1. 的平方根是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)平方根的定義求解即可．
【詳解】解：，
的平方根是，
故選：．
【點睛】本題考查了平方根的定義，熟練掌握平方根的定義是解答本題的關鍵，如果一個數(shù)的平方等于a，則這個數(shù)叫做a的平方根，即x2=a，那么x叫做a的平方根，記作．
2. 最近比較火的一款軟件ChatGPT橫空出世，僅2023年2月9日當天，其下載量達到了286000萬次的峰值．286000用科學記數(shù)法可表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．
詳解】解：．
故選：C．
【點睛】本題考查了科學記數(shù)法的表示方法，科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．
3. 中國“二十四節(jié)氣”已被列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄，下列四幅作品分別代表“立春”、“立夏”、“芒種”、“大雪”，其中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，進行逐一判斷即可．
【詳解】解：A．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故A選項不合題意；
B．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故B選項不合題意；
C．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故C選項不合題意；
D．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故D選項合題意；
故選：D．
【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，解題的關鍵在于能夠熟練掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義．
4. 下列計算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分別利用冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法、完全平方公式、合并同類項進行計算即可．
【詳解】A、，選項說法錯誤，不符合題意；
B、，選項說法正確，符合題意；
C、，選項說法錯誤，不符合題意；
D、，選項說法錯誤，不符合題意；
故選B．
【點睛】本題考查整式的運算，熟記運算法則是解題的關鍵．
5. 若，則下列條件一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此題主要考查了不等式的性質(zhì)：（1）不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；（2）不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變；（3）不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變．根據(jù)不等式的性質(zhì)以及有理數(shù)的加減法和乘除法法則，逐項判斷即可．
【詳解】解：∵，
∴，故選項A不符合題意；
∵，
∴，故選項B不符合題意；
，當時，，故選項C不符合題意；
∵，
∴，故選項D符合題意．
故選：D．
6. 華為手機鎖屏密碼是6位數(shù)，若密碼的前5位數(shù)字已經(jīng)知道，則一次解鎖該手機密碼的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】考查了概率公式，如果一個事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現(xiàn)種可能，那么事件的概率．
最后一個數(shù)字可能是中任一個．總共有十種情況，其中解鎖只有一種情況．利用概率公式進行計算即可．
【詳解】解：一次解鎖該手機密碼的概率是．
故選：B．
7. 若點，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì),根據(jù)，可得反比例函數(shù)圖象和增減性，即可進行比較．
【詳解】解：∵，
∴反比例函數(shù)經(jīng)過第一、三象限，且在每一象限內(nèi)，y隨著x增大而減小，
根據(jù)A，B，C點橫坐標，可知點B，C在第一象限，A在第三象限，
∴，
∴．
故選：B．
8. 如圖，為⊙外一點，過點作⊙的切線、，與過圓心的直線交于、兩點，點、為切點，線段交⊙于點．若，，，則的長度為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】連接，根據(jù)切線的性質(zhì)以及切線長的性質(zhì)證明四邊形是正方形，設圓的半徑為，可得，根據(jù)，解直角三角形，勾股定理求得，根據(jù)已知條件，即可求得半徑，進而求得的長．
【詳解】如圖，連接，
、是的切線，
，，
又，
四邊形是矩形，
，
四邊形是正方形，
設，
，
，
，
中，，
，，
，
，
在中，，
，
，
．
故選C．
【點睛】本題考查了正切函數(shù)，切線的性質(zhì)，切線長定理，正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握以上知識是解題的關鍵．
