一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．若復(fù)數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
3．設(shè)，若向量，，滿足，，且，則（ ）
A．B．C．D．
4．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．若橢圓：與雙曲線：的離心率之和為，則（ ）
A．2B．C．D．1
6．設(shè)圓和不過第三象限的直線，若圓上恰有三點到直線的距離為，則實數(shù)（ ）
A．2B．4C．26D．41
7．設(shè)且，命題甲：為等比數(shù)列；命題乙：；則命題甲是命題乙的（ ）
A．充分且不必要條件B．必要且不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
8．若，且，，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．若成等差數(shù)列（公差不為零）的一組樣本數(shù)據(jù)，，……，，的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，中位數(shù)為；數(shù)據(jù)，……，，的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，中位數(shù)為，則（ ）
A．B．C．D．
10．放射性物質(zhì)在衰變中產(chǎn)生輻射污染逐步引起了人們的關(guān)注，已知放射性物質(zhì)數(shù)量隨時間的衰變公式，表示物質(zhì)的初始數(shù)量，是一個具有時間量綱的數(shù)，研究放射性物質(zhì)常用到半衰期，半衰期指的是放射性物質(zhì)數(shù)量從初始數(shù)量到衰變成一半所需的時間，已知，右表給出了鈾的三種同位素τ的取值：若鈾234、鈾235和鈾238的半衰期分別為，，，則（ ）
A．B．與成正比例關(guān)系
C．D．
11．在平行六面體中，已知，，若，，，則（ ）
A．的最小值為B．的最大值為
C．的最大值為D．的最大值為
三、填空題
12．已知正四棱錐的底面邊長為2，過棱上點作平行于底面的截面若截面邊長為1，則截得的四棱錐的體積為 ．
13．若，則關(guān)于的方程的解的個數(shù)是 ．
14．已知點，是雙曲線：的左、右焦點，點在的右支上，連接作且與軸交于點，若則的漸近線方程為 ．
四、解答題
15．在中，角，，對應(yīng)的邊長為，，，且.
(1)求角；
(2)若，，求，.
16．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為3的正方形，點，，，分別在側(cè)棱，，，上，且，，，
(1)證明：，，，四點共面；
(2)如果，，為的中點，求二面角的正弦值．
17．已知函數(shù)
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng)時，
18．設(shè)動點每次沿數(shù)軸的正方向移動，且第次移動1個單位的概率為，移動2個單位的概率為已知表示動點在數(shù)軸上第次移動后表示的數(shù)，在第一次移動前動點在數(shù)軸的原點處．
(1)若，，求的概率；
(2)若每次移動2個單位的概率都是移動1個單位的概率的2倍．
①求的概率；
②求動點能移動到自然數(shù)處的概率
19．在平面直角坐標(biāo)系中，動點到點的距離是點到直線的距離的2倍，記動點的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)若直線分別與，，第一象限的交于點，，，過作斜率為，的直線，且分別與交于點，，若，的面積分別為，，證明：
物質(zhì)
τ的量綱單位
τ的值
鈾234
萬年
35.58
鈾235
億年
10.2
鈾238
億年
64.75
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)集合求解和,求解
【詳解】根據(jù)題意,，
則.
故選：B
2．A
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方計算可得.
【詳解】因為，
所以.
故選：A
3．C
【分析】
根據(jù)題意，結(jié)合向量的基本概念，向量的共線定理，以及向量的數(shù)量積的運算法則，逐項判定，即可求解.
【詳解】由向量，滿足，，且，，
對于A中，若，則，又，
若均為非零向量，則，顯然與矛盾，所以A不正確；
對于B中，若，則存在實數(shù)使，可得，又，
若均為非零向量，則，顯然與矛盾，所以B不正確；
對于C中，因為向量，滿足，，且，
則
，所以，所以C正確；
對于D中，由，
所以不一定成立，所以D不正確.
故選：C.
4．B
【分析】
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)則以及函數(shù)在上有意義列不等式求解即可.
【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，解得.
故選：B.
5．A
【分析】
分別求出橢圓和雙曲線的離心率，由兩者的離心率之和為，解方程即可得出答案.
【詳解】橢圓：的離心率為，
雙曲線：的離心率為，
所以，解得：.
故選：A.
6．C
【分析】
首先得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意圓心到直線的距離為，即可求出的值，再由直線不過第三象限求出的取值范圍，即可得解.
【詳解】因為圓的圓心為，半徑，
因為圓上恰有三點到直線的距離為，
所以圓心到直線的距離，解得或，
又直線不過第三象限，則，解得，
所以.
故選：C
7．D
【分析】
根據(jù)題意，由等比數(shù)列的定義結(jié)合等比中項的公式代入計算，即可判斷.
【詳解】若為等比數(shù)列，則滿足，即，
所以，故充分性不成立，
當(dāng)時，數(shù)列滿足，但此時為等比數(shù)列不成立，
故必要性不成立，
所以為等比數(shù)列是的既不充分也不必要條件.
故選：D
8．D
【分析】根據(jù)兩角和與差求解的余弦公式求解，進而求出，求出，利用二倍角求出
【詳解】由，則,
由，
所以，則，
則，
故.
故選：D
9．ABCD
【分析】
根據(jù)平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和中位數(shù)的定義和計算公式求解即可.
【詳解】等差數(shù)列（公差不為零）的一組樣本數(shù)據(jù)，，……，，
所以，，
所以，
由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，所以，故A正確；
，，故B，C正確；
由標(biāo)準(zhǔn)差的定義知，數(shù)據(jù)，，……，與平均數(shù)距離更遠，
所以，故D正確.
故選：ABCD.
10．BD
【分析】
A選項，根據(jù)半衰期的定義得到，從而得到方程，求出；B選項，由A選項得到結(jié)論；C選項，由B選項可得C錯誤；D選項，計算出，作商得到D正確.
【詳解】A選項，由題意得，
又，故，兩邊取對數(shù)得，，
，A錯誤；
B選項，由A可知，與成正比例關(guān)系，B正確；
C選項，由B可知，與成正比例關(guān)系，由于鈾234的值小于鈾235的值，
故，C錯誤；
D選項，，
，
故，D正確.
故選：BD
11．AC
【分析】
先根據(jù)空間向量轉(zhuǎn)化得，再結(jié)合基本不等式判斷即可.
【詳解】
如圖：，，，，
則由題意，同理，，
所以，
又，，，
所以，
得，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故A正確，
又，故，
，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故C正確，
因，，最后等號成立條件為，
所以，故B錯誤，
，
所以，得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故D錯誤，
故選：AC
12．
【分析】據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案.
【詳解】正四棱錐的底面邊長為2，截面的邊長為1，
所以為對應(yīng)邊上的中點，由所以，
連接交于點，連接，由正四棱錐的性質(zhì)知面
所以，
所以正四棱錐的體積為.
故答案為：.

