初中數(shù)學(xué)蘇科版八年級下冊12.1 二次根式練習(xí)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項：
本試卷試題解答30道，共分成三個層組：基礎(chǔ)過關(guān)題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．
一．解答題（共30小題）
1．（2022春?江都區(qū)期末）請閱讀下列材料：
問題：已知x=5+2，求代數(shù)式x2﹣4x﹣7的值．
小明的做法是：根據(jù)x=5+2得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作為整體代入，得：x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知條件適當(dāng)變形，再整體代入解決問題．
仿照上述方法解決問題：
（1）已知x=10?3，求代數(shù)式x2+6x﹣8的值；
（2）已知x=5?12，求代數(shù)式x3+2x2的值．
【分析】（1）根據(jù)x=10?3求出x+3=10，兩邊平方后求出x2+6x+9＝10，求出x2+6x＝1，再代入求出答案即可；
（2）根據(jù)x=5?12求出2x+1=5，兩邊平方求出4x2+4x+1＝5，求出x2+x＝1，再變形后代入，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x=10?3，
∴x+3=10，
兩邊平方得：（x+3）2＝10，
即x2+6x+9＝10，
∴x2+6x＝1，
∴x2+6x﹣8＝1﹣8＝﹣7；
（2）∵x=5?12，
∴2x=5?1，
∴2x+1=5，
兩邊平方，得（2x+1）2＝5，
即4x2+4x+1＝5，
∴4x2+4x＝4，
即x2+x＝1，
∴x3+2x2
＝x3+x2+x2
＝x（x2+x）+x2
＝x×1+x2
＝x+x2
＝1．
2．（2021春?泗陽縣期末）在解決問題“已知a=12+3，求2a2﹣8a+1的值時，小明是這樣分析與解答的：
∵a=12+3=2?(2+3)(2?3)=2?3，
∴a﹣2=?3，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝﹣1．
請你根據(jù)小明的分析過程，解答下列問題：
（1）化簡：23?1；
（2）化簡：13+1+15+3+17+5+?+12021+2019；
（3）若a=12?1，求：
①12a2﹣a﹣1的值；
②2a2﹣5a2+1的值．
【分析】（1）（2）將原式分母有理化后，得到規(guī)律，利用規(guī)律求解；
（3）將a分母有理化得a=2+1，移項并平方得到a2﹣2a＝1，變形后代入求值．
【解答】解：（1）23?1=2(3+1)(3+1)(3?1)=3+1；
（2）原式=12（3?1+5?3+7?5+?+2021?2019）
=12（2021?1），
=2021?12；
（3）∵a=12?1=2+1(2?1)(2+1)=2+1，
∴a﹣1=2，
∴a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
①12a2?a?1
=12（a2﹣2a）﹣1
=12×1?1
=?12；
②2a2﹣5a2+1
＝﹣3a2+1
＝﹣3(2+1)2+1
＝﹣3（2+22+1）+1
＝﹣9﹣62+1
＝﹣8?62．
3．（2012春?丹陽市校級月考）觀察下面的式子：
S1＝1+112+122，S2＝1+122+132，S3＝1+132+142?Sn＝1+1n2+1(n+1)2
（1）計算：S1= 32 ，S3= 1312 ；猜想Sn= n(n+1)+1n(n+1) （用n的代數(shù)式表示）；
（2）計算：S=S1+S2+S3+?+Sn（用n的代數(shù)式表示）．
【分析】（1）分別求出S1，S2，…的值，再求出其算術(shù)平方根即可；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果進行拆項得出1+12+1+16+1+112+?+1+1n(n+1)，再轉(zhuǎn)換成n+（1?12+12?13+13?14+?+1n?1n+1）
即可求出答案．
【解答】（1）解：∵S1＝1+112+122=94，
∴S1=94=32；
∵S2＝1+122+132=4936，
∴S2=76；
∵S3＝1+132+142=169144，
∴S3=1312；
∵Sn＝1+1n2+1(n+1)2=[n2+n+1]2n2(n+1)2，
∴Sn=n2+n+1n(n+1)=n(n+1)+1n(n+1)，
故答案為：32，1312，n(n+1)+1n(n+1)；
（2）解：S=32+76+1312+?+n(n+1)+1n(n+1)
＝1+12+1+16+1+112+?+1+1n(n+1)
＝n+（1?12+12?13+13?14+?+1n?1n+1）
＝n+1?1n+1，
=n2+2nn+1．
4．（2019春?沭陽縣期末）小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如：3+22=(1+2)2，善于思考的小明進行了以下探索：
設(shè)a+b2=(m+n2)2（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有：a+b2=m2+2n2+2mn2，∴a＝m2+2n2，b＝2mn，這樣小明就找到了一種把類似a+b2的式子化為平方式的方法．
請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：
（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時，若a+b3=(m+n3)2，用含m、n的式子分別表示a、b得：a＝ m2+3n2 ，b＝ 2mn ；
（2）利用所探索的結(jié)論，用完全平方式表示出：7+43= （2+3）2 ．
（3）請化簡：12?63
【分析】（1）利用完全平方公式展開得到（m+n3）2＝m2+3n2+23mn，從而可用m、n表示a、b；
（2）直接利用完全平方公式，變形得出答案；
（3）直接利用完全平方公式，變形化簡即可．
【解答】解：（1）（m+n3）2＝m2+3n2+23mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn．
故答案為m2+3n2，2mn；
（2）7+43=（2+3）2；
故答案為：（2+3）2；
