第Ⅰ卷（選擇題）
一、選擇題
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根據(jù)集合交集的定義立得.
故選：A.
2. 設(shè)A，B是兩個(gè)隨機(jī)事件，且，，則下列正確的是（ ）
A. 若，則A與B相互獨(dú)立B.
C. D. A與B有可能是對立事件
【答案】A
【解析】對A：由，故，則有，
故與相互獨(dú)立，故與相互獨(dú)立，故A正確；
對B：，故B錯(cuò)誤；
對C：，由未定，故C錯(cuò)誤；
對D：，故與不是對立事件，故D錯(cuò)誤.
故選：A.
3. 某校要派4名教師到甲、乙兩個(gè)社區(qū)開展志愿者服務(wù)，若每個(gè)教師只去一個(gè)社區(qū)，且兩個(gè)社區(qū)都有教師去，則不同的安排方法有（ ）
A. 20種B. 14種C. 10種D. 7種
【答案】B
【解析】第一步：將4名教師分成兩組，有兩種情況：一種情況是1組1人、1組3人，一種情況是每組2人，
共有種分法；
第二步：將第一步得到的兩個(gè)不同組分給兩個(gè)不同社區(qū)，有種分法，
則不同的安排方法有（種）.
故選：B.
4. 等差數(shù)列中，，，則使得前n項(xiàng)的和最大的n值為（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】B
【解析】在等差數(shù)列中，，由，可得，
，，且數(shù)列為遞減數(shù)列，
所以使得前n項(xiàng)的和最大的n值為8.
故選：B.
5. 某地為了了解學(xué)生的睡眠時(shí)間，根據(jù)初中和高中學(xué)生的人數(shù)比例采用分層抽樣，抽取了40名初中生和20名高中生，調(diào)查發(fā)現(xiàn)初中生每天的平均睡眠時(shí)間為8小時(shí)，方差為2，高中生每天的平均睡眠時(shí)間為7小時(shí)，方差為1.根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，估計(jì)該地區(qū)中學(xué)生睡眠時(shí)間的總體方差約為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的平均數(shù)為：（小時(shí)），
該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間方差為：.
故選：D.
6. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若，，則正整數(shù)的取值為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】方法一：因?yàn)椋?br>所以，
，所以，即，
而，所以是非負(fù)整數(shù)，
又由圖象可得，所以，
綜上，只能，
所以的最小正周期為，
而由，可知，即正整數(shù)是的周期，
所以，即，對比選項(xiàng)可知只有C選項(xiàng)符合題意.
方法二：設(shè)函數(shù)的最小正周期為，由于，故據(jù)圖象可知，從而.
從而由表明，比對選項(xiàng)知C正確，A，B，D錯(cuò)誤.
故選：C.
7. 直線l與平面成角為，點(diǎn)P為平面外的一點(diǎn)，過點(diǎn)P與平面成角為，且與直線l所成角為的直線有（ ）
A. 0條B. 1條C. 2條D. 4條
【答案】C
【解析】如圖所示，設(shè)直線與平面相交于，直線在平面的射影為直線.
且直線與平面所成角為，
即.
設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為點(diǎn)，圓錐的軸平面，
即圓錐的任意一條母線與平面所成角都等于.
當(dāng)過點(diǎn)的母線為直線時(shí)，
直線與平面所成角為，直線與直線所成角為，即,
當(dāng)過點(diǎn)的母線沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線時(shí)，
直線與直線所成角為，即，
所以過點(diǎn)的直線從沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線時(shí)，
與直線所成角的范圍為，
故存在一條過點(diǎn)的直線與直線所成角為，
同理可得，過點(diǎn)的直線從沿順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線時(shí)，
也存在一條過點(diǎn)的直線與直線所成角為，
所以過點(diǎn)的直線與平面所成角為，與直線所成角為的直線有2條.
故選：C.
