一、選擇題（1-8單選，9-12多選）
1. 等差數(shù)列中，，，則的通項(xiàng)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，從而求得.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
依題意，解得，
所以.
故選：A
2. 已知隨機(jī)變量，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的均值和方差公式求解即可得，再求解，根據(jù)對(duì)立事件的概率和為1求解即可
【詳解】因?yàn)?，故，故，因?yàn)?，解?故，故
故選：B
3. 在線性回歸方程中，為回歸系數(shù)，下列關(guān)于的說法中不正確的是（ ）
A. 為回歸直線的斜率
B. ，表示隨增加，值增加，，表示隨增加，值減少
C. 是唯一確定的值
D. 回歸系數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義是當(dāng)每增加（或減少）一個(gè)單位，平均改變個(gè)單位
【答案】C
【解析】
【分析】利用回歸直線方程的特點(diǎn)逐項(xiàng)判斷即得.
【詳解】對(duì)于A，線性回歸方程中的為回歸直線的斜率，A正確；
對(duì)于B，，表示隨增加，值增加，，表示隨增加，值減少，B正確；
對(duì)于C，是由總體的一個(gè)樣本利用一定的方法計(jì)算得到的，選擇不同的樣本
或不同的計(jì)算方法得到的一般是不同的，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，回歸系數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義是當(dāng)每增加（或減少）一個(gè)單位，平均改變個(gè)單位，D正確.
故選：C
4. 某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其廣告層面的投入為x（單位：百萬元），該企業(yè)產(chǎn)生的利潤(rùn)為y（單位：百萬元），經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下表格中的數(shù)據(jù)：經(jīng)計(jì)算廣告投入x與利潤(rùn)y滿足線性回歸方程：，則t的值為（ ）
A. 45B. 50C. 56.5D. 65
【答案】B
【解析】
【分析】計(jì)算，利用在回歸直線上，求出，然后根據(jù)數(shù)據(jù)求解即可.
【詳解】解：由題意可知：，且回歸直線上，所以代入可得，
即，解得：.
故選：B
5. 已知n∈N*，給出4個(gè)表達(dá)式：①an＝②an＝，③an＝，④an＝.其中能作為數(shù)列0,1,0,1,0,1,0,1，…通項(xiàng)公式的是
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④
【答案】A
【解析】
【分析】
直接代入檢驗(yàn)，用各個(gè)表達(dá)式去求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，比較即得．
【詳解】檢驗(yàn)知①②③都是所給數(shù)列的通項(xiàng)公式。
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，給出表達(dá)式是否是數(shù)列的通項(xiàng)公式，只要代入檢驗(yàn)即可．
6. 已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，可求出的通項(xiàng)公式，再由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式結(jié)合絕對(duì)值的定義即可得出答案.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，，，設(shè)的首項(xiàng)為，公差為，
所以，得，，所以，
所以時(shí)，；時(shí)，
所以，
，
故選：C．
7. 用模型擬合一組數(shù)，若，，設(shè)，得變換后的線性回歸方程為，則（ ）
A. 12B. C. D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】由已知，可根據(jù)，先計(jì)算出，然后把樣本中心點(diǎn)帶入線性回歸方程為中計(jì)算出，從而得到線性回歸方程，然后將方程化為指數(shù)形式，通過待定系數(shù)法分別對(duì)應(yīng)出、的值，即可完成求解.
【詳解】由已知，，所以，
，，所以
，
由題意，滿足線性回歸方程為，所以，所以，
此時(shí)線性回歸方程為，即，
可將此式子化為指數(shù)形式，即為，
因?yàn)槟Ｐ蜑槟Ｐ?，所以，?br>所以.
故選：B.
8. 已知數(shù)列滿足，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（ ）
A. B. C. (-1，1)D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題在恒成立，即 ，討論為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)，再利用數(shù)列單調(diào)性即可求出.
【詳解】數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，在 恒成立，
即恒成立，
即，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，則恒成立，
單調(diào)遞減， 時(shí)，取得最大值為 ，
，解得；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則恒成立，
單調(diào)遞增， 時(shí)，取得最小值為20，
，解得，
綜上，.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查已知數(shù)列單調(diào)性求參數(shù)，解題的關(guān)鍵由數(shù)列單調(diào)性得出恒成立，需要討論 為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)的情況，這也是容易出錯(cuò)的地方.