（3）∵12﹣63=（3?3）2，
∴12?63=(3?3)2=3?3．
5．（2018秋?吳江區(qū)期中）閱讀材料：
黑白雙雄、縱橫江湖；雙劍合璧、天下無敵．這是武俠小說中的常見描述，其意是指兩個人合在一起，取長補短，威力無比．
在二次根式中也有這種相輔相成的“對子”．如：(2+3)(2?3)=1，(5+2)(5?2)=3，它們的積不含根號，我們說這兩個二次根式互為有理化因式，其中一個是另一個的有理化因式，于是，二次根式除法可以這樣理解：如：13=1×33×3=33，2+32?3=(2+3)(2+3)(2+3)(2?3)=7+43．像這樣，通過分子、分母同乘以一個式子把分母中的根號化去或把根號中的分母化去，叫做分母有理化．
解決問題：
（1）4?7的有理化因式可以是 4+7或﹣4?7 ，323分母有理化得 32 ．
（2）計算：
①已知x=3+13?1，y=3?13+1，求x2+y2的值；
②11+2+12+3+13+4+?+11999+2000．
【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；
（2）①將x與y分母有理化后代入原式計算即可得到結(jié)果．
②原式各項分母有理化，合并即可得到結(jié)果．
【解答】解：（1）4?7的有理化因式可以是4+7或﹣4?7，
323=3×323=32，
故答案為：4+7或﹣4?7，32；
（2）①當(dāng)x=3+13?1=(3+1)(3+1)(3?1)(3+1)=4+232=2+3，
y=3?13+1=(3?1)(3?1)(3+1)(3?1)=4?232=2?3時，
x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
＝（2+3+2?3）2﹣2×（2+3）×（2?3）
＝16﹣2×1
＝14．
②原式=2?1+3?2+4?3+?+2000?1999
=2000?1
＝205?1．
6．（2022春?亭湖區(qū)校級月考）某同學(xué)在解答題目：“化簡并求值1a+1a2+a2?2，其中a=15，”時：解答過程是：1a+1a2+a2?2=1a+(a?1a)2=1a+a?1a=15；
（1）請判斷他的解答是否正確；如果不正確，請寫出正確的解答過程．
（2）設(shè)S=1+112+122+1+122+132+1+132+142+?+1+1n2+1(n+1)2（n為正整數(shù)），
考察所求式子的結(jié)構(gòu)特征：
①先化簡通項公式1+1n2+1(n+1)2；
②求出與S最接近的整數(shù)是多少？
【分析】（1）根據(jù)分是有意義的條件，得a?1a的值分為兩種情況≥0或≤0，由a=15，則確定一種情況，再化簡求值即可；
（2）上式找出規(guī)律，得出通項公式 1+1n2+1(n+1)2再進行化簡，得結(jié)果為1+1n(n+1)，將自然數(shù)n代入求出結(jié)果，再判斷與S最接近的整數(shù)．
【解答】解：（1）他的解答不正確，
正確過程如下：
原式=1a+(a?1a)2=1a+|a?1a|，
當(dāng)a=15時，原式=1a?a+1a=10?15=945；
（2）∵n為任意的正整數(shù)，
∴1+1n2+1(n+1)2
=n2?(n+1)2+n2+(n+1)2[n(n+1)]2
=[n(n+1)]2+2n(n+1)+1[n(n+1)]2
=(n2+n+1)2[n(n+1)]2
=n2+n+1n(n+1)
＝1+1n(n+1)，
∴S＝（1+11×2）+（1+12×3）+（1+13×4）…（1+1n(n+1)）
＝n+1?12+12?13+13?14+?+1n?1n+1
＝n+1?1n+1，
當(dāng)n＝1時，S最接近的數(shù)是1或2；
當(dāng)n＞1時，S最接近的整數(shù)是n+1．
7．（2017春?江都區(qū)期末）閱讀題：a?b=ab（a≥0，b≥0）逆寫為ab=a?b（a≥0，b≥0）；ab=ab（a≥0，b＞0）逆寫為ab=ab（a≥0，b＞0）；（a）2＝a（a≥0）逆寫為 a＝（a）2（a≥0）．
應(yīng)用知識：
（1）在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x2﹣23x+3＝（x?3）2 ；
（2）化簡：x?yx+y= x?y ；
（3）求值：已知a+b+c﹣6a?2?10b+1?2c?3=?31，求a+b+c的值．
【分析】（1）根據(jù)完全平方公式進行因式分解即可；
（2）根據(jù)平方差公式進行因式分解即可；
（3）先根據(jù)完全平方公式配方，再得出a，b，c的值，計算a+b+c的值即可．
【解答】解：（a）2＝a（a≥0）逆寫為a＝（a）2（a≥0），
故答案為：a＝（a）2（a≥0）；
（1）原式＝（x?3）2，
故答案為：（x?3）2；
（2）原式=(x+y)(x?y)x+y=x?y；
故答案為：x?y；
（3）原式變形為（a?2?3）2+（b+1?5）2+（c?3?1）2＝0，
∴a?2?3＝0，b+1?5＝0，c?3?1＝0，
∴a＝11，b＝24，c＝4，
∴a+b+c＝11+24+4＝39．
8．（2022春?江寧區(qū)期末）材料閱讀：古希臘的幾何學(xué)家海倫在他的著作《度量》中提出：如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，記p=a+b+c2，那么三角形的面積為S=p(p?a)(p?b)(p?c)，這一公式稱為海倫公式．
我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出利用三角形三邊a，b，c，求三角形面積的公式S=14[a2b2?(a2+b2?c22)2]，被稱之為秦九韶公式．
（1）海倫公式與秦九韶公式本質(zhì)上是同一個公式．你同意這種說法嗎？請利用以下數(shù)據(jù)驗證兩公式的一致性．
如圖①，在△ABC中，BC＝a＝7，AC＝b＝5，AB＝c＝6，求△ABC的面積．
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，作∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O．過點O作OD⊥AB，OD的長為 236 ．
【分析】（1）分別代入公式求解，答案一樣就是一致的．
（2）利用公式求解．
【解答】解：（1）我同意這種說法．
驗證：利用海倫公式：P＝0.5（5+6+7）＝9．
△ABC的面積的面積為：9×(9?5)×(9?6)×(9?7)=66；
