考點(diǎn)一 隨地轉(zhuǎn)動(dòng)模型
1.把地球看做均勻球體，在地球上任意位置萬有引力大小相等且重力和向心力是萬有引力的兩個(gè)分力.
2．忽略地球自轉(zhuǎn)時(shí)向心力為0，則mg＝Geq \f(Mm,R2)，整理可得：GM＝gR2，該式被稱為“黃金代換式”．
3．考慮自轉(zhuǎn)時(shí)，注意兩個(gè)特殊位置 1）在兩極上向心力為0：
2）在赤道上：
強(qiáng)調(diào)：當(dāng)赤道上的物體對(duì)地面的壓力剛好為零時(shí) ，如果地球自轉(zhuǎn)角速度ω繼續(xù)增大，萬有引力不足以提供向心力，物體將會(huì)“飄”起來，地球?qū)某嗟篱_始解體，此時(shí)的角速度也就是地球穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)的臨界角速度。
1．(多選)假如地球的自轉(zhuǎn)速度增大，關(guān)于物體重力，下列說法正確的是( )
A．放在赤道上的物體的萬有引力不變 B．放在兩極上的物體的重力不變
C．放在赤道上的物體的重力減小 D．放在兩極上的物體的重力增加
【答案】ABC
【解析】
地球自轉(zhuǎn)速度增大，則物體隨地球自轉(zhuǎn)所需向心力增大。
A．地球的質(zhì)量和半徑都沒有變化，故對(duì)赤道上物體的萬有引力大小保持不變，故A正確；
BD．地球繞地軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在兩極點(diǎn)，物體轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為0，轉(zhuǎn)動(dòng)所需向心力為0，此時(shí)物體的重力與萬有引力相等，故自轉(zhuǎn)速度增大兩極點(diǎn)的重力保持不變，故B正確，D錯(cuò)誤；
C．赤道上的物體重力和向心力的合力等于物體受到的萬有引力，因萬有引力不變，自轉(zhuǎn)速度增大時(shí)所需向心力增大，故物體的重力將減小，故C正確。
2．設(shè)地球自轉(zhuǎn)周期為T，質(zhì)量為M，引力常量為G。假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，半徑為R。同一物體在南極和赤道水平面上靜止時(shí)所受到的支持力之比為( )
A．eq \f(GMT2,GMT2－4π2R3)B．eq \f(GMT2,GMT2＋4π2R3)
C．eq \f(GMT2－4π2R3,GMT2)D．eq \f(GMT2＋4π2R3,GMT2)
【答案】A
【解析】
物體在南極靜止時(shí)受到的支持力等于萬有引力Geq \f(Mm,R2)；設(shè)物體在赤道水平面上靜止時(shí)所受到的支持力為F，則有Geq \f(Mm,R2)－F＝mReq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2，解得F＝Geq \f(Mm,R2)－eq \f(4π2mR,T2)。所受到的支持力之比為eq \f(GMT2,GMT2－4π2R3)，選項(xiàng)A正確。
3.已知一質(zhì)量為m的物體分別靜止在北極與赤道時(shí)對(duì)地面的壓力差為ΔN,假設(shè)地球是質(zhì)量分布均勻的球體,半徑為R。則地球的自轉(zhuǎn)周期為( )
A.T=2πB.T=2π C.T=2π D.T=2π
【答案】A
【解析】在北極,物體所受的萬有引力與支持力大小相等,在赤道處,物體所受的萬有引力與支持力的差值提供其隨地球自轉(zhuǎn)的向心力,由題意可得ΔN=mR()2,解得T=2π,選項(xiàng)A正確。
4.(多選)組成星球的物質(zhì)是靠引力吸引在一起的,這樣的星球有一個(gè)最大的自轉(zhuǎn)速率,如果超出了該速率,星球的萬有引力將不足以維持其赤道附近的物體隨星球做圓周運(yùn)動(dòng)。假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的星球,地球半徑為R,地球北極表面附近的重力加速度為g,引力常量為G,地球質(zhì)量為M,則地球的最大自轉(zhuǎn)角速度ω為( )
A.2πGMR3 B.GMR3 C.gR D.2πRg
【答案】BC
【解析】
設(shè)地球赤道上有一質(zhì)量為m的物體,要維持該物體隨地球一起以最大角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng),則物體與地球之間的萬有引力等于向心力,有GMmR2=mω2R,解得ω=GMR3,A項(xiàng)錯(cuò)誤,B項(xiàng)正確;在地球北極表面附近有GMm'R2=m'g,則GM=gR2,代入上式可得ω=gR,C項(xiàng)正確,D項(xiàng)錯(cuò)誤。
