一、選擇題
1．已知集合,,則( )
A.AB.BC.D.
2．已知復(fù)數(shù)z滿足,則( )
A.1B.C.2D.
3．已知函數(shù),則( )
A.0B.1C.2D.3
4．已知數(shù)列為等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為,,若,則( )
A.0B.2C.4D.8
5．已知,,,則這三個數(shù)的大小關(guān)系為( )
A.B.C.D.
6．已知,函數(shù)都滿足,又,則( )
A.3B.C.D.
7．已知角滿足,則( )
A.B.C.D.
8．下列選項(xiàng)正確的是( )
A.B.
C.的最小值為D.的最小值為
9．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱,其最小正周期為T,且,則( )
A.B.C.1D.
10．已知點(diǎn)O為所在平面內(nèi)一點(diǎn),在中,滿足,,則點(diǎn)O為該三角形的( )
A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心
11．已知正四棱柱中,,點(diǎn)M為的中點(diǎn),若P為動點(diǎn),且,則P點(diǎn)運(yùn)動軌跡與該幾何體表面相交的曲線長度為( )
A.B.C.D.
12．已知函數(shù),若恒成立,則實(shí)數(shù)a的最大值為( )
A.B.C.2eD.
二、填空題
13．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,且,則______.
14．某研究所收集,整理數(shù)據(jù)后得到如下列表:
由兩組數(shù)據(jù)可以得到線性回歸方程為,則______.
15．已知橢圓的左,右焦點(diǎn)分別為,,P為橢圓C在第一象限內(nèi)的一點(diǎn),,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為______.
16．記的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,,若外接圓面積為,則面積的最大值為______.
三、解答題
17．已知首項(xiàng)為1的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且滿足,.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（2）若,記為的前n項(xiàng)和,求.
18．我國某醫(yī)藥研究所在針對某種世界疾病難題的解決方案中提到了中醫(yī)療法,為證實(shí)此方法的效用,該研究所購進(jìn)若干副某種中草藥,現(xiàn)按照每副該中草藥的重量大小(單位:克)分為4組:,,,,并繪制頻率分布直方圖如下所示:
（1）估計(jì)每副該中草藥的平均重量(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
（2）現(xiàn)從每副重量在,內(nèi)的中草藥中按照分層抽樣的方式一共抽取6副該中草藥,再從這6副中草藥中隨機(jī)取出2副進(jìn)行分析,求取出的2副中僅有1副重量在中的概率.
19．如圖,在四棱錐中,底面四邊形ABCD為矩形,,平面ABCD,H為DC的中點(diǎn).
（1）求證:平面平面POC;
（2）求三棱錐體積的最大值.
20．已知拋物線的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)E在C上,以點(diǎn)E為圓心,為半徑的圓的最小面積為.
（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
（2）過點(diǎn)F的直線與C交于M,N兩點(diǎn),過點(diǎn)M,N分別作C的切線,,兩切線交于點(diǎn)P,求點(diǎn)P的軌跡方程.
21．已知函數(shù).
（1）求曲線在處的切線在x軸上的截距;
（2）當(dāng)時,證明:函數(shù)在上有兩個不同的零點(diǎn),,且當(dāng)時,.
22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l過點(diǎn),且傾斜角為,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C的參數(shù)方程是為(參數(shù)).
（1）求曲線C的普通方程和直線l的參數(shù)方程;
（2）已知曲線C與直線l相交于A,B兩點(diǎn),則的值.
23．已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的最小值;
（2）設(shè),,若的最小值為m,且,求的最大值.
參考答案
1．答案：A
解析：根據(jù)題意得,,則,所以.故選A.
2．答案：B
解析：根據(jù)題意,設(shè),所以,所以,所以或,所以復(fù)數(shù)或,所以.故選B.
3．答案：B
解析：根據(jù)題意,,,故.故選B.
4．答案：C
解析：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列,故,故,則.故選C.
5．答案：B
解析：根據(jù)題意,,,,比較可得.故選B.
6．答案：D
解析：根據(jù)題意,,則,,故,所以函數(shù)的周期為6,所以.故選D.
7．答案：D
解析：由得,,即,解得,可得,或,,所以,故選D.
8．答案：D
解析：根據(jù)題意,當(dāng)與為負(fù)數(shù)時,
根據(jù)不等式可得,選項(xiàng)A不正確;因?yàn)閤不一定為正數(shù),由A可知,選項(xiàng)B不正確;令,所以的最小值為3,選項(xiàng)C不正確;,因?yàn)?所以,選項(xiàng)D正確.故選D.