利用秦九韶公式：
△ABC的面積的面積為0.25[49×25?0.25(49+25?36)2]=66．
∵66=66，
海倫公式與秦九韶公式本質(zhì)上是同一個公式．
（2）∵∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，
∴O為△ABC的內(nèi)心，且O到三角形的三條邊的距離相等，距離為OD的長，設(shè)為x，
∴△ABC的面積等于：0.5×（5+6+7）x＝66，
解得：x=236．
所以O(shè)D的長為：236．
故填：236．
9．（2018春?興化市期中）數(shù)學(xué)閱讀：
古希臘數(shù)學(xué)家海倫曾提出一個利用三角形三邊之長求面積的公式：若一個三角形的三邊長分別為a、b、c，則這個三角形的面積為S=p(p?a)(p?b)(p?c)，其中p=12（a+b+c）．這個公式稱為“海倫公式”．
數(shù)學(xué)應(yīng)用：
如圖1，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．
（1）請運用海倫公式求△ABC的面積；
（2）設(shè)AB邊上的高為h1，AC邊上的高h2，求h1+h2的值；
（3）如圖2，AD、BE為△ABC的兩條角平分線，它們的交點為I，求△ABI的面積．
【分析】（1）把a、b、c的長代入求出p，再代入S計算即可得解；
（2）根據(jù)三角形面積公式列式，可得h1和h2，相加可得結(jié)論；
（3）作高線IF、IH、IG，根據(jù)角平分線定理可得：IF＝IH＝IG，并根據(jù)三角形面積計算IF的長，根據(jù)三角形面積公式可得結(jié)論．
【解答】解：（1）∵AB＝9，AC＝8，BC＝7，
∴p=12（a+b+c）=12（9+8+7）＝12，
∴S=p(p?a)(p?b)(p?c)=12(12?9)(12?8)(12?7)=125；
答：△ABC面積是125；
（2）∵S△ABC=12AC?h2=12AB?h1＝125，
∴h2=2458=35，h1=2459=853，
∴h1+h2＝35+853=1753；
（3）如圖，過點I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分別為點F、G、H，
∵AD、BE分別為△ABC的角平分線，
∴IF＝IH＝IG，
∵S△ABC＝S△ABI+S△ACI+S△BCI，
∴12（9?IF+8?IF+7?IF）＝125，解得IF=5，
故S△ABI=12AB?FI=12×9×5=952．
10．（2021秋?昆明期末）小明在解方程24?x?8?x=2時采用了下面的方法：由
（24?x?8?x）（24?x+8?x）＝（24?x）2﹣（8?x）2＝（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16，
又有24?x?8?x=2，可得24?x+8?x=8，將這兩式相加可得24?x=58?x=3，將24?x=5兩邊平方可解得x＝﹣1，經(jīng)檢驗x＝﹣1是原方程的解．
請你學(xué)習(xí)小明的方法，解下面的方程：
（1）方程x2+42+x2+10=16的解是 x＝±39 ；
（2）解方程4x2+6x?5+4x2?2x?5=4x．
【分析】（1）首先把根式x2+42+x2+10有理化，然后分別求出根式x2+42+x2+10和它的有理化因式的值是多少；再根據(jù)求出的根式x2+42+x2+10和它的有理化因式的值，求出方程x2+42+x2+10=16的解是多少即可；
（2）首先把根式4x2+6x?5+4x2?2x?5有理化，然后分別求出根式4x2+6x?5+4x2?2x?5和它的有理化因式的值是多少；再根據(jù)求出的根式4x2+6x?5+4x2?2x?5和它的有理化因式的值，求出方程4x2+6x?5+4x2?2x?5=4x的解是多少即可．
【解答】解：（1）（x2+42+x2+10）（x2+42?x2+10）
=(x2+42)2?(x2+10)2
＝（x2+42）﹣（x2+10）
＝32
∵x2+42+x2+10=16，
∴x2+42?x2+10=32÷16＝2，
∴x2+42=9x2+10=7
∵(x2+42)2=x2+42=92＝81，
∴x＝±39，
經(jīng)檢驗x＝±39都是原方程的解，
∴方程x2+42+x2+10=16的解是：x＝±39；
故答案為：x＝±39．
（2）（4x2+6x?5+4x2?2x?5）（4x2+6x?5?4x2?2x?5）
=(4x2+6x?5)2?(4x2?2x?5)2
＝（4x2+6x﹣5）﹣（4x2﹣2x﹣5）
＝8x
∵4x2+6x?5+4x2?2x?5=4x，
∴4x2+6x?5?4x2?2x?5=8x÷4x＝2，
∴4x2+6x?5=2x+14x2?2x?5=2x?1，
∵(4x2+6x?5)2=(2x+1)2，
∴4x2+6x﹣5＝4x2+4x+1，
∴2x＝6，
解得x＝3，
經(jīng)檢驗x＝3是原方程的解，
∴方程4x2+6x?5+4x2?2x?5=4x的解是：x＝3．
11．（2020春?玄武區(qū)期中）數(shù)學(xué)閱讀：
古希臘數(shù)學(xué)家海倫曾提出一個利用三角形三邊之長求面積的公式：若一個三角形的三邊長分別為a、b、c，則這個三角形的面積為S=p(p?a)(p?b)(p?c)，其中p=12（a+b+c），這個公式稱為“海倫公式”．
數(shù)學(xué)應(yīng)用：
如圖，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．
（1）請運用海倫公式求△ABC的面積；
（2）設(shè)AC邊上的高為h1，BC邊上的高h2，求h1+h2的值．
【分析】（1）根據(jù)海倫公式，代入解答即可；
（2）根據(jù)三角形面積公式解答即可．
【解答】解：（1）AB＝c＝9，AC＝b＝8，BC＝a＝7，p=12(a+b+c)=12，
∴S=p(p?a)(p?b)(p?c)=12(12?7)(12?8)(12?9)=125；
（2）∵S△ABC=12AC??1=12BC??2=125，
∴?1=2458=35，?2=2457，
∴?1+?2=35+2457=4557．
12．（2016春?泰州校級期末）（1）閱讀：若一個三角形的三邊長分別為a、b、c，設(shè)p=12(a+b+c)，則這個三角形的面積為s=p(p?a)(p?b)(p?c)．
（2）應(yīng)用：如圖1，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC＝4，求△ABC面積．
