一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由集合，，
則.
故選：A.
2. 設(shè)命題p：，，則p的否定為（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】根據(jù)存在量詞命題的否定，命題p：，的否定為：，.
故選：D.
3. 下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的一組是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】對于A中，函數(shù)的定義域為，的定義域為，
兩個函數(shù)的定義域不同，所以不是同一函數(shù)，故A錯誤；
對于B中，函數(shù)的定義域為，的定義域為，
兩個函數(shù)的定義域不同，所以不是同一函數(shù)，故B錯誤；
對于C中，函數(shù)的定義域為，的定義域為，
且，所以是同一函數(shù)，故C正確；
對于D中，函數(shù)的定義域為1,+∞，的定義域為，
兩個函數(shù)的定義域不同，所以不是同一函數(shù)，故D錯誤.
故選：C.
4. 若不等式對一切實數(shù)都成立，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】當(dāng)時，恒成立，即有，符合題意；
當(dāng)時，，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故選：D.
5. 《墨經(jīng)》上說：“小故，有之不必然，無之必不然．體也，若有端．大故，有之必然，若見之成見也．”其中“無之必不然”表述的邏輯關(guān)系一定是（ ）
A. 充分條件B. 必要條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】由“小故，有之不必然，無之必不然”，
知“小故”只是構(gòu)成某一結(jié)果的幾個條件中的一個或一部分條件，
故“小故”是邏輯中的必要不充分條件，
所以“無之必不然”所表述的數(shù)學(xué)關(guān)系一定是必要條件.
故選：B.
6. （ ）
A. 4B. 2C. D.
【答案】C
【解析】由，，
則.
故選：C.
7. 已知，則的最小值為（ ）
A. 5B. C. D. 9
【答案】C
【解析】由，
則，
又，
結(jié)合，知，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
因此可得最小值為.
故選：C.
8. 已知奇函數(shù)的定義域為，且在上單調(diào)遞增．若存在，使得，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由函數(shù)為上的奇函數(shù)，
則，
又在上單調(diào)遞增， 則在R上單調(diào)遞增，
則，
則，使得，，使得，
即，在有解，
則，，
令，則，
又，則，，
即，則.
故選：B.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部地對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 設(shè)，則下列命題正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】AC
【解析】對于A，若，則不等式兩邊同時乘以，由，則，
故A正確；
對于B，若，則不等式兩邊同時乘以，由，則，故B錯誤；
對于C，若，則a>b≥0，利用不等式的可乘方性，則，故C正確；
對于D，若，，則，，則，故D錯誤.
故選：AC.
10. 已知為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則下列說法正確的有（ ）
A.
B. 的圖象關(guān)于直線對稱
C. 函數(shù)恰有3個零點
D. 若關(guān)于x的方程有2個解，則或
【答案】ACD
【解析】因為為偶函數(shù)，且當(dāng)時，，
且，畫出函數(shù)的圖象如圖所示，
對于A，，故A正確；
對于B，如圖，的圖象不關(guān)于直線對稱，故B錯誤；
對于C，令，即，
由函數(shù)圖象可知，函數(shù)y=fx與有3個交點，
則函數(shù)恰有3個零點，故C正確；
對于D，若方程有2個解，則函數(shù)y=fx與有2個交點，
由函數(shù)圖象可知，或，故D正確.
故選：ACD.
11. 對于集合，我們把集合且叫做集合的差集，記作．已知集合，，則下列說法正確的有（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 存在，使得
【答案】BC
【解析】由，解得，
則，
當(dāng)時，，
又，則，，故A錯誤，B正確；
對于C，由定義知，又，則，
即，因此可得，
則，解得，故C正確；
對于D，由，，
又，則，可得，
則，無解，因此不存在這樣的，使得，故D錯誤.
故選：BC.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 若或，則實數(shù)的取值范圍為______．
【答案】
【解析】由或，
則m4，解得.
13. 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為，深為．如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，則建造這個水池的最低總造價是_________元．
【答案】297600
【解析】設(shè)池底的長為x，寬為y，則，
因水池?zé)o蓋，則建造池體需要建造池壁有4個面，池底一個面，
建造這個水池的總造價是
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
14. 已知函數(shù)，則的圖象關(guān)于______對稱；若，則______．
【答案】軸
【解析】由的定義域為，關(guān)于對稱，
又，則為偶函數(shù)，因此關(guān)于軸對稱，
又，即，
則，
又，可得，則，
又為偶函數(shù)，則，則，
因此.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明．證明過程或演算步驟．
15. 已知集合，函數(shù)的定義域為集合．
（1）求；
（2）求和．
解：（1）由函數(shù)，
則，
解得，則函數(shù)的定義域為，
即.
（2）由，
解得，即，
由（1）知，則，
又，則.
16. 已知，．
（1）求的值；
（2）用m，n表示．
解：（1）因為，所以，
又，所以，
所以.
（2）因為，，
所以.
17. 記函數(shù)的兩個零點為，．
（1）若，，求m的取值范圍；
（2）若，求的最值．
解：（1）由題意，得，解得，
所以m的取值范圍為.
（2）由韋達(dá)定理得，，且，即或，
則，且恒成立，
所以，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，
令，，
則，，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，所以，
則的最小值為4，最大值為5.
18. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，解關(guān)于的不等式；
（2）討論單調(diào)性；
（3）若為奇函數(shù)，且，試探究正數(shù)a，b，c大小關(guān)系．
解：（1）當(dāng)時，
，
所以當(dāng)時，不等式的解集為.
（2），
情形一：當(dāng)，即時，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
情形二：當(dāng)，即時，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，
在上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間；
情形三：當(dāng)，即時，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（3）若為奇函數(shù)，首先，即，
其次恒成立，
即恒成立或者恒成立，
而不可能恒成立，從而只可能恒成立，
所以，
所以，顯然的定義域是全體實數(shù)，它關(guān)于原點對稱，
且，
所以是奇函數(shù)，且當(dāng)時，單調(diào)遞增，
所以在整個定義域上單調(diào)遞增，
若正數(shù)a，b，c滿足，
則當(dāng)且僅當(dāng)，
而，
同理可證，，所以.
19. 若非空實數(shù)集中存在最大元素和最小元素，則記，．
（1）已知，求和；
（2）已知，小明同學(xué)認(rèn)為“”是“對任意，都有”的充要條件．你認(rèn)為小明同學(xué)的判斷是否正確？請說明理由；
（3）已知，為正整數(shù)，，若，求證：為奇數(shù)．
解：（1）此時，，故，.
（2）不正確，因為當(dāng)，時，有，故，
但f12=0>-14=g12.
所以“”不能推出“對任意，都有”.
（3）由定義知，故.
若，則，故.
此時，故，
所以為奇數(shù)；
若，則ΦD=t-s4>0，故的最大元素和最小元素同號，從而.
而，故，又因為，所以或.
而為正整數(shù)，所以，故，
這就得到.
假設(shè)是偶數(shù)，則是奇數(shù). 由于是偶數(shù)，
所以和中必有一個偶數(shù)，再由是奇數(shù)，知是偶數(shù).
設(shè)，則，，
故.
由于，，故，即.
所以，得.
若，則，得，故為奇數(shù)，矛盾；
若，則顯然為奇數(shù)，矛盾.
這表明假設(shè)不成立，所以為奇數(shù).

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