2024.03
本試卷共23題，共150分，共8頁，考試用時(shí)120分鐘．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生先將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼條形碼區(qū)域內(nèi)．
2．選擇題答案必須使用2B鉛筆填涂，非選擇題答案使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整，筆跡清楚．
3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效．
4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑．
5．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀．
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知全集，，，則（ ）
A．B．C．D．
2．棣莫弗公式（其中i為虛數(shù)單位）是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．若向量與滿足．且，，則向量與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
4．命題“，，”的否定形式是（ ）
A．，，．B．，，．
C．，，．D．，，．
5．已知是定義在R上的偶函數(shù)，且周期．若當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．4B．16C．D．
6．在下列四個(gè)圖形中，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，按逆時(shí)針方向沿周長(zhǎng)為l的圖形運(yùn)動(dòng)一周，O、P兩點(diǎn)連線的距離y與點(diǎn)P走過的路程x的函數(shù)關(guān)系如圖，那么點(diǎn)P所走的圖形是（ ）
A．B．C．D．
7．正值元宵佳節(jié)，赤峰市“盛世中華·龍舞紅山”紀(jì)念紅山文化命名七十周年大型新春祈?；顒?dòng)中，有4名大學(xué)生將前往3處場(chǎng)地A，B，C開展志愿服務(wù)工作．若要求每處場(chǎng)地都要有志愿者，每名志愿者都必須參加且只能去一處場(chǎng)地，則當(dāng)甲去場(chǎng)地A時(shí)，場(chǎng)地B有且只有1名志愿者的概率為（ ）
A．B．C．D．
8．如圖所示，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下面的題目：已知曲線C的方程為，其左、右焦點(diǎn)分別是，，直線l與橢圓C切于點(diǎn)P，且，過點(diǎn)P且與直線l垂直的直線與橢圓長(zhǎng)軸交于點(diǎn)M，則（ ）
A．B．C．D．
9．已知的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿足，且，則的形狀為（ ）
A．等邊三角形B．頂角為的等腰三角形
C．頂角為的等腰三角形D．等腰直角三角形
10．已知數(shù)列滿足，若，的所有可能取值構(gòu)成集合M，則M中的元素的個(gè)數(shù)是（ ）
A．7個(gè)B．6個(gè)C．5個(gè)D．4個(gè)
11．在直三棱柱中，各棱長(zhǎng)均為2，M，N，P，Q分別是線段，，，的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．三棱柱外接球的表面積為B．
C．面D．三棱錐的體積為定值
12．已知F是雙曲線的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與雙曲線C的一條漸近線垂直，垂足為M，且直線l與雙曲線C的右支交于點(diǎn)N，若，則雙曲線C的漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．的展開式中x的系數(shù)為______
14．已知圓，直線被圓C截得的弦長(zhǎng)為______
15．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則m的最小值為______
16．定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意都有，且當(dāng)時(shí)，恒成立．下列結(jié)論中可能成立的有______
①為奇函數(shù)；
②對(duì)定義域內(nèi)任意，都有；
③對(duì)，都有；
④．
三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
（一）必考題：共60分．
17．（12分）已知數(shù)列，______．在①數(shù)列的前n項(xiàng)和為，；②數(shù)列的前n項(xiàng)之積為，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問題中并解答（注：如果選擇多個(gè)條件，按照第一個(gè)解答給分．在答題前應(yīng)說明“我選______”）
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
18．（12分）2024年甲辰龍年春節(jié)來臨之際，赤峰市某食品加工企業(yè)為了檢查春節(jié)期間產(chǎn)品質(zhì)量，抽查了一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況．隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本并稱出它們的質(zhì)量（單位：克），質(zhì)量的分組區(qū)間為，，…，，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過515克的產(chǎn)品數(shù)量和樣本平均值；
（2）由樣本估計(jì)總體，結(jié)合頻率分布直方圖，近似認(rèn)為該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，其中近似為（1）中的樣本平均值，計(jì)算該批產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的概率；
（3）從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過515克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：若，則，
，．
19．（12分）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍．
20．（12分）已知正方體，棱長(zhǎng)為2．
（1）求證：平面．
（2）若平面平面，且平面與正方體的棱相交，當(dāng)截面面積最大時(shí)，在所給圖形上畫出截面圖形（不必說出畫法和理由），并求出截面面積的最大值．
（3）在（2）的情形下，設(shè)平面與正方體的棱、、交于點(diǎn)E、F、G，當(dāng)截面的面積最大時(shí)，求二面角的余弦值．
