數(shù)學(xué)（理科）
注意事項：
1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規(guī)定的位置上 .
2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號 .
3．答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上 .
4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效 .
5．考試結(jié)束后，只將答題卡交回 .
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 設(shè)全集，集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)補(bǔ)集定義、元素和集合的關(guān)系直接判斷各選項即可.
詳解】對于AB，，，，A錯誤，B錯誤；
對于CD，或，，，C正確，D錯誤.
故選：C.
2. 函數(shù)的最小正周期為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合輔助角公式、正弦型函數(shù)的最小正周期公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】，
所以該函數(shù)的最小正周期為，
故選：C
3. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的n的值為（ ）
A. 40B. 41C. 119D. 122
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給出的程序框圖，執(zhí)行程序框圖，結(jié)合判斷條件，即可求解.
【詳解】第一次循環(huán)：；
第二次循環(huán)：；
第三次循環(huán)：；
故輸出的n的值為41.
故選：B.
4. 若實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為（ ）
A. 0B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)約束條件畫出線性規(guī)劃區(qū)域，根據(jù)的幾何意義即可求解.
【詳解】依題意，
實數(shù)x，y滿足約束條件所表示區(qū)域如圖陰影所示：
由，解得點
的幾何意義為：可行域內(nèi)的點與原點連線的斜率，
由圖象可知，當(dāng)原點與點連接時，取得最大值，
即
故選：C.
5. 設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點．為雙曲線右支上一點，若，，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，得到，，結(jié)合勾股定理表示出和 的關(guān)系即可.
【詳解】利用雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，得到,
又，
因為，所以；故，即
故答案為：
6. 甲和乙兩位同學(xué)準(zhǔn)備在體育課上進(jìn)行一場乒乓球比賽，假設(shè)甲對乙每局獲勝的概率都為，比賽采取三局兩勝制（當(dāng)一方獲得兩局勝利時，該方獲勝，比賽結(jié)束），則甲獲勝的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】按照相互獨立事件的概率乘法法則，分類計算求和即可.
【詳解】分三類：
①甲直接獲得前兩局勝利，不進(jìn)行第三局，此時甲獲勝的概率為：；
②甲輸?shù)谝痪?，贏后兩局，此時甲獲勝的概率為：；
③甲贏第一局和第三局，輸?shù)诙郑藭r甲獲勝的概率為：.
故甲獲勝的概率為：.
故選：B.
7. 已知命題：空間中兩條直線沒有公共點，則這兩條直線平行；命題：空間中三個平面，，，若，，，則．則下列命題為真命題的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)直線與直線的位置關(guān)系定義、面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合與、或、非的真假性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】因為空間中兩條直線沒有公共點，兩條直線可以是異面直線，所以命題是假命題，
因此是真命題，
由面面垂直的性質(zhì)可知命題是真命題，為假命題，
所以為假命題，為假命題，為假命題，為真命題，
故選：D
8. 已知過拋物線的焦點，且傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點，則（ ）
A. 32B. C. D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可得直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程得，由韋達(dá)定理可得，再根據(jù)拋線的定義即可得答案.
【詳解】解：因為拋物線，
所以，，
所以直線的方程為，
由，得，
顯然，
設(shè)
則有，
所以，
由拋物線定義可知.
故選：A.
9. 若奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)進(jìn)行條件轉(zhuǎn)化注意運(yùn)用賦值法，即可得到的最小正周期是4，運(yùn)用周期性即可得到結(jié)論．
【詳解】由題意，對于奇函數(shù)，有，
由，
所以，
所以，
則函數(shù)的周期是4，
所以.，
故選：B．
10. 若正三棱錐的高為2，，其各頂點都在同一球面上，則該球的半徑為（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)正三棱錐與外接球的性質(zhì)，分球心在內(nèi)部與外部兩種情況討論即可求解.
【詳解】依題意，
①若球心在正三棱錐內(nèi)部，如圖所示：
其中點在底面的投影為點，所以高為，
延長交于點，因為三棱錐為正三棱錐，
所以為正三角形，點為的重心，為的高，
所以，，
設(shè)外接球半徑為，則，在中有：
，即，
解得：；
②若球心在正三棱錐外部，如圖所示：
由①知，當(dāng)球心在的延長線上時，在中有：
，即，
解得：.
故選：D.
11. 已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用換底公式，對變形后得到，構(gòu)造設(shè)，，求導(dǎo)后得到其單調(diào)性，得到，比較出，利用換底公式，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到，從而得到答案.
【詳解】，
所以，
，
設(shè)，，
則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，即，
故，
故，又，故，即，
又因為，
其中，所以，
故，
則.