（3）引申：如圖2，在（2）的條件下，AD、BE分別為△ABC的角平分線，它們的交點為I，求：I到AB的距離．
【分析】（2）先根據(jù)三邊長度求出p的值，再代入公式計算可得；
（3）過點I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，由角平分線性質(zhì)可得IF＝IH＝IG，再根據(jù)S△ABC＝S△ABI+S△ACI+S△BCI即可求得IF的長．
【解答】解：（1）如圖：
在△ABC中，過A作高AD交BC于D，
設(shè)BD＝x，那么DC＝a﹣x，
由于AD是△ABD、△ACD的公共邊h2＝c2﹣x2＝b2﹣（a﹣x）2，
解出x得x=c2?b2+a22a，
于是h=c2?(c2?b2+a22a)2，
△ABC的面積S=12ah=12ac2?(c2?b2+a22a)2
即S=12c2a2?(c2+a2?b22)2，
令p=12（a+b+c），
對被開方數(shù)分解因式，并整理得到s=p(p?a)(p?b)(p?c)；
（2）由題意，得：a＝4，b＝5，c＝6；
∴p=a+b+c2=152；
∴S=152×(152?4)×(152?5)×(152?6)=152×72×52×32=1574，
故△ABC的面積是1574；
（3）如圖，過點I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分別為點F、G、H，
∵AD、BE分別為△ABC的角平分線，
∴IF＝IH＝IG，
∵S△ABC＝S△ABI+S△ACI+S△BCI，
即1574=12×6?IF+12×5?IG+12×4?IH，
∴3?IF+52?IF+2?IF=1574，
解得IF=72，
故I到AB的距離為72．
13．（2019秋?鹿城區(qū)校級期中）我們規(guī)定，對數(shù)軸上的任意點P進行如下操作：先將點P表示的數(shù)乘以﹣1，再把所得數(shù)對應(yīng)的點向右平移2個單位，得到點P的對應(yīng)點P′．現(xiàn)對數(shù)軸上的點A，B進行以上操作，分別得到點A′，B′．
（1）若點A對應(yīng)的數(shù)是﹣2，則點A′對應(yīng)的數(shù)x＝ 4 ．
若點B'對應(yīng)的數(shù)是3+2，則點B對應(yīng)的數(shù)y＝ ?3 ．
（2）在（1）的條件下，求代數(shù)式1x?(y+12)的值．
【分析】（1）由已知可得：（﹣2）×（﹣1）+2＝4，可得A′為4．設(shè)B為m，則﹣m+2＝2+3，解得m=?3，
（2）將x＝4，y=?3代入所求式子化簡即可．
【解答】解：（1）由已知可得：x＝（﹣2）×（﹣1）+2＝4，
∴A'對應(yīng)的數(shù)4；
由題意﹣y+2＝2+3，
解得y=?3，
∴B對應(yīng)的數(shù)?3；
（2）當(dāng)x＝4，y=?3時，1x?(y+12)=14?（?3+12）=12+3?12=3．
14．（2022春?武江區(qū)校級期末）請閱讀下列材料：
問題：已知x=5+2，求代數(shù)式x2﹣4x﹣7的值．小敏的做法是：根據(jù)x=5+2得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，得：
x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作為整體代入：得x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知條件適當(dāng)變形，再整體代入解決問題．請你用上述方法解決下面問題：
（1）已知x=5?2，求代數(shù)式x2+4x﹣10的值；
（2）已知x=5?12，求代數(shù)式x3+x2+1的值．
【分析】（1）根據(jù)完全平方公式求出x2+4x＝1，代入計算即可；
（2）根據(jù)二次根式的乘法法則、完全平方公式計算，答案．
【解答】解：（1）∵x=5?2，
∴（x+2）2＝5，
∴x2+4x+4＝5，
∴x2+4x＝1，
∴x2+4x﹣10＝1﹣10＝﹣9；
（2）∵x=5?12，
∴x2＝（5?12）2=3?52，
則x3＝x?x2=5?12×3?52=5?2，
∴x3+x2+1=5?2+3?52+1=5+12．
15．（2022秋?長安區(qū)期中）求代數(shù)式a+a2?2a+1的值，其中a＝﹣2022．下面是小芳和小亮的解題過程，都是把含有字母式子先開方再進行運算的方法，請認真思考、理解解答過程，回答下列問題．
小芳：
解：原式＝a+(a?1)2=a+1﹣a＝1
小亮：
解：原式＝a+(a?1)2=a+a﹣1＝﹣4045
（1）小亮的解法是錯誤的；
（2）求代數(shù)式a+2a2?6a+9的值，其中a＝4?5．
【分析】（1）根據(jù)題意得到a﹣1＜0，根據(jù)二次根式的性質(zhì)計算即可；
（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)把原式化簡，代入計算即可．
【解答】解：（1）∵a＝﹣2022，
∴a﹣1＝﹣2022﹣1＝﹣2023＜0，
∴(a?1)2=1﹣a，
∴小亮的解法是錯誤的，
故答案為：小亮；
（2）∵a＝4?5，
∴a﹣3＝4?5?3＝1?5＜0，
∴(a?3)2=3﹣a，
則a+2a2?6a+9
＝a+2(a?3)2
＝a+2（3﹣a）
＝6﹣a，
當(dāng)a＝4?5時，原式＝6﹣（4?5）＝2+5．
16．（2022秋?高明區(qū)月考）閱讀下列解題過程：
12+1=2?1(2+1)(2?1)=2?1
13+2=3?2(3+2)(3?2)=3?2
14+3=4?3(4+3)(4?3)=4?3
……
請你參考上面的化簡方法，解決如下問題：
（1）計算：110+9；
（2）計算：（12+1+13+2+14+3+?12022+2021）?（2022+1）；
（3）若a=12?5，求2a2+8a+1的值．
【分析】（1）先分子和分母都乘以10?9，再求出答案即可；
（2）根據(jù)已知算式得出規(guī)律，得出原式＝（2?1+3?2+4?3+?+2022?2021）×（2022+1），再求出答案即可；
（3）求出a，再根據(jù)完全平方公式得出2a2+8a+1＝2（a+2）2﹣7，再代入求出答案即可．
【解答】解：（1）110+9
=10?9(10+9)×(1?9)
=10?9
=10?3；
（2）（12+1+13+2+14+3+?12022+2021）?（2022+1）