9. 為了對(duì)變量與的線性相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn)，由樣本點(diǎn)、、、求得兩個(gè)變量的樣本相關(guān)系數(shù)為，那么下面說法中錯(cuò)誤的有
A. 若所有樣本點(diǎn)都在直線上，則
B. 若所有樣本點(diǎn)都在直線上，則
C. 若越大，則變量與的線性相關(guān)性越強(qiáng)
D. 若越小，則變量與的線性相關(guān)性越強(qiáng)
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)與變量與的線性相關(guān)性之間的關(guān)系可判斷出各選項(xiàng)的正誤.
【詳解】若所有樣本點(diǎn)都在直線上，且直線斜率為負(fù)數(shù)，則，A、B選項(xiàng)均錯(cuò)誤；
若越大，則變量與的線性相關(guān)性越強(qiáng)，C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】本題考查相關(guān)系數(shù)與線性相關(guān)性之間關(guān)系的判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.
10. 已知無窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（ ）
A. 數(shù)列單調(diào)遞減B. 數(shù)列沒有最小項(xiàng)
C. 數(shù)列單調(diào)遞減D. 數(shù)列有最大項(xiàng)
【答案】ABD
【解析】
【分析】首先判斷數(shù)列的單調(diào)性，即可判斷A、B，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷C、D.
【詳解】解：數(shù)列的前項(xiàng)和為，，由于，故數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，
且數(shù)列為無窮等差數(shù)列，故數(shù)列沒有最小項(xiàng)，故A正確、B正確；
又，，二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸為，
故數(shù)列有最大項(xiàng)，沒有最小項(xiàng)，故D正確，
因?yàn)?，無法判斷與的大小，即的取值，故無法判斷數(shù)列的增減性，故C錯(cuò)誤．
故選：ABD．
11. 下列說法正確的是（ ）
A. 甲袋中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙袋中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球．先從甲袋中隨機(jī)取出1個(gè)球放入乙袋，再從乙袋中隨機(jī)取出1個(gè)球．設(shè)事件A表示由從甲袋中取出的球是紅球，事件B表示從乙袋中取出的球是紅球，則事件A與事件B相互獨(dú)立
B. 某班有50名學(xué)生，一次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布，已知，則該班學(xué)生此次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)?cè)?15分以上的有3人
C. 已知事件A與B相互獨(dú)立，當(dāng)時(shí)，若，則
D. 指數(shù)曲線兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)進(jìn)行線性變換后得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則函數(shù)的最小值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】A.根據(jù)是否等于，判斷A；
B.根據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱性，求，再求人數(shù)；
C.由條件可知，即可求解；
D.將指數(shù)曲線，兩邊取對(duì)數(shù)，得到回歸直線方程，可得，，求得后，再根據(jù)基本不等式求最小值.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，，，所以事件A與事件B不相互獨(dú)立，故A錯(cuò)誤．
對(duì)于B，因?yàn)閿?shù)學(xué)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線對(duì)稱，
因?yàn)椋裕?br>所以該班學(xué)生此次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)?cè)?15分以上的有（人），故B正確．
對(duì)于C，因?yàn)槭录嗀與B相互獨(dú)立，且，
則，即，由對(duì)立事件的概率公式得，故C正確．
對(duì)于D，將兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得，由于指數(shù)曲線進(jìn)行線性變換后得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則，，，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確．
故選:BCD．
12. 如圖，已知點(diǎn)P是橢圓上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，圓心在y軸上的動(dòng)圓T始終與射線，相切，切點(diǎn)分別為M，N，則下列判斷正確的是（ ）
A.
B.
C. 面積的最大值為
D. 當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為時(shí)，則直線PT的斜率是
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的定義及圓外一點(diǎn)切線長(zhǎng)性質(zhì)可判斷A，結(jié)合基本不等式可判斷B，利用橢圓焦點(diǎn)三角形的角度與面積關(guān)系可判斷C，根據(jù)角平分線定理可求解直線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求直線的斜率來判斷D.
【詳解】解：已知橢圓橢圓，則，所以左右焦點(diǎn)為，
對(duì)于A，如下圖，連接，
點(diǎn)P是橢圓上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，所以，又圓心在y軸上，所以，
動(dòng)圓T始終與射線，相切，切點(diǎn)分別為M，N，所以，且，所以，切線長(zhǎng)
所以由圖可得：，則，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
又P是橢圓上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，所以，故，由于，故，故B不正確；
對(duì)于C，取橢圓的上頂點(diǎn)為，連接，
由橢圓可知，，所以，故，
由于P是橢圓上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，所以，則，于是可得面積，
故面積沒有最大值，故C不正確；
對(duì)于D，連接，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，如下圖：
設(shè)，由題可得直線為的平分線，所以由角平分線定理可得：，即，整理得，
因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為時(shí)，，
所以，則，所以直線PT的斜率，故D正確.