9．答案：D
解析：根據(jù)題意,,因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)中心對稱,分析可得,則,所以,則,,解得,又因?yàn)樽钚≌芷跒門,且,所以,則,所以的值為.故選D.
10．答案：B
解析：根據(jù)題意,,即,所以,可得向量在向量上的投影為的一半,可分析出點(diǎn)O在邊AB的中垂線上,同理可得,點(diǎn)O在邊AC的中垂線上,所以點(diǎn)O為該三角形的外心.故選B.
11．答案：A
解析：根據(jù)題意,分析可知點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡與幾何體表面所交部分可看成2個半徑為1的圓和2個半徑為1的半圓,長度為.故選A.
12．答案：C
解析：當(dāng)與直線相切時,設(shè)切點(diǎn)為,又,所以該切線方程為,易知切線過點(diǎn),代入切線方程可得或.易得,當(dāng)時,;當(dāng)時,,結(jié)合圖象可得實(shí)數(shù)a的最大值為2e.故選C.
13．答案：
解析：根據(jù)題意,,則,故,故.
14．答案：0.4
解析：根據(jù)題意可得,,,又,所以.
15．答案：2
解析：由題知,設(shè),,則,由余弦定理得,即,所以,又,所以,所以,所以,所以,代入,得,又點(diǎn)P位于第一象限,所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2.
16．答案：
解析：由已知及正弦定理得,所以,
所以,又,所以.由的外接圓面積為,得外接圓的半徑為1.由正弦定理得,所以,所以,解得,所以的面積,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
17．答案：（1）見解析
（2）見解析
解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d,
由①,
得②,
得①②得,,
則,
所以,
所以數(shù)列.
（2）根據(jù)題意得,
所以.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）根據(jù)題意可得(克),
所以每副該中草藥的平均重量約為32克.
（2）根據(jù)題意可得,按照分層抽樣的方式,取出的6副該中草藥中重量在中的有4副,重量在中的有2副,
記重量在中的4副中草藥為,,,,重量在中的2副中草藥為,,從中抽取2副,所有可能的結(jié)果有,,,,,,,,,,,,,,,共15種,
其中僅有1副重量在中的有,,,,,,,,共8種,
所以所求概率為.
19．答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）證明:,H為DC中點(diǎn),
,
平面ABCD,平面ABCD,
,
,平面POC,平面POC,
平面POC,
又平面DPO,
平面平面POC.
（2）由（1）可知,點(diǎn)O在以CD為直徑的圓上,
當(dāng)時,的面積最大,
又,
三棱錐體積的最大值為.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）設(shè)點(diǎn),,則,
因?yàn)橐訣為圓心,以為半徑的圓的最小面積為,
所以,
所以,解得,
所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè),,
易得,由題意知直線MN的斜率一定存在,則設(shè)直線MN的方程為,
聯(lián)立得,
,所以,.
由,得,則切線的斜率為,則切線的方程為,
即①.
同理可得切線的方程為②.
①②得,
代入①得,,
所以點(diǎn)P的軌跡方程為.
21．答案：（1）
（2）見解析
解析：（1）,
又,所以,
則曲線在處的切線方程為,
令得,,
故切線在x軸上的截距為.
（2）證明:要證函數(shù)在上有兩個不同的零點(diǎn),,只需證方程在上有兩個不同的實(shí)數(shù)解,即證方程在上有兩個不同的實(shí)數(shù)解,
設(shè),則,
當(dāng)時,;當(dāng)時,,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
因?yàn)?,所以存在,使得;
又,,所以存在,使得,
故函數(shù)在上有兩個不同的零點(diǎn),.
由上易知,,,兩式相加得,
兩式相減得,,
則,
令,則,
所以,
設(shè),
則,
所以在上單調(diào)遞減,
則,
故當(dāng)時,.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）根據(jù)題意,由得
即,
,曲線C的普通方程為;
由直線l過點(diǎn),傾斜角為,
得直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).
（2）根據(jù)題意,聯(lián)立直線l的參數(shù)方程與曲線C的普通方程可得,,
化簡得,
可得,
則.
23．答案：（1）3
（2）
解析：（1）依題意得
當(dāng)時,可得函數(shù)取最小值3.
（2）由（1）可得,,
根據(jù)柯西不等式可得,
,,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,
的最大值為.
x
2
3
4
5
6
y
3
7
9
10
11

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