一次函數(shù)的實際應用問題是指運用一次函數(shù)的知識解決日常生產(chǎn)、生活中的實際問題,考查了學生對函數(shù)知識的識別能力和應用能力,激發(fā)學生的學習興趣并且讓學生體會數(shù)學的應用價值,發(fā)展學生建模觀念的核心素養(yǎng).
本類型題主要考查與一次函數(shù)圖象及性質(zhì)有關(guān)的綜合試題,解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想,準確把握數(shù)量之間的對應關(guān)系,以建立相對應的一次函數(shù)模型,運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,并熟練運用方程與不等式的性質(zhì)解決問題.
從給定的信息中抽象出一次函數(shù)關(guān)系,理清哪個是自變量,哪個是自變量的函數(shù),再利用一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解,同時要注意自變量的取值范圍;一次函數(shù)的圖象是直線,因此沒有最大值與最小值,但實際問題中的一次函數(shù),自變量的取值范圍一般受到限制,其圖象可能是線段或射線,此時就存在最大值或最小值,所以利用這一性質(zhì)也是解決一次函數(shù)最值問題的突破口.
(2022·河北模擬)“中國人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中”.為擴大糧食生產(chǎn)規(guī)模,某糧食生產(chǎn)基地計劃投入一筆資金購進甲、乙兩種農(nóng)機具.已知購進2件甲種農(nóng)機具和1件乙種農(nóng)機具共需3.5萬元,購進1件甲種農(nóng)機具和3件乙種農(nóng)機具共需3萬元.
(1)購進1件甲種農(nóng)機具和1件乙種農(nóng)機具各需多少萬元?
(1)列二元一次方程組求解即可.
(2)若該糧食生產(chǎn)基地計劃購進甲、乙兩種農(nóng)機具共10件,且投入資金不少于9.8萬元又不超過12萬元,設購進甲種農(nóng)機具m件,則有哪幾種購買方案?哪種購買方案需要的資金最少,最少資金是多少?
(2)①找不等關(guān)系,列不等式組,求出m取值范圍,結(jié)合m為整數(shù)確定求購方案;②列出需要的總資金與購進甲農(nóng)機具的數(shù)量m的函數(shù)關(guān)系式,利用一次函數(shù)性質(zhì)求解即可.
方案三:購買甲種農(nóng)機具7件,乙種農(nóng)機具3件.設總資金為w萬元,w=1.5m+0.5(10-m)=m+5.∵k=1＞0,∴w隨著m的減少而減少.∴m=5時,w最小=1×5+5=10(萬元).∴方案一需要資金最少,最少資金是10萬元.
(3)在(2)的方案下,由于國家對農(nóng)業(yè)生產(chǎn)扶持力度加大,每件甲種農(nóng)機具降價0.7萬元,每件乙種農(nóng)機具降價0.2萬元,該糧食生產(chǎn)基地計劃將節(jié)省的資金全部用于再次購買甲、乙兩種農(nóng)機具(可以只購買一種),請直接寫出再次購買農(nóng)機具的方案有哪幾種.
(3) 列二元一次方程,并求非負整數(shù)解.
1.無錫陽山盛產(chǎn)水蜜桃,上市期間,一外地運銷客戶安排15輛汽車裝運A,B,C三種不同品種的水蜜桃120噸到外地銷售,按計劃15輛汽車都要裝滿且每輛汽車只能裝同一種品種的水蜜桃,每種水蜜桃所用車輛都不少于3輛.
解:(1)∵裝運A種水蜜桃的車輛數(shù)為x,裝運B種水蜜桃的車輛數(shù)為y,則裝運C種水蜜桃的車輛數(shù)為(15-x-y),則10x+8y+6(15-x-y)=120,解得y=15-2x.
(1)設裝運A種水蜜桃的車輛數(shù)為x,裝運B種水蜜桃的車輛數(shù)為y,根據(jù)下表提供的信息,求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(2)為了減少水蜜桃積壓,無錫市制定出臺了促進水蜜桃銷售的優(yōu)惠政策,在外地運銷客戶原有獲利不變的情況下,政府對其中A,C兩種水蜜桃按每噸m元(200≤m≤500)的標準實行運費補貼.若要使該外地運銷客戶所獲利潤W(元)最大,應采用哪種車輛安排方案?
方案三: A,B,C三種車分別為5輛,5輛,5輛.方案四: A,B,C三種車分別為6輛,3輛,6輛.W=10×800x+8×1 200(15-2x)+6×1 000x+10mx+6mx,∴W=(16m-5 200)x+144 000,當200≤m＜325時,16m-5 200＜0,應采用A,B,C三種車分別為3輛,9輛,3輛,所獲利潤W最大;當m=325時,四種方案獲利一樣,都是144 000元;當325＜m≤500時,16m-5 200＞0,應采用A,B,C三種車分別為6輛,3輛,6輛,所獲利潤W最大.
2.隨著疫情形勢穩(wěn)定向好,“復工復產(chǎn)”成為主旋律.某生產(chǎn)無人機公司統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),公司今年2月份生產(chǎn)A型無人機2 000架,4月份生產(chǎn)A型無人機達到12 500架.(1)求該公司生產(chǎn)A型無人機每月產(chǎn)量的平均增長率;
解:(1)設該公司生產(chǎn)A型無人機每月產(chǎn)量的平均增長率為x,根據(jù)題意可得2 000(1+x)2=12 500,解得x1=1.5=150%,x2=-3.5(不合題意,舍去)答:該公司生產(chǎn)A型無人機每月產(chǎn)量的平均增長率為150%.
(2)該公司還生產(chǎn)B型無人機,已知生產(chǎn)1架A型無人機的成本是200元,生產(chǎn)1架B型無人機的成本是300元,現(xiàn)要生產(chǎn)A,B兩種型號的無人機共100架,其中A型無人機的數(shù)量不超過B型無人機數(shù)量的3倍,公司生產(chǎn)A,B兩種型號的無人機各多少架時才可能使生產(chǎn)成本最少?
(2)設生產(chǎn)A型無人機a架,則生產(chǎn)B型無人機(100-a)架,需要成本為w元,依據(jù)題意可得a≤3(100-a),解得a≤75,w=200a+300(100-a)=-100a+30 000,
∵-100

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