溫馨提示：
（1）本學科試卷分試題卷和答題卡兩部分，考試時量為120分鐘，滿分120分．
（2）請你將姓名、準考證號等相關信息按要求填涂在答題卡上．
（3）請在答題卡上作答，做在本試題卷上的答案無效．
一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一個項是符合題目要求的）
1. 的倒數是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用倒數的定義，即若兩個不為零的數的積為1，則這兩個數互為倒數，即可一一判定．
【詳解】解：的倒數為．
故選C．
【點睛】此題主要考查了倒數的定義，熟練掌握和運用倒數的求法是解決本題的關鍵．
2. 下列四個圖形中，是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，這個圖形就是中心對稱圖形，據此來分析判斷即可得解．
【詳解】解：A選項，是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
B選項，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
C選項，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
D選項，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．
故選A．
【點睛】本題考查了中心對稱圖形的識別，掌握中心對稱圖形的概念是求解關鍵．
3. 黨的二十大報告提出，要堅持以文塑旅、以旅彰文，推進文化和旅游深度融合發(fā)展．湖南是文化旅游資源大省，深挖紅色文化、非遺文化和鄉(xiāng)村文化，推進文旅產業(yè)賦能鄉(xiāng)村振興．湖南紅色旅游區(qū)（點）2022年接待游客約165000000人次，則165000000用科學記數法可表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值時，n是正整數；當原數的絕對值時，n是負整數．
【詳解】解：，
故選B
【點睛】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．
4. 下列計算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據分式的約分可判斷A，根據冪的乘方運算可判斷B，根據分式的加法運算可判斷C，根據零指數冪的含義可判斷D，從而可得答案．
【詳解】解：，故A不符合題意；
，故B不符合題意；
，故C不符合題意；
，運算正確，故D符合題意；
故選D
【點睛】本題考查分式的約分，冪的乘方運算，分式的加法運算，零指數冪，熟記運算法則是解本題的關鍵．
5. 如圖，直線被直線所截，已知，則的大小為（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據兩直線平行，同位角相等，對頂角相等，計算即可．
【詳解】如圖，∵，