5.(2018·全國卷Ⅱ)2018年2月，我國500 m口徑射電望遠(yuǎn)鏡(天眼)發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星“J0318＋0253”，其自轉(zhuǎn)周期T＝5.19 ms。假設(shè)星體為質(zhì)量均勻分布的球體，已知萬有引力常量為6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的星體的密度最小值約為( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3D．5×1018 kg/m3
【答案】C
【解析】
脈沖星自轉(zhuǎn)，邊緣物體m恰對(duì)星體無壓力時(shí)萬有引力提供向心力，則有Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)，又M＝ρ·eq \f(4,3)πr3，整理得密度ρ＝eq \f(3π,GT2)＝eq \f(3×3.14,6.67×10－11×?5.19×10－3?2) kg/m3≈5.2×1015 kg/m3。
6.（2022·黑龍江·肇東市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）(多選)由于地球自轉(zhuǎn)的影響,地球表面的重力加速度會(huì)隨緯度的變化而有所不同。已知地球表面兩極處的重力加速度大小為g0,在赤道處的重力加速度大小為g,地球自轉(zhuǎn)的周期為T,引力常量為G。假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體。下列說法正確的是( )
A.質(zhì)量為m的物體在地球北極受到的重力大小為mg
B.質(zhì)量為m的物體在地球赤道上受到的萬有引力大小為mg0
C.地球的半徑為
D.地球的密度為
【答案】B、C、D
【解析】
因地球表面兩極處的重力加速度大小為g0,則質(zhì)量為m的物體在地球北極受到的重力大小為mg0,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;因在地球的兩極G=mg0,則質(zhì)量為m的物體在地球赤道上受到的萬有引力大小為F=G=mg0,選項(xiàng)B正確;在赤道上:G-mg=mR,聯(lián)立解得:R=,選項(xiàng)C正確;地球的密度為ρ=,聯(lián)立解得:ρ=,選項(xiàng)D正確。
考點(diǎn)二 星球表面物體的一個(gè)近似關(guān)系
以地球?yàn)槔厍虮砻嫔衔矬w的重力是萬有引力的一個(gè)分力，另一個(gè)分力提供物體隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，但由于向心力很小，一般情況下認(rèn)為重力等于萬有引力，即mg＝Geq \f(Mm,R2)
7．地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R，引力常量為G，可估算地球的平均密度為( )
A.eq \f(3g,4πRG) B.eq \f(3g,4πR2G)
C.eq \f(g,RG) D.eq \f(g,RG2)
【答案】A
【解析】解析 忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，對(duì)處于地球表面的物體，有mg＝Geq \f(Mm,R2)，則M＝eq \f(gR2,G)，又V＝eq \f(4,3)πR3，可得地球的平均密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(3g,4πRG)，A項(xiàng)正確．
8.(2021·山東卷)從“玉兔”登月到“祝融”探火，我國星際探測事業(yè)實(shí)現(xiàn)了由地月系到行星際的跨越。已知火星質(zhì)量約為月球的9倍，半徑約為月球的2倍，“祝融”火星車的質(zhì)量約為“玉兔”月球車的2倍。在著陸前，“祝融”和“玉兔”都會(huì)經(jīng)歷一個(gè)由著陸平臺(tái)支撐的懸停過程。懸停時(shí)，“祝融”與“玉兔”所受著陸平臺(tái)的作用力大小之比為( )
A．9∶1 B．9∶2
C．36∶1 D．72∶1
【答案】B
【解析】懸停時(shí)所受平臺(tái)的作用力等于萬有引力，根據(jù)F＝Geq \f(mM,R2)，可得eq \f(F祝融,F玉兔)＝Geq \f(M火m祝融,Req \\al( 2,火))∶Geq \f(M月m玉兔,Req \\al( 2,月))＝eq \f(9,22)×2＝eq \f(9,2)，故選B。
考點(diǎn)三 萬有引力與拋體運(yùn)動(dòng)的結(jié)合
