一、選擇題
1．已知集合,,則( )
A.B.C.D.
2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
3．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行,則該切線的方程為( )
A.B.
C.D.
4．我國(guó)傳統(tǒng)剪紙藝術(shù)歷史悠久,源遠(yuǎn)流長(zhǎng),最早可追溯到西漢時(shí)期．下圖是某一窗花的造型,在長(zhǎng)為3,寬為2的矩形中有大小相同的兩個(gè)圓,兩圓均與矩形的其中三邊相切,在此矩形內(nèi)任取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自兩圓公共（圖中陰影）部分的概率為( )
A.B.C.D.
5．古代名著《九章算術(shù)》中記載了求“方亭”體積的問題,方亭是指正四棱臺(tái),今有一個(gè)方亭型的水庫(kù),該水庫(kù)的下底面的邊長(zhǎng)為20km,上底面的邊長(zhǎng)為40km,若水庫(kù)的最大蓄水量為,則水庫(kù)深度（棱臺(tái)的高）為( )
A.10mB.20mC.30mD.40m
6．已知拋物線,過焦點(diǎn)F的直線與C在第四象限交于M點(diǎn),則( )
A.3B.4C.5D.6
7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的k的值為( )
A.14B.15C.16D.17
8．某部門統(tǒng)計(jì)了某地區(qū)今年前7個(gè)月在線外賣的規(guī)模如下表：
其中4、6兩個(gè)月的在線外賣規(guī)模數(shù)據(jù)模糊,但這7個(gè)月的平均值為23．若利用回歸直線方程來擬合預(yù)測(cè),且7月相應(yīng)于點(diǎn)的殘差為-0.6,則( )
A.1.0B.2.0C.3.0D.4.0
9．已知等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為30,且,則( )
A.B.C.D.
10．記函數(shù)的最小正周期為T,若,且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,則當(dāng)取得最小值時(shí),( )
A.2B.1C.-1D.-2
11．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F,過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn),與C交于P,Q兩點(diǎn),若P,F,Q四等分線段AB,則C的離心率為( )
A.B.C.D.
12．已知球O的半徑為2,四棱錐的頂點(diǎn)均在球O的球面上,當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí),其高為( )
A.B.2C.D.
二、填空題
13．已知向量,,若,則實(shí)數(shù)___________．
14．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,已知,,則___________．
15．寫出與圓和都相切的一條直線的方程___________．
三、雙空題
16．已知函數(shù)（a,且）是偶函數(shù),則_________,________
四、解答題
17．已知的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,．
（1）若,求的值;
（2）證明：為定值．
18．青少年近視問題備受社會(huì)各界廣泛關(guān)注,某研究機(jī)構(gòu)為了解學(xué)生對(duì)預(yù)防近視知識(shí)的掌握情況,對(duì)某校學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,并隨機(jī)抽取200份問卷,發(fā)現(xiàn)其得分（滿分：100分）都在區(qū)間中,并將數(shù)據(jù)分組,制成如下頻率分布表：
（1）估計(jì)這200份問卷得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）;
（2）用分層抽樣的方法從這200份問卷得分在,,內(nèi)的學(xué)生中抽取6人,再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行調(diào)查,求這3人來自不同組（3人中沒有2人在同一組）的概率.
19．如圖,在四棱錐中,底面ABCD,,,,,．
（1）證明：平面平面PBC;
（2）若,求三棱錐的體積．
20．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
（2）當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
21．已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,對(duì)稱軸分別為x軸、y軸,且過,兩點(diǎn)．
（1）求E的方程;
（2）設(shè)F為橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn),M,N為橢圓E上的兩動(dòng)點(diǎn),且滿足,當(dāng)M,O,N三點(diǎn)不共線時(shí),求△MON的面積的最大值．
22．在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線l的極坐標(biāo)方程為．
（1）求曲線C的普通方程;
（2）若l與C有兩個(gè)不同公共點(diǎn),求m的取值范圍．
23．已知函數(shù)．
（1）求不等式的解集;
（2）設(shè)函數(shù),若對(duì)任意,都存在,使得成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
參考答案
1．答案：B
解析：函數(shù)有意義,則,解得,即,
而,
所以.