9. 中國古代數(shù)學家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時，用4個全等的直角三角形拼成正方形（如圖），并用它證明了勾股定理，這個圖被稱為“弦圖”．若“弦圖”中小正方形面積與每個直角三角形面積均為1，為直角三角形中的一個銳角，則（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根據(jù)兩個正方形的面積分別求出兩個正方形的邊長，然后結合題意進一步設直角三角形短的直角邊為a，則較長的直角邊為a+1，再接著利用勾股定理得到關于a的方程，據(jù)此進一步求出直角三角形各個直角邊的邊長，最后求出的值即可．
【詳解】∵小正方形與每個直角三角形面積均為1，
∴大正方形的面積為5，
∴小正方形的邊長為1，大正方形的邊長為，
設直角三角形短的直角邊為a，則較長的直角邊為a+1，其中a>0，
∴a2+(a+1)2=5，其中a>0，
解得：a1=1，a2=-2(不符合題意，舍去)，
===2，
故選：A．
【點睛】本題主要考查了勾股定理與一元二次方程及三角函數(shù)的綜合運用，熟練掌握相關概念是解題關鍵．
10. 在平面直角坐標系中，橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點，記函數(shù)的圖象在軸上方的部分與軸圍成的區(qū)域（不含邊界）為．例如當時，區(qū)域內(nèi)的整點個數(shù)為1，若區(qū)域內(nèi)恰有7個整點，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意對時的二次函數(shù)圖象進行分析，發(fā)現(xiàn)每次向上平移1即將上一次的邊界整點包括在內(nèi)，找到規(guī)律即可求得的取值范圍
【詳解】當時，區(qū)域內(nèi)的整點個數(shù)為1，
此時
令，解得，令，解得
故函數(shù)的圖像在軸上方的部分與軸圍成的區(qū)域中，整數(shù)點有
有三個整數(shù)點在邊界上
如圖，當時，此時頂點為，在區(qū)域內(nèi)有點四個整數(shù)點，邊界上有三個整數(shù)點，
當時，將時，在邊界上是的整數(shù)點包括進來，即此時恰好有7個點，
所以
故選C
【點睛】本題考查了二次函數(shù)平移，二次函數(shù)的圖像的性質(zhì)，找到規(guī)律是解題的關鍵．
二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．直接填寫答案．
11. 分解因式：_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接根據(jù)平方差公式進行因式分解即可.
【詳解】，
故填
【點睛】本題考查利用平方差公式進行因式分解，解題關鍵在于熟練掌握平方差公式.
12. 在里隨機抽2個數(shù)，則它們互質(zhì)的概率是 ____．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了樹狀圖法活列表法求解概率，列表可得出所有等可能的結果數(shù)以及它們互質(zhì)的結果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【詳解】解：列表如下
共有12種等可能的結果，其中它們互質(zhì)的結果有：，，，，，，，，，，共10種，
∴它們互質(zhì)的概率為．
故答案為：．
13. 若關于x的一元二次方程有實數(shù)根，則k的取值范圍為______．
【答案】且
【解析】
【分析】根據(jù)二次項系數(shù)非零及根的判別式△，即可得出關于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范圍．
【詳解】解：關于的方程有兩個實數(shù)根，
，
解得：，
，
，
的取值范圍為且，
故答案為：且．
【點睛】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，根據(jù)二次項系數(shù)非零及根的判別式，列出關于的一元一次不等式組是解題的關鍵．
14. 如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點E、F分別在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，則AF的長為_____．
【答案】
【解析】
【分析】取AB的中點M，連接ME，在AD上截取ND=DF，設DF=DN=x，則NF=x，再利用矩形的性質(zhì)和已知條件證明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性質(zhì)：對應邊的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的長．
【詳解】解：取AB的中點M，連接ME，在AD上截取ND=DF，設DF=DN=x，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，
∴NF=x，AN=4﹣x，
∵AB=2，
∴AM=BM=1，
∵AE=，AB=2，
∴BE=1，
∴ME=，
∵∠EAF=45°，
∴∠MAE+∠NAF=45°，
∵∠MAE+∠AEM=45°，
∴∠MEA=∠NAF，
∴△AME∽△FNA，
∴，
∴，
解得：x=
∴AF=
故答案為．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判斷和性質(zhì)以及勾股定理的運用，正確添加輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．
15. 如圖，拋物線的解析式為，將拋物線繞點順時針旋轉得到圖形，圖形分別與軸、軸正半軸交于點、，連接，則的面積為 ____________________．
【答案】
【解析】
【分析】由題意可知，將拋物線繞點O順時針旋轉得到圖形的對稱軸為直線，設直線與拋物線在第一象限的交點為，把繞點順時針旋轉得到，然后解方程組求出點坐標，求出即可，
