2023屆內(nèi)蒙古赤峰市四校高三下學(xué)期5月模擬考試理科數(shù)學(xué)試題含答案-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

絕密★啟用前赤峰市四校2023屆高三下學(xué)期5月模擬考試理科數(shù)學(xué)注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)，為純虛數(shù)，則（）A． B． C． D．2．已知集合，，則（）A． B． C． D．3．某學(xué)校共1000人參加數(shù)學(xué)測驗，考試成績近似服從正態(tài)分布，若，則估計成績在120分以上的學(xué)生人數(shù)為（）A．25 B．50 C．75 D．1004．已知x，y滿足約束條件，則的最小值為（）A．1 B． C．-2 D．5．如圖1，放置在桌面上的直三棱柱容器中，灌進一些水，水深為2，水面與容器底面平行．現(xiàn)將容器底面的一邊AB固定于桌面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時，水面形狀恰好為三角形，如圖2，則容器的高h為（）A．4 B． C．3 D．66．已知雙曲線的漸近線與拋物線交于O、A（O是坐標(biāo)原點）兩點，F是拋物線的焦點，已知，則（）A．2 B．3 C．7 D．67．如圖，在四邊形ABCD中，，，，，，，則（）A． B．2 C．3 D．68．定義運算如果，，，滿足等式，函數(shù)在單調(diào)遞增，則取最大值時，函數(shù)的最小正周期為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，若方程有解，則實數(shù)b的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知四棱錐的底面ABCD是邊長為2的正方形，且．若四棱錐的五個頂點在同一球面上，已知棱PA最大值為，則四棱錐的外接球體積為（）A． B． C． D．11．下列結(jié)論：①若方程表示橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是；②雙曲線與橢圓的焦點相同．③M是雙曲線上一點，點，分別是雙曲線左右焦點，若，則或1．④直線與橢圓C：交于P，Q兩點，A是橢圓上任一點（與P，Q不重合），已知直線AP與直線AQ的斜率之積為，則橢圓C的離心率為．錯誤的個數(shù)是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個12．已知函數(shù)的一條對稱軸是，若存在使直線與函數(shù)的圖像相切，則當(dāng)取最小正數(shù)時，實數(shù)m的取值范圍是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若，則二項式的展開式中，常數(shù)項是______．14．函數(shù)的極大值點為______．15．“康威圓定理”是英國數(shù)學(xué)家約翰?康威引以為豪的研究成果之一，定理的內(nèi)容是：如圖，的三條邊長分別為a，b，c（即，，）．延長線段SR至點A，使得，以此類推得到如圖所示的點B，C，D，E，F，那么這六點共圓，此圓稱為康威圓．若，，，往此康威圓內(nèi)投擲一點，該點落在內(nèi)的概率為______．16．已知不等式對任意恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是______．三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）設(shè)各項都為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)函數(shù)，且，求數(shù)列的前n項和．18．（12分）如圖，P為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，BD為底面圓的直徑，M在母線PB上，且，，．（1）求證：平面平面ABCD；（2）設(shè)點E為線段PO上動點，求直線CE與平面ADM所成角的正弦值的最大值．19．（12分）中國職業(yè)男籃CBA總決賽采用七場四勝制，即若有一隊先勝四場，則此隊為總冠軍，比賽就此結(jié)束現(xiàn)甲、乙兩支球隊進行總決賽，因兩隊實力相當(dāng)，每場比賽兩隊獲勝的可能性均為，據(jù)以往資料統(tǒng)計，第一場比賽可獲得門票收入400萬元，以后每場比賽門票收入比上一場增加100萬元．（1）求總決賽中獲得門票總收入恰好為3000萬元的概率；（2）設(shè)總決賽中獲得門票總收入為X，求X的數(shù)學(xué)期望．20．（12分）已知，為雙曲線E：（，）的左、右焦點，E的離心率為，M為E上一點，且．（1）求E的方程；（2）設(shè)點M在坐標(biāo)軸上，直線l與E交于異于M的A，B兩點，且點M在以線段AB為直徑的圓上，過M作，垂足為C，是否存在點D，使得為定值?若存在，求出點D的坐標(biāo)以及的長度；若不存在，請說明理由．21．（12分）已知函數(shù)在處的切線方程為．（1）若a；（2）證明有兩個零點．（二）選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．22．［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．直線l的極坐標(biāo)方程為：，已知直線l與曲線C相交于M，N兩點．（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）記線段MN的中點為P，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍23．［選修4-5：不等式選講］（10分）已知函數(shù)．（1）若，對恒成立，求的最小值（2）若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．赤峰市四校2023屆高三下學(xué)期5月模擬考試數(shù)學(xué)（理科）試卷參考答案解析及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．