一、選擇題
1．雙曲線的虛軸長(zhǎng)為( )
A.B.C.3D.6
2．已知,,若,則實(shí)數(shù)的值為( )
A.-2B.C.D.2
3．拋物線,的準(zhǔn)線方程是( )
A.B.C.D.
4．平行六面體的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,且,,M為,的交點(diǎn),則線段的長(zhǎng)為( )
A.3B.C.D.
5．已知拋物線的焦點(diǎn)為F,過(guò)F作斜率為2的直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),若弦的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為3,則拋物線的方程為( )
A.B.C.D.
6．“太極圖”因其形狀如對(duì)稱的陰陽(yáng)兩魚互抱在一起，故也被稱為“陰陽(yáng)魚太極圖”.如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”.圖中曲線為圓或半圓，已知點(diǎn)是陰影部分（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn).則的最小值為( )
A.B.C.D.1
7．已知雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別為,,過(guò)的直線與y軸交于點(diǎn)M,與C的右支交于點(diǎn)P,且滿足,若點(diǎn)O,,P,M四點(diǎn)共圓（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）,則雙曲線的離心率為( )
A.B.C.D.
8．如圖,在棱長(zhǎng)為的正方體中,點(diǎn)P是平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足,則直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列說(shuō)法正確的是( )
A.“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件
B.“”是“直線與直線互相平行”的充要條件
C.直線的傾斜角的取值范圍是
D.若點(diǎn),,直線l過(guò)點(diǎn)且與線段相交,則l的斜率k的取值范圍是
10．已知圓O的半徑為定長(zhǎng)r,A是圓O所在平面內(nèi)一個(gè)定點(diǎn),P是圓上任意一點(diǎn),線段的垂直平分線l和直線相交于點(diǎn)Q.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),下列判斷正確的是( )
A.當(dāng)點(diǎn)A在圓O內(nèi)（不與圓心重合）時(shí),點(diǎn)Q的軌跡是橢圓
B.點(diǎn)Q的軌跡可能是一個(gè)定點(diǎn)
C.點(diǎn)Q的軌跡不可能是圓
D.當(dāng)點(diǎn)A在圓O外時(shí),點(diǎn)Q的軌跡是雙曲線
11．著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微”,事實(shí)上,很多代數(shù)問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決,如：對(duì)于形如的代數(shù)式,可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)與的距離加以考慮.結(jié)合綜上觀點(diǎn),對(duì)于函數(shù),下列說(shuō)法正確的是( )
A.的圖象是軸對(duì)稱圖形B.的值域是
C.先減小后增大D.方程有三個(gè)解
三、填空題
12．已知點(diǎn)N是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影,則___________．
13．一動(dòng)圓與圓外切,同時(shí)與圓內(nèi)切,則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為___________.
14．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為,,M為橢圓C上任意一點(diǎn),N為圓上任意一點(diǎn),則的最小值為____________.
四、解答題
15．全國(guó)執(zhí)業(yè)醫(yī)師證考試分實(shí)踐技能考試與醫(yī)學(xué)綜合筆試兩部分,每部分考試成績(jī)只記“合格”與“不合格”,兩部分考試都“合格”者,則執(zhí)業(yè)醫(yī)師考試“合格”,并頒發(fā)執(zhí)業(yè)醫(yī)師證書.甲、乙、丙三人在醫(yī)學(xué)綜合筆試中“合格”的概率依次為,,,在實(shí)踐技能考試中“合格”的概率依次為,,,所有考試是否合格互不影響.
(1)假設(shè)甲、乙、丙三人同時(shí)進(jìn)行實(shí)踐技能考試與醫(yī)學(xué)綜合筆試兩項(xiàng)考試,誰(shuí)獲得執(zhí)業(yè)醫(yī)師證書的可能性最大？
(2)這三人進(jìn)行實(shí)踐技能考試與醫(yī)學(xué)綜合理論考試兩項(xiàng)考試后,求恰有兩人獲得執(zhí)業(yè)醫(yī)師證書的概率.
16．已知圓和定點(diǎn),直線.
(1)當(dāng)時(shí),求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng);
(2)若直線l上存在點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作圓C的切線,切點(diǎn)為B,滿足,求m的取值范圍.
17．如圖,在三棱柱中,,,,在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn),D是的中點(diǎn).
(1)證明：平面;
(2)求平面與平面所成角的余弦值.
18．已知A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),G為E的上頂點(diǎn),,P為直線上的動(dòng)點(diǎn),PA與E的另一交點(diǎn)為C,PB與E的另一交點(diǎn)為D．
(1)求E的方程;
(2)證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).