21．（12分）已知拋物線上一點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為4，點(diǎn)Q到焦點(diǎn)F的距離為5．過點(diǎn)F做兩條互相垂直的弦、，設(shè)弦、的中點(diǎn)分別為M、N．
（1）求拋物線P的方程．
（2）過焦點(diǎn)F作，且垂足為G，求的最大值．
（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23二題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．做答時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑．
22．選修4-4：坐標(biāo)與參數(shù)方程（本題滿分10分）：
已知在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）．
（1）求曲線的普通方程；
（2）已知M，N分別是曲線，上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．
23．選修4-5：不等式選講（本題滿分10分）
已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求m的取值范圍．
赤峰市高三年級(jí)3.20模擬考試試題
理科數(shù)學(xué)答案
2024.03
一、選擇題：
二、填空題：
13．8014．15．16．①③④
解答題：
17．解：（1）選①，當(dāng)時(shí)，，即
當(dāng)時(shí)，①
②
①②得：，即
所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列
所以
選②，當(dāng)時(shí)，，即
當(dāng)時(shí)，，即
當(dāng)時(shí)，符合上式．
所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列
所以
（2）因?yàn)?，所以?br>所以
18．解（1）由頻率分布直方圖可知，
質(zhì)量超過515克的產(chǎn)品的頻率為，
質(zhì)量超過515克的產(chǎn)品數(shù)量為（件）
（2）由題意可得，
則，
則該批產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的概率：
（3）根據(jù)用樣本估計(jì)總體的思想，從該流水線上任取一件產(chǎn)品，
該產(chǎn)品的質(zhì)量超過515克的概率為
所以，從流水線上任取2件產(chǎn)品互不影響，該問題可看作二項(xiàng)分布．
故，質(zhì)量超過515克的件數(shù)Y可能的取值為0，1，2，且
，
，，
的分布列為
Y的均值為或者
19．解（1）：當(dāng)時(shí)，，則，
所以，，，
故當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．
（2）當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>由，即，解得或，
因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、
（3）法Ⅰ：因?yàn)?，則，
令，因?yàn)楹瘮?shù)在上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，
則函數(shù)在上有一個(gè)異號(hào)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，恒成立，無零點(diǎn)，故不符合題意；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，只需，故符合題意；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線，
因?yàn)?，只需，故不符合題意，舍去
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
法Ⅱ：令
則有根．
令
設(shè)
由題意可知
20．證明：（1）連接，
因?yàn)槭钦襟w，所以平面，因?yàn)槠矫妫?br>又因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以?br>因?yàn)?，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，所以．同理?br>又因?yàn)椋云矫妫?br>（2）截面圖形為如圖所示的六邊形
根據(jù)題意知截面面積最大時(shí)，圖形是邊長(zhǎng)為的正六邊形，
所以最大的截面面積為
（3）因?yàn)槠矫嫫矫妫援?dāng)截面的面積最大時(shí)，E、F、G分別是棱、、的中點(diǎn)，以D為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系
，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量是，
，，
令，則，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量是，，
，令，則，，則
設(shè)二面角的平面角為，由圖知為銳角，所以，
所以二面角的余弦值為．
21．解：（1）由題可知，
解得，或（舍）
所以，拋物線P的方程為
（2）設(shè)直線，，，
聯(lián)立，可得，則得，，
，同理
①時(shí)，
②當(dāng)時(shí)，
根據(jù)曲線對(duì)稱性可知，令時(shí)，則．所以直線恒過點(diǎn)
又，所以點(diǎn)G在以為直徑的圓上，且軌跡方程為，
由幾何圖形關(guān)系可知，的最大值為3
22．解：（1）由，可得
消去參數(shù)得，
所以曲線的普通方程為，又因?yàn)?br>所以曲線的普通方程為
（3）因?yàn)榍€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），
所以設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，
設(shè)圓心與上任意一點(diǎn)的距離為d
則
設(shè)，，則，，
所以
23．解：①當(dāng)時(shí)，，即
當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得，所以
當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得
當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得，所以
綜上，原不等式的解集為
②若恒成立，即
因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），
所以，即或，
解得或
故m的取值范圍為．題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
C
B
D
A
D
B
B
C
D
Y
0
1
2
P

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