2024.03
本試卷共23題，共150分，共8頁，考試用時120分鐘．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．
注意事項：
1．答題前，考生先將自己的姓名，準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼條形碼區(qū)域內．
2．選擇題答案必須使用2B鉛筆填涂，非選擇題答案使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整，筆跡清楚．
3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效．
4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑．
5．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀．
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知全集，，，則（ ）
A．B．C．D．
2．棣莫弗公式（其中i為虛數單位）是由法國數學家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現的，根據棣莫弗公式可知，復數在復平面內所對應的點位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．若向量與滿足．且，，則向量與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
4．命題“，，”的否定形式是（ ）
A．，，．B．，，．
C．，，．D．，，．
5．已知是定義在R上的偶函數，且周期．若當時，，則（ ）
A．4B．16C．D．
6．在下列四個圖形中，點P從點O出發(fā)，按逆時針方向沿周長為l的圖形運動一周，O、P兩點連線的距離y與點P走過的路程x的函數關系如圖，那么點P所走的圖形是（ ）
A．B．C．D．
7．正值元宵佳節(jié)，赤峰市“盛世中華·龍舞紅山”紀念紅山文化命名七十周年大型新春祈?；顒又?，有4名大學生將前往3處場地A，B，C開展志愿服務工作．若要求每處場地都要有志愿者，每名志愿者都必須參加且只能去一處場地，則當甲去場地A時，場地B有且只有1名志愿者的概率為（ ）
A．B．C．D．
8．如圖所示，橢圓有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點．根據橢圓的光學性質解決下面的題目：已知曲線C的方程為，其左、右焦點分別是，，直線l與橢圓C切于點P，且，過點P且與直線l垂直的直線與橢圓長軸交于點M，則（ ）
A．B．C．D．
9．已知的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足，且，則的形狀為（ ）
A．等邊三角形B．頂角為的等腰三角形
C．頂角為的等腰三角形D．等腰直角三角形
10．已知數列滿足，若，的所有可能取值構成集合M，則M中的元素的個數是（ ）
A．7個B．6個C．5個D．4個
11．在直三棱柱中，各棱長均為2，M，N，P，Q分別是線段，，，的中點，點D在線段上，則下列結論錯誤的是（ ）
A．三棱柱外接球的表面積為B．
C．面D．三棱錐的體積為定值
12．已知F是雙曲線的左焦點，過點F的直線l與雙曲線C的一條漸近線垂直，垂足為M，且直線l與雙曲線C的右支交于點N，若，則雙曲線C的漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．的展開式中x的系數為______
14．已知圓，直線被圓C截得的弦長為______
15．已知函數的部分圖象如圖所示，若將的圖象向左平移個單位長度后所得的圖象關于y軸對稱，則m的最小值為______
16．定義在上的函數滿足：對任意都有，且當時，恒成立．下列結論中可能成立的有______
①為奇函數；
②對定義域內任意，都有；
③對，都有；
④．
三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答．
（一）必考題：共60分．
17．（12分）已知數列，______．在①數列的前n項和為，；②數列的前n項之積為，這兩個條件中任選一個，補充在上面的問題中并解答（注：如果選擇多個條件，按照第一個解答給分．在答題前應說明“我選______”）
（1）求數列的通項公式；
（2）令，求數列的前n項和．
18．（12分）2024年甲辰龍年春節(jié)來臨之際，赤峰市某食品加工企業(yè)為了檢查春節(jié)期間產品質量，抽查了一條自動包裝流水線的生產情況．隨機抽取該流水線上的40件產品作為樣本并稱出它們的質量（單位：克），質量的分組區(qū)間為，，…，，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．
（1）根據頻率分布直方圖，求質量超過515克的產品數量和樣本平均值；
（2）由樣本估計總體，結合頻率分布直方圖，近似認為該產品的質量指標值服從正態(tài)分布，其中近似為（1）中的樣本平均值，計算該批產品質量指標值的概率；