故選：AD.
二、填空題
13. 已知橢圓的焦距等于2，則實(shí)數(shù)的值為________．
【答案】3或5
【解析】
【分析】討論焦點(diǎn)在軸和焦點(diǎn)在軸上兩種情況計(jì)算可得.
【詳解】若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則由已知得，得；
若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則由已知得，得．
綜上，知所求實(shí)數(shù)的值為3或5.
故答案為：3或5.
14. 若數(shù)列為，，，，…，則是這個(gè)數(shù)列的第________項(xiàng)．
【答案】26
【解析】
【分析】該數(shù)列的指數(shù)是等差數(shù)列，運(yùn)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出82對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)即可.
【詳解】易發(fā)現(xiàn)該數(shù)列指數(shù)呈現(xiàn)等差關(guān)系，
設(shè)數(shù)列7，10，13，16，…，為數(shù)列，
則數(shù)列是以7為首項(xiàng)3為公差的等差數(shù)列，
其通項(xiàng)公式為，令，解得；
故答案為：26.
15. 數(shù)列滿足，，則________．
【答案】3
【解析】
【分析】利用累加法即可得到答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，有，
因此有：，
即
，
當(dāng)時(shí)，適合上式，
所以，
故答案為：3.
16. 已知數(shù)列，都是等差數(shù)列，，分別是它們的前項(xiàng)和，并且，則________．
【答案】
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)和等差數(shù)列的求和公式即可得出結(jié)果.
【詳解】由等差數(shù)列基本性質(zhì)得
.
故答案為：.
三、解答題
17. 已知等差數(shù)列中，，．求的通項(xiàng)公式；
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到公差，從而求出通項(xiàng)公式.
【詳解】等差數(shù)列中，
，解得：，
，解得：，
故公差，
故通項(xiàng)公式.
18. 在等差數(shù)列中，，，其前項(xiàng)和為．
（1）求出時(shí)的最大值；
（2）求
【答案】18.
19.
【解析】
【分析】（1）求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，可再求出，解不等式即得；
（2）由確定哪些項(xiàng)小于0，哪些項(xiàng)大于0，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)分類可求和．
【小問1詳解】
設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
∵，∴，
∴，
∴，解得，
∴，
令，∴，因?yàn)?br>∴的最大值為．
【小問2詳解】
∵，，
∴，
由，得，
∵，，
∴數(shù)列中，前項(xiàng)小于，第項(xiàng)等于，以后各項(xiàng)均為正數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
綜上，．
19. 2022年重慶半程馬拉松將于11月13日在巴南舉行，為了了解廣大市民對(duì)于馬拉松運(yùn)動(dòng)是否喜愛?隨機(jī)抽取了400名市民作問卷調(diào)查，結(jié)果如下表：
在隨機(jī)抽取的400名市民中，抽到女性的概率是.
（1）完成列聯(lián)表并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為喜愛馬拉松項(xiàng)目與性別有關(guān)聯(lián)？
（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從接受問卷調(diào)查且喜愛馬拉松的居民中隨機(jī)抽取10人認(rèn)定為該比賽的志愿者，若從這10名志愿者中隨機(jī)抽取4人進(jìn)行初級(jí)裁判培訓(xùn)，求抽到的4人中至少有2名女士的概率.
附表及公式：
【答案】（1）列聯(lián)表見詳解，不能認(rèn)為喜愛馬拉松項(xiàng)目與性別有關(guān)
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意完成列聯(lián)表，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)代入公式求，并與臨界值對(duì)比分析；（2）先根據(jù)分層抽樣有求抽取的10人中男女生人數(shù)，在利用對(duì)立事件求所求事件的概率.
【小問1詳解】
∵
∴不能認(rèn)為喜愛馬拉松項(xiàng)目與性別有關(guān)
【小問2詳解】
隨機(jī)抽取10人中男生又人，女生
記“抽到的4人中至少有2名女士”為事件，則為“抽到的4人中最多有2名女士”
“抽到的4人中沒有女士”的概率為
“抽到的4人中恰有1名女士”的概率為
∴
故抽到的4人中至少有2名女士的概率為.
