重慶市康德卷2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試高考模擬調(diào)研卷（三）數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名填寫(xiě)在答題卡上．考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書(shū)寫(xiě)作答．若在試題卷上作答，答案無(wú)效．
3．考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)集合求解和,求解
【詳解】根據(jù)題意,，
則.
故選：B
2. 若復(fù)數(shù)，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故選：A
3. 設(shè)，若向量，，滿(mǎn)足，，且，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的基本概念，向量的共線定理，以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】由向量，滿(mǎn)足，，且，，
對(duì)于A中，若，則，又，
若均為非零向量，則，顯然與矛盾，所以A不正確；
對(duì)于B中，若，則存在實(shí)數(shù)使，可得，又，
若均為非零向量，則，顯然與矛盾，所以B不正確；
對(duì)于C中，因?yàn)橄蛄浚瑵M(mǎn)足，，且，
則，所以，所以C正確；
對(duì)于D中，由，
所以不一定成立，所以D不正確.
故選：C.
4. 若函數(shù)在單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)則以及函數(shù)在上有意義列不等式求解即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，
所以，解得.
故選：B.
5. 若橢圓：與雙曲線：的離心率之和為，則（）
A. 2B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】分別求出橢圓和雙曲線的離心率，由兩者的離心率之和為，解方程即可得出答案.
【詳解】橢圓：的離心率為，
雙曲線：的離心率為，
所以，解得：.
故選：A.
6. 設(shè)圓和不過(guò)第三象限的直線，若圓上恰有三點(diǎn)到直線的距離為，則實(shí)數(shù)（）
A. 2B. 4C. 26D. 41
【答案】C
【解析】
【分析】首先得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意圓心到直線的距離為，即可求出的值，再由直線不過(guò)第三象限求出的取值范圍，即可得解.
【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑，
因?yàn)閳A上恰有三點(diǎn)到直線的距離為，
所以圓心到直線的距離，解得或，
又直線不過(guò)第三象限，則，解得，
所以.
故選：C
7. 設(shè)且，命題甲：為等比數(shù)列；命題乙：；則命題甲是命題乙的（）
A. 充分且不必要條件B. 必要且不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的定義結(jié)合等比中項(xiàng)的公式代入計(jì)算，即可判斷.
【詳解】若為等比數(shù)列，則滿(mǎn)足，即，
所以，故充分性不成立，
當(dāng)時(shí)，數(shù)列滿(mǎn)足，但此時(shí)為等比數(shù)列不成立，
故必要性不成立，
所以為等比數(shù)列是的既不充分也不必要條件.
故選：D
8. 若，且，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)兩角和與差求解的余弦公式求解，進(jìn)而求出，求出，利用二倍角求出
【詳解】由，則,
由，
所以，則，
則，
故.
故選：D
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分．
9. 若成等差數(shù)列（公差不為零）的一組樣本數(shù)據(jù)，，……，，的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，中位數(shù)為；數(shù)據(jù)，……，，的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，中位數(shù)為，則（）
A. B. C. D.
【答案】ABCD
【解析】
【分析】根據(jù)平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和中位數(shù)的定義和計(jì)算公式求解即可.
【詳解】等差數(shù)列（公差不為零）的一組樣本數(shù)據(jù)，，……，，
所以，，
所以，
由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，所以，故A正確；
，，故B，C正確；
由標(biāo)準(zhǔn)差的定義知，數(shù)據(jù)，，……，與平均數(shù)距離更遠(yuǎn)，
所以，故D正確.
故選：ABCD.
10. 放射性物質(zhì)在衰變中產(chǎn)生輻射污染逐步引起了人們的關(guān)注，已知放射性物質(zhì)數(shù)量隨時(shí)間的衰變公式，表示物質(zhì)的初始數(shù)量，是一個(gè)具有時(shí)間量綱的數(shù)，研究放射性物質(zhì)常用到半衰期，半衰期指的是放射性物質(zhì)數(shù)量從初始數(shù)量到衰變成一半所需的時(shí)間，已知，右表給出了鈾的三種同位素τ的取值：若鈾234、鈾235和鈾238的半衰期分別為，，，則（）
A. B. 與成正比例關(guān)系
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)半衰期的定義得到，從而得到方程，求出；B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)得到結(jié)論；C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可得C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，計(jì)算出，作商得到D正確.