常見的拋體運(yùn)動(dòng)都發(fā)生在天體的表面，所以萬有引力與拋體運(yùn)動(dòng)的綜合問題常選擇Geq \f(Mm,R2)＝mg 及拋體運(yùn)動(dòng)有關(guān)規(guī)律，天體表面的重力加速度g是兩者聯(lián)系的橋梁（ Geq \f(Mm,R2)＝mg中R為天體的半徑，g為天體表面的重力加速度）。
9.(多選)宇航員在月球表面附近高為h處以初速度v0水平拋出一個(gè)小球，測出小球的水平射程為L.已知月球半徑為R，引力常量為G.下列說法中正確的是( )
A．月球表面的重力加速度g月＝eq \f(2hv02,L2) B．月球的質(zhì)量m月＝eq \f(2hR2v02,GL2)
C．月球的自轉(zhuǎn)周期T＝eq \f(2πR,v0) D．月球的平均密度ρ＝eq \f(3hv02,2πGL2)
【答案】AB
【解析】
根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，L＝v0t，h＝eq \f(1,2)g月t2，聯(lián)立解得g月＝eq \f(2hv02,L2)，選項(xiàng)A正確；由mg月＝eq \f(Gmm月,R2)，解得m月＝eq \f(2hR2v02,GL2)，選項(xiàng)B正確；根據(jù)題目條件無法求出月球的自轉(zhuǎn)周期，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；月球的平均密度ρ＝eq \f(m月,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3hv02,2πGL2R)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
10.(多選)宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時(shí)間t小球落回原處．若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過時(shí)間5t小球落回原處．已知該星球的半徑與地球半徑之比為R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度為g，設(shè)該星球表面附近的重力加速度為g′，空氣阻力不計(jì)．則( )
A．g′∶g＝1∶5 B．g′∶g＝5∶2
C．M星∶M地＝1∶20 D．M星∶M地＝1∶80
【答案】AD
【解析】
設(shè)初速度為v0，由對(duì)稱性可知豎直上拋的小球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq \f(2v0,g)，因此得eq \f(g′,g)＝eq \f(t,5t)＝eq \f(1,5)，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；由Geq \f(Mm,R2)＝mg得M＝eq \f(gR2,G)，則eq \f(M星,M地)＝eq \f(g′R星2,gR地2)＝eq \f(1,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2＝eq \f(1,80)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確．
11．若宇航員登上月球后，在月球表面做了一個(gè)實(shí)驗(yàn)：將一片羽毛和一個(gè)鐵錘從同一高度由靜止同時(shí)釋放，二者幾乎同時(shí)落地．若羽毛和鐵錘是從高度為h處下落，經(jīng)時(shí)間t落到月球表面．已知引力常量為G，月球的半徑為R.求：(不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響)
(1)月球表面的自由落體加速度大小g月；
(2)月球的質(zhì)量M；
(3)月球的平均密度ρ.
【答案】(1)eq \f(2h,t2) (2)eq \f(2hR2,Gt2) (3)eq \f(3h,2πRGt2)
【解析】
(1)月球表面附近的物體做自由落體運(yùn)動(dòng)，
則h＝eq \f(1,2)g月t2，解得g月＝eq \f(2h,t2).
(2)因不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，則有Geq \f(Mm,R2)＝mg月，月球的質(zhì)量M＝eq \f(g月R2,G)＝eq \f(2hR2,Gt2).
(3)月球的平均密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(\f(2hR2,Gt2),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3h,2πRGt2).