∴，
∵，
∴，
故選B．
【點睛】本題考查了平行線的性質，對頂角的性質，熟練掌握這些基本性質是解題的關鍵．
6. 不等式組的解集在數軸上可表示為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分別解不等式組中的兩個不等式，再確定兩個不等式的解集的公共部分，再在數軸上表示即可．
【詳解】解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式組的解集為：，
在數軸上表示如下：
，
故選A
【點睛】本題考查的是一元一次不等式組的解法，在數軸上表示不等式組的解集，熟練的利用數形結合的方法解題是關鍵．
7. 有數字4，5，6的三張卡片，將這三張卡片任意擺成一個三位數，擺出的三位數是5的倍數的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據題意列出所有可能，根據概率公式即可求解．
【詳解】∵有數字4，5，6的三張卡片，將這三張卡片任意擺成一個三位數，
∴擺出的三位數有共6種可能，其中是
∴擺出的三位數是5的倍數的概率是，
故選：C．
【點睛】本題考查了列舉法求概率，熟練掌握概率公式是解題的關鍵．
8. 如圖，矩形的頂點和正方形的頂點都在反比例函數的圖像上，點的坐標為，則點的坐標為（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據經過確定解析式為，設正方形的邊長為x，則點，代入解析式計算即可．
【詳解】∵經過，
∴解析式為，
設正方形的邊長為x，則點，
∴，
解得（舍去），
故點，
故選D．
【點睛】本題考查了反比例函數的解析式，正方形的性質，解方程，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．
9. 如圖，在四邊形中， ，若添加一個條件，使四邊形為平形四邊形，則下列正確的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據平行四邊形的判定定理逐項分析判斷即可求解．
【詳解】解：A．根據，，不能判斷四邊形為平形四邊形，故該選項不正確，不符合題意；
B． ∵，∴，不能判斷四邊形為平形四邊形，故該選項不正確，不符合題意；
C．根據，，不能判斷四邊形為平形四邊形，故該選項不正確，不符合題意；
D．∵，
∴，
∵
∴，
∴
∴四邊形為平形四邊形，
故該選項正確，符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定定理，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關鍵．
10. 已知是拋物線（a是常數，上的點，現有以下四個結論：①該拋物線的對稱軸是直線；②點在拋物線上；③若，則；④若，則其中，正確結論的個數為（ ）
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
【答案】B
【解析】
【分析】根據對稱軸公式可判斷①；當時，，可判斷②；根據拋物線的增減性，分兩種情況計算可判斷③；利用對稱點的坐標得到，可以判斷④．
【詳解】解：∵拋物線（a是常數，，
∴，
故①正確；
當時，，
∴點在拋物線上，
故②正確；
當時，，
當時，，
故③錯誤；
根據對稱點的坐標得到，
，
故④錯誤．
故選B．
【點睛】本題考查了拋物線對稱性，增減性，熟練掌握拋物線的性質是解題的關鍵．
二、填空題（本大題有8個小題，每小題3分，共24分）
11. 的立方根是___________．
【答案】2
【解析】
【分析】值為8，根據立方根的定義即可求解．
【詳解】解：，8的立方根是2，
故答案為：2．
【點睛】本題考查算術平方根和立方根的定義，明確算術平方根和立方根的定義是解題的關鍵．
12. 分解因式：3a2+6ab+3b2=________________．
【答案】3（a+b）2
【解析】
【分析】先提取公因式3，再根據完全平方公式進行二次分解．完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2．
【詳解】3a2+6ab+3b2=3（a2+2ab+b2）=3（a+b）2．
故答案為:3（a+b）2．
【點睛】本題考查了提公因式法，公式法分解因式．提取公因式后利用完全平方公式進行二次分解，注意分解要徹底．
13. 分式方程的解是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根據解分式方程的步驟計算即可．
【詳解】去分母得：，
解得：，
經檢驗是方程的解，
故答案為：．
【點睛】本題考查解分式方程，正確計算是解題的關鍵，注意要檢驗．
14. 下表是小紅參加一次“陽光體育”活動比賽的得分情況：
評總分時，按跑步占，花樣跳繩占，跳繩占考評，則小紅的最終得分為__________．
【答案】分
【解析】
【分析】根據加權平均數公式進行計算即可．
【詳解】解：由跑步占，花樣跳繩占，跳繩占考評，
則小紅的最終得分為（分），
故答案為：分．
【點睛】本題考查的是加權平均數的含義，熟記加權平均數公式是解本題的關鍵．
15. 如圖，是的直徑，是的弦，與相切于點，連接，若，則的大小為__________．

【答案】
【解析】
【分析】證明，可得，結合，證明，再利用三角形的外角的性質可得答案．
【詳解】解：∵與相切于點，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：
【點睛】本題考查的是圓的切線的性質，等腰三角形的性質，三角形的外角的性質，熟記基本圖形的性質是解本題的關鍵．
16. 如圖，某數學興趣小組用一張半徑為的扇形紙板做成一個圓錐形帽子（接縫忽略不計），如果做成的圓錐形帽子的底面半徑為，那么這張扇形紙板的面積為__________．（結果保留）

【答案】
【解析】
【分析】根據圓錐底面半徑，可以求出圓錐底面周長，底面圓周長即是扇形的弧長，根據扇形面積公式可求出扇形面積．
【詳解】解：帽子底面圓周長為：，
則扇形弧長為， 扇形面積
故答案為：
【點睛】本題考查了扇形面積的計算，掌握圓錐的性質和扇形的面積公式是求解的關鍵．
17. 某校截止到年底，校園綠化面積為平方米．為美化環(huán)境，該校計劃年底綠化面積達到平方米．利用方程想想，設這兩年綠化面積的年平均增長率為，則依題意列方程為__________．
【答案】
【解析】
【分析】設這兩年綠化面積的年平均增長率為，依題意列出一元二次方程即可求解．
【詳解】解：設這兩年綠化面積的年平均增長率為，則依題意列方程為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據題意列出一元二次方程是解題的關鍵．
18. 如圖，在矩形中，，動點在矩形的邊上沿運動．當點不與點重合時，將沿對折，得到，連接，則在點的運動過程中，線段的最小值為__________．