13．3
【分析】根據(jù)題意可知，在同一坐標(biāo)系下分別畫出和的圖象，找出兩函數(shù)圖象交點個數(shù)即可.
【詳解】由，知，，
因為，所以，
在同一坐標(biāo)系下分別畫出和的圖象，由圖象可得和共有3個交點，
即方程有3個根.
故答案為：3.
14．
【分析】不妨設(shè)點在第一象限，設(shè)，根據(jù)和求出點的坐標(biāo)，再代入雙曲線方程即可得解.
【詳解】不妨設(shè)點在第一象限，設(shè)，，
由，得，
所以，所以，
因為，所以，即，
所以，解得（舍去），所以，
又因為點在上，所以，即，
所以，所以，
所以的漸近線方程為.
故答案為：.
【點睛】
方法點睛：求雙曲線的漸近線方程的方法：
（1）定義法：直接利用、求得比值，則焦點在軸上時，漸近線方程為，焦點在軸上時，漸近線方程為；
（2）構(gòu)造齊次式：利用已知條件結(jié)合，構(gòu)建的關(guān)系式（或先構(gòu)建的關(guān)系式），再根據(jù)焦點位置寫出漸近線方程即可.
15．(1)
(2)或，
【分析】
（1）由已知將原式變形，利用正弦定理將角的正弦轉(zhuǎn)化為邊，再結(jié)合余弦定理求解即可；
（2）利用正弦定理將角的正弦轉(zhuǎn)化為邊，求解關(guān)于邊的一元二次方程，得到，的關(guān)系，再結(jié)合余弦定理求，即可得.
【詳解】（1）
依題意得，
所以，
所以，即，
所以，
因為，所以；
（2）可化為，
即，
所以，
因為，所以，
即，則，即，
解得或，即或，.
16．(1)證明見解析
(2)
【分析】
（1）利用線線平行證明共面即可.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法處理即可.
【詳解】（1）
由題意，在中，，∴，
在中，，∴，∵，
∴，∴，，，四點共面；
（2）
在中，∵，∴，同理，
∴，∴以為原點，以，，為，，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
設(shè)二面角的平面角，則，即，
易知，
設(shè)面的法向量，易知，，
可得，令，
解得，，故平面的法向量，
設(shè)平面的法向量，可得，，
故有，令，解得，，
故平面的法向量，
∴，∴．
17．(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】
（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，然后分與討論，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由（1）可得的最小值為，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為的最小值大于等于零，即可證明.
【詳解】（1）
依題意，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，由得，由得，
即當(dāng)時函數(shù)在是減函數(shù)；
當(dāng)時在是減函數(shù)，在是減函數(shù)；
（2）
由（1）知當(dāng)時，的最小值為，
，
設(shè)，
則，
∴函數(shù)在是減函數(shù)，在是減函數(shù)，
即的最小值為，即，
∴，即的最小值，
∴．
18．(1)
(2)① ；②
【分析】
（1）利用獨立事件的概率公式可得結(jié)果.
（2）利用獨立事件的概率公式及獨立重復(fù)實驗概率公式，結(jié)合等比數(shù)列通項公式及累加法求通項可得結(jié)果.
【詳解】（1）因為，，，
所以，
即概率為；
（2）
由題意得，∴，，
（i）因為，即在次移動中恰有次移動2個單位，
所以，
（ii）由題意得，，且，
所以，即，
則數(shù)列是等比數(shù)列，公比，而，
所以
=
所以．
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是通過獨立事件概率得出，利用數(shù)列構(gòu)造法及累加法求出結(jié)果.
19．(1).
(2)證明見解析.
【分析】
（1）由動點到點的距離是點到直線的距離的2倍建立方程，化簡可得.
（2）設(shè)出直線方程（要討論斜率是否存在），聯(lián)立，消元后得到韋達定理代入直線，斜率之和為的方程，得到直線恒過定點，得到，，進而得到點，到直線的距離之比，由三角形面積公式即可得到、之關(guān)系.
【詳解】（1）
設(shè)動點，則，
化簡得的方程為.
（2）

由題意得點、、，，的斜率為，，
當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，
代入得，
設(shè)，，
則，，
，，
∴，，即，
∴，
整理得，
所以，
即，顯然直線不過點，即，
∴，則直線：，恒過點，
當(dāng)直線斜率不存在時，則，，
由直線，斜率之和為2，解得，，不合題意．
則直線恒過點，
∴，，
設(shè)點，到直線的距離分別為，，
則，而，，
∴，
∴，得證.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是找到直線過定點，由點，到定點的距離之比即為，的高之比，從而得到兩個同底的三角形面積關(guān)系.

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