故選：A
【點睛】構(gòu)造函數(shù)比較大小是高考熱點和難點，結(jié)合代數(shù)式的特點，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，通過導(dǎo)函數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，從而比較出代數(shù)式的大小，本題中，變形得到，從而達(dá)到構(gòu)造出適當(dāng)函數(shù)比較出大小.
12. 在中，已知，，，當(dāng)取得最小值時，的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)，，在和中應(yīng)用正弦定理可得到，然后利用結(jié)合余弦定理可得，化簡可得當(dāng)時，取得最小值，最后利用面積公式即可
【詳解】
設(shè)，，，，，
在中，，在中，，
,，，
設(shè)，，
，，
，，
，
當(dāng)時，取得最小值，，，
又，
在中，.
故選：D.
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡上．
13. 復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則|z|的值為______．
【答案】
【解析】
【分析】先化簡,再帶入模長公式即可求解.
【詳解】因為,
所以.
故答案為:.
14. 已知，則__．
【答案】
【解析】
【分析】
利用余弦的倍角公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.
【詳解】由，又由.
故答案為：．
15. 若直線與相交于點，過點作圓的切線，切點為，則|PM|的最大值為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線所過的定點和位置關(guān)系，結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】直線過定點，直線過定點，
顯然這兩條直線互相垂直，因此在以為直徑的圓上，設(shè)該圓的圓心為，
顯然點的坐標(biāo)為，所以該圓的方程為，
由圓的切線性質(zhì)可知：，要想|PM|的值最大，只需的值最大，
當(dāng)點在如下圖位置時，的值最大，即，
所以|PM|的最大值為，
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)兩直線的位置關(guān)系確定點的軌跡，利用圓的幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
16. 若函數(shù)存在極大值點，且，則實數(shù)的取值范圍為______．
【答案】
【解析】
【分析】由函數(shù)存在極大值點，可得，又，令，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，進(jìn)而得到，由，可得，令，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，進(jìn)而得到，進(jìn)而求解.
【詳解】由，
所以，
由函數(shù)存在極大值點，
所以，
即，
所以，
令，
則，
令，即；令，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，，當(dāng)時，，
所以由，得，
由，可得，即，
令，
所以，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，
所以.
即實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 某中學(xué)為了豐富學(xué)生的課余生活,欲利用每周一下午的自主活動時間,面向本校高二學(xué)生開設(shè)“廚藝探秘”“盆景栽培”“家庭攝影”“名畫鑒賞”四門選修課,由學(xué)生自主申報,每人只能報一門,也可以不報．該校高二有兩種班型－文科班和理科班（各有2個班）,據(jù)調(diào)查這4個班中有100人報名參加了此次選修課,報名情況統(tǒng)計如下:
（1）若把“廚藝探秘”“盆景栽培”統(tǒng)稱為“勞育課程”,把“家庭攝影”“名畫鑒賞”統(tǒng)稱為“美育課程”．請根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的2×2列聯(lián)表:
（2）根據(jù)（1）列聯(lián)表中所填數(shù)據(jù),判斷是否有99%的把握認(rèn)為課程的選擇與班型有關(guān)．
附:．
【答案】（1）列聯(lián)表見解析
（2）沒有99%的把握認(rèn)為“勞育課程”“美育課程”的選擇與文理科有關(guān)．
【解析】
【分析】補(bǔ)全列聯(lián)表,再算出的值與6.635進(jìn)行比較即可得出結(jié)論.
【小問1詳解】
由題意,列聯(lián)表如下:
【小問2詳解】假設(shè):“勞育課程”“美育課程”的選擇與文理科無關(guān).
∵,
∴根據(jù)小概率值的獨立性檢驗,可以推斷不成立,即沒有99%的把握認(rèn)為“勞育課程”“美育課程”的選擇與文理科有關(guān)．
18. 已知等比數(shù)列的公比為3，且，，成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；
（2）利用錯位相減法進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
設(shè)數(shù)列的公比為．
∵，，成等差數(shù)列，
∴．
∴
∵，∴解得．∴；
【小問2詳解】
設(shè)，則．
∴①
∴②
由①－②得，
∴
∴．
19. 如圖，三棱柱中，與均是邊長為2的正三角形，且．
（1）證明：平面平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由線線垂直證線面垂直，進(jìn)而利用面面垂直的判定證明平面平面.（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz．利用向量法能求出平面與平面所成銳二面角的余弦值．
【小問1詳解】
取的中點O，連接AO，．
∵與均是邊長為2的正三角形，
∴，，．
∴為二面角的平面角．
∵，
∴．
∴，又，， 平面，
平面，又平面，
∴平面平面.
