?高二九月月考數(shù)學(xué)試卷
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）
1.如圖，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是（ ）

A. B.
C. D.
2.若向量，，則（ ）
A. B.
C. D.
3.已知平面內(nèi)有一點(diǎn)，平面的一個(gè)法向量為，則下列四個(gè)點(diǎn)中在平面內(nèi)的是（ ）
A. B. C. D.
4.給出下列命題：
①若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有；
②是，共線的充要條件；
③若，則，共線；
④對(duì)空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A，B，C，若且（其中x，y，），則P，A，B，C四點(diǎn)共面．
其中不正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知，，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
6.有個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（ ）
A.甲與丙相互獨(dú)立 B.甲與丁相互獨(dú)立 C.乙與丙相互獨(dú)立 D.丙與丁相互獨(dú)立
7.已知正四面體的棱長(zhǎng)為1，的重心為G，則線段的長(zhǎng)為（ ）
A. B. C. D.
8.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G分別是棱，，的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題：
①；
②直線與直線所成角為60°；
③過E，F(xiàn)，G三點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面為六邊形；
④三棱錐的體積為．
其中，正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）
9.在下列命題中，錯(cuò)誤命題是（ ）
A.若向量，共線，則向量，所在的直線平行
B.若向量，所在的直線為異面直線，則向量，一定不共面
C.若三個(gè)向量，，兩兩共面，則向量，，共面
D.已知空間的三個(gè)向量，，不共面，則對(duì)于空間的任意一個(gè)向量總存在實(shí)數(shù)x，y，z使得
10.如圖，和所在平面垂直，且，，則（ ）

A.異面直線與所成角的大小為60°
B.異面直線與所成角的余弦值為
C.直線與平面所成角的大小為45°
D.直線與平面所成角的大小為60°
11.某展會(huì)安排了分別標(biāo)有序號(hào)為“1號(hào)”“2號(hào)”“3號(hào)”的三輛車，等可能的隨機(jī)順序前往酒店接送嘉賓.某嘉賓突發(fā)奇想，設(shè)計(jì)了兩種乘車方案．方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號(hào)大于第一輛車的車序號(hào)，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車．記方案一與方案二坐到“3號(hào)”車的概率分別為，，則（ ）
A. B. C. D.
12.正方體的棱長(zhǎng)為2，M為的中點(diǎn)，下列命題中正確的是（ ）
A.與成60°角
B.若，面交于點(diǎn)E，則
C.P點(diǎn)在正方形邊界及內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且，則P點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)等于
D.E，F(xiàn)分別在，上，且，直線與，所成角分別是，，則
第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）
13.已知點(diǎn)A在基底下的坐標(biāo)為，其中，，，則點(diǎn)A在基底下的坐標(biāo)為______．
14.已知點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則線段的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為______．
15.駕駛員“科目一”考試，又稱科目一理論考試、駕駛員理論考試，是機(jī)動(dòng)車駕駛證考核的一部分．根據(jù)《機(jī)動(dòng)車駕駛證申領(lǐng)和使用規(guī)定》，考試內(nèi)容包括駕車?yán)碚摶A(chǔ)、道路安全法律法規(guī)、地方性法規(guī)等相關(guān)知識(shí)．考試形式為上機(jī)考試100道題，90分及以上過關(guān)．考試規(guī)則是：若上午第一次考試未通過，當(dāng)場(chǎng)可以立刻補(bǔ)考一次；如果補(bǔ)考還沒過，那么出了考場(chǎng)繳費(fèi)后，下午可以再考，若還未通過可再補(bǔ)考一次．已知小王每一次通過考試的概率均為0.5，且每一場(chǎng)考試與補(bǔ)考是否通過相互獨(dú)立，則當(dāng)天小王通過“科目一”考試的概率為______．
16.如圖，在直三棱柱中，，，已知G和E分別為和的中點(diǎn)，D和F分別為線段和上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若，則線段長(zhǎng)度的取值范圍為______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17.（本小題10.0分）
如圖，已知M、N分別為四面體中與的重心，且G為上一點(diǎn)，且，設(shè)，，，試用，，表示，．

18.（本小題12.0分）
如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面，E是棱上的一點(diǎn)．

（1）證明：平面平面；
（2）已知，，若E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，求點(diǎn)B到平面的距離．
19.（本小題12.0分）
如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，且E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，，．