（3）從該流水線上任取2件產品，設Y為質量超過515克的產品數量，求Y的分布列和數學期望．
附：若，則，
，．
19．（12分）已知函數．
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）當時，求函數的單調遞增區(qū)間；
（3）若函數在區(qū)間上只有一個極值點，求a的取值范圍．
20．（12分）已知正方體，棱長為2．
（1）求證：平面．
（2）若平面平面，且平面與正方體的棱相交，當截面面積最大時，在所給圖形上畫出截面圖形（不必說出畫法和理由），并求出截面面積的最大值．
（3）在（2）的情形下，設平面與正方體的棱、、交于點E、F、G，當截面的面積最大時，求二面角的余弦值．
21．（12分）已知拋物線上一點Q的縱坐標為4，點Q到焦點F的距離為5．過點F做兩條互相垂直的弦、，設弦、的中點分別為M、N．
（1）求拋物線P的方程．
（2）過焦點F作，且垂足為G，求的最大值．
（二）選考題：共10分．請考生在第22、23二題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分．做答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的標號涂黑．
22．選修4-4：坐標與參數方程（本題滿分10分）：
已知在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），曲線的參數方程為（為參數，）．
（1）求曲線的普通方程；
（2）已知M，N分別是曲線，上的動點，求的最小值．
23．選修4-5：不等式選講（本題滿分10分）
已知函數．
（1）當時，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求m的取值范圍．
赤峰市高三年級3.20模擬考試試題
理科數學答案
2024.03
一、選擇題：
二、填空題：
13．8014．15．16．①③④
解答題：
17．解：（1）選①，當時，，即
當時，①
②
①②得：，即
所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列
所以
選②，當時，，即
當時，，即
當時，符合上式．
所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列
所以
（2）因為，所以，
所以
18．解（1）由頻率分布直方圖可知，
質量超過515克的產品的頻率為，
質量超過515克的產品數量為（件）
（2）由題意可得，
則，
則該批產品質量指標值的概率：
（3）根據用樣本估計總體的思想，從該流水線上任取一件產品，
該產品的質量超過515克的概率為
所以，從流水線上任取2件產品互不影響，該問題可看作二項分布．
故，質量超過515克的件數Y可能的取值為0，1，2，且
，
，，
的分布列為
Y的均值為或者
19．解（1）：當時，，則，
所以，，，
故當時，曲線在點處的切線方程為，即．
（2）當時，，該函數的定義域為，，
由，即，解得或，
因此，當時，函數的單調遞增區(qū)間為、
（3）法Ⅰ：因為，則，
令，因為函數在上有且只有一個極值點，
則函數在上有一個異號零點，
當時，對任意的，恒成立，無零點，故不符合題意；
當時，函數在上單調遞增，
因為，只需，故符合題意；
當時，函數的圖象開口向下，對稱軸為直線，
因為，只需，故不符合題意，舍去
綜上所述，實數a的取值范圍是．
法Ⅱ：令
則有根．
令
設
由題意可知
20．證明：（1）連接，
因為是正方體，所以平面，因為平面，所以
又因為四邊形是正方形，所以，
因為，所以平面，
因為平面，所以．同理：
又因為，所以平面．
（2）截面圖形為如圖所示的六邊形
根據題意知截面面積最大時，圖形是邊長為的正六邊形，
所以最大的截面面積為
（3）因為平面平面，所以當截面的面積最大時，E、F、G分別是棱、、的中點，以D為原點建立如圖所示空間直角坐標系
，，，
設平面的一個法向量是，
，，
令，則，，
設平面的一個法向量是，，
，令，則，，則
設二面角的平面角為，由圖知為銳角，所以，
所以二面角的余弦值為．
21．解：（1）由題可知，
解得，或（舍）
所以，拋物線P的方程為
（2）設直線，，，
聯(lián)立，可得，則得，，
，同理
①時，
②當時，
根據曲線對稱性可知，令時，則．所以直線恒過點
又，所以點G在以為直徑的圓上，且軌跡方程為，
由幾何圖形關系可知，的最大值為3
22．解：（1）由，可得
消去參數得，
所以曲線的普通方程為，又因為
所以曲線的普通方程為
（3）因為曲線的參數方程為（為參數），
所以設點M的坐標為，
設圓心與上任意一點的距離為d
則
設，，則，，
所以
23．解：①當時，，即
當時，不等式化為，解得，所以
當時，不等式化為，解得
當時，不等式化為，解得，所以
綜上，原不等式的解集為
②若恒成立，即
因為（當且僅當時，等號成立），
所以，即或，
解得或
故m的取值范圍為．題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
C
B
D
A
D
B
B
C
D
Y
0
1
2
P

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