一、選擇題
1．已知集合,集合,則的真子集個數(shù)為( )
A.3B.4C.7D.8
2．若復數(shù)z滿足（i是虛數(shù)單位）,則z等于( )
A.B.C.D.
3．《九章算術(shù)》中方田篇有如下問題:“今有田廣十五步,從十六步.問田為幾何?答曰:一畝.”其意思:“現(xiàn)有一塊田,寬十五步,長十六步.問這塊田的面積是多少?答:一畝.”如果百畝為一頃,今有田寬480步,長600步,則該田有( )
A.12頃B.13頃C.14頃D.16頃
4．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為( )
A.1B.C.D.
5．在1,2,3,4中任取2個不同的數(shù),作為a,b的值,使方程有2個不相等的實數(shù)根的概率為( )
A.B.C.D.
6．若點是拋物線的焦點,點A,B分別是拋物線C上位于第一,四象限的點,且軸,,則點B的坐標為( )
A.B.C.D.
7．已知,,,則( )
A.B.C.D.
8．已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,則函數(shù)的最大值為( )
A.1B.C.2D.
9．已知平面向量,滿足,,的夾角為,若,則的最小值為( )
A.B.C.D.
10．如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,圖中畫出的是某四棱錐的三視圖,則該四棱錐中最長的棱長為( )
A.4B.C.D.6
11．已知雙曲線的漸近線方程為,且焦距為10,過雙曲線C中心的直線與雙曲線C交于兩點,在雙曲線C上取一點(異于M,N),直線PM,PN的斜率分別為,,則等于( )
A.B.C.D.
12．已知直線與圓相切,若函數(shù),滿足,對于任意的恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為( )
A.B.C.D.
二、填空題
13．若實數(shù)x,y滿足約束條件,則的最小值為__________.
14．已知傾斜角為直線l與直線垂直,則___________.
15．已知四棱錐的頂點都在半徑為3的球面上,底面ABCD是正方形,且底面ABCD經(jīng)過球心O,E是AB的中點,底面ABCD,則該四棱錐的體積等于___________.
16．在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,,,則__________.
三、解答題
17．已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù),,.
（1）求數(shù)列的通項公式;
（2）若,數(shù)列的前n項和為,求.
18．某地區(qū)為了調(diào)查年齡區(qū)間在歲的居民的上網(wǎng)時間,從該地區(qū)抽取了名居民進行調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果按年齡分組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
（1）若用分層抽樣的方法進一步從被調(diào)查的名居民中抽取60人進行深度調(diào)研,則年齡在以及年齡在的居民分別有多少人?
（2）在中抽取4人,中抽取2人,若從這6人中再次隨機抽取2人調(diào)查瀏覽新聞的時間,求兩人年齡都在上的概率.
19．如圖,在直三棱柱中,,,D,E分別是和中點.
（1）求證:平面平面;
（2）求三棱錐的體積.
20．已知橢圓的離心率為,且過點.
（1）求橢圓C的方程;
（2）過點作直線l與橢圓C交于A,B兩點,且橢圓C的左,右焦點分別為,,,的面積分別為,,求的最大值.
21．已知函數(shù),.
（1）若,求函數(shù)的圖像在處的切線方程;
（2）若對任意的,恒成立,求a的取值范圍.
22．已知曲線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸,曲線的極坐標方程為.
（1）求曲線的極坐標方程;
（2）求曲線與曲線的交點的極坐標.
23．已知函數(shù),.
（1）當時,求不等式的解集;
（2）當時,若存在,使得成立,求的取值范圍.
參考答案
1．答案：A
解析：因為,所以的真子集個數(shù)為個.
故選:A
2．答案：C
解析：由得.
故選：C.
3．答案：A
解析：依題意可得該田有畝,
則該田有頃.
故選:A
4．答案：B
解析：由題意得,
當時,,,
所以在區(qū)間單調(diào)遞減,故函數(shù)最大值為,
故選:B
5．答案：D
解析：取為,,,,,,,,,,,共12種,
其中使有2個不等實根,即,的有8個,
所以.
故選:D.
6．答案：A
解析：由題意可知,
因為軸,所以,,
所以,解得,所以,
故選:A
7．答案：A
解析：,,
即.
