如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點(diǎn)，AC是⊙O的直徑，若∠BAC＝26°，則∠P的度數(shù)為(　　)A．32° B．52° C．64° D．72°
∵PA，PB是⊙O的切線，∴PA＝PB，CA⊥PA.∴∠PAB＝∠PBA，∠PAC＝90°.∵∠BAC＝26°，∴∠PAB＝90°－26°＝64°.∴∠P＝180°－2∠PAB＝52°.
如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B，∠P＝70°，C為⊙O上一點(diǎn)，則∠ACB的度數(shù)為(　　)A．110° B．120° C．125° D．130°
連接OA，OB，在優(yōu)弧AB上取點(diǎn)D，連接AD，BD，由切線的性質(zhì)得∠OAP＝∠OBP＝90°，利用四邊形內(nèi)角和可求∠AOB＝110°，再利用圓周角定理求∠ADB＝55°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)可求∠ACB＝125°.
[2023·河南]如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PO交⊙O于點(diǎn)B，點(diǎn)C在PA上，且CB＝CA.若OA＝5，PA＝12，則CA的長為________．
如圖，連接OC.∵PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∴∠OAP＝90°.∵OA＝OB，OC＝OC，CA＝CB，∴△OAC≌△OBC，∴∠OAP＝∠OBC＝90°.∴∠PBC＝90°.
如圖，AC是⊙O的直徑，PA切⊙O于點(diǎn)A，PB切⊙O于點(diǎn)B，且∠APB＝60°.
(1)求∠BAC的度數(shù)；
【解】∵PA切⊙O于點(diǎn)A，PB切⊙O于點(diǎn)B，∴PA＝PB，∠PAC＝90°.∵∠APB＝60°，∴△APB是等邊三角形，∴∠BAP＝60°.∴∠BAC＝∠PAC－∠BAP＝30°.
(2)若PA＝1，求點(diǎn)O到弦AB的距離．
切線長定理揭示了兩個(gè)方面的內(nèi)容，一是切線長相等，揭示線段之間的數(shù)量關(guān)系；二是圓外一點(diǎn)與圓心的連線平分兩條切線的夾角．這兩個(gè)方面的內(nèi)容為證明線段之間的關(guān)系或者角之間的關(guān)系提供了條件．
如圖，設(shè)光盤的圓心為O，由題意可知AB，AC分別切⊙O于點(diǎn)B，C，連接OC，OB，OA.∵AC，AB分別為⊙O的切線，∴AO為∠CAB的平分線，OC⊥AC，OB⊥AB.
已知PA切⊙O于點(diǎn)A，PB切⊙O于點(diǎn)B，點(diǎn)C是⊙O上異于A，B的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙O的切線分別交PA和PB于點(diǎn)D，E，若PA＝10 cm，DE＝7 cm，則△PDE的周長為________cm.
分兩種情況：(1)點(diǎn)C在劣弧AB上時(shí)，如圖①.根據(jù)切線長定理得AD＝CD，BE＝CE，PA＝PB，則△PDE的周長為PD＋DE＋PE＝PD＋CD＋CE＋PE＝PD＋AD＋PE＋BE＝PA＋PB＝2PA＝20 cm.
(2)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上時(shí)，如圖②.根據(jù)切線長定理得AD＝CD，BE＝CE，PA＝PB，則△PDE的周長為PD＋DE＋PE＝PA＋AD＋CD＋CE＋BE＋PB＝2PA＋2CD＋2CE＝2PA＋2DE＝2×10＋2×7＝34(cm)．綜上，△PDE的周長為20 cm或34 cm.
題目中沒有給出圖形，需要根據(jù)題意畫出草圖，本題易因考慮問題不全面而導(dǎo)致漏解．
[2022·衡陽]如圖，AB為⊙O的直徑，過圓上一點(diǎn)D作⊙O的切線CD交BA的延長線于點(diǎn)C，過點(diǎn)O作OE∥AD交CD于點(diǎn)E，連接BE.
(1)直線BE與⊙O相切嗎？并說明理由．
【解】直線BE與⊙O相切．理由：如圖，連接OD.∵CD與⊙O相切于點(diǎn)D，∴∠ODE＝90°.∵AD∥OE，∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB.
∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO.∴∠DOE＝∠EOB.∵OD＝OB，OE＝OE，∴△DOE≌△BOE(SAS)．∴∠OBE＝∠ODE＝90°.∵OB是⊙O的半徑，∴直線BE與⊙O相切．
(2)若CA＝2，CD＝4，求DE的長．
【解】設(shè)⊙O的半徑為r.在Rt△DOC中，OD2＋DC2＝OC2，∴r2＋42＝(r＋2)2，解得r＝3.∴AB＝2r＝6.∴BC＝AC＋AB＝2＋6＝8.∵DE，BE與⊙O相切，∴DE＝BE.在Rt△BCE中，BC2＋BE2＝CE2，∴82＋BE2＝(4＋DE)2，即64＋DE2＝(4＋DE)2，解得DE＝6.
如圖，AB是⊙O的直徑，過點(diǎn)A作⊙O的切線AC，P是射線AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接OP，過點(diǎn)B作BD∥OP，交⊙O于點(diǎn)D，連接PD.
(1)求證：PD是⊙O的切線；
【證明】如圖，連接OD.∵PA切⊙O于A，∴PA⊥AB，即∠PAO＝90°.∵OP∥BD，∴∠DBO＝∠AOP，∠BDO＝∠DOP.∵OD＝OB，∴∠BDO＝∠DBO.∴∠DOP＝∠AOP.又∵OA＝OD，OP＝OP∴△AOP≌△DOP(SAS)．∴∠PDO＝∠PAO＝90°，即OD⊥PD.∵OD是⊙O的半徑，∴PD是⊙O的切線．
(2)當(dāng)四邊形POBD是平行四邊形時(shí)，求∠APO的度數(shù)．
【解】由(1)可知PA＝PD.∵四邊形POBD是平行四邊形，∴PD＝OB.∵OB＝OA，PA＝PD，∴PA＝OA.∴∠APO＝∠AOP.∵∠PAO＝90°，∴∠APO＝∠AOP＝45°.
下面是小穎對(duì)一道題目的解答．題目：如圖，Rt△ABC的內(nèi)切圓與斜邊AB相切于點(diǎn)D，AD＝3，BD＝4，求△ABC的面積．解：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與AC，BC相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，CE的長為x，如圖所示．
小穎發(fā)現(xiàn)12恰好就是3×4，即△ABC的面積等于AD與BD的積．這僅僅是巧合嗎？請(qǐng)你幫她完成下面的探索．已知：△ABC的內(nèi)切圓與AB相切于點(diǎn)D，AD＝m，BD＝n.可以一般化嗎？
(1)若∠C＝90°，求證：△ABC的面積等于mn.倒過來思考呢
【解】設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與AC，BC相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，CE的長為x.根據(jù)切線長定理，得AE＝AD＝m，BF＝BD＝n，CF＝CE＝x.
(2)若AC·BC＝2mn，求證：∠C＝90°.改變一下條件……
【證明】由AC·BC＝2mn，得(x＋m)(x＋n)＝2mn.整理，得x2＋(m＋n)x＝mn.∴AC2＋BC2＝(x＋m)2＋(x＋n)2＝2[x2＋(m＋n)x]＋m2＋n2＝2mn＋m2＋n2＝(m＋n)2＝AB2.根據(jù)勾股定理逆定理可得∠C＝90°.
(3)若∠C＝60°，用m，n表示△ABC的面積．

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24.4.3 切線長定理

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