1．（5分）圓x2+y2﹣2x+6y+6＝0的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（ ）
A．（1，3），2B．（1，﹣3），2C．（﹣1，3），4D．（1，﹣3），4
2．（5分）若直線（a+2）x+（1﹣a）y﹣3＝0與直線（a﹣1）x+（2a+3）y+2＝0互相垂直．則a的值為（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．
3．（5分）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E在面對(duì)角線A1B上，滿足，點(diǎn)F為面對(duì)角線B1D1的中點(diǎn)，若，，，則（ ）
A．B．
C．D．
4．（5分）長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3）（0，3）的橢圓方程為（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）若a，b∈{﹣1，0，1，2}，則函數(shù)f（x）＝ax2+2x+b有零點(diǎn)的概率為（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，csA，則（ ）
A．6B．5C．4D．3
7．（5分）若過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)P（1，1）的弦被該點(diǎn)平分，則該弦所在的直線方程為（ ）
A．x﹣2y+1＝0B．x﹣2y﹣3＝0C．x+2y﹣3＝0D．x+2y+3＝0
8．（5分）曲線y＝1與直線y＝k（x﹣2）+4有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）
（多選）9．（5分）有一道數(shù)學(xué)難題，學(xué)生甲解出的概率為，學(xué)生乙解出的概率為，學(xué)生丙解出的概率為．若甲，乙，丙三人獨(dú)立去解答此題，則（ ）
A．恰有一人解出的概率為
B．沒(méi)有人能解出的概率為
C．至多一人解出的概率為
D．至少兩個(gè)人解出的概率為
（多選）10．（5分）下面敘述錯(cuò)誤的是（ ）
A．經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，1），傾斜角為θ的直線方程為y﹣1＝tanθ（x﹣1）
B．若方程x2+y2﹣2x+2y+m＝0表示圓，則m＜2
C．直線3x+4y﹣1＝0和直線6x+8y+3＝0間的距離為
D．若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），則長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10
（多選）11．（5分）給出下列命題，其中正確的是（ ）
A．若是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底
B．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣2，4，3）關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對(duì)稱點(diǎn)是（﹣2，﹣4，﹣3）
C．若空間四個(gè)點(diǎn)P，A，B，C滿足，則A，B，C三點(diǎn)共線
D．平面α的一個(gè)法向量為，平面β的一個(gè)法向量為．若α∥β，則k＝8
（多選）12．（5分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，點(diǎn)E為PA的中點(diǎn)，AB＝BC＝1，AD＝2，PA，則（ ）
A．
B．異面直線BE與CD所成角的余弦值為
C．點(diǎn)B到平面PCD的距離為
D．BC與平面PCD所成的角為
三、填空題（本大題共4小題，共20分）
13．（5分）已知平面α的一個(gè)法向量，平面β的一個(gè)法向量，若α⊥β，則y﹣x＝ ．
14．（5分）橢圓的焦距為2，則m＝ ．
15．（5分）求過(guò)點(diǎn)p（2，3），并且在兩軸上的截距相等的直線方程 ．
16．（5分）甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定先連勝兩局者贏得比賽，假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽相互獨(dú)立，則恰好進(jìn)行了4局比賽結(jié)束且甲贏得比賽的概率為 ．
四、解答題（本大題共6小題，共70分，其中17題滿分70分，其余各題滿分70分）
17．（10分）如圖，在三棱柱ABC﹣A'B'C'中，A'A⊥平面ABC，AC＝BC＝AA'，∠ACB＝90°，D，E分別為AB，BB'的中點(diǎn)．
（1）求證：CE⊥A'D；
（2）求異面直線CE與AC'所成角的余弦值．
18．（12分）已知①a＝2，，在這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題．