故選：B.
2．答案：A
解析：依題意,,
所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.
故選：A.
3．答案：C
解析：函數(shù),求導(dǎo)得：,
依題意,,解得,
即有,,
所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為：,
即,符合題意.
故選：C.
4．答案：C
解析：如圖,矩形面積為,
因?yàn)閮蓤A半徑相等,結(jié)合兩圓的位置及圓的對(duì)稱性可得為等邊三角形,
陰影部分面積為,
所以,在此矩形內(nèi)任取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自兩圓公共（圖中陰影）部分的概率為
．
故選：C．
5．答案：A
解析：因?yàn)檎睦馀_(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為40km和20km,設(shè)高,
因?yàn)?,
由棱臺(tái)的體積計(jì)算公式可得：,
解得：,
故選：A.
6．答案：C
解析：因?yàn)橹本€過拋物線的焦點(diǎn)F,則,
所以,,拋物線方程為,因?yàn)镸在拋物線上且在第四象限,
設(shè)點(diǎn),則,解得：,
由拋物線的定義可知：,
故選：C.
7．答案：B
解析：第1次循環(huán),,;第2次循環(huán),,;
第3次循環(huán),,;第4次循環(huán),,;
第5次循環(huán),,;第6次循環(huán),,;
第7次循環(huán),,;第8次循環(huán),,;
第9次循環(huán),,;第10次循環(huán),,;
第11次循環(huán),,;第12次循環(huán),,;
第13次循環(huán),,;第14次循環(huán),,;
第15次循環(huán),,結(jié)束循環(huán),輸出,
所以輸出的k的值為15.
故選：B.
8．答案：B
解析：依題意,,而,于是得,
而當(dāng)時(shí),,即,聯(lián)立解得,
所以.
故選：B.
9．答案：C
解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q,依題意,,而,解得,
數(shù)列的前4項(xiàng)和為,即,解得,
所以.
故選：C.
10．答案：D
解析：由已知得,
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱,所以,
所以,所以,
又因?yàn)?所以,,
由的圖象關(guān)于對(duì)稱得,
所以,,即有,
又因?yàn)?所以當(dāng)最小時(shí),,此時(shí),
所以,
故選：D．
11．答案：A
解析：雙曲線的漸近線,
令半焦距為c,則,
因?yàn)橹本€AB與雙曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)P,Q在線段AB上,
則直線AB與雙曲線C的左支相交,
因?yàn)辄c(diǎn)P,F,Q四等分線段AB,則由雙曲線對(duì)稱性得,
直線AB垂直于x軸,直線AB的方程為,
不妨令點(diǎn)A在第二象限,由得點(diǎn),
顯然線段FA的中點(diǎn)在雙曲線C上,
則有,即,解得,
所以雙曲線C的離心率.
故選：A.
12．答案：D
解析：令球O的內(nèi)接四棱錐為,四邊形ABCD外接圓半徑為r,,對(duì)角線AC,BD的夾角為,
則四邊形ABCD的面積,
當(dāng)且僅當(dāng),即四邊形ABCD為正方形時(shí)取等號(hào),
由球的結(jié)構(gòu)特征知,頂點(diǎn)P為直線與球面O的交點(diǎn),
并且球心O在線段上,四棱錐的高最大,如圖,
,
高,
因此四棱錐的最大體積關(guān)系式為：,
令,
則,
求導(dǎo)得,
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,此時(shí),
所以當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí),其高為.
故選：D.
13．答案：
解析：向量,,則,而,
則有,解得,
所以實(shí)數(shù).
故答案為：.
14．答案：
解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d,依題意,,解得,,
所以.
故答案為：.
