平行線的定義及畫法基本事實(shí)及其推論同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角平行線的判定的基本事實(shí)平行線的判定方法 2平行線的判定方法 3平行線判定方法的推論
1. 定義 在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線 .特別提醒： 平行線定義的三要素：(1)在同一平面內(nèi)；(2)不相交；(3)都是直線 .
特別解讀在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系： ●相交； ●平行 .2. 經(jīng)過(guò)直線上一點(diǎn)不可以作已知直線的平行線 .3. 畫線段或射線的平行線是畫它們所在直線的平行線 .
2. 表示方法 用“∥”表示平行，如圖 10.2-1，直線 AB 與 CD是平行線，記作“AB ∥ CD”或“CD ∥ AB”，讀作“AB平行于 CD”或“CD 平行于 AB” .
3. 過(guò)直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線的步驟一落： 把三角尺的一邊落在已知直線上；二靠： 緊靠三角尺的另一邊放一直尺；三移： 把三角尺沿著直尺移動(dòng)，使其落在已知直線上的邊經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)；四畫： 沿該邊畫直線，此直線即為已知直線的平行線 .
讀下列語(yǔ)句，并畫出圖形 .AB， CD 是同一平面內(nèi)的兩條直線， P 是直線 AB， CD 外的一點(diǎn)，直線 EF 經(jīng)過(guò)點(diǎn) P與 AB 平行，直線 MN 經(jīng)過(guò)點(diǎn) P 與 CD 垂直 .
解題秘方：按照語(yǔ)句的要求，結(jié)合平行線的畫法進(jìn)行作圖 .
解法提醒根據(jù)語(yǔ)句畫圖時(shí)，要注意畫出的圖形符合語(yǔ)句的要求，若語(yǔ)句中沒(méi)有說(shuō)清楚，要考慮各種情況，如本題中AB，CD 之間沒(méi)有指明位置關(guān)系，所以畫圖時(shí)可以平行也可以相交 .
解：如圖 10.2-2 所示 .
1. 基本事實(shí) 經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線平行于這條直線 .特別提醒： 基本事實(shí)的前提是經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，則不可能有平行線 .
特別解讀“有且只有”強(qiáng)調(diào)這樣的直線的存在性和唯一性 .
2. 推論 如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩條直線平行 .簡(jiǎn)稱： 平行于第三條直線的兩條直線平行 .表達(dá)方式： 如果 a ∥ c， b ∥ c，那么 a ∥ b.
如圖 10.2-3，直線 a ∥ b， b ∥ c， d 與 a 相交于點(diǎn) M.
解題秘方：根據(jù)基本事實(shí)及其推論判定兩條直線的位置關(guān)系 .
(1) 試判斷直線 a， c 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
解：因?yàn)?a ∥ b， b ∥ c，所以 a ∥ c.理由：如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩條直線平行 .
(2) 判斷 c 與 d 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由 .
解：因?yàn)橹本€ a， d 都過(guò)點(diǎn) M，且 a ∥ c，所以 d 與 c 相交 .理由：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線平行于這條直線 .
方法點(diǎn)撥判定兩條直線平行的方法：●若涉及相交問(wèn)題，則用平行線的定義；●若涉及三條直線 的位置關(guān)系問(wèn)題，則用基本事實(shí)的推論，較常用的方法是 基 本事實(shí)的推論 .
同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角
1. “三線八角” 兩條直線被第三條直線所截形成八個(gè)角， 習(xí)慣上稱為“ 三線八角”， 它們構(gòu)成了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角 . 如圖10.2-4 所示，兩條直線 a 和 b 被第三條直線 l所截 .
2. 同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義(1)∠ 1 與∠ 5 在截線 l 的同旁，又都在被截直線 a 和b 相同的一側(cè)，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角叫同位角 . 再如∠ 2 與∠ 6，∠ 3 與∠ 7，∠ 4 與∠ 8.(2)∠ 5 與∠ 3 在截線 l 的兩旁，且在被截直線 a， b 之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角叫內(nèi)錯(cuò)角 . 再如∠ 4 與∠ 6.(3)∠ 5 與∠ 4 在截線 l 的同旁，且在被截直線 a， b之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角叫同旁內(nèi)角 . 再如∠ 3與∠ 6.
特別解讀識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，第一步是要分清截線和被截線(兩個(gè)角的公共邊所在的直線為截線，另兩條線為被截線)；第二步是根據(jù)兩個(gè)角相對(duì)于截線和被截線的具體位置，結(jié)合各類位置角的定義確定它們的具體關(guān)系 . 在截線同旁(同側(cè)) 找同位角（兩個(gè)角都在被截線的上方或下方，形似字 母“F”)、 同 旁 內(nèi)角 [兩個(gè)角在被截線之間(內(nèi))，形似字母“U”]；在截線不同旁 (兩側(cè) ) 找內(nèi)錯(cuò)角(兩個(gè)角在兩條被截線之間，形似字母“Z”).