在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足．
（1）求角A的大?。?br>（2）已知_____，_____，若△ABC存在，求△ABC的面積；若不存在，說(shuō)明理由．
19．（12分）已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，5），（5，2），（2，﹣1）．
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y）在圓C上運(yùn)動(dòng)，求（x+2）2+（y+1）2的最大值與最小值．
20．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AC∩BD＝O，底面ABCD為菱形，邊長(zhǎng)為2，PC⊥BD，PA＝PC，且∠ABC＝60°，異面直線PB與CD所成的角為60°．
（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）若E是線段OC的中點(diǎn)，求點(diǎn)E到直線BP的距離．
（3）求平面APB與平面PBC夾角的余弦值．
21．（12分）已知橢圓E：1（a＞b＞0）的離心率為，上頂點(diǎn)為A（0，1）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M，N，且|MN|，求k的值．
22．（12分）隨著小汽車的普及，“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代人“必考”證件之一，若某人報(bào)名參加了駕駛證考試，要順利地拿到駕駛證，需要通過(guò)四個(gè)科目的考試，其中科目二為場(chǎng)地考試．在每一次報(bào)名中，每個(gè)學(xué)員有5次參加科目二考試的機(jī)會(huì)（這5次考試機(jī)會(huì)中任何一次通過(guò)考試，就算順利通過(guò)，即進(jìn)入下一科目考試，若5次都沒(méi)有通過(guò)，則需要重新報(bào)名），其中前2次參加科目二考試免費(fèi)，若前2次都沒(méi)有通過(guò)，則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補(bǔ)考費(fèi)，某駕校通過(guò)幾年的資料統(tǒng)計(jì)，得到如下結(jié)論：男性學(xué)員參加科目二考試，每次通過(guò)的概率均為，女性學(xué)員參加科目二考試，每次通過(guò)的概率均為，現(xiàn)有這個(gè)駕校的一對(duì)夫妻學(xué)員同時(shí)報(bào)名參加駕駛證科目二考試，若這對(duì)夫妻每人每次是否通過(guò)科目二考試相互獨(dú)立，他們參加科目二考試的原則為：通過(guò)科目二考試或者用完所有機(jī)會(huì)為止．
（Ⅰ）求這對(duì)夫妻在本次報(bào)名參加科目二考試通過(guò)且都不需要交補(bǔ)考費(fèi)的概率；
（Ⅱ）求這對(duì)夫妻在本次報(bào)名參加科目二考試通過(guò)且產(chǎn)生的補(bǔ)考費(fèi)用之和為200元的概率．
2022-2023學(xué)年湖北省黃岡市黃梅縣國(guó)際育才高級(jí)中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題4個(gè)選項(xiàng)中，選出正確的一項(xiàng)）
1．（5分）圓x2+y2﹣2x+6y+6＝0的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（ ）
A．（1，3），2B．（1，﹣3），2C．（﹣1，3），4D．（1，﹣3），4
【解答】解：圓x2+y2﹣2x+6y+6＝0化為標(biāo)準(zhǔn)形式：
（x﹣1）2+（y+3）2＝4，
所以圓心C（1，﹣3），半徑為r＝2．
故選：B．
2．（5分）若直線（a+2）x+（1﹣a）y﹣3＝0與直線（a﹣1）x+（2a+3）y+2＝0互相垂直．則a的值為（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．
【解答】解：由題意，∵直線（a+2）x+（1﹣a）y﹣3＝0與（a﹣1）x+（2a+3）y+2＝0互相垂直
∴（a+2）（a﹣1）+（1﹣a）（2a+3）＝0
∴（a﹣1）（a+2﹣2a﹣3）＝0
∴（a﹣1）（a+1）＝0
∴a＝1，或a＝﹣1
故選：C．
3．（5分）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E在面對(duì)角線A1B上，滿足，點(diǎn)F為面對(duì)角線B1D1的中點(diǎn)，若，，，則（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵點(diǎn)E在面對(duì)角線A1B上，滿足，
∴，
∵點(diǎn)F為面對(duì)角線B1D1的中點(diǎn)，