＝（2?1+3?2+4?3+?+2022?2021）×（2022+1）
＝（2022?1）×（2022+1）
＝（2022）2﹣12
＝2022﹣1
＝2021；
（3）∵a=12?5=2+5(2?5)×(2+5)=2+5?1=?2?5，
∴2a2+8a+1
＝2（a2+4a+4﹣4）+1
＝2（a+2）2﹣8+1
＝2×（﹣2?5+2）2﹣7
＝2×（?5）2﹣7
＝2×5﹣7
＝10﹣7
＝3．
17．（2019春?高新區(qū)期末）閱讀材料：像（(5+2)、(5?2)=3、a?a=a（a≥0）、(b+1)(b?1)=b﹣1（b≥0）……兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式．例如3與3，2+1與2?1，23+35與23?35等都是互為有理化因式，在進行二次根式計算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根號
例如：123=323×3=36；2+12?1=(2+1)2(2?1)(2+1)=3+22
解答下列問題
（1）3?7與 3+7 互為有理化因式，將232分母有理化得 23 ；
（2）計算2?13?63；
（3）觀察下面的變形規(guī)律并解決問題
①12+1=2?1，13+2=3?2，14+3=4?3，15+4=5?4?若n為正整數(shù)，請你猜想1n+1+n= n+1?n ；
②計算：（12+1+13+2+14+3+?+12019+2018）×(2019+1)
【分析】（1）根據(jù)互為有理化因式的定義和化簡有理化因式的方法可解；
（2）先把其中的二次根式中的分母有理化，再合并同類二次根式即可；
（3）①利用分母有理化化簡即可；
②由①的結(jié)論化簡第一個括號內(nèi)的式子，然后利用平方差公式計算即可．
【解答】解：（1）根據(jù)互為有理化因式的定義可知，3?7與3+7 互為有理化因式；
232=2232×2=23
故答案為：3+7；23．
（2）2?13?63
＝2?33×3?633×3
＝2?33?23
＝2?733
故答案為2?733．
（3）①1n+1+n=n+1?n(n+1+n)(n+1?n)=n+1?n
故答案為：n+1?n．
②（12+1+13+2+14+3+?+12019+2018）×(2019+1)
＝（2?1+3?2+4?3+?+2019?2018）×（2019+1）
＝（2019?1））×（2019+1）
＝2019﹣1
＝2018
故原式的值為2018．
18．（2021秋?洪江市期末）閱讀并解答問題：
12+1=2?1(2+1)(2?1)=2?1；
13+2=3?2(3+2)(3?2)=3?2；
12+3=2?3(2+3)(2?3)=2?3；
……
上面的計算過程叫做“分母有理化”，仿照上述計算過程，解答下列問題：
（1）將15+2的分母有理化；
（2）已知a=17+6，b=17?6，求a+b的值；
（3）計算12+1+13+2+?+199+98+1100+99．
【分析】（1）利用平方差公式進行二次根式分母有理化計算；
（2）先利用平方差公式進行分母有理化計算，從而化簡a和b的值，然后代入求值；
（3）利用平方差公式進行分母有理化計算，然后通過觀察數(shù)字變化的規(guī)律進行分析計算．
【解答】解：（1）原式=5?2(5+2)(5?2)
=5?2；
（2）a=7?6(7+6)(7?6)=7?6，
b=7+6(7+6)(7?6)=7+6，
∴a+b=7?6+7+6=27；
（3）原式=2?1(2+1)(2?1)+3?2(3+2)(3?2)+...+99?98(99+98)(99?98)+100?99(100+99)(100?99)
=2?1+3?2+...+99?98+100?99
=100?1
＝10﹣1
＝9．
19．（2021春?石城縣期末）在二次根式中如：(2+3)(2?3)=1，(5+2)(5?2)=3，它們的積不含根號，我們說這兩個二次根式互為有理化因式，其中一個是另一個的有理化因式，于是，二次根式除法可以這樣理解：如：13=1×33×3=33，2+32?3=(2+3)(2+3)(2+3)(2?3)=7+43．像這樣，通過分子、分母同乘以一個式子把分母中的根號化去或把根號中的分母化去，叫做分母有理化．
解決問題：
（1）4?7的有理化因式可以是 4+7 ，323分母有理化得 32 ．
（2）計算：
①已知x=3+13?1，y=3?13+1，求x2+y2的值；
②11+2+12+3+13+4+?+12020+2021．
【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；
（2）①將x與y分母有理化后代入原式計算即可得到結(jié)果．
②原式各項分母有理化，合并即可得到結(jié)果．
【解答】解：（1）4?7的有理化因式可以是4+7，
323=3×323=32．
故答案為：4+7，32；
（2）①當(dāng)x=3+13?1=(3+1)(3+1)(3?1)(3+1)=4+232=2+3，
y=3?13+1=(3?1)(3?1)(3+1)(3?1)=4?232=2?3時，
x2+y2
＝（x+y）2﹣2xy
＝（2+3+2?3）2﹣2×（2+3）×（2?3）
＝16﹣2×1
＝14．
②原式=2?1+3?2+4?3+?+2021?2020=2021?1．
20．（2022秋?駐馬店期中）閱讀材料：（一）如果我們能找到兩個正整數(shù)x，y使x+y＝a且xy＝b，這樣a+2b=(x)2+(y)2+2x?y=(x+y)2=x+y，那么我們就稱a+2b為“和諧二次根式”，則上述過程就稱之為化簡“和諧二次根式”．
例如：3+22=(1)2+(2)2+21?2=(1+2)2=1+2．
（二）在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時還會碰上如23+1樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：23+1=2×(3?1)(3+1)(3?1)=2×(3?1)(3)2?12=3?1．那么我們稱這個過程為分式的分母有理化．根據(jù)閱讀材料解決下列問題：
（1）化簡“和諧二次根式”：①11+228= 7+2 ；②7?43= 2?3 ．
（2）已知m=15+26，n=15?26，求m?nm+n的值．
【分析】（1）根據(jù)閱讀材料（一）化簡“和諧二次根式”即可；
（2）先根據(jù)閱讀材料（一）化簡m與n的分母，再根據(jù)閱讀材料（二）進行分母有理化即可．
