4[2021浙江卷·9,4分,難度★★★☆☆]已知a,b∈R,ab>0,函數(shù)f(x)=ax2+b(x∈R).若f(s-t),f(s),f(s+t)成等比數(shù)列,則平面上點(s,t)的軌跡是A.直線和圓 B.直線和橢圓C.直線和雙曲線 D.直線和拋物線
4.C　因為函數(shù)f(x)=ax2+b,所以f(s-t)=a(s-t)2+b,f(s)=as2+b,f(s+t)=a(s+t)2+b.因為f(s-t),f(s),f(s+t)成等比數(shù)列,所以f 2(s)=f(s-t)f(s+t),即(as2+b)2=[a(s-t)2+b]·[a(s+t)2+b],化簡得-2a2s2t2+a2t4+2abt2=0,得t=0或2as2-at2=2b,易知點(s,t)的軌跡為一條直線和一個雙曲線.故選C.
12[2018全國Ⅱ卷·19,12分,難度★★★☆☆]設拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求過點A,B且與C的準線相切的圓的方程.
16[2021全國甲卷·21,12分,難度★★★★☆]拋物線C的頂點為坐標原點O,焦點在x軸上,直線l:x=1交C于P,Q兩點,且OP⊥OQ.已知點M(2,0),且☉M與l相切.(1)求C,☉M的方程;(2)設A1,A2,A3是C上的三個點,直線A1A2,A1A3均與☉M相切,判斷直線A2A3與☉M的位置關系,并說明理由.

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