【詳解】A選項(xiàng)，由題意得，
又，故，兩邊取對(duì)數(shù)得，，
，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，由A可知，與成正比例關(guān)系，B正確；
C選項(xiàng)，由B可知，與成正比例關(guān)系，由于鈾234的值小于鈾235的值，
故，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，，
，
故，D正確
故選：BD
11. 在平行六面體中，已知，，若，，，則（）
A. 的最小值為B. 的最大值為
C. 的最大值為D. 的最大值為
【答案】AC
【解析】
【分析】先根據(jù)空間向量轉(zhuǎn)化得，再結(jié)合基本不等式判斷即可.
【詳解】
如圖：，，，，
則由題意，同理，，
所以，
又，，，
所以，
得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故A正確，
又，故，
，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確，
因，，最后等號(hào)成立條件為，
所以，故B錯(cuò)誤，
，
所以，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤，
故選：AC
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，過(guò)棱上點(diǎn)作平行于底面的截面若截面邊長(zhǎng)為1，則截得的四棱錐的體積為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案.
【詳解】正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，截面的邊長(zhǎng)為1，
所以為對(duì)應(yīng)邊上中點(diǎn)，由所以，
連接交于點(diǎn)，連接，由正四棱錐的性質(zhì)知面
所以，
所以正四棱錐的體積為.
故答案為：.
13. 若，則關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)是______．
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知，在同一坐標(biāo)系下分別畫(huà)出和的圖象，找出兩函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.
【詳解】由，知，，
因?yàn)?，所以?br>在同一坐標(biāo)系下分別畫(huà)出和的圖象，由圖象可得和共有3個(gè)交點(diǎn)，
即方程有3個(gè)根.
故答案為：3.
14. 已知點(diǎn)，是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在的右支上，連接作且與軸交于點(diǎn)，若則的漸近線方程為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，設(shè)，根據(jù)和求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入雙曲線方程即可得解.
【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，設(shè)，，
由，得，
所以，所以，
因?yàn)?，所以，即?br>所以，解得（舍去），所以，
又因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，即，
所以，所以，
所以的漸近線方程為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線的漸近線方程的方法：
（1）定義法：直接利用、求得比值，則焦點(diǎn)在軸上時(shí)，漸近線方程為，焦點(diǎn)在軸上時(shí)，漸近線方程為；
（2）構(gòu)造齊次式：利用已知條件結(jié)合，構(gòu)建的關(guān)系式（或先構(gòu)建的關(guān)系式），再根據(jù)焦點(diǎn)位置寫(xiě)出漸近線方程即可.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 在中，角，，對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)為，，，且.
（1）求角；
（2）若，，求，.
【答案】（1）
（2）或，
【解析】
【分析】（1）由已知將原式變形，利用正弦定理將角的正弦轉(zhuǎn)化為邊，再結(jié)合余弦定理求解即可；
（2）利用正弦定理將角的正弦轉(zhuǎn)化為邊，求解關(guān)于邊的一元二次方程，得到，的關(guān)系，再結(jié)合余弦定理求，即可得.
【小問(wèn)1詳解】
依題意得，
所以，
所以，即，
所以，
因?yàn)?，所以?br>【小問(wèn)2詳解】
可化為，
即，
所以，
因?yàn)椋裕?br>即，則，即，
解得或，即或，.
16. 如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，點(diǎn)，，，分別在側(cè)棱，，，上，且，，，
（1）證明：，，，四點(diǎn)共面；
（2）如果，，為的中點(diǎn)，求二面角的正弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用線線平行證明共面即可.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法處理即可.