12.在“勇氣號(hào)”火星探測器著陸的最后階段，著陸器降落到火星表面后，需經(jīng)過多次彈跳才能停下來。假設(shè)著陸器第一次落到火星表面被彈起后，到達(dá)最高點(diǎn)的高度為h，此時(shí)它的速度方向是水平的，速度大小為v0。已知火星的一個(gè)衛(wèi)星的圓軌道的半徑為r，周期為T。火星可視為半徑為R的均勻球體，不計(jì)火星表面的大氣阻力。求：
(1)火星表面的重力加速度g；
(2)著陸器第二次落到火星表面時(shí)速度v的大小。
【答案】(1)eq \f(4π2r3,T2R2) (2) eq \r(v02＋\f(8π2r3h,T2R2))
【解析】
(1)在火星表面有Geq \f(Mm,R2)＝mg，
對(duì)該衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力定律有Geq \f(Mm′,r2)＝m′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r，
聯(lián)立解得火星表面的重力加速度g＝eq \f(4π2r3,T2R2)。
(2)著陸器第二次落到火星表面時(shí)，有
vy2＝2gh，v＝eq \r(v02＋vy2)，
聯(lián)立解得v＝ eq \r(v02＋\f(8π2r3h,T2R2))。
考點(diǎn)四 環(huán)繞模型之衛(wèi)星的參量比較
1.行星繞恒星或衛(wèi)星繞中心天體的勻速圓周運(yùn)動(dòng)稱之為環(huán)繞模型
2.環(huán)繞模型的動(dòng)力學(xué)特征：

因?yàn)槿f有引力提供向心力，所以所有地球衛(wèi)星軌道的圓心一定是地球的球心.
衛(wèi)星的正常運(yùn)行滿足“高軌低速大周期”的特點(diǎn).
Geq \f(Mm,r2)＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(ma→a＝\f(GM,r2),m\f(v2,r)→v＝ \r(\f(GM,r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝ \r(\f(4π2r3,GM))))高軌低速大周期
5.萬有引力公式中的r是m和M間的距離，向心力中的r是軌道半徑，在環(huán)繞模型中兩者相等，衛(wèi)星的高度是衛(wèi)星到中心天體表面的距離，不要把衛(wèi)星的軌道半徑算成是其離地的高度，而是要加上中心天體的半徑.
6.三種衛(wèi)星
1)近地衛(wèi)星: 在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)其運(yùn)行的軌道半徑可近似認(rèn)為等于地球的半徑，其運(yùn)行線速度約為7.9 km/s
2)地球同步衛(wèi)星
軌道平面一定：軌道平面和赤道平面重合。
周期一定：與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即T＝24 h＝86400 s。
角速度一定：與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同。
高度一定：據(jù)Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r得r＝eq \r(3,\f(GMT2,4π2))＝4.23×104 km，衛(wèi)星離地面高度h＝r－R≈6R(為恒量)。
繞行方向一定：與地球自轉(zhuǎn)的方向一致。
3)極地衛(wèi)星:運(yùn)行時(shí)每圈都經(jīng)過南北兩極，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實(shí)現(xiàn)全球覆蓋。
7.同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星、一般衛(wèi)星及赤道上的物體的運(yùn)動(dòng)比較：注意兩兩把握聯(lián)系點(diǎn)——同步衛(wèi)星與赤道上的物體角速度相等；同步衛(wèi)星與近地衛(wèi)星同屬衛(wèi)星模型；近地衛(wèi)星與赤道上的物體的軌道半徑相等；比較赤道上的物體與一般衛(wèi)星的速度加速度關(guān)系，需要將同步衛(wèi)星補(bǔ)充進(jìn)來作為一個(gè)比較的橋梁；赤道上的物體的運(yùn)動(dòng)不能用萬有引力提供向心力來分析.
13.(多選)如圖所示，a、b、c是地球大氣層外圈圓形軌道上運(yùn)動(dòng)的三顆衛(wèi)星，a和b的質(zhì)量相等，且小于c的質(zhì)量，則( )
A．b所需向心力最小
B．b、c的周期相同且大于a的周期
C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D．b、c的線速度大小相等，且小于a的線速度
【答案】ABD
【解析】
因衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的向心力是由它們所受的萬有引力提供的，即Fn＝eq \f(GMm,r2)，則b所需向心力最小，A對(duì)；由eq \f(GMm,r2)＝mr(eq \f(2π,T))2得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，即r越大，T越大，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B對(duì)；由eq \f(GMm,r2)＝man，得an＝eq \f(GM,r2)，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C錯(cuò)；由eq \f(GMm,r2)＝eq \f(mv2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r))，所以b、c的線速度大小相等且小于a的線速度，D對(duì)．