本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，關鍵是通過旋轉的性質(zhì)得出點M坐標．
【詳解】解：由題意可知，將拋物線繞點O順時針旋轉得到圖形的對稱軸為直線，設直線與拋物線在第一象限的交點為，
∴把繞點順時針旋轉得到，如圖所示：
聯(lián)立方程組得：，解得：或，
∴點坐標為：，
∴，，
∵對稱性，
∴，
∴，
故答案為：．
16. 如圖，在矩形中，，，點在上，將沿直線折疊，使點恰好落在上的點處，連接，分別與矩形的兩條對角線交于點和點．給出以下四個結論：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正確的結論序號是________．

【答案】①③##③①
【解析】
【分析】由折疊與矩形的性質(zhì)可得，，則，可得是等腰直角三角形，進而可判斷①的正誤；證明，則，進而可判斷②的正誤；證明，，，則，， ，，，可得，進而可判斷③的正誤；如圖，過作于，由勾股定理求，，由，即，解得，根據(jù)，計算求解，可判斷④的正誤．
【詳解】解：由折疊與矩形的性質(zhì)可得，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，①正確，故符合要求；
∴，即，
∴，
∴，即，②錯誤，故不符合要求；
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，③正確，故符合要求；
如圖，過作于，

∴，，
∵，即，解得，
∴，④錯誤，故不符合要求；
故答案為：①③．
【點睛】本題考查了矩形與折疊，等腰三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正弦等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
三、解答題：本題共10小題，共86分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 計算：．
【答案】6
【解析】
【分析】本題主要考查了實數(shù)的運算，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，先計算零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪和算術平方根，再計算加減法即可．
【詳解】解：
．
18. 解不等式組，并寫出滿足條件的正整數(shù)解．
【答案】不等式組的解集為＜，正整數(shù)解為1，2
【解析】
【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．
【詳解】解：
解不等式①，得：x＞﹣1，
解不等式②，得：，
∴不等式組的解集為＜，
則不等式組的正整數(shù)解為1，2．
【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．
19. 如圖，在菱形中，點M、N分別在、上，且，求證：．
【答案】見解析
【解析】
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和菱形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)是解題的關鍵．由菱形的性質(zhì)，可用證明，所以，所以，即，則結論得證．
【詳解】證明：∵四邊形為菱形，
∴，，
和中，
，
∴．
∴，
∴，
即．
20. 現(xiàn)今“微信運動”被越來越多的人關注和喜愛，某興趣小組隨機調(diào)查了我市50名教師某日“微信運動”中的步數(shù)情況進行統(tǒng)計整理，繪制了如下的統(tǒng)計圖表（不完整）：
請根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）寫出a，b，c，d的值并補全頻數(shù)分布直方圖；
（2）本市約有37800名教師，用調(diào)查的樣本數(shù)據(jù)估計日行走步數(shù)超過12000步（包含12000步）的教師有多少名？
（3）若在50名被調(diào)查的教師中，選取日行走步數(shù)超過16000步（包含16000步的兩名教師與大家分享心得，求被選取的兩名教師恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率．
【答案】（1）a=0.16，b=0.24，c=10，d=2，補全頻數(shù)分布直方圖見解析；（2）11340名；（3）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率=頻數(shù)÷總數(shù)可得答案；（2）用樣本中超過12000步（包含12000步）的頻率之和乘以總人數(shù)可得答案；（3）畫樹狀圖列出所有等可能結果，根據(jù)概率公式求解可得．
【詳解】（1）a=8÷50=0.16，b=12÷50=0.24，c=50×0.2=10，d=50×0.04=2，
補全頻數(shù)分布直方圖如下：
（2）37800×（0.2+0.06+0.04）=11340，
答：估計日行走步數(shù)超過12000步（包含12000步）的教師有11340名；
（3）設16000≤x＜20000的3名教師分別為A、B、C，
20000≤x＜24000的2名教師分別為X、Y，
畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知，被選取的兩名教師恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率為=．
【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法、用樣本估計總體、頻數(shù)（率）分布表、頻數(shù)（率）分布直方圖等知識點，熟練掌握這些知識點是本題解題的關鍵.