【答案】##
【解析】
【分析】根據折疊的性質得出在為圓心，為半徑的弧上運動，進而分類討論當點在上時，當點在上時，當在上時，即可求解．
【詳解】解：∵在矩形中，，
∴，，
如圖所示，當點在上時，

∵
∴在為圓心，為半徑的弧上運動，
當三點共線時，最短，
此時，
當點在上時，如圖所示，

此時
當在上時，如圖所示，此時

綜上所述，的最小值為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了矩形與折疊問題，圓外一點到圓上的距離的最值問題，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．
三、解答題（本大題有8個小題，第19－25題每題8分，第26題10分，共56分，解答應寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程）
19. 計算：．
【答案】5
【解析】
【分析】根據計算即可．
【詳解】解：
．
【點睛】本題考查了特殊角的三角函數值，負整數指數冪，絕對值，熟練掌握特殊角的婚函數值，負整數指數冪冪得的運算法則是解題的關鍵．
20. 先化簡，再求值：，其中．
【答案】，24
【解析】
【分析】先展開，合并同類項，后代入計算即可．
【詳解】
當時，
原式
．
【點睛】本題考查了平方差公式，完全平方公式的計算，熟練掌握兩個公式是解題的關鍵．
21. 如圖，，點是線段上的一點，且．已知．

（1）證明：．
（2）求線段的長．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根據題意得出，，則，即可得證；
（2）根據（1）的結論，利用相似三角形的性質列出比例式，代入數據即可求解．
【小問1詳解】
證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小問2詳解】
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．
22. 低碳生活已是如今社會的一種潮流形式，人們的環(huán)保觀念也在逐漸加深．低碳環(huán)保，綠色出行成為大家的生活理念，不少人選擇自行車出行．某公司銷售甲、乙兩種型號的自行車，其中甲型自行車進貨價格為每臺元，乙型自行車進貨價格為每臺元．該公司銷售臺甲型自行車和臺乙型自行車，可獲利元，銷售臺甲型自行車和臺乙型自行車，可獲利元．
（1）該公司銷售一臺甲型、一臺乙型自行車的利潤各是多少元？
（2）為滿足大眾需求，該公司準備加購甲、乙兩種型號的自行車共臺，且資金不超過元，最少需要購買甲型自行車多少臺？
【答案】（1）該公司銷售一臺甲型、一臺乙型自行車的利潤分別為元
（2）最少需要購買甲型自行車臺
【解析】
【分析】（1）該公司銷售一臺甲型、一臺乙型自行車的利潤分別為元，根據題意列出二元一次方程組，解方程組即可求解；
（2）設需要購買甲型自行車臺，則購買乙型自行車臺，依題意列出不等式，解不等式求最小整數解，即可求解．
【小問1詳解】
解：該公司銷售一臺甲型、一臺乙型自行車的利潤分別為元，根據題意得，
，
解得：，
答：該公司銷售一臺甲型、一臺乙型自行車的利潤分別為元；
【小問2詳解】
設需要購買甲型自行車臺，則購買乙型自行車臺，依題意得，
，
解得：，
∵為正整數，
∴的最小值為，
答：最少需要購買甲型自行車臺．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，根據題意列出方程組以及不等式是解題的關鍵．
23. 某市對九年級學生進行“綜合素質”評價，評價的結果為A（優(yōu)）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四個等級．現從中隨機抽測了若干名學生的“綜合素質”等級作為樣本進行數據處理，并作出了如下頻數分布圖和如圖（八）所示的條形統(tǒng)計圖（不完整）．請根據圖表中的信息回答下列問題．

