線
C. 若,則直線的斜率
D.的最小值等于9
11．如圖,是一塊半徑為1的圓形紙板,在的左下端剪去一個(gè)半徑為的半圓后得到圖形,然后依次剪去一個(gè)更小半圓(其直徑為前一個(gè)剪掉半圓的半徑)得圖形,,?,,?,記紙板的周長(zhǎng)為,面積為,則下列說(shuō)法正確的是( )
A.B.
C.D.
三、填空題
12．若曲線在處的切線經(jīng)過點(diǎn),則實(shí)數(shù)___________．
13．已知拋物線的焦點(diǎn)為F,,是拋物線上兩點(diǎn),若,則的中點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的最小值為______________.
14．已知實(shí)數(shù),,,滿足,,,則的最大值是_____________．
四、解答題
15．求下列直線的方程：
(1)曲線在處的切線;
(2)曲線過點(diǎn)的切線．
16．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和,,．
(1)求的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
17．已知曲線 且 的左、右焦點(diǎn)分別為,直線與C交于點(diǎn)A,B.
(1)若,且四邊形是矩形,求的值;
(2)若P是C上與A,B不重合的點(diǎn), 且直線PA,PB的斜率分別為,,若,求.
18．如圖,在四棱錐中,底面為正方形,平面,,E為線段的中點(diǎn),F為線段上的動(dòng)點(diǎn)．
(1)求證：平面平面;
(2)求平面與平面夾角的最小值．
19．在平面直角坐標(biāo)系中xOy,橢圓的離心率為,點(diǎn)在橢圓C上．
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)P,Q為橢圓上異于A,B的兩動(dòng)點(diǎn),記直線AB的斜率為,直線的斜率為,已知．
①求證：直線恒過x軸上一定點(diǎn);
②設(shè)和的面積分別為,,求的最大值．
參考答案
1．答案：A
解析：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列,設(shè)的公比為q,
則,,
兩式相除可得,所以,
所以,
故選：A．
2．答案：C
解析：可化為,則直線必過定點(diǎn),故A正確;
令,則,即直線在y軸上的截距為-2,故B正確;
可化為,則該直線的斜率為,即傾斜角為,故C錯(cuò)誤;
設(shè)過點(diǎn)且垂直于直線的直線的斜率為k,
因?yàn)橹本€的斜率為,所以,解得,
則過點(diǎn)且垂直于直線的直線的方程為,即,故D正確．
故答案選：C．
3．答案：B
解析：由函數(shù)的圖象可知：
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,且當(dāng)時(shí),,,,,
而處切線的傾斜角比處的傾斜角小,且均為銳角,
,
．
4．答案：B
解析：,
．故選：B．
5．答案：B
解析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則,,,,所以,,所以．故異面直線AE與所成角的余弦值為．
故選：B．
6．答案：C
解析：、,,
又的周長(zhǎng)為12,
頂點(diǎn)C的軌跡是一個(gè)以A、B為焦點(diǎn)的橢圓,
,,即,
頂點(diǎn)C的軌跡方程為．
故選：C．
7．答案：B
解析：由圖①知,,;
由圖②知,點(diǎn)在橢圓上,
,則,整理得：,
即解得;
由圖③知,在橢圓上,
,則,整理得：,即,解得．
．
故選：B．
8．答案：A
解析：如圖所示：
因?yàn)槠矫?平面,平面,
,,
又,,平面,平面,
平面,又平面,,
可知和均為以為斜邊的直角三角形,
則球O的球心O為的中點(diǎn),滿足,
又,,,,
,
即球O的半徑為1,球O的表面積為．
故選：A．
9．答案：BC
解析：,故A錯(cuò)誤;
,故B正確;
,故C正確;
,故D錯(cuò)誤．
故選：BC．
10．答案：BCD
解析：拋物線,則焦點(diǎn),準(zhǔn)線為,
對(duì)于A,設(shè),,
則結(jié)合拋物線的定義可得,解得,
設(shè)M為線段的中點(diǎn),則,
所以點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,由題意,直線l斜率不為0,設(shè),
聯(lián)立得,則,
則,,,
設(shè)線段中點(diǎn)坐標(biāo)為,
則,消去t可得,
故弦的中點(diǎn)的軌跡為拋物線,故B正確;
