一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）
1. ﹣3的相反數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】相反數(shù)的定義是：如果兩個數(shù)只有符號不同，我們稱其中一個數(shù)為另一個數(shù)的相反數(shù)，特別地，0的相反數(shù)還是0．
【詳解】根據(jù)相反數(shù)的定義可得：－3的相反數(shù)是3，
故選D．
【點睛】本題考查相反數(shù)，題目簡單，熟記定義是關鍵．
2. 下列函數(shù)中，函數(shù)值y隨x的增大而減小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質，逐項分析即可得到答案．
【詳解】解：A、 ，，y隨x的增大而增大，不符合題意；
B、 ，，y隨x的增大而減小，符合題意；
C、 ，，在每個象限內，y隨x的增大而減小，不符合題意；
D、 ，，在每個象限內，y隨x的增大而增大，不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質，熟練掌握函數(shù)的性質，是解題的關鍵．
3. 拋物線的頂點坐標是（ ）
A. B. C. D.
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【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質，根據(jù)頂點式解析式寫出頂點坐標即可得解，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解此題的關鍵．
【詳解】解：的頂點坐標是，
故選：．
4. 2023年5月30日上午，我國載人航天飛船“神舟十六號”發(fā)射圓滿成功．與此同時，中國載人航天辦公室也宣布計劃在2030年前實現(xiàn)中國人首次登陸距地球平均距離為384000萬千米的月球．將384000用科學記數(shù)法表示應為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了科學記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整數(shù)）；n的值為小數(shù)點向左移動的位數(shù)．
根據(jù)科學記數(shù)法的定義，計算求值即可；
【詳解】解： ，
故選：B．
5. 下列運算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則、合并同類項法則、完全平方公式和冪的乘方的運算法則進行計算即可．
【詳解】解：∵，故A不符合題意；
∵，故B不符合題意；
∵，故C不符合題意；
∵，故D符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法法則、合并同類項法則、完全平方公式和冪的乘方的運算法則，熟練掌握相關法則是解題的關鍵．
6. 如圖，在中，，，則（ ）

A. B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查正切的計算，熟知直角三角形中正切的表示是解題的關鍵．根據(jù)正切的定義計算，得到答案．
【詳解】解：在中，，，
故選：A．
7. 若k為任意整數(shù)，則的值總能（ ）
A. 被2整除B. 被3整除C. 被5整除D. 被7整除
【答案】B
【解析】
【分析】用平方差公式進行因式分解，得到乘積的形式，然后直接可以找到能被整除的數(shù)或式．
【詳解】解：
，
能被3整除，
∴的值總能被3整除，
故選：B．
【點睛】本題考查了平方差公式的應用，平方差公式為通過因式分解，可以把多項式分解成若干個整式乘積的形式．
8. 如圖，直角三角形ACB中，兩條直角邊AC=8，BC=6，將△ACB繞著AC中點M旋轉一定角度，得到△DFE，點F正好落在AB邊上，DE和AB交于點G，則AG的長為（ ）
A. 1.4B. 1.8C. 1.2D. 1.6
【答案】A
【解析】
【分析】由勾股定理可求AB=10，由旋轉的性質可得∠A=∠D，DM=AM，CM=MF，DE=AB=10，可得AM=MF=CM，可得∠AFC=90°，由銳角三角函數(shù)可求AF的長，由直角三角形的性質可求GF的長，即可求AG的長．
【詳解】解：如圖，連接CF，
∵AC=8，BC=6，
∴AB==10，
∵點MAC中點，
∴AM=MC=4，
∵將△ACB繞著AC中點M旋轉一定角度，得到△DFE，
∴∠A=∠D，DM=AM，CM=MF，DE=AB=10，
∴AM=MF=CM，
∴∠MAF=∠MFA，∠MFC=∠MCF，
∵∠MAF+∠MFA+∠MFC+∠MCF=180°，
∴∠MFA+∠MFC=90°，
∴∠AFC=90°，