（1）證明：平面．
（2）求平面與平面的夾角的余弦值．
20.（本小題12.0分）
如圖，在長(zhǎng)方體中，E，M分別是，的中點(diǎn)，，．

（1）若在線段上存在一點(diǎn)，使平面，試確定N的位置；
（2）在（1）的條件下，試確定直線與平面的交點(diǎn)F的位置，并求的長(zhǎng)．
21.（本小題12.0分）
為了普及垃圾分類知識(shí)，某校舉行了垃圾分類知識(shí)考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學(xué)答對(duì)每題的概率都為p，乙同學(xué)答對(duì)每題的概率都為，且在考試中每人各題答題結(jié)果互不影響。已知每題甲、乙兩人同時(shí)答對(duì)的概率為，恰有一人答對(duì)的概率為．
（1）求p和q的值；
（2）求甲、乙兩人共答對(duì)3道題的概率。
22.（本小題12.0分）
如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，．

（1）求直線與平面所成角的正切值；
（2）點(diǎn)Q是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與所成的角最小時(shí)，求線段的長(zhǎng)．
高二九月月考數(shù)學(xué)試卷
【答案】
1.A 2.D 3.B 4.B 5.D 6.B 7.A 8.C
9.ABC 10.BC 11.ACD 12.ACD
13. 14. 15. 16.
17.解：


，

.
18.（1）證明：∵平面，平面，
∴.
又，，、平面，
∴平面，而平面，
∴平面上平面.
（2）解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

，，，
，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，
則，且，
取，
∴點(diǎn)B到平面的距離.
19.（1）證明；取的中點(diǎn)H，連接，取的中點(diǎn)O，連接.
因?yàn)镋，H分別是，的中點(diǎn)，且O是的中點(diǎn)，
所以O(shè)是矩形的中心.
因?yàn)?，所以平面?br /> 因?yàn)槠矫?，所?
因?yàn)?，且為棱的中點(diǎn)，所以.
因?yàn)槠矫?，平面，且，所以平?
因?yàn)?，所以平?
因?yàn)槠矫妫?
由題中數(shù)據(jù)可得，，，則，從而.
因?yàn)槠矫妫矫?，且，所以平?

（2）解：取的中點(diǎn)G，連接，由題意可知，，兩兩垂直，故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則，，，
因?yàn)镕為棱的中點(diǎn)，所以，所以，，.
設(shè)平面的法向量為，
則，令，得.
設(shè)平面的法向量為
則令，得
設(shè)平面與平面的夾角為，則.
20.N為的中點(diǎn)：F是棱上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)，
解：（1）如圖，分別以，，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，所以
，，.
設(shè)，
則，
，
由題意知是平面的一個(gè)法向量，
所以，即，解得.
因?yàn)槠矫妫?br /> 所以當(dāng)N為的中點(diǎn)時(shí)，平面.

（2）由已知，得點(diǎn)在直線上，因?yàn)橹本€與z軸平行，可設(shè)，，又點(diǎn)F在平面內(nèi)，所以存在實(shí)數(shù)，，使得，即，
整理得，所以，解得
所以，故F是棱上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)，.
21.解：（1）設(shè)，，
則，，
設(shè)，，
則，，
∵二人答題互不影響，且每人各題答題結(jié)果互不影響，
∴A與B相互獨(dú)立，與相互互斥，
∴，
，
由題意得：，
解得或，
∵，∴，.
（2）設(shè)，，，1，2，
由題意得：
，?，
，?，
設(shè)，則，
∴，
∴甲乙兩人共答對(duì)3道題的概率為.
22.解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、所在直線分別為x、y、z軸建系如圖，

由題可知，，，.
（1）∴，設(shè)直線與平面所成角為，
∵，，
設(shè)平面的法向量為，
由得，
取，得，
∴，
∴；
（2）∵，設(shè)，
又，則，
又，從而，
設(shè)，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最大值為，
因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，此時(shí)直線與所成角取得最小值.
又∵，∴.

【解析】
1.【分析】
本題考查了空間向量的加法，三角形法則，屬基礎(chǔ)題題.
利用空間向量的三角形法則，，結(jié)合平行六面體的性質(zhì)分析解答.
【解答】
解：由題意，