∴，，，，
∴．
故選：A．
4．（5分）長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3）（0，3）的橢圓方程為（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3）（0，3），
所以a＝5，c＝3，并且橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，
所以根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得其方程為：．
故選：B．
5．（5分）若a，b∈{﹣1，0，1，2}，則函數(shù)f（x）＝ax2+2x+b有零點(diǎn)的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵a，b∈{﹣1，0，1，2}，
∴列舉可得總的方法種數(shù)為：
（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），
（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2），
（1，﹣1），（1，0），（1，1），（1，2），
（2，﹣1），（2，0），（2，1），（2，2）共16個(gè)，
其中滿足f（x）＝ax2+2x+b有零點(diǎn)的為：
（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），
（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2），
（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0）共13個(gè)
∴所求概率P
故選：A．
6．（5分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，csA，則（ ）
A．6B．5C．4D．3
【解答】解：∵△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，
asinA﹣bsinB＝4csinC，csA，
∴由正弦定理得：
，
解得3c2，
∴6．
故選：A．
7．（5分）若過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)P（1，1）的弦被該點(diǎn)平分，則該弦所在的直線方程為（ ）
A．x﹣2y+1＝0B．x﹣2y﹣3＝0C．x+2y﹣3＝0D．x+2y+3＝0
【解答】解：設(shè)該弦所在的直線方程與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，
且A（x1，y1），B（x2，y2），
則，，
則，①
，②
①﹣②得：，
則，
即該弦所在的直線方程為：，
即x+2y﹣3＝0，
故選：C．
8．（5分）曲線y＝1與直線y＝k（x﹣2）+4有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示：
由題意可得：直線l過(guò)A（2，4），B（﹣2，1），
又曲線圖象為以（0，1）為圓心，2為半徑的半圓，
當(dāng)直線l與半圓相切，C為切點(diǎn)時(shí)，圓心到直線l的距離d＝r，即2，
解得：k；
當(dāng)直線l過(guò)B點(diǎn)時(shí)，直線l的斜率為，
則直線l與半圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的范圍為．
故選：D．
二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）
（多選）9．（5分）有一道數(shù)學(xué)難題，學(xué)生甲解出的概率為，學(xué)生乙解出的概率為，學(xué)生丙解出的概率為．若甲，乙，丙三人獨(dú)立去解答此題，則（ ）
A．恰有一人解出的概率為
B．沒(méi)有人能解出的概率為
C．至多一人解出的概率為
D．至少兩個(gè)人解出的概率為
【解答】解：A：∵P（恰有一人解出試題）（1）×（1）+（1）（1）
+（1）（1），∴A正確，
B：∵P（沒(méi)有人解出試題）＝（1）×（1）×（1），∴B錯(cuò)誤，
C：∵P（至多一人解出試題）＝P（恰有一人解出試題）+P（沒(méi)有人解出試題），∴C正確，
D：∵P（至少兩個(gè)人解出試題）＝1﹣P（至多一人解出試題）＝1，∴D錯(cuò)誤．
故選：AC．
（多選）10．（5分）下面敘述錯(cuò)誤的是（ ）
A．經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，1），傾斜角為θ的直線方程為y﹣1＝tanθ（x﹣1）
B．若方程x2+y2﹣2x+2y+m＝0表示圓，則m＜2
C．直線3x+4y﹣1＝0和直線6x+8y+3＝0間的距離為
D．若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），則長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10