∵×AB×CF=×AC×BC，
∴CF=，
∴AF=，
∵∠A=∠D，∠A=∠AFM，
∴∠D=∠AFM，
又∵∠DFE=90°，
∴DG=GF，∠E=∠GFE，
∴GF=GE，
∴GF=GD=GE=5，
∴AG=AF-GF=-5==1.4，
故選：A．
【點睛】本題考查了旋轉的性質，勾股定理，三角形內角和定理，求AF的長是本題的關鍵．
二、填空題（共10小題，每小題3分，滿分30分．每個小題只有一個選項是正確的，請把正確選項的字母涂在答題卡相應的位置）
9. 若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)分式有意義的條件列不等式求解即可．
【詳解】解：若代數(shù)式有意義，則，
解得：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了分式有意義的條件，熟知分式有意義，分母不為零是解題的關鍵．
10. 小張在“陽光大課間”活動中進行了5次一分鐘跳繩練習，所跳個數(shù)分別為：160，163，160，157，160．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為__________．
【答案】160
【解析】
【分析】根據(jù)眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值求解即可．
【詳解】解：這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是160，出現(xiàn)了三次，
∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為160，
故答案為：160．
【點睛】題目注意考查求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，理解眾數(shù)的定義是解題關鍵．
11. 分解因式：=__________________.
【答案】
【解析】
【詳解】試題分析：原式提公因式得：y（x2-y2）=
考點：分解因式
點評：本題難度中等，主要考查學生對多項式提公因式分解因式等知識點的掌握．需要運用平方差公式．
12. 已知為正整數(shù)，點在第一象限中，則___________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)點在第一象限，則，根據(jù)為正整數(shù)，則，即可．
【詳解】∵點在第一象限中，
∴，
∴，
∵為正整數(shù)，
∴，
∴，
∴．
故答案為：
【點睛】本題考查平面直角坐標系的知識，解題的關鍵是掌握點的坐標的性質．
13. 在中，若兩直角邊長為、，則它的外接圓的面積為______．
【答案】##平方厘米
【解析】
【分析】此題考查的是求三角形的外接圓的面積，掌握圓周角為直角所對的弦是直徑是解決此題的關鍵．
根據(jù)題意，寫出已知條件并畫出圖形，然后根據(jù)勾股定理即可求出，再根據(jù)圓周角為直角所對的弦是直徑即可得出結論．
【詳解】如圖，已知：，，
由勾股定理得： ，
∵，
∴是的直徑，
∴這個三角形的外接圓直徑是，半徑為，
∴面積為，
故答案為：．
14. 在△ABC中，若，則的度數(shù)是 _____．
【答案】##105度
【解析】
【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值：記住特殊角的三角函數(shù)值是解決問題的關鍵．也考查了非負數(shù)的性質．
先利用非負數(shù)的性質得到，即，則根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得到的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內角和定理計算出的度數(shù)．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
15. 關于x的分式方程有增根，則___________．
【答案】
【解析】
【分析】等式兩邊同時乘以公因式，化簡分式方程，然后根據(jù)方程有增根，求出的值，即可求出．
【詳解】，
解：方程兩邊同時乘以，得，
∴，
∵原方程有增根，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查分式方程的知識，解題的關鍵是掌握分式方程的增根．
16. 已知二次函數(shù)，當x >4時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是_______________
【答案】m≤4

【解析】
