命題：新高考試題研究中心
考試時間：2024年1月27日下午15：00-17：00
試卷滿分：150分
注意事項：
1.答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
3.非選擇題的作答；用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）
1..拋物線的焦點坐標為（ ）
A.B.C.D.
2.若等比數(shù)列的第2項和第6項分別為3和12，則的第4項為（ ）
A.4B.-6C.6D.
3.兩條平行直線與間的距離為（ ）
A.B.1C.D.
4.假設，且A與B相互獨立，則（ ）
A.0.3B.0.4C.0.7
5.已知空間向量，則B點到直線的距離為（ ）
A.B.C.D.
6.過：內一點的2023條弦恰好可以構成一個公差為d（）的等差數(shù)列，則公差d的最大值為（ ）
A.B.C.D.
7.已知橢圓C：，過右焦點F作直線與橢圓C交于A、B兩點，以為直徑畫圓，則該圓與直線的位置關系為（ ）
A.相交B.相切C.相離D.不確定
8.如圖，在空間直角坐標系中，正四棱柱的底面邊長為4，高為2，O為上底面中心，E，F(xiàn)，G分別為棱、、的中點.若平面與平面的交線為l，則l的方向向量可以是（ ）
A.B.C.D.
二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有錯選或不選得0分）
9.若數(shù)列的前n項和為，則下列命題正確的是（ ）
A.數(shù)列為等差數(shù)列B.數(shù)列為單調遞增數(shù)列
C.數(shù)列為單調遞增數(shù)列D.數(shù)列為等差數(shù)列
10.已知點和：，過P點的兩條直線分別與相切于A，B兩點.則以下命題正確的是（ ）
A.
B.
C.P、A、Q、B均在圓上
D.A，B所在直線方程為
11.在棱長為2的正方體中，點P滿足，、，則（ ）
A.當時，點P到平面的距離為
B.當時，點P到平面的距離為
C.當時，存在點P，使得
D.當時，存在點P，使得平面
12.已知雙曲線C：，（），的左、右焦點分別為，，雙曲線C上兩點A，B關于坐標原點對稱，點P為雙曲線Ｃ右支上一動點，記直線，的斜率分別為，，若，則下列說法正確的是（ ）
A.
B.若，則的面積為
C.若，則的內切圓半徑為
D.以為直徑的圓與圈相切
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13.甲、乙兩人下棋，已知甲獲勝的概率為0.39，乙獲勝的概率為0.51，則甲不輸?shù)母怕蕿開_________.
14.已知（a，）是直線l的方向向量，是平面的法向量，如果，則__________.
15.已知：，直線l：.若上恰有兩個點到直線l的距離等于1，則b的取值范圍為__________.
16.在平面直角坐標系中，P為橢圓C：上的動點，Q為直線l：上的動點，且.則的最小值為__________.
四、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17.（本小題10分）
遞增等比數(shù)列中，，
（1）求
（2）若，求數(shù)列的前n項的和.
18.（本小題12分）
已知過、兩點，且圓心M在直線上.
（1）求的標準方程
（2）若直線l：與圓交于E，F(xiàn)兩點，且（O為坐標原點），求直線l的方程.
19.（本小題12分）
甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為p（），乙每輪猜對的概率為.在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結果也互不影響.
（1）當時，求“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率.
（2）若“星隊”在兩輪活動中猜對2個成語的概率為，求p的值.
20.（本小題12分）
在四棱錐中，底面是正方形，若，，.
（1）求證：平面平面
（2）求平面與平面夾角的余弦值
21.（本小題12分）
在如圖三角形數(shù)陣中，第n行有n個數(shù)，表示第i行第j個數(shù)，例如，表示第4行第3個數(shù).該數(shù)陣中每一行的第一個數(shù)從上到下構成以m為公差的等差數(shù)列，從第三行起每一行的數(shù)從左到右構成以m為公比的等比數(shù)列（其中），已知，，.
（1）求m及；
（2）記，求.
22.（本小題12分）
動點G到點的距離比到直線的距離小2，
（1）求G的軌跡的方程；
（2）設動點G的軌跡為曲線C，過點F作斜率為，的兩條直線分別交C于M，N兩點和P，Q兩點，其中.設線段和的中點分別為A，B，過點F作，垂足為D，試問：是否存在定點T，使得線段的長度為定值.若存在，求出點T的坐標及定值；若不存在，說明理由.
2023-2024學年度上學期高二年級期末考試
高二數(shù)學答案
一、單選題
二、多選題
三、填空題
14.3915.16.
三、填空題
17.解：（1）在遞增等比數(shù)列中，
解得，設公比為q則，又因為，所以，
所以5分
（2）由題，則且7分
所以數(shù)列是等比數(shù)列8分
故10分
18.解（1）設的方程為.1分
因為.過、兩點，且圓心M在直線上.
所以 解得：，，
所以的標準方程為：5分
（2）設，6分
聯(lián)立立得7分
由題意得：，即，
由根與系數(shù)關系得：，8分
所以
解得10分
又因為滿足，11分
故所求直線l的方程為12分
19.解：（1）設，分別表示甲兩輪猜對1個，2個成語的事件，，分別表示乙兩輪猜對1個，2個成語的事件.根據(jù)獨立性假定，得
，.2分
，.
設“兩輪活動‘星隊’猜對3個成語”，
則，且與互斥，與，與B分別相互獨立，3分
所以
5分
因此，“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率是6分
（2）由（1）知甲兩輪猜對0個，1個，2個成語的概率分別為
，，7分
乙兩輪猜對0個，1個，2個成語的概率分別為
，，8分
因為甲和乙猜對與否互不影響，各輪結果也互不影響
所以“星隊”在兩輪活動中猜對2個成語的概率為
10分
整理得又因為所以12分
20.解：（Ⅰ）證明：中，，，，
所以，所以；2分
又，，
平面，平面，所以平面；4分
又平面，所以平面平面．5分
（Ⅱ）解：取的中點O，在平面內作，
以為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：
則，，，，，，6分
設平面的一個法向量為，
由，，
得，即，
令，得，，所以8分
設平面的一個法向量為，
由，，
得，即
令，得，，所以；10分
所以，11分
所以平面與平面夾角的余弦值為.12分
21.解：（1）由題意，可知，
，
，2分
∵，∴，
化簡整理，得，解得（舍去），或，3分
∴，
∴，5分
（2）由（1），可得，
當時，，（*）6分
又∵，，
∴，均滿足（*）式，∴，，7分
∴，
，
，9分
兩式相減，可得11分
∴12分
22.解：（1）因為動點G到點的距離比到直線的距離小2，
所以點G到點的距離和它到直線的距離相等，
所以點G的軌跡是以為焦點，以直線為準線的拋物線．2分
設拋物線方程為（），由，得．所以G的軌跡的方程為．3分
（2）由題意，設直線的方程為，直線的方程為
，其中，且，
由消去y并整理得
該方程的判別式.設，，
則，，5分
所以，同理，
的斜率，6分
直線的方程為
直線的方程為8分
所以直線過定點．9分
又，所以點D在以為直徑的圓上．11分
故存在定點，使得線段的長度為定值2．12分
1
2
3
4
5
6
7
8
B
C
D
D
A
B
C
A
9
10
11
12
BC
ACD
BD
ACD

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