【解答】解：對(duì)A：當(dāng)θ時(shí)，直線斜率不存在，此時(shí)直線方程不能表示為y﹣1＝tanθ（x﹣1），A錯(cuò)誤；
對(duì)B：若方程x2+y2﹣2x+2y+m＝0表示圓，必有D2+E2﹣4F＝4+4+4m＞0，即22+22﹣4m＞0，解可得m＜2，故B正確；
對(duì)C：直線3x+4y﹣1＝0 即6x+8y﹣2＝0，兩直線之間的距離d，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D：因?yàn)闄E圓一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），所以m﹣16＝9，解得m＝25，所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，故D正確；
故選：AC．
（多選）11．（5分）給出下列命題，其中正確的是（ ）
A．若是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底
B．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣2，4，3）關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對(duì)稱點(diǎn)是（﹣2，﹣4，﹣3）
C．若空間四個(gè)點(diǎn)P，A，B，C滿足，則A，B，C三點(diǎn)共線
D．平面α的一個(gè)法向量為，平面β的一個(gè)法向量為．若α∥β，則k＝8
【解答】解：對(duì)于A，因?yàn)槭强臻g的一個(gè)基底，
則不共面，所以也不共面，
則也是空間的一個(gè)基底，
故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B，點(diǎn)P（﹣2，4，3）關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對(duì)稱點(diǎn)是（2，4，3），
故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)榭臻g四個(gè)點(diǎn)P，A，B，C滿足，
所以，
則，
所以點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)共線，
故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D，因?yàn)槠矫姒恋囊粋€(gè)法向量為，平面β的一個(gè)法向量為，且α∥β，
所以，
則（﹣2，﹣6，k）＝λ（1，3，﹣4），
所以，解得k＝8，
故選項(xiàng)D正確．
故選：ACD．
（多選）12．（5分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，點(diǎn)E為PA的中點(diǎn)，AB＝BC＝1，AD＝2，PA，則（ ）
A．
B．異面直線BE與CD所成角的余弦值為
C．點(diǎn)B到平面PCD的距離為
D．BC與平面PCD所成的角為
【解答】解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，），E（0，0，），
則（﹣1，1，0），（﹣1，﹣1，），（﹣1，0，），（0，1，0），
∴1+0+1＝2，故A錯(cuò)誤；
|cs|，
∴異面直線BE與CD所成角的余弦值為，故B正確；
設(shè)平面PCD的法向量（x，y，z），
則，取x＝1，得（1，1，），
∴點(diǎn)B到平面PCD的距離為：，故C正確；
設(shè)BC與平面PCD所成的角為θ，則sinθ，
∴BC與平面PCD所成的角為，故D正確．
故選：BCD．
三、填空題（本大題共4小題，共20分）
13．（5分）已知平面α的一個(gè)法向量，平面β的一個(gè)法向量，若α⊥β，則y﹣x＝ 1 ．
【解答】解：∵平面α的一個(gè)法向量，
平面β的一個(gè)法向量，α⊥β，
∴x+y﹣1＝0，
解得y﹣x＝1．
故答案為：1．
14．（5分）橢圓的焦距為2，則m＝ 3或5 ．
【解答】解：因?yàn)闄E圓的焦距為2，所以c＝1，
若焦點(diǎn)在x軸上，則有m＝4+c2，解得m＝5；
若焦點(diǎn)在y軸上，則有4＝m+c2，解得m＝3；
綜上所述，m＝3或5．
故答案為：3或5．
15．（5分）求過(guò)點(diǎn)p（2，3），并且在兩軸上的截距相等的直線方程 3x﹣2y＝0或x+y﹣5＝0 ．
【解答】解：當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線的方程為，化為3x﹣2y＝0．
當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的截距式為x+y＝a，把點(diǎn)p（2，3）代入可得：2+3＝a，∴a＝5．
∴直線的方程為：x+y＝5．
故答案為：3x﹣2y＝0或x+y﹣5＝0．