21. 如圖1，是一款手機支架圖片，由底座、支撐板和托板構成．圖2是其側面結構示意圖，量得托板長，支撐板長，底座長，托板AB連接在支撐板頂端點C處，且，托板可繞點C轉動，支撐板可繞D點轉動．如圖2，若．(參考數(shù)值，，)
（1）求點C到直線的距離(精確到0.1cm)；
（2）求點A到直線的距離(精確到0.1cm)．
【答案】（1）點C到直線的距離約為13.8cm
（2）點A到直線的距離約為21.5cm
【解析】
【分析】（1）如圖2，過點C作，垂足為N，然后根據(jù)三角函數(shù)可得，即，最后將已知條件代入即可解答；
（2）如圖2，過A作，交的延長線于點M，過點C作，垂足為F，再說明中，，，然后根據(jù)三角函數(shù)和線段的和差即可解答．
【小問1詳解】
解：如圖2，過點C作，垂足為N
由題意可知，，
在中， ，
∴．
答：點C到直線的距離約為．
【小問2詳解】
解：如圖2，過A作，交的延長線于點M，過點C作，垂足為F，
∴
在中，，，
∴，
∴．
答：點A到直線的距離約為21.5cm．
【點睛】本題主要考查了解直角三角形，正確的理解正弦、余弦的定義是解答本題的關鍵．
22. 如圖，的直徑與其弦相交于點，過點的切線交延長線于點，且．

（1）求證：；
（2）若，，求半徑的長．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】本題考查切線的性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．
（1）由切線的性質(zhì)推出，而，因此，即可證明；
（2）由銳角的余弦求出的長，再由對等角證明是中點，即可得到的長，由，求出長，即可求出圓的半徑長．
【小問1詳解】
證明：∵與圓相切于，
∴直徑，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：連接，
∵°，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是圓的直徑，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴⊙O半徑的長是．
23. 小明到服裝店參加社會實踐活動，服裝店經(jīng)理讓小明幫助解決以下問題：
服裝店準備購進甲乙兩種服裝，甲種每件進價80元，售價120元；乙種每件進價60元，售價90元．計劃購進兩種服裝共100件，其中甲種服裝不少于65件．
（1）若購進這100件服裝的費用不得超過7500，則甲種服裝最多購進多少件？
（2）在（1）的條件下，該服裝店對甲種服裝以每件優(yōu)惠a（0＜a＜20）元的價格進行優(yōu)惠促銷活動，乙種服裝價格不變，那么該服裝店應如何調(diào)整進貨方案才能獲得最大利潤？
【答案】（1）75件（2）當x=65時，w有最大值，則購進甲種服裝65件，乙種服裝35件
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意設購進甲種服裝x件，可知購進甲需80x元，則乙為60（100-x）元，再根據(jù)二者之和不超過7500元，可列不等式，求解集可得結果；
（2）根據(jù)要求設總利潤為w元，因為甲種服裝不少于65件，所以65≤x≤75，因此甲的利潤為（120-80-a）元，乙的利潤為（90-60-a）元，因此可得w=（10-a）x+3000，然后分情況討論設計方案，①當0＜a＜10時，由一次函數(shù)的性質(zhì)可判斷當x=65時，利潤最大；②當a=10時，w=3000，二者一樣；③當10＜a＜20時，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可判斷，當x=75時，利潤最大．
【詳解】解：（1）設購進甲種服裝x件,由題意可知：
80x+60（100-x）≤7500
解得：x≤75