【解答】（1）解：①11+228=(7)2+(4)2+27?4=(7+4)2=7+2；
②7?43=7?212=(4)2+(3)2?24?3=(4?3)2=2?3．
故答案為：7+2；2?3；
（2）解：∵m=15+26=13+2=3?2，n=15?26=13?2=3+2，
∴m﹣n=3?2?（3+2）＝﹣22，
m+n=3?2+（3+2）＝23，
∴m?nm+n=?2223=?63；
21．（2022秋?昌平區(qū)期中）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式、分式和二次根式，當(dāng)被除數(shù)是一個二次根式，除數(shù)是一個整式時，求得的商就會出現(xiàn)類似ba的形式，我們把形如ba的式子稱為根分式，例如32，x?1x都是根分式．
（1）下列式子中①aa2+1，②3x+1，③a2+32， ③ 是根分式（填寫序號即可）；
（2）寫出根分式x?1x?2中x的取值范圍 x≥1且x≠2 ；
（3）已知兩個根分式M=x2?6x+7x?2，N=2x?1x?2．
①若M2﹣N2＝1，求x的值；
②若M2+N2是一個整數(shù)，且x為整數(shù)，請直接寫出x的值： 1 ．
【分析】（1）根據(jù)根分式的定義進行判斷即可；
（2）根據(jù)二次根式的定義，分式有意義的條件進行分析即可；
（3）①對式子進行化簡，再進行求解即可；
②對式子進行化簡，結(jié)合分式有意義的條件及二次根式的定義進行求解即可．
【解答】解：（1）①aa2+1不是根分式，
②3x+1不是根分式，
③a2+32是根分式，
故答案為：③；
（2）由題意得：x﹣1≥0，x﹣2≠0，
解得：x≥1，x≠2，
故x的取值范圍是：x≥1且x≠2；
故答案為：x≥1且x≠2；
（3）當(dāng)M=x2?6x+7x?2，N=2x?1x?2時，
①M2﹣N2＝1，
（x2?6x+7x?2）2﹣（2x?1x?2）2＝1，
x2?6x+7(x?2)2?2x?1(x?2)2=1，
x2?8x+8(x?2)2=1，
解得：x＝1，
經(jīng)檢驗，x＝1是原方程的解；
②M2+N2
＝（x2?6x+7x?2）2+（2x?1x?2）2
=x2?6x+7(x?2)2+2x?1(x?2)2
=x2?4x+6(x?2)2
=(x?2)2+2(x?2)2
＝1+2(x?2)2，
∵M2+N2是一個整數(shù)，且x為整數(shù)，
∴2(x?2)2是一個整數(shù)，
∴x﹣2＝±1，
解得：x＝3或1，
經(jīng)檢驗，x＝1符合題意，
故答案為：1．
22．（2022秋?隆昌市校級月考）【閱讀材料】閱讀下列材料，然后回答問題：
①在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如23+1一樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：23+1=2(3?1)(3+1)(3?1)=2(3?1)(3)2?1=2(3?1)2=3?1，以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．
②學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，最重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，其中一種數(shù)學(xué)思想叫做換元的思想，它可以簡化我們的計算，比如我們熟悉的下面這個題：已知a+b＝2，ab＝﹣3，求a2+b2.我們可以把a+b和ab看成是一個整體，令x＝a+b，y＝ab，則a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝x2﹣2y＝4+6＝10．這樣，我們不用求出a，b，就可以得到最后的結(jié)果．
（1）計算：13+1+15+3+17+5+?+12023+2021；
（2）m是正整數(shù)，a=m+1?mm+1+m，b=m+1+mm+1?m且2a2+1823ab+2b2＝2019，求m；
（3）已知15+x2?26?x2=1，求15+x2+26?x2的值．
【分析】（1）先把每一個二次根式進行分母有理化，然后再進行計算即可解答；
（2）先利用分母有理化化簡a，b，從而求出a+b＝4m+2，ab＝1，然后根據(jù)已知可得a2+b2＝98，再利用完全平方公式進行計算即可解答；
（3）利用完全平方公式，進行計算即可解答．
【解答】解：（1）13+1+15+3+17+5+?+12023+2021
=3?1(3+1)(3?1)+5?3(5+3)(5?3)+7?5(7+5)(7?5)+?2021(2023+2021)(2023?2021)
=3?12+5?32+7?52+...+2023?20212
=12×（3?1+5?3+7?5+...+2023?2021）
=2023?12；
（2）∵a=m+1?mm+1+m，b=m+1+mm+1?m，
∴a=(m+1?m)2(m+1+m)(m+1?m)=（m+1?m）2，
b=(m+1+m)2(m+1?m)(m+1+m)=（m+1+m）2，
∴a+b＝（m+1?m）2+（m+1+m）2＝2（2m+1）＝4m+2，
ab＝（m+1?m）2（m+1+m）2＝[（m+1?m）（m+1+m）]2＝（m+1﹣m）2＝1，
∵2a2+1823ab+2b2＝2019，
∴2a2+1823+2b2＝2019，
∴2a2+2b2＝196，
∴a2+b2＝98，
∴（a+b）2﹣2ab＝98，
∴（4m+2）2﹣2＝98，
∴（4m+2）2＝100，
∴4m+2＝±10，
∴4m+2＝10或4m+2＝﹣10，
∴m1＝2，m2＝﹣3（不合題意，舍去），
∴m的值為2；
（3）∵15+x2?26?x2=1，
∴（15+x2?26?x2）2＝1，
∴15+x2﹣215+x226?x2+26﹣x2＝1，
∴15+x226?x2=20，
∴（15+x2+26?x2）2
＝（15+x2?26?x2）2+415+x226?x2
＝12+4×20
＝1+80
＝81，
∵15+x2≥0，26?x2≥0，
∴15+x2+26?x2=9．
23．（2022秋?新城區(qū)校級月考）愛動腦筋的小明在做二次根式的化簡時，發(fā)現(xiàn)一些二次根式的被開方數(shù)是二次三項式，而且這些二次三項式正好是完全平方式的結(jié)構(gòu)，于是就可以利用二次根式的性質(zhì)：a2=|a|=a(a≥0)，?a(a＜0)來進一步化簡．