16．（5分）甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定先連勝兩局者贏得比賽，假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽相互獨(dú)立，則恰好進(jìn)行了4局比賽結(jié)束且甲贏得比賽的概率為 ．
【解答】解：甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定先連勝兩局者贏得比賽，
假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽相互獨(dú)立，
則恰好進(jìn)行了4局比賽結(jié)束且甲贏得比賽是指第一局甲勝，第二局乙勝，第三局、第四局甲連勝，
∴恰好進(jìn)行了4局比賽結(jié)束且甲贏得比賽的概率為：
P．
故答案為：．
四、解答題（本大題共6小題，共70分，其中17題滿分70分，其余各題滿分70分）
17．（10分）如圖，在三棱柱ABC﹣A'B'C'中，A'A⊥平面ABC，AC＝BC＝AA'，∠ACB＝90°，D，E分別為AB，BB'的中點(diǎn)．
（1）求證：CE⊥A'D；
（2）求異面直線CE與AC'所成角的余弦值．
【解答】解：（1）證明：建系如圖，設(shè)AC＝BC＝AA'＝2，
則根據(jù)題意可得：C（0，0，0），E（0，2，1），A′（2，0，2），
D（1，1，0），A（2，0，0），C′（0，0，2），
∴，，
∴2﹣2＝0，
∴CE⊥A'D；
（2）由（1）知，又，
設(shè)異面直線CE與AC'所成角為θ，
則csθ＝|cs|．
18．（12分）已知①a＝2，，在這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題．
在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足．
（1）求角A的大?。?br>（2）已知_____，_____，若△ABC存在，求△ABC的面積；若不存在，說(shuō)明理由．
【解答】解：（1）因?yàn)?，由正弦定理可得（b﹣a）（b+a）＝c（b﹣c），
所以b2+c2﹣a2bc，
則csA，
由0＜A＜π，得A；
（2）方案一：選擇條件①和②，
由正弦定理，可得b2，
可得△ABC的面積SabsinCsin（π）＝2sin（）1；
方案二：選擇條件①和③，
由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccsA，可得4＝b2+12b2﹣6b2，可得b，
則c，△ABC的面積SbcsinA．
方案三：選擇條件②和③，這樣的三角形不存在，理由如下：
由（1）可得C＝π
在三角形中，由正弦定理，
由③可得，，
則，所以這樣的三角形不存在．
19．（12分）已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，5），（5，2），（2，﹣1）．
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y）在圓C上運(yùn)動(dòng)，求（x+2）2+（y+1）2的最大值與最小值．
【解答】解：（1）∵圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，5），（5，2），（2，﹣1），
設(shè)圓C的方程為 x2+y2+dx+ey+f＝0，把ABC三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得
，
求得，可得圓C的方程為 x2+y2﹣4x﹣4y﹣1＝0，即 （x﹣2）2+（y﹣2）2＝9，
表示以C（2，2）為圓心，半徑等于3的圓．
（2）由題意可得C（2，2），
而（x+2）2+（y+1）2的表示圓上的點(diǎn)P到點(diǎn)M（﹣2，﹣1）的距離的平方，
CM5，
故（x+2）2+（y+1）2的最大值為（CM+3）2＝64，
（x+2）2+（y+1）2的最小值為（CM﹣3）2＝4．
20．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AC∩BD＝O，底面ABCD為菱形，邊長(zhǎng)為2，PC⊥BD，PA＝PC，且∠ABC＝60°，異面直線PB與CD所成的角為60°．
（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）若E是線段OC的中點(diǎn)，求點(diǎn)E到直線BP的距離．
（3）求平面APB與平面PBC夾角的余弦值．
【解答】解：（1）證明：在四棱錐P﹣ABCD中，AC∩BD＝O，底面ABCD為菱形，
邊長(zhǎng)為2，PC⊥BD，PA＝PC，且∠ABC＝60°，異面直線PB與CD所成的角為60°，
∵四邊形ABCD為菱形，∴O為AC中點(diǎn)，AC⊥BD，
∵PA＝PC，∴PO⊥AC；∵PC⊥BD，AC，PC?平面PAC，AC∩PC＝C，
∴BD⊥平面PAC，又PO?平面PAC，∴PO⊥BD，