19．若函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值,在其定義域內(nèi)都存在唯一的,使成立,則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)是否為“依賴函數(shù)”,并說(shuō)明理由;
(2)若函數(shù)在定義域上為“依賴函數(shù)”,求的取值范圍;
(3)已知函數(shù)在定義域上為“依賴函數(shù)”,若存在實(shí)數(shù)：,使得對(duì)任意的,不等式都成立,求實(shí)數(shù)s的最大值.
參考答案
1．答案：D
解析：因?yàn)?所以,所以雙曲線的虛軸長(zhǎng)為.
故選：D.
2．答案：C
解析：向量,,
若,
則,
．
故選：C．
3．答案：A
解析：拋物線,,即,它的的準(zhǔn)線方程為.
故選：A.
4．答案：C
解析：由題意可知：
,
則
,
所以.
故選：C.
5．答案：B
解析：因?yàn)橹本€l的方程為,即,
由消去y,得,
設(shè),,則,
又因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為3,所以,
而,所以,
故,解得,所以拋物線的方程為
故選：B.
6．答案：C
解析：
記，則為直線的斜率，
故當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，斜率k最小，
設(shè)，則，解得或（舍去），
即的最小值為.
故選：C.
7．答案：D
解析：因?yàn)辄c(diǎn)O,,P,M四點(diǎn)共圓,,是圓的直徑,
所以,即,
所以,即,
又因?yàn)?所以,即,
所以,又,所以,
又因?yàn)?所以,即,
所以,所以,所以.
故選：D.
8．答案：A
解析：連接交平面于點(diǎn)O,延長(zhǎng)線段至點(diǎn)M,使得,
連接、、,如下圖所示：
已知在正方體中,底面,平面,,
又四邊形為正方形,所以,,
,平面,平面,,
同理,,平面,
三棱錐的體積為,
,,
可得,
所以,線段的長(zhǎng)被平面與平面三等分,且與兩平面分別垂直,
而正方體的棱長(zhǎng)為3,所以,,如下圖所示：
其中,不妨設(shè),由題意可,
所以,,可得,
所以,點(diǎn)P在平面內(nèi)以點(diǎn)O為圓心,半徑為1的圓上.
因?yàn)?所以,直線與直線的夾角即為直線與直線所成角.
接下來(lái)要求出線段與的長(zhǎng),然后在中利用余弦定理求解.
如圖,過(guò)點(diǎn)O作平面于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)H作于點(diǎn)N,連接,
根據(jù)題意可知,,且,
所以,,.
如圖所示,,當(dāng)點(diǎn)P在處時(shí),最大,當(dāng)點(diǎn)P在處時(shí),最小.
這兩種情況下直線與直線夾角的余弦值最大,為;
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O處時(shí),為直角,此時(shí)余弦值最小為0.
綜上所述,直線與直線所成角的余弦值的取值范圍是.
故選：A.
9．答案：BCD
解析：對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí),直線與直線斜率分別為1,-1,
斜率之積為-1,故兩直線相互垂直,即充分性成立;
若“直線與直線互相垂直”,
則,故或,
所以得不到,即必要性不成立,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng)B：由直線平行得,解得,
所以“”是“直線與直線互相平行”的充要條件,故B正確;
對(duì)于選項(xiàng)C：直線的傾斜角為,則,
因?yàn)?所以,故C正確;
對(duì)于選項(xiàng)D：如圖所示：
可得,,結(jié)合圖象知,故D正確;
故選：BCD.
10．答案：ABD
解析：對(duì)A,如圖1,連接,
由已知得,所以．
又因?yàn)辄c(diǎn)A在圓內(nèi),所以,
根據(jù)橢圓的定義,點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)、A為焦點(diǎn),r為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓,A對(duì);
對(duì)B,如圖2,
當(dāng)點(diǎn)A在圓上時(shí),點(diǎn)Q與圓心重合,軌跡為定點(diǎn),B對(duì);
對(duì)D,如圖3,連接,
由已知得,所以．
又因?yàn)辄c(diǎn)A在圓外,所以,
根據(jù)雙曲線的定義,點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)、A為焦點(diǎn),r為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線,D對(duì);
對(duì)C,當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)O重合時(shí),如圖4,
則線段的中垂線l與直線的交點(diǎn)即為線段的中點(diǎn),
此時(shí),,即點(diǎn)Q的軌跡是以點(diǎn)O為圓心,半徑為的圓,C錯(cuò).
故選：ABD.