15．答案：（答案不唯一）
解析：圓的圓心,半徑,圓的圓心,半徑,
則,因此圓,相外切,它們有3條公切線,而軸,,
則兩圓的每條公切線斜率都存在,設(shè)公切線方程為,k,t為常數(shù),
于是得,整理得或,
解得,解得：或,
因此圓,的公切線方程為：或或,
所以與圓和都相切一條直線的方程可以為.
故答案為：.
16．答案：①.8②.
解析：因?yàn)楹瘮?shù)（a,且）是偶函數(shù),
則函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)恒有成立,
即,
整理得,
,顯然不恒為0,
因此恒成立,
而b為常數(shù),則必有為常數(shù),于是得,又,解得,,
此時(shí),其定義域?yàn)榍?
,即函數(shù)是偶函數(shù),所以,.
故答案為：8;
17．答案：（1）
（2）見解析
解析：（1）由,
,,即,
,所以,
所以,
又,,
,
,
,解得;
（2）由已知條件得,
,
,
,
,
,,
由余弦定理得,
由正弦定理得,
整理得 ,
即為定值．
18．答案：（1）74.5;
（2）.
解析：（1）由頻率分布表得：,
所以200份問卷得分的平均值約為：.
（2）由（1）知,問卷得分在,,內(nèi)的頻率分別為0.20,0.30,0.10,
因此抽取的6人中,得分在,,內(nèi)的人數(shù)分別為2人,3人,1人,
記得分在內(nèi)的2人為,得分在內(nèi)的3人為,,得分在內(nèi)的1人為,
從6人中任取3人的不同結(jié)果為：,,,,,
,,,,,,,
,,,,,共20個(gè),它們等可能,
抽取的3人來自不同組的事件A有：,,,,,共6個(gè),
所以3人來自不同組的概率.
19．答案：（1）證明見解析
（2）
（1）連接BD,因?yàn)?所以,
又因?yàn)?,所以,即,
又因?yàn)榈酌鍭BCD,底面ABCD,所以,
又因?yàn)镃D,平面PCD,,
所以平面PCD,又因?yàn)槠矫鍼BC,
所以平面平面PBC.
（2）在直角三角形ABD中,,
在直角三角形BCD中,,
所以
,
所以,
所以.
20．答案：（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;
（2）
解析：（1）由函數(shù)
可得,令,
則,令,得;令,得,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
則,所以在R上恒成立;
當(dāng)時(shí),則有;當(dāng)時(shí),則有,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;
（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí),恒成立,
即在上恒成立,
也即在上恒成立,
令,
則,
令,則,
令,得;令,得,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
則,所以,則在上單調(diào)遞增,
所以,故.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）設(shè)橢圓方程為,
因?yàn)闄E圓過點(diǎn),,
所以,
解得：,所以橢圓E的方程為：.
（2）不妨設(shè)F為橢圓的下焦點(diǎn),由(1)可知：點(diǎn),則,
因?yàn)?則,所以,
設(shè)直線MN的方程為：,,
聯(lián)立方程組,整理可得：,
則,即（*）,
由韋達(dá)定理可得：,,
由弦長(zhǎng)公式可得：,
點(diǎn)O到直線MN的距離,
所以,
所以當(dāng)時(shí),面積最大,最大為.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）由
可得,即,
因?yàn)?則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,
故曲線C的普通方程為.
（2）因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為,
所以,直線l的普通方程為,
聯(lián)立可得,
設(shè)直線l與曲線C交于點(diǎn)、,
由題意可得,解得.
因此,實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
23．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）依題意,函數(shù),
則不等式化為：或或,
解得或或,則,
所以不等式的解集為.
（2）由（1）知,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
因此函數(shù)值域?yàn)?
,,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),
因此函數(shù)的值域?yàn)?
因?yàn)閷?duì)任意,都存在,使得成立,則有,
即,解得,
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
月份代號(hào)x
1
2
3
4
5
6
7
在線外賣規(guī)模y（百萬元）
11
13
18
★
28
★
35
分?jǐn)?shù)
頻率
0.15
0.25
m
0.30
0.10

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