答：甲種服裝最多購進75件．
（2）設總利潤為w元，因為甲種服裝不少于65件，所以65≤x≤75
W=（40-a）x+30（100-x）=（10-a）x+3000
方案1：當0＜a＜10時，10-a＞0，w隨x的增大而增大
所以當x=75時，w有最大值，則購進甲種服裝75件，乙種服裝25件；
方案2：當a=10時，所有方案獲利相同，所以按哪種方案進貨都可以；
方案3：當10＜a＜20時，10-a＜0，w隨x的增大而減小
所以當x=65時，w有最大值，則購進甲種服裝65件，乙種服裝35件．
考點：一元一次不等式，一次函數(shù)的應用
24. 如圖①，已知點，，的邊與軸交于點，且為的中點，雙曲線經(jīng)過、兩點．
（1）求的值；
（2）點在雙曲線上，點在軸上，若以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出滿足要求的所有點的坐標；
（3）以線段為對角線作正方形（如圖③，點是邊上一動點，是的中點，，交于，當點在上運動時，的值是否發(fā)生改變？若改變，求出其變化范圍：若不改變，請求出其值，并給出你的證明．
【答案】（1）
（2），，
（3）結論：的值不發(fā)生改變，證明見解析
【解析】
【分析】（1）設，由，可知，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求出的值即可；
（2）由（1）知可知反比例函數(shù)的解析式為，再由點在雙曲線上，點在軸上，設，，再分以為邊和以為對角線兩種情況求出的值，故可得出、的坐標；
（3）連、、，易證，故，，由此即可得出結論．
【小問1詳解】
解：，，為中點，
，
設，
又，
，
，
，
；
【小問2詳解】
解：由（1）知，
反比例函數(shù)的解析式為，
點在雙曲線上，點在軸上，
設，，
①當為邊時：
如圖1，若為平行四邊形，
則，
解得，
此時，；
如圖2，若為平行四邊形，
則，
解得，
此時，；
②如圖3，當為對角線時，
，且；
，
解得，
，；
故，；，；，；
【小問3詳解】
解：結論：的值不發(fā)生改變，
理由：如圖4，連、、，
是線段的垂直平分線，
，
四邊形是正方形，
，
在與中，
，
，
，
，
四邊形中，，而，
所以，，所以，四邊形內(nèi)角和，
所以．
，
．
【點睛】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等相關知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題.
25. 如圖，在直角△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=45°，點F為直線AD上任意一點，過點A作直線AC⊥BF，垂足為點E，直線AC交直線BD于點C．過點F作FG//BD，交直線AB于點G．
（1）如圖1，點F在邊AD上，則線段FG，DC，BD之間滿足的數(shù)量關系是 ；
（2）如圖2，點F在邊AD的延長線上，則線段FG，DC，BD之間滿足的數(shù)量關系是 ， 證明你的結論；
（3）如圖3，在（2）的條件下，若DF=6，GF=10，將一個45°角的頂點與點B重合，并繞點B旋轉，這個角的兩邊分別交線段FG于M，N兩點，當FM=2時，求線段NG的長．
【答案】（1）FG+DC=BD；（2）FG=DC+BD，見解析；（3）NG=3
【解析】
【分析】（1）只需要證明△BDF≌△ADC，得到DF=DC，再根據(jù)FG//BD，得到∠AFG=∠ADB=90°，∠AGF=∠ABD=45°，即FG=AF，從而可以求解；
（2）過點B作BH⊥GF于點H，則四邊形DFHB是矩形，再證明△ADC≌△BDF即可得到答案；
（3）作NP⊥AG于P， 則四邊形DFHB是矩形，△PGN是等腰直角三角形，再證明∠PBN=∠MBH，tan∠PBN=tan∠MBH==，即可求解.