【小問(wèn)1詳解】
由題意，在中，，∴，
在中，，∴，∵，
∴，∴，，，四點(diǎn)共面；
【小問(wèn)2詳解】
在中，∵，∴，同理，
∴，∴以為原點(diǎn)，以，，為，，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
設(shè)二面角的平面角，則，即，
易知，
設(shè)面的法向量，易知，，
可得，令，
解得，，故平面的法向量，
設(shè)平面的法向量，可得，，
故有，令，解得，，
故平面的法向量，
∴，∴．
17 已知函數(shù)
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，
【答案】（1）答案見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，然后分與討論，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由（1）可得的最小值為，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為的最小值大于等于零，即可證明.
【小問(wèn)1詳解】
依題意，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，由得，由得，
即當(dāng)時(shí)函數(shù)在是減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)在是減函數(shù)，在是減函數(shù)；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知當(dāng)時(shí)，的最小值為，
，
設(shè)，
則，
∴函數(shù)在減函數(shù)，在是減函數(shù)，
即的最小值為，即，
∴，即的最小值，
∴．
18. 設(shè)動(dòng)點(diǎn)每次沿?cái)?shù)軸的正方向移動(dòng)，且第次移動(dòng)1個(gè)單位的概率為，移動(dòng)2個(gè)單位的概率為已知表示動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上第次移動(dòng)后表示的數(shù)，在第一次移動(dòng)前動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸的原點(diǎn)處．
（1）若，，求的概率；
（2）若每次移動(dòng)2個(gè)單位的概率都是移動(dòng)1個(gè)單位的概率的2倍．
①求的概率；
②求動(dòng)點(diǎn)能移動(dòng)到自然數(shù)處概率
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）利用獨(dú)立事件的概率公式可得結(jié)果.
（2）利用獨(dú)立事件的概率公式及獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)概率公式，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式及累加法求通項(xiàng)可得結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?，?br>所以，
即概率為；
【小問(wèn)2詳解】
由題意得，∴，，
（i）因?yàn)椋丛诖我苿?dòng)中恰有次移動(dòng)2個(gè)單位，
所以，
（ii）由題意得，，且，
所以，即，
則數(shù)列是等比數(shù)列，公比，而，
所以
=
所以．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是通過(guò)獨(dú)立事件概率得出，利用數(shù)列構(gòu)造法及累加法求出結(jié)果.
19. 在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到直線的距離的2倍，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．
（1）求的方程；
（2）若直線分別與，，第一象限的交于點(diǎn)，，，過(guò)作斜率為，的直線，且分別與交于點(diǎn)，，若，的面積分別為，，證明：
【答案】（1）.
（2）證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】（1）由動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到直線的距離的2倍建立方程，化簡(jiǎn)可得.
（2）設(shè)出直線方程（要討論斜率是否存在），聯(lián)立，消元后得到韋達(dá)定理代入直線，斜率之和為的方程，得到直線恒過(guò)定點(diǎn)，得到，，進(jìn)而得到點(diǎn)，到直線的距離之比，由三角形面積公式即可得到、之關(guān)系.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，
化簡(jiǎn)得的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
由題意得點(diǎn)、、，，的斜率為，，
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，
代入得，
設(shè)，，
則，，
，，
∴，，即，
∴，
整理得，
所以，
即，顯然直線不過(guò)點(diǎn)，即，
∴，則直線：，恒過(guò)點(diǎn)，
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，則，，
由直線，斜率之和為2，解得，，不合題意．
則直線恒過(guò)點(diǎn)，
∴，，
設(shè)點(diǎn)，到直線的距離分別為，，
則，而，，
∴，
∴，得證.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是找到直線過(guò)定點(diǎn)，由點(diǎn)，到定點(diǎn)的距離之比即為，的高之比，從而得到兩個(gè)同底的三角形面積關(guān)系.物質(zhì)
τ的量綱單位
τ的值
鈾234
萬(wàn)年
35.58
鈾235
億年
10.2
鈾238
億年
64.75

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