11．答案：ACD
解析：由已知,
設(shè),,,則,如圖,
由圖形可得P點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱時(shí),的值相等,因此的圖象是軸對(duì)稱圖形,它關(guān)于直線對(duì)稱,A正確;
顯然軸,當(dāng)時(shí),,即,
又,而P,M,N不可能共線,即,
所以,B錯(cuò);
設(shè)Q在x軸上,且P在右側(cè),Q在P點(diǎn)右側(cè),與交于點(diǎn)E,則,,
,
,在軸上點(diǎn)的右側(cè),,
,即
這說(shuō)明P點(diǎn)從向右移動(dòng)時(shí),遞增,同理P在x軸從左側(cè)向點(diǎn)移動(dòng)時(shí),減小,C正確;
,,
設(shè),則的解是和,
有一個(gè)解,而有兩個(gè)解,因此有三個(gè)解,D對(duì)．
故選：ACD．
12．答案：5
解析：由題可知,,則,．
故答案為：5.
13．答案：
解析：圓的圓心為,,
圓的圓心為,,
設(shè)動(dòng)圓的圓心為P,半徑為r,
由題意得,,則,,,
由橢圓定義得P的軌跡方程為,
故答案為：
14．答案：
解析：由M為橢圓C上任意一點(diǎn),則
又N為圓上任意一點(diǎn),則（當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E共線時(shí)取等號(hào)）,
,
當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E、共線時(shí)等號(hào)成立.
,,則,
的最小值為．
故答案為：．
15．答案：(1)乙的可能性最大
(2)
解析：(1)記甲乙丙三人在醫(yī)學(xué)綜合筆試中合格依次為事件,,,
在實(shí)踐考試中合格依次為,,,
則甲乙丙獲得執(zhí)業(yè)醫(yī)師證書依次為,,,
并且與,與,與相互獨(dú)立,
則,,
由于,故乙獲得執(zhí)業(yè)醫(yī)師證書的可能性最大.
(2)由于事件,,彼此相互獨(dú)立,
“恰有兩人獲得執(zhí)業(yè)醫(yī)師證書”即為事件：,
概率為.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)圓,圓心,半徑,
當(dāng)時(shí),直線l的方程為,
所以圓心C到直線l的距離,
故弦長(zhǎng)為.
(2)設(shè),則,
由,,得.
化簡(jiǎn)得,
所以點(diǎn)M的軌跡是以為圓心,8為半徑的圓.
又因?yàn)辄c(diǎn)M在直線l：上,所以與圓D有公共點(diǎn),
所以,
解得,
所以m的取值范圍是.
17．答案：(1)證明見解析
(2)
解析：(1)取BC的中點(diǎn)O,連接,,
,D是的中點(diǎn).,
,,
因?yàn)樵诘酌鍭BC射影為BC的中點(diǎn),所以平面ABC,
又平面平面,所以平面,
又面,所以,
因?yàn)?,平面,所以平面;
(2)如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)A、OB、所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,
則,,,,
,,,.
設(shè)平面的法向量為,
則,得,取,得,
因?yàn)槠矫?所以即為平面的一個(gè)法向量,
則,所以平面與平面的所成角的余弦值為.
18．答案：(1);
(2)證明詳見解析.
解析：(1)依據(jù)題意作出如下圖象：
由橢圓方程可得：,,
,
,
橢圓方程為：
(2)[方法一]：設(shè)而求點(diǎn)法
證明：設(shè),
則直線的方程為：,即：
聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：,
整理得：,解得：或
將代入直線可得：
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為.
同理可得：點(diǎn)D的坐標(biāo)為
當(dāng)時(shí),
直線的方程為：,
整理可得：
整理得：
所以直線過(guò)定點(diǎn)．
當(dāng)時(shí),直線,直線過(guò)點(diǎn)．
故直線CD過(guò)定點(diǎn)．
[方法二]【最優(yōu)解】：數(shù)形結(jié)合
設(shè),則直線的方程為,即．
同理,可求直線的方程為．
則經(jīng)過(guò)直線和直線的曲線的方程可寫為．
可化為．④
易知A,B,C,D四個(gè)點(diǎn)滿足上述方程,同時(shí)A,B,C,D又在橢圓上,
則有,代入④式可得．
故,可得或．
其中表示直線,則表示直線．
令,得,即直線恒過(guò)點(diǎn)．
19．答案：(1)不是“依賴函數(shù)”,理由見解析;
(2);
(3)最大值為.
解析：(1)對(duì)于函數(shù)的定義域R內(nèi)存在,則無(wú)解,
故不是“依賴函數(shù)”.
(2)因?yàn)樵谏线f增,故,即,,
由,故,得,
從而上單調(diào)遞增,故.
(3)①若,故在上最小值為0,此時(shí)不存在,舍去;
②若,故在上單調(diào)遞減,
從而,解得(舍)或,
從而存在.使得對(duì)任意的,有不等式都成立,
即恒成立,
由,得.
由,可得,
又在單調(diào)遞減,故當(dāng)時(shí),,
從而,解得,
綜上,故實(shí)數(shù)s的最大值為.

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