詳解】解：（1）FG+DC=BD；理由：
∵∠ADB=90°，∠ABD=45°，
∴∠ADC=90°，∠BAD=45°，
∴AD=BD，∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴DF=DC，
∵FG//BD，
∴∠AFG=∠ADB=90°，∠AGF=∠ABD=45°，
∴FG=AF，
∴FG+DC=AF+DF=AD=BD；
（2）FG=DC+BD；理由如下：
過點B作BH⊥GF于點H，如圖2所示：
則四邊形DFHB是矩形，
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=45°，F(xiàn)G∥BD，
∴△ABD 和△AGF都是等腰直角三角形，
∴AD=BD，AF=FG，
∵AC⊥BF，
∴∠CEB=90°，
∴∠C+∠CBE=90°，
∵∠C+∠DAC=90°，∠CBE=∠DBF，
∴∠DAC=∠DBF，∠ADB=90°，
在△ADC和△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴DC=DF，
∴AF=DF+AD=DC+BD，
∴FG=DC+BD；
（3）作NP⊥AG于P，如圖3所示：
則四邊形DFHB是矩形，△PGN是等腰直角三角形，
∴BH=DF=6，PG=PN，
設PG=PN=x，則NG=，
∵∠G=45°，
∴GH=BH=6，BG ， ∠GBH=45°，
∵∠MBN=45°，
∴∠PBN=∠MBH，
∴tan∠PBN=tan∠MBH== ，
∴BP=3PN=3x，
∴PG+BP=x+3x=4x=6 ，
解得：x= ，
∴NG=×=3．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.
26. 在平面直角坐標系內(nèi)，拋物線交y軸于點C，過點C作x軸的平行線交該拋物線于點D．

（1）求點C，D的坐標；
（2）當時，如圖1，該拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），點P為直線上方拋物線上一點，將直線沿直線翻折，交x軸于點，求點P的坐標；
（3）坐標平面內(nèi)有兩點，以線段為邊向上作正方形．
①若，求正方形的邊與拋物線的所有交點坐標；
②當正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個交點，且這兩個交點到x軸的距離之差為時，求a的值．
【答案】（1），
（2）
（3）①，，；②
【解析】
【分析】（1）先求出，再求出拋物線對稱軸，根據(jù)題意可知C、D關于拋物線對稱軸對稱，據(jù)此求出點D的坐標即可；
（2）先求出，如圖，設上與點M關于直線對稱的點為，由軸對稱的性質(zhì)可得，利用勾股定理建立方程組，解得或（舍去），則，求出直線的解析式為，然后聯(lián)立，解得或，則；
（3）分圖3-1，圖3-2，圖3-3三種情況，利用到x軸的距離之差即為縱坐標之差結合正方形的性質(zhì)列出方程求解即可．
【小問1詳解】
解：在中，當時，，
∴，
∵拋物線解析式為，
∴拋物線對稱軸為直線，
∵過點C作x軸的平行線交該拋物線于點D，
∴C、D關于拋物線對稱軸對稱，
∴；
【小問2詳解】
解：當時，拋物線解析式為，
當，即，解得或，
∴；
如圖，設上與點M關于直線對稱的點為，
由軸對稱的性質(zhì)可得，
∴，
解得：，即
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
設直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，解得或
∴；
【小問3詳解】
解：①當時，拋物線解析式為，，
∴，
∴，，
當時，，
∴拋物線恰好經(jīng)過；
∵拋物線對稱軸為直線，
由對稱性可知拋物線經(jīng)過，
∴點時拋物線與正方形的一個交點，
又∵點F與點D重合，
∴拋物線也經(jīng)過點；
綜上所述，正方形的邊與拋物線的所有交點坐標為，，；

②如圖3-1所示，當拋物線與分別交于T、D，
∵當正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個交點，且這兩個交點到x軸的距離之差為，
∴點T的縱坐標為，
∴，
∴，
解得（舍去）或；

如圖3-2所示，當拋物線與分別交于T、S，
∵當正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個交點，且這兩個交點到x軸的距離之差為，
∴，
解得（舍去，因為此時點F在點D下方）

如圖3-3所示，當拋物線與分別交于T、S，
∵當正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個交點，且這兩個交點到x軸的距離之差為，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
當時，，
當 時，，
∴不符合題意；

綜上所述，．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等等，利用分類討論和數(shù)形結合的思想求解是解題的關鍵．2
3
4
5
2
3
4
5

步數(shù)
頻數(shù)
頻率
0≤x＜4000
8
a
4000≤x＜8000
15
0.3
8000≤x＜12000
12
b
12000≤x＜16000
c
0.2
16000≤x＜20000
3
0.06
20000≤x＜24000
d
0.04

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