題號123456789101112選項BCBDCDAACBBD8．解，因為，所以，而，所以，即，當(dāng)時，，∵在上單調(diào)遞增，∴，∴當(dāng)時，的最小正周期故選：A．9．解：∴，故選D（本題求導(dǎo)求解也可）10．解：如圖，由及，得平面PAD，即P點在與BA垂直的圓面內(nèi)運動，由題意知，當(dāng)P、、A三點共線時，PA達到最長，此時，PA是圓的直徑，則，又，所以平面ABCD，此時可將四棱錐補形為長方體，則P與重合，且面對角線，所以長方體的體對角線，∴ 故選：B12．∵是的一條對稱軸，∴，，∴，∵，∴的最小正整數(shù)值為2．∴∴若使與相切，則，且，解得或故選D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13． 14．―2 15． 16．15．解析：由已知中，，，可求得，由余弦定理得，∴，則為直角三角形，其面積為6，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，圓心為O，則，∴，由已知，所以O也為此康威圓的圓心，設(shè)康威圓半徑為R，則，∴此康威圓面積為故往此康威圓內(nèi)投擲一點，該點落在內(nèi)的概率為16．解：由得，即：令，則．∵為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，∴，∴恒成立．令，則，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．∴，∴，∴三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（本題滿分12分）解：（1）當(dāng)時，，以上各式分別相加得，解得經(jīng)檢驗符合，所以，（2）兩式相減得：．∴18．（本題滿分12分）解：（1）證明：如圖，設(shè)AC交BD于點N，連接MN，OC，OA，由已知可得，所以四邊形ABCO為菱形，所以∵，，，∴，∴，∴，因為N為OB的中點，∴，．由余弦定理可求得，∴，即．又AC，平面AMC，，∴平面AMC．又平面ABCD，∴平面平面ABCD．（2）由已知，所以四邊形ABCO為菱形，所以易知，又，BD，平面PBD∴平面PBD，又平面PBD，∴．由（1）知．所以平面ABCD，∴且．以點N為坐標(biāo)原點，NA，ND，NM所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，，，，，，設(shè)則∴，，設(shè)平面AMD的法向量為，則，即，令，則．設(shè)直線CE與平面AMD所成的角為，則當(dāng)時，，當(dāng)時，∴時，取到最大值4．此時，取到最大值1（2）另解：由，知，當(dāng)時，，此時平面AMD設(shè)直線CE與平面AMD所成的角為，因為，當(dāng)時，取到最大值1．19．（1）依題意，每場比賽獲得的門票收入組成首項為400，公差為100的等差數(shù)列．設(shè)此數(shù)列為，則易知，，所以．解得或（舍去），所以此決賽共比賽了5場則前4場比賽的比分必為1∶3，且第5場比賽為領(lǐng)先的球隊獲勝，其概率為．所以總決賽中獲得門票總收入恰好為3000萬元的概率為．（2）隨機變量X可取的值為，，，，即2200，3000，3900，4900，，，，，所以X的分布列為X2200300039004900P所以20．解：（1）由題意，在雙曲線E：（，）中，E的離心率為得根據(jù)雙曲線的定義可知，，∴，則，∴，∴E：．（2）由題意及（1）得，在E：中，，∴點M在雙曲線E的左支上，當(dāng)點M在坐標(biāo)軸上，則點M的坐標(biāo)為，設(shè)，，當(dāng)AB的斜率存在時，設(shè)AB的方程為，聯(lián)立，整理得，，則，，，∵M在以AB為直徑的圓上，∴則，∴，整理得，解得或，驗證均滿足．當(dāng)時，直線AB的方程為，則直線AB過點M，不合題意，舍去；當(dāng)時，直線AB的方程為，則直線AB過定點，符合題意．當(dāng)直線AB的斜率不存在時，由，可設(shè)直線AM的方程為，聯(lián)立，解得，，所以直線AB的方程為：，則直線AB過定點．∵∴是以MQ為斜邊的直角三角形，∴點C在以MQ為直徑的圓上，則當(dāng)D為該圓的圓心時，為該圓的半徑，即，故存在點，使得為定值．21．解：（1），因為在處的切線方程為∴，∴（2）由（1）知，要證有兩個零點，即證方程有兩個不等實根，即證函數(shù)與有兩個交點令，，∴單調(diào)遞增，又，∴當(dāng)時，∴，函數(shù)與無交點．當(dāng)時，，當(dāng)時，令當(dāng)時，．當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；又∵，，∴，即當(dāng)時，，當(dāng)時，綜上，當(dāng)時，，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，單調(diào)遞減．又時，且當(dāng)時，∵，∴函數(shù)與有兩個交點即函數(shù)有兩個零點．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．22．解（1）∵曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為化為一般式得：設(shè)∴∴曲線C的極坐標(biāo)方程為：（2）聯(lián)立和，得，設(shè)、，則，由，得，當(dāng)時，取最大值，故實數(shù)的取值范圍為［選修4-5：不等式選講］23．解：（1）由題可得，函數(shù)的圖像如下如圖所示，，則，即，∵，，可得，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為（2）令，則是恒過點，斜率為a的直線，由恒成立，則表示函數(shù)圖像恒在函數(shù)圖像上方，當(dāng)過點時，，結(jié)合圖像分析可得，，故

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