8. 已知函數(shù)，，若關(guān)于x的方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】如圖，作出函數(shù)的圖象，
令，
由圖可知，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
當(dāng)或時(shí)，關(guān)于的方程只有個(gè)實(shí)數(shù)根，
因?yàn)殛P(guān)于x的方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
所以關(guān)于的方程的一個(gè)根在上，另一個(gè)根在上，
或方程的兩個(gè)根一個(gè)為，另一個(gè)在上，
若為方程的根時(shí)，則，
當(dāng)時(shí)，方程的另一個(gè)根為，不符題意，
當(dāng)時(shí)，方程的另一個(gè)根為，不符題意，
若為方程的根時(shí)，則或，
當(dāng)時(shí)，方程的另一個(gè)根為，不符題意，
當(dāng)時(shí)，方程只有一個(gè)根為，不符題意，
若關(guān)于的方程的一個(gè)根在上，另一個(gè)在上時(shí)，
令，
則，即，解得，
綜上所述，實(shí)數(shù)t的取值范圍是.
故選：B.
二、選擇題
9. 已知向量，，為非零向量，下列說法正確的有（ ）
A. 若，，則
B. 已知向量，，則
C. 若，則和在上的投影向量相等
D. 已知，，，則點(diǎn)A，B，D一定共線
【答案】CD
【解析】對于A，若，，則與可能平行，故A錯(cuò)誤；
對于B，設(shè)，則，解得，所以，故B錯(cuò)誤；
對于C，若，則，所以，所以和在上的投影向量相等，故C正確；
對于D，因?yàn)椋?所以點(diǎn)A，B，D一定共線，故D正確.
故選：CD.
10. 集合的整數(shù)元素的個(gè)數(shù)為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，，且，都有成立，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. 數(shù)列的通項(xiàng)公式為
B.
C. 實(shí)數(shù)的取值范圍是
D. 數(shù)列中的每一項(xiàng)都不能夠被5整除
【答案】D
【解析】解，
所以，即B錯(cuò)誤；
所以，則，
兩式相減得：，
當(dāng)時(shí)，，所以，不滿足上式，所以A錯(cuò)誤；
由上，當(dāng)時(shí)，
由恒成立，則，
等價(jià)變形得：，化簡得：，
當(dāng)為偶數(shù)得：，則，所以，
當(dāng)為奇數(shù)得：，由，所以，
但是當(dāng)時(shí)，，而，
由得：，解得，
綜上可得：，所以C錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)楹投寄鼙?整除，而一定不能被5整除，此時(shí)一定不能被5整除，
而當(dāng)時(shí)，，顯然不能被5整除，所以D正確；
故選：D．
11. 已知橢圓：與雙曲線：有公共焦點(diǎn)，，它們的離心率分別為，，P是它們在第一象限的交點(diǎn)，的內(nèi)切圓圓心為Q，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則的最小值為
C. 過作直線的垂線，垂足為H，點(diǎn)H的軌跡是雙曲線
D. 兩個(gè)曲線在P點(diǎn)處的切線互相垂直
【答案】ABD
【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)椋?br>所以，
又，
故，則⊥，
由橢圓定義可得，
由雙曲線定義可得，
解得，
由勾股定理得，即，
化簡得，即，
又，所以，A正確；
B選項(xiàng)，若，由余弦定理得，
即，
由（1）得，
代入上式得，即，
即，
因?yàn)橛?，所以?br>由基本不等式得，即，
解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
則的最小值為，B正確；
C選項(xiàng)，過作直線的垂線，垂足為H，延長交于點(diǎn)，
因?yàn)槠椒郑扇€合一得，為的中點(diǎn)，
則，
連接，由中位線性質(zhì)得，
故點(diǎn)H的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，下面證明橢圓在處的切線方程為，理由如下：
當(dāng)時(shí)，故切線的斜率存在，設(shè)切線方程為，
代入橢圓方程得：，
由，化簡得：
，
所以，
把代入，得：，
于是，
則橢圓的切線斜率為，切線方程為，
整理得到，
其中，故，即，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)或，
當(dāng)時(shí)，切線方程為，滿足，
當(dāng)時(shí)，切線方程為，滿足，
綜上：橢圓在處的切線方程為；
下面證明：上一點(diǎn)的切線方程為，
理由如下：設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，與聯(lián)立得，
，
由
化簡得，
因?yàn)?，代入上式得?br>整理得，
同除以得，，
即，
因?yàn)?，?br>所以，
聯(lián)立，兩式相乘得，，
從而，
故，
即，
令，則，即，
解得，即，
故橢圓：在點(diǎn)處的切線斜率為，
雙曲線在點(diǎn)處切線斜率為，
又，故，
化簡得，
又，所以，故
則斜率乘積為，
故兩曲線在點(diǎn)處的切線互相垂直，D正確.