【詳解】∵二次函數(shù)y=x2﹣mx﹣1中，a=﹣1＜0，∴此函數(shù)開口向下，∵當x＞4時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，∴二次函數(shù)的對稱軸x= ≥4，即m≤4，故答案為m≤4．
17. 如圖，與位于平面直角坐標系中，，，，若，反比例函數(shù)恰好經過點C，則______．
【答案】
【解析】
【分析】過點C作軸于點D，由題意易得，然后根據(jù)含30度直角三角形的性質可進行求解．
【詳解】解：過點C作軸于點D，如圖所示：

∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴點，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)的圖象與性質及含30度直角三角形的性質，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質及含30度直角三角形的性質是解題的關鍵．
18. 點在邊長為的正方形的邊上，點在邊上，，則面積的最小值為________．
【答案】##
【解析】
【分析】將繞點順時針旋轉得到，證明，則，，設，則，在中，由得出，根據(jù)二次函數(shù)的性質即可求解．
【詳解】解：如圖所示，
將繞點順時針旋轉得到，
則，
在中，
∴
設，則
，
在中，
當時，
∴的最小值為
故答案為：．
【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的性質與判定，勾股定理，二次函數(shù)與圖形問題，構造二次函數(shù)關系式是解題的關鍵．
三、解答題（本大題共10題，滿分96分，請在答題紙的指定區(qū)域內作答，并寫出證明或演算步驟）
19. 計算：．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)零次冪及特殊三角函數(shù)值可進行求解．
【詳解】解：原式
．
【點睛】本題主要考查零次冪及特殊三角函數(shù)值，熟練掌握各個運算是解題的關鍵．
20. 先化簡，再求值：，其中 x 是方程 x2 ? 2x ? 3 ? 0 的根．
【答案】，4
【解析】
【分析】先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再根據(jù)x是方程的根求出x的值，把x的值代入進行計算即可．
【詳解】解：
=
=
=
∵x是方程的根，
∴解得：，，
∵x不能取-1，
∴當x=3時，原式=3+1=4．
【點睛】本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關鍵．
21. 4月23日是世界讀書日，為了解學生的閱讀喜好，豐富學校圖書資源，某校將課外書籍設置了四類：文學類、科技類、藝術類、其他類，隨機抽查了部分學生，要求每名學生從中選擇自己最喜歡的一類，將抽查結果繪制成如圖統(tǒng)計圖（不完整）．
請根據(jù)圖中信息解答下列問題：
（1）求被抽查的學生人數(shù)，并將條形統(tǒng)計圖補充完整；
（2）求出扇形統(tǒng)計圖中的值；
（3）若該校共有1200名學生，根據(jù)抽查結果，試估計全校最喜歡“文學類”書籍的學生人數(shù)．
【答案】（1）200；見解析
（2）
（3）360
【解析】
【分析】本題考查條形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體，
（1）將其他類人數(shù)除以其所占的比即可求出被抽查的人數(shù)；先求出藝術類人數(shù)，再補全條形統(tǒng)計圖即可；
（2）將科技類人數(shù)除以被抽查的人數(shù)化成百分數(shù)，即可求出的值；
（3）將1200乘以樣本中最喜歡“文學類”書籍所占的比例即可估計全校最喜歡“文學類”書籍的學生人數(shù)．
能從統(tǒng)計圖中獲取有用信息是解題的關鍵．
【小問1詳解】
解：被抽查的學生人數(shù)是（人），
（人，
補全的條形統(tǒng)計圖如圖所示．
被抽查學生最喜歡的書籍種類
條形統(tǒng)計圖
【小問2詳解】
，
扇形統(tǒng)計圖中的值是，
【小問3詳解】
（人，
估計全校最喜歡“文學類”書籍的學生人數(shù)共有360人．
22. “石頭、剪子、布”是一個廣為流傳的游戲，規(guī)則是：甲、乙兩人都做出“石頭”“剪子”“布”3種手勢中的1種，其中“石頭”贏“剪子”，“剪子”贏“布”，“布”贏“石頭”，手勢相同不分輸贏．假設甲、乙兩人每次都隨意并且同時做出3種手勢中的1種．
（1）甲每次做出“石頭”手勢的概率為_________；
（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求乙不輸?shù)母怕剩?br>【答案】（1）
（2）見解析，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)概率計算公式求解即可；