20. 隨著網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，網(wǎng)上購物越來越受到人們的喜愛，各大購物網(wǎng)站為增加收入，促銷策略越來越多樣化，促銷費(fèi)用也不斷增加，下表是某購物網(wǎng)站2018年1-8月促銷費(fèi)用（萬元）和產(chǎn)品銷量（萬件）的具體數(shù)據(jù)：
（1）根據(jù)數(shù)據(jù)繪制的散點(diǎn)圖能夠看出可用線性回歸模型與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明（系數(shù)精確到0.001）；
（2）建立關(guān)于的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.001）；如果該公司計(jì)劃在9月份實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品銷量超6萬件，預(yù)測(cè)至少需要投入費(fèi)用多少萬元（結(jié)果精確到0.01）．
參考數(shù)據(jù)：，，，，，其中，分別為第個(gè)月的促銷費(fèi)用和產(chǎn)品銷量，．
參考公式：（1）樣本相關(guān)系數(shù)；
（2）對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，．
【答案】（1）散點(diǎn)圖見解析，相關(guān)系數(shù)的值接近于1，說明變量與的線性相關(guān)性很強(qiáng)；（2），24.70萬元
【解析】
【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，從散點(diǎn)圖看出這些點(diǎn)是否大致分布在一條直線附近即可；計(jì)算，，求出相關(guān)系數(shù)，判斷兩變量線性相關(guān)性的強(qiáng)弱；
（2）計(jì)算求出回歸方程，利用方程求出對(duì)應(yīng)的取值范圍即可.
【詳解】解：（1）根據(jù)數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖如下，
從散點(diǎn)圖可以看出這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近，并且在逐步上升，
所以可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系；
計(jì)算，
，
∴相關(guān)系數(shù)，
由相關(guān)系數(shù)的值接近于1，說明變量與的線性相關(guān)性很強(qiáng)；
（2）計(jì)算，
，
∴關(guān)于的回歸方程為；
令，解得；
即實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品銷量超6萬件，預(yù)測(cè)至少需要投入促銷費(fèi)用24.70萬元．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相關(guān)系數(shù)的計(jì)算與應(yīng)用，回歸方程的求解與應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.
21. 無窮數(shù)列滿足：且．
（1）求證：為等差數(shù)列；
（2）若為數(shù)列中的最小項(xiàng)，求的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用遞推公式證得，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可得出結(jié)論；
（2）由于數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，所以若，則數(shù)列是遞增數(shù)列，所以數(shù)列無最大項(xiàng)，因此中無最小項(xiàng)，故，然后結(jié)合題意即可得到，解不等式組即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)?，則
所以
，
故數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列；
（2）若，則數(shù)列是遞增數(shù)列，所以數(shù)列無最大項(xiàng)，因此中無最小項(xiàng)，故，又?jǐn)?shù)列是遞增數(shù)列，且為數(shù)列中的最小項(xiàng)，所以是數(shù)列中的最大負(fù)項(xiàng)，從而有，而，則，解得，
故的取值范圍為.
22. 如圖，已知點(diǎn)是焦點(diǎn)為的拋物線：（）上一點(diǎn)，，是拋物線上異于的兩點(diǎn)，且直線，的傾斜角互補(bǔ)，若直線的斜率為（）．
（1）求拋物線方程；
（2）證明：直線的斜率為定值并求出此定值；
（3）令焦點(diǎn)到直線的距離，求的最大值．
【答案】（1）
（2）證明見解析，
（3）
【解析】
分析】（1）待定系數(shù)法求解拋物線方程；
（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立后得到A點(diǎn)縱坐標(biāo)，同理得到B點(diǎn)縱坐標(biāo)，從而求出直線AB的斜率；
（3）在前兩問基礎(chǔ)上用斜率k表達(dá)出，換元后使用基本不等式求出最大值.
【小問1詳解】
將點(diǎn)代入拋物線方程可得：，拋物線.
【小問2詳解】
設(shè)，
與拋物線方程聯(lián)立可得：，易知，
∴，用代k可得：，
因此，即.
【小問3詳解】
由（1）可知，，，，
因此，
到直線AB的距離，
而，
∵
，
∴
，
令，由得，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
的最大值為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解拋物線取值范圍問題，把要求解的問題轉(zhuǎn)化為單元問題，常使用的工具有換元，基本不等式，或?qū)Ш瘮?shù).
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
t
70
喜愛
不喜愛
合計(jì)
男性
120
女性
100
合計(jì)
喜愛
不喜愛
合計(jì)
男性
120
100
220
女性
80
100
180
合計(jì)
200
200
400
月份
1
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6
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促銷費(fèi)用
2
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10
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21
15
18
產(chǎn)品銷量
1
1
2
3
3.5
5
4
4.5

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