故選A.
2.【分析】
本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.
根據(jù)已知條件逐項(xiàng)計(jì)算檢驗(yàn)即可.
【解答】
解：若，，
則，，故D正確；
，所以B錯(cuò)誤；
，故A錯(cuò)誤；
顯然與不平行，故C錯(cuò)誤；
故選D.
3.【分析】
本題考查空間向量點(diǎn)的坐標(biāo)，向量數(shù)量積的概念.
根據(jù)平面內(nèi)內(nèi)一點(diǎn)坐標(biāo)，求出四個(gè)選項(xiàng)中所給點(diǎn)形成的向量，利用與垂直，數(shù)量積為0，可得到正確答案.
【解答】
解：由題意可知符合條件的點(diǎn)P應(yīng)滿足，
A：，
，故不在平面內(nèi)，
同理可得：
B：，，故在平面內(nèi)，
C：，，故不在平面內(nèi)，
D：，，故不在平面內(nèi).
故選B.
4.【分析】
本題考查了向量共線的條件，空間向量的加法，空間向量共面問題，屬于基礎(chǔ)題.
直接利用向量共線的條件，空間向量的加法，空間向量共面定理對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可.
【解答】解：根據(jù)空間向量的加法法則，顯然①正確；
若，共線，則或，故②錯(cuò)誤；
若直線與平行，則，共線，故③正確；
只有當(dāng)時(shí)，P，A，B，C四點(diǎn)才共面，故④錯(cuò)誤.
故選B.
5.【分析】
本題考查了向量模的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.
利用向量模的計(jì)算公式即可得出.
【解答】
解：，
∴

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
∴的最小值為.
故選D.
6.【分析】
本題考查相互獨(dú)立事件的應(yīng)用，要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù)，屬于中檔題.
分別列出甲、乙、丙、丁可能的情況，然后根據(jù)獨(dú)立事件的定義判斷即可.
【解答】
解：由題意可知，兩次取出的球的數(shù)字之和是8的所有可能為：，，，，，
兩次取出的球的數(shù)字之和是7的所有可能為，，，，，，
，，，，
A：，
B：，
C：，
D：，
故選：B.
7.連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)M，連接.∵G是的重心，∴，∴，
則，
又，∴，即線段的長(zhǎng)為.故選A.
8.【分析】
本題主要考查兩直線垂直的判定，利用空間向量求線線的夾角，棱雉體積，平面的法向量，屬于拔高題.
逐個(gè)進(jìn)行判斷即可求出答案.
【解答】解：如圖所示：

①作，連接，平面，
所以，
又因?yàn)镕，M是，的中點(diǎn)，
所以，
∵，∴，
又因?yàn)?，平面，平面?br /> 上平面，
∴，
所以①正確
②以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
，，
所以，
，，
所以，
設(shè)直線與直線所成角為，，
所以，
所以②正確.

③

由圖可知E，F(xiàn)，G三點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面為五邊形，所以③不正確.
④
邊上的高
，
，，
設(shè)平面的法向量為，
，，
解得，，
設(shè)，
所以，，
所以，
，，
，
，
所以④正確，
綜上所述①②④正確.
故選C.
9.【分析】
本題為判斷命題的真假，涉及向量共線與空間向量基本定理，屬基礎(chǔ)題.
逐個(gè)判斷：向量是可自由平移的，命題①錯(cuò)誤、②不正確；舉反例，可證③不正確，由空間向量基本定理，可知，命題④不正確.
【解答】解：A：由于向量是可自由平移的，所以向量，共線，則，所在的直線平行或重合，故命題A錯(cuò)誤；
B：同樣因?yàn)橄蛄渴强勺杂善揭频模蛄?，所在的直線為異面直線，則向量，也可能共面，故命題B錯(cuò)誤；
C：三個(gè)向量，，兩兩共面，如直角坐標(biāo)系的三個(gè)基向量，它們不共面，故命題C錯(cuò)誤；
D：由空間向量基本定理，可知，只有當(dāng)三個(gè)向量，，不共面的時(shí)候，由它們做基底，才有后面的結(jié)論，故命題D正確.
故選ABC.
10.以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則
，，，，所以，，，.
因?yàn)椋?，即異面直線與所成角的大小為90°，故A錯(cuò)誤.因?yàn)?br /> ，所以異面直線與所成角的余弦值為，故B正確.
設(shè)直線與平面所成的角為，，因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，所以
，所以，即直線與平面所成角的大小為45°，故C正確，D錯(cuò)誤.故選BC.
11.【分析】
本題考查概率的求法，考查列舉法、古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于中檔題.
利用列舉法求出方案一坐到“3號(hào)”車的概率，利用古典概型求出方案二坐到“3號(hào)”車的概率，由此能求出結(jié)果.
【解答】
解：分別標(biāo)有序號(hào)為“1號(hào)”“2號(hào)”“3號(hào)”的三輛車，等可能隨機(jī)順序前往酒店接嘉賓，基本事件有：，，，，，，共6種，
設(shè)計(jì)兩種乘車方案.方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號(hào)大于第一輛車的車序號(hào)，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車，
方案一坐到“3號(hào)”車包含的基本事件有：，，，有3種，
方案一坐到“3號(hào)”車的概率，
方案二：直接乘坐第一輛車，則方案二坐到“3號(hào)”車的概率為.
∴，，，
故選ACD.
12.【分析】
本題考查了命題的真假判斷，涉及空間向量，直線夾角計(jì)算，線面垂直的證明，屬于較難題.
A根據(jù)異面直線所成的角進(jìn)行求解.B建立坐標(biāo)系，利用四點(diǎn)共面建立方程關(guān)系進(jìn)行求解，C根據(jù)線面垂直確定P的運(yùn)動(dòng)軌跡，D建系求解即可.
【解答】
解：連接，，則，則與所成的角即為與成的角，
因?yàn)槭钦切危?br /> 則與成60°角，故A正確：