（1）求頻數分布表中a，b的值．
（2）補全條形統(tǒng)計圖．
（3）該市九年級學生約人，試估計該市有多少名九年級學生可以評為“A”級．
【答案】（1）的值為，的值為．
（2）見解析． （3）16000
【解析】
【分析】（1）根據D等級的頻數和頻率即可求出樣本容量，進而求出的值，然后用B的頻數除以樣本數量即可求出的值；
（2）按照統(tǒng)計圖的畫法補全即可；
（3）用總體數量乘以A等級的頻率即可求解．
【小問1詳解】
解：樣本容量：，
則，
故的值為，的值為．
小問2詳解】
解：如圖
【小問3詳解】
解：(名)
答：該市約有名九年級學生可以評為“A”級．
【點睛】本題主要考查了條形統(tǒng)計圖的運用，能讀懂統(tǒng)計圖，并熟練掌握頻數、頻率的概念是求解的關鍵．
24. 我國航天事業(yè)捷報頻傳，2023年5月30日，被譽為“神箭”的長征二號F運載火箭托舉神舟十六號載人飛船躍入蒼穹中國空間站應用與發(fā)展階段首次載人發(fā)射任務取得圓滿成功，如圖（九），有一枚運載火箭從地面處發(fā)射，當火箭到達處時，地面處的雷達站測得距離是，仰角為．，火箭直線到達處，此時地面處雷達站測得處的仰角為．求火箭從到處的平均速度（結果精確到）．（參考數據：）

【答案】火箭從到處的平均速度為
【解析】
【分析】根據題意得出，，，，分別解，，求得，進而根據路程除以時間即可求解．
【詳解】解：依題意，得，，，，
在中，，
，
在中，，
∴，
∴火箭從到處的平均速度為，
答：火箭從到處的平均速度為．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握三角函數的定義是解題的關鍵．
25. 如圖，在等邊三角形中，為上的一點，過點作的平行線交于點，點是線段上的動點（點不與重合）．將繞點逆時針方向旋轉，得到，連接交于．

（1）證明：在點的運動過程中，總有．
（2）當為何值時，是直角三角形？
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根據等邊三角形的性質，利用四點共圓知識解答即可．
（2）只有，直角三角形，解答即可．
【小問1詳解】
∵等邊三角形，
∴,，
∵，
∴，
∵繞點逆時針方向旋轉，得到，
∴，
∴時等邊三角形，
∴，
∴，
∴四點共圓，
∴，
∴．
【小問2詳解】
如圖，根據題意，只有當時，成立，
∵繞點逆時針方向旋轉，得到，
∴，
∴時等邊三角形，
∴，
∵，

∴，
∵等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，平行線的性質，四點共圓，特殊角的三角函數值，熟練掌握等邊三角形的性質，平行線的性質，四點共圓，特殊角的三角函數值是解題的關鍵．
26. 如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點和點，且與直線交于兩點（點在點的右側），點為直線上的一動點，設點的橫坐標為．

（1）求拋物線的解析式．
（2）過點作軸的垂線，與拋物線交于點．若，求面積的最大值．
（3）拋物線與軸交于點，點為平面直角坐標系上一點，若以為頂點的四邊形是菱形，請求出所有滿足條件的點的坐標．
【答案】（1）
（2）
（3）點為或或或或
【解析】
【分析】（1）待定系數法求解析式即可求解；
（2）根據題意，聯立拋物線與直線，求得點的橫坐標，表示出的長，根據二次函數的性質求得的最大值，根據即可求解；
（3）根據題意，分別求得，①當為對角線時，，②當為邊時，分，，根據勾股定理即可求解．
【小問1詳解】
解：∵拋物線經過點和點，
∴，
解得：，
∴拋物線解析式為：；
【小問2詳解】
解：∵拋物線與直線交于兩點，（點在點的右側）
聯立，
解得：或，
∴，
∴，
∵點為直線上的一動點，設點的橫坐標為．
則，，
∴，當時，取得最大值為，
∵，
∴當取得最大值時，最大，
∴，
∴面積的最大值；
【小問3詳解】
∵拋物線與軸交于點，
∴，當時，，即，
∵，
∴,
，，
①當為對角線時，，

∴，
解得：，
∴，
∵的中點重合，
∴，
解得：，
∴，
②當為邊時，
當四邊形為菱形，

∴，
解得：或，
∴或，
∴或，
由的中點重合，
∴或，
解得：或，
∴或，
當時；
如圖所示，即四邊形是菱形，

點的坐標即為四邊形為菱形時，的坐標，
∴點為或，
綜上所述，點為或或或或．
【點睛】本題考查了二次函數的性質，面積問題，菱形的性質與判定，勾股定理，熟練掌握二次函數的性質，細心的計算是解題的關鍵．項目
跑步
花樣跳繩
跳繩
得分
90
80
70
等級
頻數
頻率
A
a
0.2
B
1600
b
C
1400
035
D
200
0.05

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