故選:A
8．答案：C
解析：因為函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,所以,
即,解得,
所以,所以的最大值為2.
故選:C
9．答案：C
解析：因為,,的夾角為,
所以,
不妨設(shè),,,則,,
則,解得或,
設(shè),由得C在以B為圓心,1為半徑的圓上,
或
所以的最小值為.
故選:C
10．答案：D
解析：作出四棱錐的直觀圖如圖所示:
由三視圖可知底面BCDE是平行四邊形,,面ABE,
且,,,
所以最長的棱是,長為.
故選:D.
11．答案：B
解析：雙曲線C的兩條漸近線方程為,所以,
因為焦距為,所以,
又,所以,,故雙曲線的方程為.
設(shè)點,則根據(jù)對稱性可知,點,,,
所以,且,,兩式相減可得.
故選:B
12．答案：B
解析：由圓可得圓心,半徑為m,
直線與圓相切,則,,
因為,所以為奇函數(shù).
且在R上為單調(diào)遞增函數(shù),
對于任意的,有,即
所以,
,
令(當且僅當時取等號),可得,
所以.
故選:B
13．答案：
解析：平移直線,當經(jīng)過可行域內(nèi)的點A時,取得最小值,
聯(lián)立,解得,即,
則當,時,取得最小值為,
故答案為:
14．答案：5
解析：直線的斜率為,
因為傾斜角為的直線l與直線垂直,所以解得,
所以,則.
故答案為:.
15．答案：
解析：連接OP,OE,則,,因為底面ABCD,所以.
所以,,.
故答案為:
16．答案：
解析：,由正弦定理,得;
又,
由正弦定理,得,
將代入上式,化簡整理得,
兩邊同除以,得,
解得或(舍).
故答案為:.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q,
因為,,所以,即,
解得或(舍去),
所以.
（2）因為,
所以.
18．答案：（1）12人,6人
（2）
解析：（1）依題意,各組的比例為,
故抽取的60名居民中,
年齡在的人數(shù)為人,
年齡在的人數(shù)為人.
（2）記在中的4個人分別為,,,,
在中的2個人分別為,,
則從6人中抽取2人,所有的情況為:
,,,,,,,,,,,,,,共15種;
其中滿足條件的有,,,,,共有6種;
故所求概率為是:.
19．答案：（1）證明見解析
（2）12
解析：（1）連接,因為,,
所以.
因為E是的中點,所以.
因為,E是的中點,所以.
因為,且BE,平面,所以平面BED.
因為平面,所以平面平面.
（2）因為,平面BCE,平面BCE,所以平面BCE,
所以,
,
設(shè)G為BC的中點,
因為,所以,
由條件知,,所以,
所以,所以.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）由橢圓C的離心率為,且過點得
橢圓C的方程為
（2）當直線l的斜率不存在時,,則;
當直線l斜率存在且不等于零時,設(shè)直線,
聯(lián)立可得,
設(shè),,則,,
,,
顯然A,B在x軸兩側(cè),,異號,
所以
,
當且僅當,時,取等號.
所以的最大值為.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）當時,,
,
所以,,
所以函數(shù)圖像在處的切線方程為:,
即.
（2）,
則.
又令,
則,
所以在上單調(diào)遞增,且.
①當時,恒成立,
即函數(shù)在上單調(diào)遞增,
從而必須滿足,
解得,又,
所以.
②當時,則存在,
使且時,,
即,即單調(diào)遞減;
時,,
即,即單調(diào)遞增
所以,
又,
從而,解得.
由.
令,,
則,
所以在上單調(diào)遞減,
則,又,
故,
綜上可知,.
22．答案：（1）;
（2）和.
解析：（1）(t為參數(shù))化為普通方程為,
整理得,
把代入,
可得,
即的極坐標方程為;
（2）曲線的直角坐標方程為,
由,得或,
當交點坐標為時,化為極坐標為;
當交點坐標為時,化為極坐標為;
則與的交點的極坐標為和.
23．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）當時,
則由,得;由,得無解;
由,得.
所以不等式的解集為;
（2）當時,,則
若存在,使成立,則,,
所以a的取值范圍為.

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