【小問2詳解】
由（1）知，，，．
以O(shè)為坐標(biāo)原點，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz．
則，，，．
，，．
設(shè)平面的一個法向量為．
由得
令，得．
設(shè)平面的一個法向量為．
由得
令，得．
∴．
∴所求銳二面角的余弦值為．
20. 已知，分別為橢圓的左、右焦點，與橢圓C有相同焦點的雙曲線在第一象限與橢圓C相交于點P，且．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓C相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，且．若橢圓C上存在點E，使得四邊形OAED為平行四邊形，求m的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）結(jié)合雙曲線方程可得，，結(jié)合雙曲線和橢圓的定義即可得到，進(jìn)而求解；
（2）設(shè)，，則，結(jié)合平行四邊形OAED，可得，聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達(dá)定理可得，．進(jìn)而得到，從而求解.
【小問1詳解】
由題意，雙曲線的焦點為，，
雙曲線與橢圓C有相同焦點且在第一象限交點為P，
又，，．
，．
．
橢圓C的方程為．
【小問2詳解】
設(shè)，，則．
四邊形OAED為平行四邊形，
，．
點A，B，E均在橢圓C上，
，，．
，
．
．
由消去y，得．
顯然．
，．
．
，
因為，所以，即，
所以，即.
．
21. 已知函數(shù)，其中，．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時，函數(shù)恰有兩個零點，求a的取值范圍．
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，分與兩種情況，得到函數(shù)的單調(diào)性；
（2）轉(zhuǎn)化為方程有兩個不等的實數(shù)解，換元后得到，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，得到方程有唯一解，轉(zhuǎn)化為有兩個不相等的實數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)走勢，只需要，構(gòu)造函數(shù)，得到其單調(diào)性，求出a的取值范圍.
【小問1詳解】
，
∵，，
∴當(dāng)時，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增．
當(dāng)時，
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．
【小問2詳解】
函數(shù)恰有兩個零點，
等價于方程有兩個不等的實數(shù)解．
∵，，，
令，則．
令，則．
∴當(dāng)時，；當(dāng)時，．
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
∵，
∴方程有唯一解．
∴方程有兩個不等的實數(shù)解等價于方程有兩個不相等的實數(shù)解．
等價于方程有兩個不相等的實數(shù)解．
構(gòu)造函數(shù)，則．
∵，
∴當(dāng)時，；當(dāng)時，．
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
∵，；，．
∴只需要，即．
構(gòu)造函數(shù)，則．
∴當(dāng)時，；當(dāng)時，．
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
∵，
當(dāng)時，恒成立．
∴a的取值范圍為．
【點睛】導(dǎo)函數(shù)處理零點個數(shù)問題，由于涉及多類問題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號，隱零點的探索、參數(shù)的分類討論等），需要學(xué)生對多種基本方法，基本思想，基本既能進(jìn)行整合，注意思路是通過極值的正負(fù)和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢，從而判斷零點個數(shù)，較為復(fù)雜和綜合的函數(shù)零點個數(shù)問題，分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進(jìn)行分類討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)，及分類是否全面，都是需要思考的地方.
請考生在第22，23題中任選擇一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的標(biāo)號涂黑．
選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
22. 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點為極點，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．
（1）求直線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程；
（2）已知點的直角坐標(biāo)為，直線與曲線相交于A，B兩點，求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）對于曲線消參數(shù)即可得出普通方程；對于直線利用和差公式展開，代入，即可求解；
（2）利用參數(shù)方程的幾何意義即可求解.
【小問1詳解】
依題意，
∵曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），
∴曲線的普通方程為．
∵直線極坐標(biāo)方程為，
∴．
∵，．
∴直線的直角坐標(biāo)方程為．
【小問2詳解】
由（1）知，點在直線上，
∴直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），
代入得，．
設(shè)，是上述方程的兩根，
∴，，．
∴．
選修4-5：不等式選講
23. 已知函數(shù)．
（1）畫出的圖象；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）圖象見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）對分類討論，去掉絕對值號即可求解；
（2）由函數(shù)的圖象向左平移2個單位長度后得到函數(shù)的圖象，從圖象即可得出不等式的解集.
【小問1詳解】
由題得，．
函數(shù)的圖象為：
【小問2詳解】
函數(shù)的圖象向左平移2個單位長度后得到函數(shù)的圖象，的圖象與的圖象如圖所示．
當(dāng)時，由解得，．由圖象可知不等式的解集為．
廚藝探秘
盆景栽培
家庭攝影
名畫鑒賞
文科1班
11
5
14
6
文科2班
12
7
11
4
理科1班
3
1
9
3
理科2班
5
1
6
2
報名班型
課程
合計
“勞育課程”
“美育課程”
文科班
理科班
合計
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.0100
0.005
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.6357
7.879
報名班型
課程
合計
“勞育課程”
“美育課程”
文科班
35
35
70
理科班
10
20
30
合計
45
55
100

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