比如：x2+2x+1=(x+1)2=|x+1|，∴當(dāng)x+1≥0即x≥﹣1時，原式＝x+1；當(dāng)x+1＜0即x＜﹣1時，原式＝﹣x﹣1．
（1）仿照上面的例子，請你嘗試化簡m2?m+14．
（2）判斷甲、乙兩人在解決問題：“若a＝9，求a+1?2a+a2的值”時誰的答案正確，并說明理由．
甲的答案：原式=a+(1?a)2=a+(1?a)=1；
乙的答案：原式=a+(1?a)2=a+(a?1)=2a?1=2×9?1=17．
（3）化簡并求值：|x?1|+4?4x+x2，其中x=5．
【分析】（1）仿照上面的例子，分類討論即可化簡；
（2）根據(jù)a＝9，得1﹣a＜0，即可判斷出答案；
（3）根據(jù)x=5，得x﹣1＞0，2﹣x＜0，即可化簡求值．
【解答】解：（1）m2?m+14
=(m?12)2
＝|m?12|，
∴當(dāng)m?12≥0即m≥12時，原式＝m?12，
當(dāng)m?12＜0即m＜12時，原式＝﹣m+12．
（2）∵a＝9，
∴1﹣a＜0，
∴原式=a+(1?a)2=a+(a?1)=2a?1=2×9?1=17．
∴乙的答案正確．
（3）∵x=5，
∴x﹣1＞0，2﹣x＜0，
∴|x?1|+4?4x+x2
＝x﹣1+(2?x)2
＝x﹣1+x﹣2
＝2x﹣3
＝25?3．
24．（2022秋?高新區(qū)校級月考）閱讀材料：
黑白雙雄，縱橫江湖；雙劍合璧，天下無敵．這是武俠小說中的常見描述，其意是指兩個人合在一起，取長補短，威力無比．在二次根式中也有這種相輔相成的“對子”，如：（2+3）（2?3）＝1，（5+2）（5?2）＝3，它們的積不含根號，我們說這兩個二次根式互為有理化因式，其中一個是另一個的有理化因式，于是，二次根式除法可以這樣理解：如：13=1×33×3=33，2+32?3=(2+3)(2+3)(2?3)(2+3)=7+43．像這樣，通過分子，分母同乘以一個式子把分母中的根號化去或把根號中的分母化去，叫做分母有理化．
解決問題：
（1）4?7的有理化因式可以是 4+7 ，232分母有理化得 23 ．
（2）計算：①11+2+12+3+13+4+?11999+2000．②已知：x=3?13+1，y=3+13?1，求x2+y2的值．
【分析】（1）根據(jù)有理化因式的定義確定4?7的有理化因式，把232分子分母都乘以2可分母有理化；
（2）①先分母有理化，然后合并即可；
②先利用分母有理化得到x＝2?3，y＝2+3，再計算出x+y＝4，xy＝1，然后利用完全平方公式得到x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，最后利用整體代入的方法計算．
【解答】解：（1）4?7有理化因式可以是4+7，
232=2×232×2=23；
故答案為：4+7，23；
（2）①原式=2?1+3?2+4?3+???+2000?1999
=2000?1
＝205?1；
②∵x=3?13+1=(3?1)2(3+1)(3?1)=2?3，y=3+13?1=(3+1)2(3?1)(3+1)=2+3，
∴x+y＝4，xy＝1，
x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝42﹣2×1＝14．
25．（2021秋?赫山區(qū)期末）“分母有理化”是我們常見的一種化簡的方法．
如：2+12?1=(2+1)(2+1)(2?1)(2+1)=3+22．
除此之外，我們也可以平方之后再開方的方式來化簡一些有特點的無理數(shù)．
如：化簡2+3?2?3．
解：設(shè)x=2+3?2?3，易知2+3＞2?3，故x＞0．
由于x2＝（2+3?2?3）2＝2+3+2?3?2(2+3)(2?3)=2．
解得x=2，即2+3?2?3=2
根據(jù)以上方法，化簡：3?223+22+3?5?3+5．
【分析】根據(jù)題目提供的方法先計算3?5?3+5．再計算3?223+22，進而進行計算即可．
【解答】解：設(shè)x=3?5?3+5，易知3?5＜3+5，故x＜0，
由于x2＝（3?5?3+5）2＝3?5+3+5?2(3?5)(3+5)=2，
所以x=?2，即3?5?3+5=?2，
所以原式=(3?22)(3?22)(3+22)(3?22)?2
＝17﹣122?2
＝17﹣132．
26．（2018秋?天河區(qū)校級期中）小馬在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個含根號的式子的平方，如3+22=（1+2）2，善于思考的小明進行了如下探索：
設(shè)a+b2=（m+n2）2，（其中a、b、m、n均為正整數(shù)）則有a+b2=m2+2mn2+2n2．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
這樣，小馬找到了把部分a+b2的式子化為平方式的方法．
請你仿照小明的方法探索并解決問題：
（1）當(dāng)a，b，m，n均為正整數(shù)時，若a+b3=（m+n3）2，用含m，n的式子分別表示a，b得，a＝ m2+3n2 ，b＝ 2mn ．
（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a，b，m，n填空： 13 + 4 3=（ 1 + 2 3）2．
（3）設(shè)x=3+2，試用含有x的代數(shù)式（各項系數(shù)均為有理數(shù)）來表示2．（要寫出必要過程）
【分析】（1）已知等式右邊利用完全平方公式展開，表示出a與b即可；
（2）令m＝1，n＝2，確定出a與b的值即可；
（3）先把已知條件變形得到x?2=3，再兩邊平方得到x2﹣22x+2＝3，然后用x表示2即可．
【解答】解：（1）∵（m+n3）2＝m2+2mn3+3n2，
而a+b3=（m+n3）2，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn；
故答案為m2+3n2，2mn；
（2）令m＝1，n＝2，則a＝m2+3n2＝1+3×4＝13，b＝2mn＝4，
∴13+43=（1+23）2；
故答案為13，4，1，2；
（3）∵x=3+2，
∴x?2=3，
∴（x?2）2＝3，
∴x2﹣22x+2＝3，
∴2=x2?12．
27．（2020春?安慶期中）閱讀材料：我們在學(xué)習(xí)二次根式時，熟悉了分母有理化及其應(yīng)用．其實，有一個類似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式．
比如：7?6=(7?6)(7+6)7+6=17+6．