如圖 10.2-5，結(jié)合圖形解答下列問(wèn)題：∠ 1 與∠ 2 是直線____和直線_____被第三條直線______所截而成的____角；
解題秘方：根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角的定義確定答案 .
解：∠ 1 與∠ 2 都有一條邊在直線 BC 上，另一條邊分別在直線 CE， AB 上，兩角都在直線 BC 的上方，分別在直線 CE， AB 的右側(cè)，所以∠ 1 與∠ 2 是直線 CE 和直線 AB 被直線 BC 所截而成的同位角；
(2) ∠ 2 與∠ 3 是直線_____和直線____被第三條直線______所截而成的______角；
解：∠ 2 與∠ 3 都有一條邊在直線 BC 上，另一條邊分別在直線 AB， AC 上，兩角都在直線 BC 的上方，在直線AB， AC 之間，所以∠ 2 與∠ 3 是直線 AB 和直線 AC 被直線BC 所截而成的同旁內(nèi)角；
(3)∠ 4 與∠ A 是直線_____和直線_____被第三條直線______所截而成的_____角 .
解：∠ 4 與∠ A 都有一條邊在直線 AC 上，另一條邊分別在直線 CE， AB 上，兩角分別在直線 AC 的兩側(cè)、在直線CE， AB 之間，所以∠ 4 與∠ A 是直線 CE 和直線 AB 被直線AC 所截而成的內(nèi)錯(cuò)角 .
方法點(diǎn)撥識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角的方法：1. 定義法：一看三線、二找截線、三查位置來(lái)分辨，這三種角的共同特征是：一對(duì)邊共線，不共頂點(diǎn)，另一對(duì)邊分別在兩條直線上，再根據(jù)位置關(guān)系確定是哪種角；2. 分離圖形法：通過(guò)分離圖形，把每一對(duì)角從復(fù)雜圖形中分離出來(lái)，觀察分離出的角的形狀結(jié)構(gòu)特征，按定義法加以區(qū)分；
3. 特征法： 把相關(guān)的一對(duì)角用彩筆描出， 看其是否符合 “F”“Z”“U”形特征；4. 方位法：同位角：同左、同上；同左、同下；同右、同上；同右、同下；內(nèi)錯(cuò)角：同內(nèi)、異側(cè)；同旁內(nèi)角：同內(nèi)、同側(cè).
平行線的判定的基本事實(shí)
1. 基本事實(shí) 兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行 .簡(jiǎn)單說(shuō)成： 同位角相等，兩直線平行 .
特別解讀： (1)構(gòu)成同位角的兩條被截線不一定平行，只有形成的一對(duì)同位角相等時(shí)，這兩條被截線才平行 .(2)“同位角相等，兩直線平行”是通過(guò)兩個(gè)同位角的大小關(guān)系(相等)推導(dǎo)出兩直線的位置關(guān)系(平行) . 它是構(gòu)建起角的大小關(guān)系與直線的位置關(guān)系的橋梁 .
2. 表達(dá)方式 如圖 10.2-6，因?yàn)椤?1= ∠ 2(已知)，所以 a ∥ b(同位角相等，兩直線平行) .
特別解讀判定兩直線平行的方法：●直線的位置關(guān)系：(1) 同一平面內(nèi)不相交的兩條直線平行；(2) 平行于第三條直線的兩條直線平行 .●角的大小關(guān)系：同 位角相等，兩直線平行 .
如圖 10.2-7，已知直線 AB， CD 被直線 EF 所截，∠ 1+ ∠ 2=180°， AB 與 CD 平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由 .
解題秘方：找出一對(duì)同位角， 通過(guò)已知條件說(shuō)明這對(duì)同位角相等來(lái)說(shuō)明兩條直線平行 .
解法提醒判斷兩條直線是否平行，當(dāng)題中涉及角的關(guān)系時(shí)，則可通過(guò)找出這兩條直線被第三條直線所截得到的一對(duì)同位角，并利用相關(guān)角的條件判斷其是否相等，如果相等，那么這兩條直線平行，否則不平行 .
解：AB ∥ CD.理由如下：因?yàn)椤?1+ ∠ 2=180°(已知)，∠ 2+ ∠ 3=180°(鄰補(bǔ)角的定義)，所以∠ 1= ∠ 3(同角的補(bǔ)角相等) .所以 AB ∥ CD(同位角相等，兩直線平行) .
1. 方法 2 兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行 .簡(jiǎn)單說(shuō)成： 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 .
特別解讀： (1)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”是利用“對(duì)頂角相等”和“同位角相等，兩直線平行”推導(dǎo)得出的 .(2)利用“內(nèi)錯(cuò)角相等”來(lái)確定“兩直線平行”的關(guān)鍵是弄清這對(duì)內(nèi)錯(cuò)角是哪兩條直線被第三條直線所截得到的內(nèi)錯(cuò)角，再說(shuō)明這兩條直線平行 .
特別提醒構(gòu)成內(nèi)錯(cuò)角的兩條被截線不一定平行，只有形成的一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等時(shí)，這兩條被截線才平行 .