（2）先畫樹狀圖得出所有等可能性的結果數(shù)，然后找到乙不輸?shù)慕Y果數(shù)，最后利用概率計算公式求解即可．
【小問1詳解】
解：∵甲每次做出的手勢只有“石頭”、“剪子”、“布”其中的一種，
∴甲每次做出“石頭”手勢的概率為；
【小問2詳解】
解：樹狀圖如圖所示：
甲、乙兩人同時做出手勢共有9種等可能結果，其中乙不輸?shù)墓灿?種，
∴（乙不輸）．
答：乙不輸?shù)母怕适牵?br>【點睛】本題主要考查了簡單的概率計算，利用列表法或樹狀圖法求解概率，熟知概率計算公式是解題的關鍵．
23. 如圖，反比例函數(shù)的圖像經過點和點，點在點的下方，平分，交軸于點．
（1）求反比例函數(shù)的表達式．
（2）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出線段的垂直平分線．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，使用2B鉛筆作圖）
（3）線段與（2）中所作的垂直平分線相交于點，連接．求證：．
【答案】（1）
（2）圖見解析部分 （3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）把點的坐標代入反比例函數(shù)解析式，即可得出答案；
（2）利用基本作圖作線段的垂直平分線即可；
（3）根據(jù)垂直平分線的性質和角平分線的定義可得到，然后利用平行線的判定即可得證.
【小問1詳解】
解：∵反比例函數(shù)的圖像經過點，
∴當時，，
∴，
∴反比例函數(shù)的表達式為：；
【小問2詳解】
如圖，直線即為所作；
【小問3詳解】
證明：如圖，
∵直線是線段的垂直平分線，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了作圖—基本作圖，用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，平行線的判定，角平分線的定義等知識． 解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．
24. 一艘輪船在某海域上由西向東勻速航行，在A處測得小島P在北偏東方向上，繼續(xù)向東航行12海里到達B處后，在B處測得小島P在北偏東方向上．
（1）求輪船在B處時與小島P的距離．
（2）已知在小島P周圍7海里內有暗礁，若輪船繼續(xù)向東航行，是否有觸礁的危險？請說明理由．
【答案】（1）輪船在B處時與小島P的距離為12海里
（2）若該輪船繼續(xù)向東航行，有觸礁的危險
【解析】
【分析】（1）求出，利用等角對等邊得出即可解決問題．
（2）過點P作的垂線，求出點P到的距離，將這個距離與7進行比較即可解決問題．
【小問1詳解】
由題意，得，，
∵，
，
海里．
答：輪船在B處時與小島P的距離為12海里．
【小問2詳解】
若該輪船繼續(xù)向東航行，有觸礁的危險．理由如下：
如圖，過點P作直線于點D．
海里，
海里．
，
∴若該輪船繼續(xù)向東航行，有觸礁的危險．
【點睛】本題考查了方向角問題，三角形外角的性質，以及等角對等邊，過點P作的垂線構造出直角三角形是解題的關鍵．
25. 如圖，在中，是上（異于點，）一點，恰好經過點，，于點，且平分．

（1）判斷與的位置關系，并說明理由；
（2）若，，求的半徑長．
【答案】（1）見解析 （2）的半徑長為．
【解析】
【分析】（1）連接，證明，即可證得，從而證得是圓的切線；
（2）設，則，利用勾股定理求得，推出，利用相似三角形的性質列得比例式，據(jù)此求解即可．
【小問1詳解】
證明：連接，如下圖所示，

∵是的平分線，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
又∵過半徑的外端點B，
∴與相切；
【小問2詳解】
解：設，則，
∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得．
故的半徑長為．
【點睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質，以及勾股定理，熟練掌握切線的判定是解本題的關鍵．
26. 某水產經銷商以每千克30元的價格購進一批某品種淡水魚，由銷售經驗可知，這種淡水魚的日銷售量y（千克）與銷售價格x（元/千克）存在一次函數(shù)關系，部分數(shù)據(jù)如下表所示：
（1）試求出y關于x的函數(shù)表達式．
（2）設該經銷商銷售這種淡水魚的日銷售利潤為W元，如果不考慮其他因素，求當銷售價格x為多少時，日銷售利潤W最大？最大的日銷售利潤是多少元？
【答案】（1）
（2）銷售價格為每千克45元時，日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是2250元