建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：

則，，，
設(shè)，則，
∵，M，N，E四點(diǎn)共面，∴存在實(shí)數(shù)x，y使，
即，
則，得，
則，，故B錯(cuò)誤，
取的中點(diǎn)H，的中點(diǎn)K，連接，，，
平面，平面，則，
又、為平面內(nèi)兩條相交直線，
所以平面，在平面內(nèi)，
則，同理，、為平面內(nèi)兩條相交直線，
則平面，
若，則P在平面中，則，
，
即P點(diǎn)在正方形邊界及內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且，則P點(diǎn)軌跡長(zhǎng)等于，故C正確；

由B選項(xiàng)中坐標(biāo)系可知，，，，，
則，，
∵E，F(xiàn)分別在和上，且，
∴，
則，
，
則，
則，
則，，
，，
即，故D正確.
故選ACD.
13.【分析】
本題主要考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，空間向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.
由題意化簡(jiǎn)，即可求解.
【解答】
解：由題意知點(diǎn)A對(duì)應(yīng)向量為，
故點(diǎn)A在基底下的坐標(biāo)為.
14.由題意知，則關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得
15.【分析】
本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式、對(duì)立事件的概率，屬于中檔題.
先利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式求出小王當(dāng)天沒有通過“科目一”考試的概率，再用1減去此概率，即為所求.
【解答】
解：小王當(dāng)天沒有通過考試的概率為，
則小王當(dāng)天通過考試的概率為.
故答案為.
16.【分析】
本題考查線段長(zhǎng)的取值范圍的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.
以A為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出線段的長(zhǎng)度的取值范圍.
【解答】解：以A為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，
，，
∵，
∴，即
∴，
∵，，
∴，
當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)度的最小值，
當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)度的最大值是1，
而不包括端點(diǎn)，故不能取1.
∴線段的長(zhǎng)度的取值范圍是.
故答案為.
17.本題著重考查了空間向量的線性運(yùn)算等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，根據(jù)向量加減運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算，直接計(jì)算即可.
18.本題考查了面面垂直的判定，點(diǎn)面距離的求解，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
（1）由平面，可得，又，利用線面、面面垂直的判定定理即可證明結(jié)論.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量為，利用點(diǎn)B到平面的距離，即可得出.
19.本題考查直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題.
（1）證明，結(jié)合，推出平面，即可證明平面.
（2）取的中點(diǎn)G，連接，由題意可知，，兩兩垂直，故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解平面與平面的夾角的余弦值.
20.解：（1）如圖，分別以，，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，所以
，，.
設(shè)，
則，
，
由題意知是平面的一個(gè)法向量，
所以，即，解得.
因?yàn)槠矫妫?br /> 所以當(dāng)N為的中點(diǎn)時(shí)，平面.

（2）由已知，得點(diǎn)F在直線上，因?yàn)橹本€與z軸平行，可設(shè)，，
又點(diǎn)F在平面內(nèi)，所以存在實(shí)數(shù)，，使得，即，
整理得，所以解得
所以，故F是棱上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)，.
21.本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.
（1）設(shè)，，則，，設(shè)，，則，，則，，利用相互.獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式列出方程組，能求出p和q的值.
（2）設(shè)，，，1，2，
設(shè)，則，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出甲乙兩人共答對(duì)3道題的概率.
22.本題考查求二面角的三角函數(shù)值，考查用空間向量解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題.
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、所在直線分別為x、y、z軸建系.
（1）所求值即為平面的一個(gè)法向量與向量夾角的余弦的絕對(duì)值，進(jìn)一步計(jì)算即可；
（2）利用換元法可得，結(jié)合函數(shù)在上的單調(diào)性，計(jì)算即得結(jié)論.



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