故選：ABD
第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題
12. 已知復(fù)數(shù)z滿足，則的值為______.
【答案】
【解析】由題意可得，則，
所以.
故答案為：.
13. 在中，，，M是的中點(diǎn)，，則______，______.
【答案】
【解析】依題作出圖像，如圖：
在中，，，，
由余弦定理：，解得：，
則，所以，
解得：，
故.
故答案為：；
14. 已知實(shí)數(shù)，，則的最大值為______.
【答案】2
【解析】因?yàn)椋?br>又因?yàn)?，，所以可由平方均值不等式得：?br>取等號(hào)條件是，即，
所以上式可變?yōu)椋海?br>取等號(hào)條件是：，即，結(jié)合，
可得取到最大值的條件是：.
故答案為：2
四、解答題
15. 設(shè)函數(shù).
（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求k的取值范圍.
解：（1）當(dāng)，，，，
又.
所以，
整理得：.
（2）由題意，在內(nèi)導(dǎo)數(shù)非負(fù)，
即在上恒成立，令，
從而需滿足：且，
所以且，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，
所以k的取值范圍是.
16. 某商場為調(diào)查手機(jī)賣場各品牌手機(jī)在晚上19：30到21：00時(shí)段的銷售情況，隨機(jī)抽取了某一周該時(shí)段的銷售數(shù)據(jù)，并要求每個(gè)品牌只抽取一個(gè)款式的手機(jī)，且不考慮價(jià)格波動(dòng).
銷售利潤率是指：一部手機(jī)銷售價(jià)格減去出廠價(jià)格得到的利潤與該手機(jī)銷售價(jià)格的比值.
（1）從該公司本周該時(shí)段賣出的手機(jī)中隨機(jī)選一部，求這部手機(jī)利潤率高于0.07的概率；
（2）從該公司本周該時(shí)段賣出的銷售單價(jià)為4800元的手機(jī)中隨機(jī)選取2部，求這兩部手機(jī)的利潤率不同的概率；
（3）銷售一部步步高手機(jī)獲利元，銷售一部三星手機(jī)獲利元，…，銷售一部viv手機(jī)獲利元，依據(jù)上表統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，隨機(jī)銷售一部手機(jī)獲利的期望為，設(shè)，試判斷與的大小.
解：（1）由題意知，本周該時(shí)段共賣出30部手機(jī)，
利潤率高于0.07的是步步高4部和viv 7部，共有11部.
設(shè)“這部手機(jī)利潤率高于0.07”為事件A，則.
（2）用銷售總額除以銷售量得到手機(jī)的銷售單價(jià)，可知步步高手機(jī)和華為手機(jī)銷售單價(jià)為4800元，有步步高手機(jī)4部，華為手機(jī)10部，共有14部，
隨機(jī)選取2部有種不同方法，由于兩部手機(jī)的利潤率不同，則每類各取一部有種不同方法，
設(shè)兩部手機(jī)的利潤率不同為事件B，則.
（3）由題意可知利潤等于價(jià)格乘以利潤率，
于是，，，，
所以，x可能取的值為288，400，420，480.
，
，
，
因此，
又
所以.
17. 如圖，在五面體中，底面是菱形，，.
（1）求證：；
（2），M是的中點(diǎn)，O為的中點(diǎn)，且，.
①求證：平面；
②求直線與平面所成角的正弦值.
（1）證明：因?yàn)榈酌媸橇庑危?
又面，面.
面，
又因?yàn)槊?，面面?br>所以.
（2）①證明：取的中點(diǎn)G連結(jié)，.由已知，
所以有.
又因?yàn)镺為中點(diǎn)，所以，
又，，
所以.
又，面.且，
所以面，
又因?yàn)槊妫裕?br>又，且，相交.
又因?yàn)?，面?br>所以面；
②解：以O(shè)為原點(diǎn).以所在直線為z軸.以所確線為y軸.過O作平行線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系.如圖
，，，，，
，，，
設(shè)面的法向量，
，，，
設(shè)所求線面角為，.
18. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，，A，B，C為上不同的三點(diǎn).
（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線過點(diǎn)，且斜率，求面積的最小值；
（3）若直線，與相切，求證：直線也與相切.
（1）解：根據(jù)題意得，，
，，解得，
所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）解：設(shè)直線為代入得，，
設(shè)，，，則有，.
點(diǎn)到直線的距離為，
，
，
設(shè)，
則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，所以的最小值為.
（3）證明：直線的方程為，
，，
，即，
代入到得：，
，即，①
同理直線的方程為即，
代入到得：，
，即，②
由①②，顯然，滿足方程，
再將直線代入到得：，
，所以直線也與相切.
19. 設(shè)數(shù)陣，其中.設(shè)，其中，且.定義變換為“對于數(shù)陣的每一列，若其中有t或，則將這一列中所有數(shù)均保持不變；若其中沒有t且沒有，則這一列中每個(gè)數(shù)都乘以”（），表示“將經(jīng)過變換得到，再將經(jīng)過變換得到，…，以此類推，最后將經(jīng)過變換得到.記數(shù)陣中四個(gè)數(shù)的和為.
（1）若，，寫出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣，并求的值；
（2）若，，求的所有可能取值的和；
（3）對任意確定的一個(gè)數(shù)陣，證明：的所有可能取值的和不大于.
（1）解：因?yàn)?，?br>經(jīng)過變換得到的數(shù)陣，
經(jīng)過變換得到的數(shù)陣，
所以.
（2）解：若，則或，
可得，4種情況；
若或，，則，
可得，4種情況；
若，從和中各取出一個(gè)元素a，b，
，，，則，
可得，8種；
若，，則或，
可得，4種情況；
綜上，的所有可能取值的和；
（3）證明：若，在的所有非空子集中，
①含有且不含的子集共個(gè)，
其中含有奇數(shù)個(gè)元素的集合有8個(gè)，經(jīng)過變換后第一列均仍為，；
其中含有偶數(shù)個(gè)元素的集合有8個(gè)，經(jīng)過變換后第一列均變?yōu)?，?br>②含有且不含的子集共個(gè)，
其中含有奇數(shù)個(gè)元素的集合有8個(gè)，經(jīng)過變換后第一列均仍為，；
其中含有偶數(shù)個(gè)元素的集合有8個(gè)，經(jīng)過變換后第一列均變?yōu)?，?br>③同時(shí)含有和的子集共個(gè)，
其中含有奇數(shù)個(gè)元素的集合有8個(gè)，經(jīng)過變換后第一列均變?yōu)?，?br>其中含有偶數(shù)個(gè)元素的集合有8個(gè)，經(jīng)過變換后第一列均仍為，；
④不含也不含的子集共個(gè)，
其中含有奇數(shù)個(gè)元素的集合有8個(gè)，經(jīng)過變換后第一列均變?yōu)?，?br>其中含有偶數(shù)個(gè)元素的集合有7個(gè)，經(jīng)過變換后第一列均變?yōu)?，?br>若，在的所有非空子集中，
①含有的子集共個(gè)，
其中含有奇數(shù)個(gè)元素的集合有16個(gè)，經(jīng)過變換后第一列均變?yōu)?，?br>其中含有偶數(shù)個(gè)元素的集合有16個(gè)，經(jīng)過變換后第一列均仍為，；
②不含的子集共個(gè)，
其中含有奇數(shù)個(gè)元素的集合有16個(gè)，經(jīng)過變換后第一列均變?yōu)?，?br>其中含有偶數(shù)個(gè)元素的集合有15個(gè)，經(jīng)過變換后第一列均仍為，；
綜上，經(jīng)過變換后，所有的第一列數(shù)的和為
同理，經(jīng)過變換后所有的第二列數(shù)的和為.
所以所有可能取值的和為，
又因?yàn)?，所以所有可能取值的和不超過.手機(jī)品牌
步步高
三星
華為
蘋果
viv
銷售總額（萬元）
1.92
1.8
4.8
4.8
2.52
銷售量
4
3
10
6
7
銷售利潤率
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