對(duì)于C,易知,,
由,可得,,
結(jié)合B選項(xiàng)可知,則,
又,可得,,
所以直線AB的斜率,故C正確;
對(duì)于D,由選項(xiàng)B可知,,所以,
所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取得等號(hào),故D正確．
故選：BCD．
11．答案：ABD
解析：根據(jù)圖形生成的規(guī)律可知,
,,,故A正確;
,,,故B正確;
根據(jù)題意可知,圖形中被剪去的最小的半圓的半徑為,所以當(dāng),故C錯(cuò)誤;
根據(jù)題意可知,圖形中被剪去的最小的半圓的半徑為,
,故D正確．
故選：ABD．
12．答案：
解析：,
,則,
切點(diǎn)為,
曲線在處的切線方程為,
曲線在點(diǎn)處的切線過點(diǎn),
,
解得：．
故答案為：．
13．答案：3
解析：設(shè)直線的方程為,由
得,則,,
由于,
則,解得,
的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為
,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最小值為3．
14．答案：24
解析：設(shè),,所以A,B是圓上兩點(diǎn),
,,,
所以,
記直線,過A作l的垂線,垂足為D,過B作l的垂線,垂足為F,
設(shè)的中點(diǎn)為M,過M作l的垂線,垂足為E,如圖所示,
,
所以表示的是A,B兩點(diǎn)到直線的距離之和的倍,
又,
所以,
表示的是M到直線的距離的2 2倍,
由于是直角三角形,
所以,
所以M在圓上運(yùn)動(dòng),圓心為,半徑為,
所以M到直線的距離最大值為,
又,
所以的最大值是24．
故答案為：24．
15．答案：(1)
(2)或
解析：(1)的導(dǎo)數(shù)為,
可得在處的切線斜率為,
即有切線的方程為,
即為;
(2)曲線的導(dǎo)數(shù)為,
設(shè)切點(diǎn)為,可得切線的斜率為,
切線的方程為,
代入,可得,
解得或,
可得切線的方程為或．
16．答案：(1),時(shí)也成立
(2)
解析：(1)由,
時(shí),,相減可得：,
化為：,
,
,時(shí)也成立．
(2),
數(shù)列的前n項(xiàng)和,
,
相減可得：,
化為：．
17．答案：(1)2
(2)
解析：(1)當(dāng)時(shí),曲線C的方程為,
此時(shí)C為橢圓,
所以,
因?yàn)樗倪呅问蔷匦?
所以,
此時(shí),
由橢圓定義得,
則;
(2)不妨設(shè),
此時(shí),
因?yàn)锳,B兩點(diǎn)都在曲線C上,
所以,
不妨設(shè),
因?yàn)镻是C上與A,B不重合的點(diǎn),
所以,②,
①-②得,
即,
所以,
解得,
則C是雙曲線,
故．
18．答案：(1)見解析
（2）
解析：(1)證明：中,E為的中點(diǎn),所以,
在正方形中,,
因?yàn)槠矫?平面,
所以,
又因?yàn)?,平面,所以平面,
平面,所以,
又因?yàn)?,,平面,所以平面,平面,即平面平面;
(2)因?yàn)槠矫?底面是正方形,所以易知,,兩兩垂直,
以A為原點(diǎn),,,所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
有,,,,,中點(diǎn),
設(shè),,,,,,
設(shè)平面的法向量,
由,得,?。O(shè)平面的法向量,
由得,取,
所以平面與平面的夾角的余弦值為,令,,則,
所以當(dāng)即時(shí),平面與平面的夾角的余弦值取得最大值,
此時(shí)平面與平面的夾角取得最小值．
19．答案：(1)
(2) 的最大值為2
解析：(1)由題意得：,解得,
所以橢圓C的方程為．
(2) ①依題意,點(diǎn),,設(shè),,
因?yàn)槿糁本€的斜率為0,則點(diǎn)P,Q關(guān)于y軸對(duì)稱,必有,不合題意．
所以直線斜率必不為0,設(shè)其方程為,與橢圓C聯(lián)立
整理得：,
所以,且,
因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上一點(diǎn),即,所以,
所以,即,
因?yàn)?br>,
所以,此時(shí),故直線PQ恒過x軸上一定點(diǎn)．
②由 ①得,,
所以
(當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立),
所以的最大值為2．

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