分子有理化可以用來比較某些二次根式的大小，也可以用來處理一些二次根式的最值問題．例如：比較7?6和6?5的大小可以先將它們分子有理化如下：7?6=17+6，6?5=16+5．
因為7+6＞6+5，所以，7?6＜6?5．
再例如，求y=x+2?x?2的最大值、做法如下：
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=x+2?x?2=4x+2+x?2．
當(dāng)x＝2時，分母x+2+x?2有最小值2．所以y的最大值是2．
利用上面的方法，完成下述兩題：
（1）比較15?14和14?13的大?。?br>（2）求y=x+1?x?1+3的最大值．
【分析】（1）先將兩數(shù)變形為115+14、114+13，再由15＞13知15+14＞14+13，從而得出答案；
（2）根據(jù)二次根式有意義的條件得出x≥1，據(jù)此知x+1+x?1有最小值2，從而得到y(tǒng)=x+1?x?1+3=2x+1+x?1+3的最大值．
【解答】解：（1）15?14=115+14，
14?13=114+13，
而15＞13，
∴15+14＞14+13，
∴15?14＜14?13；
（2）∵x+1≥0，x﹣1≥0，
∴x≥1，
∵y=x+1?x?1+3=2x+1+x?1+3，
當(dāng)x＝1時，分母x+1+x?1有最小值2，
∴y=2x+1+x?1+3有最大值是2+3．
28．先閱讀下面的材料．再解答下面的問題．
∵（a+b）（a?b）＝a﹣b，
∴a﹣b＝（a+b）（a?b）
特別地．（12+11）×（12?11）＝1，
∴112?11=12+11，
當(dāng)然也可以利用12﹣11＝1得1＝12﹣11，
故112?11=(12)2?(11)212?11=12+11
這種變形也是將分母有理化．
利用上述的思路方法解答下列問題：
（1）計算：13?8?18?7+17?6?16?5+15+2；
（2）計算：54?11?411?7?23+7．
【分析】（1）先把每一部分分母有理化，化簡后合并同類二次根式即可；
（2）先把每一部分分母有理化，化簡后合并同類二次根式即可．
【解答】解：（1）原式=3+8(3?8)(3+8)?8+7(8?7)(8+7)+7+6(7?6)(7+6)?6+5(6?5)(6+5)+5?2(5+2)(5?2)
＝3+8?（8+7）+7+6?（6+5）+5?2
＝3﹣2
＝1；
（2）原式=5×(4+11)(4?11)(4+11)?4×(11+7)(11?7)(11+7)?2×(3?7)(3+7)(3?7)
＝4+11?（11+7）﹣（3?7））
＝4+11?11?7?3+7
＝1．
29．（2020秋?吳江區(qū)期中）像2?2=2；(3+1)(3?1)=2；(5+2)(5?2)=3?兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，則稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式．愛動腦筋的小明同學(xué)在進行二次根式計算時，利用有理化因式化去分母中的根號．
（1）123=323×3=36；
（2）2+12?1=(2+1)2(2?1)(2+1)=2+22+12?1=3+22．
勤奮好學(xué)的小明發(fā)現(xiàn)：可以用平方之后再開方的方式來化簡一些有特點的無理數(shù)．
（3）化簡：3+5?3?5．
解：設(shè)x=3+5?3?5，易知3+5＞3?5，∴x＞0．
由：x2＝3+5+3?5?2(3+5)(3?5)=6?24=2．解得x=2．
即3+5?3?5=2．
請你解決下列問題：
（1）23?35的有理化因式是 23+35 ；
（2）化簡：33+12?1+12+3；
（3）化簡：6?33?6+33．
【分析】（1）找出原式的有理化因式即可；
（2）原式各式分母有理化，計算即可求出值；
（3）設(shè)x=6?33?6+33，判斷出x小于0，將左右兩邊平方求出x的值即可．
【解答】解：（1）23?35的有理化因式是23+35；
故答案為：23+35；
（2）原式=3+2+1+2?3
=2+3；
（3）設(shè)x=6?33?6+33，可得6?33＜6+33，即x＜0，
由題意得：x2＝6﹣33+6+33?2(6?33)(6+33)=12﹣6＝6，
解得：x=?6，
則原式=?6．
30．（2019秋?郫都區(qū)期末）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+22=（1+2）2，善于思考的小明進行了以下探索：
設(shè)a+2b＝（m+2n）2（其中a、b、m、n均為正整數(shù)），則有a+2b＝m2+2n2+22mn，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把部分a+2b的式子化為平方式的方法．
請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：
（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時，若a+6b＝（m+6n）2，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝ m2+6n2 ，b＝ 2mn ；
（2）若a+43=（m+3n）2，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值；
（3）化簡：7?21+80．
【分析】（1）利用完全平方公式展開得到（m+6n）2＝m2+6n2+26mn，從而可用m、n表示a、b；
（2）直接利用完全平方公式，變形得出答案；
（3）直接利用完全平方公式，變形化簡即可．
【解答】解：（1）∵（m+6n）2＝m2+6n2+26mn，a+6b＝（m+6n）2，
∴a＝m2+6n2，b＝2mn．
故答案為m2+6n2，2mn；
（2）∵（m+3n）2＝m2+3n2+23mn，a+43=（m+3n）2，
∴a＝m2+3n2，mn＝2，
∵m、n均為正整數(shù)，
∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，
∴a＝13或7；
（3）21+80=20+45+1=(25+1)2=25+1，
則7?21+80
=7?25?1
=6?25
=(5?1)2
=5?1．

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