∵AC∩BD＝O，AC，BD?平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD；
（2）∵AC，BD，PO兩兩互相垂直，
∴以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
∵∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC為等邊三角形，∴OA＝1，，
不妨設(shè)OP＝a，則AP2＝a2+1，BP2＝3+a2，
∵異面直線PB與CD所成的角為60°，AB∥CD，∴∠PBA＝60°，
∴PA2＝PB2+AB2﹣2BP?ABcs∠PBA，即，
解得，∴A（0，﹣1，0），，C（0，1，0），，，
∴，，∴，，
∴E是線段OC的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到直線BP的距離為；
（3）∵，A（0，﹣1，0），，C（0，1，0），
∴，，，
設(shè)平面PAB的法向量（x，y，z0，
則，令z＝1，得（，，1），
設(shè)平面PBC的法向量（a，b，c），
則，令c＝1，（，，1），
∴|cs|，
∴平面APB與平面PBC夾角的余弦值為．
21．（12分）已知橢圓E：1（a＞b＞0）的離心率為，上頂點(diǎn)為A（0，1）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M，N，且|MN|，求k的值．
【解答】解：（1）由離心率e，則ac，
又上頂點(diǎn)A（0，1），知b＝1，又b2＝a2﹣c2＝1，可知c＝1，a，
∴橢圓E的方程為；
（2）設(shè)直線1：y＝kx，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
則，整理得：（1+2k2）x2+4kx+4＝0，
Δ＝（4k）2﹣4×4×（1+2k2）＞0，即k2＞1，
∴x1+x2，x1x2，
∴|MN|?，
即17k4﹣32k2﹣57＝0，解得：k2＝3或﹣17（舍去），
∴k＝±．
22．（12分）隨著小汽車的普及，“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代人“必考”證件之一，若某人報(bào)名參加了駕駛證考試，要順利地拿到駕駛證，需要通過(guò)四個(gè)科目的考試，其中科目二為場(chǎng)地考試．在每一次報(bào)名中，每個(gè)學(xué)員有5次參加科目二考試的機(jī)會(huì)（這5次考試機(jī)會(huì)中任何一次通過(guò)考試，就算順利通過(guò)，即進(jìn)入下一科目考試，若5次都沒(méi)有通過(guò)，則需要重新報(bào)名），其中前2次參加科目二考試免費(fèi)，若前2次都沒(méi)有通過(guò)，則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補(bǔ)考費(fèi)，某駕校通過(guò)幾年的資料統(tǒng)計(jì)，得到如下結(jié)論：男性學(xué)員參加科目二考試，每次通過(guò)的概率均為，女性學(xué)員參加科目二考試，每次通過(guò)的概率均為，現(xiàn)有這個(gè)駕校的一對(duì)夫妻學(xué)員同時(shí)報(bào)名參加駕駛證科目二考試，若這對(duì)夫妻每人每次是否通過(guò)科目二考試相互獨(dú)立，他們參加科目二考試的原則為：通過(guò)科目二考試或者用完所有機(jī)會(huì)為止．
（Ⅰ）求這對(duì)夫妻在本次報(bào)名參加科目二考試通過(guò)且都不需要交補(bǔ)考費(fèi)的概率；
（Ⅱ）求這對(duì)夫妻在本次報(bào)名參加科目二考試通過(guò)且產(chǎn)生的補(bǔ)考費(fèi)用之和為200元的概率．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)ξ表示“這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參加科目二考試都不需要交補(bǔ)考費(fèi)的事件”，Ai表示“丈夫在第i次參加科目二考試中通過(guò)”，
Bi表示“妻子在第i次參加科目二考試中通過(guò)”，則，
則P（ξ）＝P（A1B1）+P（）+P（）+P（），
所以這對(duì)夫妻在本次報(bào)名參加科目二考試通過(guò)且都不需要交補(bǔ)考費(fèi)的概率是．
（Ⅱ）由（1）知，夫妻二人共交200元補(bǔ)考費(fèi)的事件，
則，
所以這對(duì)夫妻在本次報(bào)名參加科目二考試通過(guò)且產(chǎn)生的補(bǔ)考費(fèi)用之和為200元的概率．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/10/31 9:09:57；用戶：高中數(shù)學(xué)朱老師；郵箱：rFmNt90mRiXzEYJeDrg1uSD0fc@；學(xué)號(hào)：37103942

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