【解析】
【分析】（1）設y與x之間的函數(shù)關系式為，由表中數(shù)據(jù)即可得出結論；
（2）根據(jù)每日總利潤=每千克利潤×銷售量列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質求最值即可．
【小問1詳解】
解：設y關于x的函數(shù)表達式為．
將和分別代入，得：
，
解得：，
∴y關于x的函數(shù)表達式是：；
【小問2詳解】
解：，
∵，
∴當時，在的范圍內，
W取到最大值，最大值是2250．
答：銷售價格為每千克45元時，日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是2250元．
【點睛】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)的應用，關鍵是根據(jù)等量關系寫出函數(shù)解析式．
27. 據(jù)圖回答下列各題．
【問題：】如圖1，在中，，點是邊上一點（不與，重合），將線段繞點逆時針旋轉得到，連接，則線段，之間滿足的數(shù)量關系式為 ．
【探索：】如圖2，在與中，，，將繞點旋轉，使點落在邊上，請?zhí)剿骶€段，，之間滿足的數(shù)量關系，并證明你的結論．
【應用：】如圖3，在四邊形中，，若，，求的長．
【答案】【問題】結論：，證明見解析部分
【探索】結論：，證明見解析部分
【應用】6
【解析】
【分析】（1）證明，根據(jù)全等三角形的性質解答；
（2）連接，根據(jù)全等三角形的性質得到，，得到，根據(jù)勾股定理計算即可；
（3）過點作，使，連接，，證明，得到，根據(jù)勾股定理計算即可．
【詳解】解：（1）結論：，
理由如下：
，
，即，
在和中，
，
，
，
故答案為：；
（2）結論：，
理由如下：
連接，如圖所示：
中，，，則，
由（1）得，，
，，
，
，
在中，，又，
；
（3）過點作，使，連接，，如圖所示：
即在中，，，則，
，
∴，
在與中，
，
，
，
，，
，
，
，
．
點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質、勾股定理、以及旋轉變換的性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．
28. 如圖，在平面直角坐標系中拋物線與軸交于點，，與軸交于點，其中，．
（1）求該拋物線的表達式；
（2）點是直線下方拋物線上一動點，過點作于點，求的最大值及此時點的坐標；
（3）在（）的條件下，將該拋物線向右平移個單位，點為點的對應點，平移后的拋物線與軸交于點，為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點．求出所有使得以為腰的是等腰三角形的點的坐標．
【答案】（1）；
（2）的最大值為，此時點；
（3）點的坐標為或或．
【解析】
【分析】（）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求解；
（）直線的解析式為，過點作軸于點，交于點，設，則，則，進而根據(jù)二次函數(shù)的性質即可求解；
（）根據(jù)平移的性質得出，對稱軸為直線，點向右平移個單位得到，，勾股定理分別表示出，，進而分類討論即可求解．
【小問1詳解】
解：將點，，代入得，
，
解得：，
∴拋物線解析式為：；
【小問2詳解】
∵與軸交于點，，
當時，，
解得：，
∴，
∵，
設直線的解析式為，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為，
如圖所示，過點作軸于點，交于點，

設，則，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴當時，取得最大值為，，
∴；
【小問3詳解】
∵拋物線，
將該拋物線向右平移個單位，得到，對稱軸為直線，
點向右平移個單位得到，
∵平移后的拋物線與軸交于點，令，則，
∴，
∴，
∵為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點，
則點的橫坐標為，
設，
∴，，
當時，，
解得：或，
當時，，
解得：，
綜上所述，點的坐標為或或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，解直角三角形，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的平移，線段周長問題，特殊三角形問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．銷售價格x（元/千克）
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