14.如圖所示，a、b是兩顆繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造地球衛(wèi)星，它們距地面的高度分別是R和2R(R為地球半徑)．下列說法中正確的是( )
A．a(chǎn)、b的線速度大小之比是eq \r(2)∶1 B．a(chǎn)、b的周期之比是1∶2eq \r(2)
C．a(chǎn)、b的角速度大小之比是3eq \r(6)∶4 D．a(chǎn)、b的向心加速度大小之比是9∶2
【答案】C
【解析】
兩衛(wèi)星均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有F萬＝F向．
由eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)得eq \f(v1,v2)＝eq \r(\f(r2,r1))＝eq \r(\f(3R,2R))＝eq \r(\f(3,2))，故A錯(cuò)誤；
由eq \f(GMm,r2)＝mreq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2得eq \f(T1,T2)＝eq \r(\f(r13,r23))＝eq \f(2,3)eq \r(\f(2,3))，故B錯(cuò)誤；
由eq \f(GMm,r2)＝mrω2得eq \f(ω1,ω2)＝eq \r(\f(r23,r13))＝eq \f(3\r(6),4)，故C正確；
由eq \f(GMm,r2)＝man得eq \f(an1,an2)＝eq \f(r22,r12)＝eq \f(9,4)，故D錯(cuò)誤．
15.如圖所示，有關(guān)人造地球衛(wèi)星軌道的正確說法有( )
A．a(chǎn)、b、c均可能是衛(wèi)星軌道 B．衛(wèi)星軌道只可能是a
C．a(chǎn)、b均可能是衛(wèi)星軌道 D．b可能是同步衛(wèi)星的軌道
【答案】C
【解析】
人造地球衛(wèi)星圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心是地球的地心，所以凡是人造地球衛(wèi)星，軌道面必定經(jīng)過地球中心，所以a、b均可能是衛(wèi)星軌道，c不可能是衛(wèi)星軌道，故A、B錯(cuò)誤，C正確；同步衛(wèi)星的軌道必定在赤道平面內(nèi)，所以b不可能是同步衛(wèi)星的軌道，故D錯(cuò)誤．
16. （2019·全國Ⅲ卷 ）金星、地球和火星繞太陽的公轉(zhuǎn)均可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們的向心加速度大小分別為a金、a地、a火，它們沿軌道運(yùn)行的速率分別為v金、v地、v火．已知它們的軌道半徑R金a火B(yǎng). a火>a地>a金
C. v地>v火>v金D. v火>v地>v金
【答案】A
【解析】
AB．由萬有引力提供向心力可知軌道半徑越小,向心加速度越大,故知A項(xiàng)正確，B錯(cuò)誤；
CD．由得可知軌道半徑越小,運(yùn)行速率越大,故C、D都錯(cuò)誤．
17．由于某種原因，人造地球衛(wèi)星的軌道半徑減小了，那么衛(wèi)星的( )
A．速率變大，周期變小 B．速率變小，周期不變
C．速率變大，周期變大 D．速率變小，周期變小
【答案】A
【解析】
根據(jù)Geq \f(mM,r2)＝meq \f(v2,r)可得v＝eq \r(\f(GM,r))，故半徑減小，速率增大；根據(jù)Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r可得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，故半徑減小，周期減小，A正確．
18.國務(wù)院批復(fù)，自2016年起將4月24日設(shè)立為“中國航天日”。1970年4月24日我國首次成功發(fā)射的人造衛(wèi)星東方紅一號(hào)，目前仍然在橢圓軌道上運(yùn)行，其軌道近地點(diǎn)高度約為440km，遠(yuǎn)地點(diǎn)高度約為2060km；1984年4月8日成功發(fā)射的東方紅二號(hào)衛(wèi)星運(yùn)行在赤道上空35786km的地球同步軌道上。設(shè)東方紅一號(hào)在遠(yuǎn)地點(diǎn)的加速度為a1，東方紅二號(hào)的加速度為a2，固定在地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的加速度為a3，則a1、a2、a3的大小關(guān)系為( )
A．a(chǎn)2>a1>a3 B．a(chǎn)3>a2>a1 C．a(chǎn)3>a1>a2 D．a(chǎn)1>a2>a3
【答案】D
【解析】
東方紅二號(hào)衛(wèi)星是同步衛(wèi)星，其角速度和赤道上的物體角速度相等，由
及可得；由及r1

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高考物理一輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)逐個(gè)突破專題31隨地轉(zhuǎn)動(dòng)模型、萬有引力與拋體運(yùn)動(dòng)、衛(wèi)星參量的比較(原卷版+解析)：

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專題43動(dòng)量守恒之四大模型-高三物理一輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)逐個(gè)突破：

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