2. 表達(dá)方式 如圖 10.2-8，因?yàn)椤?1= ∠ 2(已知)，所以 a ∥ b(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行) .
如圖 10.2-9，已知∠ ADE=60°， DF 平分∠ ADE，∠ 1=30°，試說(shuō)明 DF ∥ BE.
解題秘方：先找出 DF 和 BE 這兩條被截線所形成的一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，然后利用條件說(shuō)明這對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等來(lái)說(shuō)明這兩條被截線平行 .
解法提醒要判定兩直線平行可以通過(guò)說(shuō)明同位角相等或內(nèi)錯(cuò)角相等來(lái)實(shí)現(xiàn)，至于到底選用同位角還是選用內(nèi)錯(cuò)角，要看具體的題目，要盡可能與已知條件聯(lián)系 .
1. 方法 3 兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行 .簡(jiǎn)單說(shuō)成： 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 .特別解讀： 利用同旁內(nèi)角說(shuō)明兩直線平行時(shí)，同旁內(nèi)角之間的關(guān)系是互補(bǔ)，不是相等 .
2. 表達(dá)方式 如圖 10.2-10，因?yàn)椤?1+ ∠ 2=180°(已知)，所以 a ∥ b(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行) .
方法點(diǎn)撥用數(shù)量關(guān)系判定兩直線平行的方法：在“三線八角 ” 中，同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，只要其中一個(gè)結(jié)論成立，就可得到兩直線平行 .
如圖 10.2-11， 直線 AE， CD 相交于點(diǎn) O， 如果∠ A=110°，∠ 1=70°，就可以說(shuō)明 AB ∥ CD，這是為什么？
解題秘方：找出 AB， CD 被 AE 所截形成的同旁內(nèi)角，利用兩個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系來(lái)說(shuō)明這兩條直線平行 .
解法提醒●本題運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想 . 平行線的判定是由角之間的數(shù)量關(guān)系到直線的位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化 .●說(shuō)明兩直線平行時(shí)，一般都要結(jié)合對(duì)頂角、補(bǔ)角等知識(shí)來(lái)說(shuō)明 .
解：因?yàn)椤?1= ∠ AOD(對(duì)頂角相等)，∠ 1=70°，所以∠ AOD=70° .又因?yàn)椤?A=110°，所以∠ A+ ∠ AOD=180° .所以 AB ∥ CD(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行) .
1. 判定方法 在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行 .簡(jiǎn)稱： 在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行 .表達(dá)方式： 如圖 10.2-12，直線 a， b， c 在同一平面內(nèi) .因?yàn)?a ⊥ b， a ⊥ c，所以 b ∥ c.
2. 拓展 a， b， c 為同一平面內(nèi)的三條不重合直線，在下列結(jié)論中：① a ⊥ b；② a ⊥ c；③ b ∥ c.已知其中任意兩個(gè)結(jié)論，總能推出第三個(gè)結(jié)論成立，即如果 a ⊥ b， a ⊥ c，那么 b ∥ c；如果 a ⊥ b， b ∥ c，那么 a ⊥ c；如果 a ⊥ c， b ∥ c，那么 a ⊥ b.
特別解讀1. 三條直線“在同一平面內(nèi)”是前提，丟掉這個(gè)前提，結(jié)論不一定成立 .2. 本結(jié)論(方法) 可看成是判定方法 1， 2，3 的推論，因?yàn)樗捎膳卸ǚ椒?1， 2， 3得到 .
如圖 10.2-13， AB ⊥ EF 于 B， CD ⊥ EF 于 D，∠ 1= ∠ 2.
解題秘方：根據(jù)平行線的幾種判定方法，從圖中找出符合判定方法的條件， 選用合適的方法進(jìn)行說(shuō)明 .
解法提醒判定兩直線平行的方法：方法一：平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線就是平行線 .
方法二：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行 .方法三：同位角相等，兩直線平行 .方法四：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 .方法五：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.方法六：在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行 .
(1)請(qǐng)說(shuō)明 AB ∥ CD 的理由；
解：因?yàn)?AB ⊥ EF， CD ⊥ EF，所以 AB ∥ CD(在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行) .
(2)試問(wèn) BM 與 DN 是否平行？為什么？
解：BM ∥ DN.理由：因?yàn)?AB ⊥ EF， CD ⊥ EF，所以∠ ABE= ∠ CDE=90° .又因?yàn)椤?1= ∠ 2，所以∠ ABE－∠ 1= ∠ CDE－∠ 2(等式的性質(zhì))，即∠ MBE= ∠ NDE.所以 BM ∥ DN(同位角相等，兩直線平行) .
警示誤區(qū)：∠ 1 和∠ 2 不是同位角，不能誤認(rèn)為∠ 1=∠ 2 可直接得出 BM ∥ DN， 要 得 到 BM ∥ DN， 應(yīng)說(shuō)明∠ MBE= ∠ NDE.

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10.2 平行線的判定

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