2023-2024學(xué)年江蘇省宿遷市沭陽(yáng)縣九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共8小題，共24.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.下列方程中，關(guān)于的一元二次方程的是(    )A.  B.  C.  D. 2.用配方法解方程時(shí)，原方程應(yīng)變形為(    )A.  B.  C.  D. 3.的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離為，點(diǎn)與的位置關(guān)系是(    )A. 點(diǎn)在外 B. 點(diǎn)在內(nèi) C. 點(diǎn)在上 D. 不能確定4.若關(guān)于的一元二次方程，該方程的解的情況是(    )A. 沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
C. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D. 不能確定5.下列結(jié)論正確的是(    )A. 三點(diǎn)確定一個(gè)圓 B. 相等的圓心角所對(duì)的弧相等
C. 等弧所對(duì)的弦相等 D. 三角形的外心到三角形各邊的距離相等6.如圖，將放在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為的網(wǎng)格中，點(diǎn)、、均落在格點(diǎn)上，用一個(gè)圓面去覆蓋，能夠完全覆蓋這個(gè)三角形的最小圓面半徑是(    )

 A.  B.  C.  D. 7.已知是關(guān)于的方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根恰好是等腰的兩條邊的邊長(zhǎng)，則的周長(zhǎng)為(    )A.  B.  C.  D. 或8.如圖，，是的弦，，點(diǎn)在內(nèi)，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)若的半徑為，則的長(zhǎng)度的最大值是(    )A.
B.
C.
D. 第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共10小題，共30.0分）9.一元二次方程的根______．10.一元二次方程的一個(gè)根是，則值為______ ．11.若與的值互為相反數(shù)，則的值是______ ．12.如圖，是的內(nèi)接三角形．若，，則的半徑是          ．
 
  
 13.如圖：為的直徑，是的弦，、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，已知，，則的大小是______
 14.設(shè)，分別為一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 ______ ．15.如圖，是的弦，且，點(diǎn)是弧中點(diǎn)，點(diǎn)是優(yōu)弧上的一點(diǎn)，，則圓心到弦的距離等于______．
 16.一條弦把圓分成：兩部分，則這條弦所對(duì)的圓周角為______ 17.已知關(guān)于的方程的兩根為，，則方程的兩根之和為______ ．18.如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)是邊上另一動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的最小值為______ ．
 三、解答題（本大題共10小題，共96.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）19.本小題分
解方程：；
解方程：．20.本小題分
閱讀下面的例題，解方程
解：原方程化為令，原方程化成
解得：，
當(dāng)，；當(dāng)時(shí)不合題意，舍去
原方程的解是
請(qǐng)模仿上面的方法解方程：．21.本小題分
如圖，的弦、相交于點(diǎn)，且求證．

 22.本小題分
已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，．
求的取值范圍；
若，求的值．23.本小題分

如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的與相交于點(diǎn)．
若弧的度數(shù)為，則 ______ ；
若，，求線段的長(zhǎng)．
24.本小題分
如果關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根比另一個(gè)根大，那么稱這樣的方程為“鄰根方程”例如，一元二次方程的兩個(gè)根是，，則方程是“鄰根方程”
通過(guò)計(jì)算，判斷方程是否是“鄰根方程”；
已知關(guān)于的二次方程是常數(shù)是“鄰根方程”，求的值．25.本小題分

如圖，已知
用直尺和圓規(guī)作出的外接圓；
若，，求的半徑．
26.本小題分
年北京冬奧會(huì)吉祥物深受大家的喜歡．某特許零售店的冬奧會(huì)吉祥物銷售量日益火爆．據(jù)統(tǒng)計(jì)，該店年月的“冰墩墩”銷量為萬(wàn)件，年月的“冰墩墩”銷量為萬(wàn)件．
求該店“冰墩墩”銷量的月平均增長(zhǎng)率；
該零售店月將采用提高售價(jià)的方法增加利潤(rùn)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研得出結(jié)論：如果將進(jìn)價(jià)元的“冰墩墩”按每件元出售，每天可銷售件，在此基礎(chǔ)上售價(jià)每漲元，那么每天的銷售量就會(huì)減少件，該零售店要想每天獲得元的利潤(rùn)，且銷量盡可能大，則每件商品的售價(jià)應(yīng)該定為多少元？27.本小題分
探索一個(gè)問(wèn)題：任意給定一個(gè)矩形，是否存在另一個(gè)矩形，它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形周長(zhǎng)和面積的一半完成下列空格．
當(dāng)已知矩形的邊長(zhǎng)分別是和時(shí)，小亮同學(xué)是這樣研究的：設(shè)所求矩形的兩邊分別是，，由題意得方程組，消去化簡(jiǎn)得：
，______；______；所以滿足要求的存在；
如果已知矩形的邊長(zhǎng)分別是和，請(qǐng)你仿照小亮方法研究是否存在滿足要求的矩形；
如果矩形的邊長(zhǎng)為，，請(qǐng)你研究滿足什么條件時(shí)，矩形存在？28.本小題分
【基礎(chǔ)鞏固】如圖，內(nèi)接于，若，弦，則半徑 ______ ；
【問(wèn)題探究】如圖，四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)均在上，若，，點(diǎn)為弧上一動(dòng)點(diǎn)不與點(diǎn)，點(diǎn)重合求證：；
【解決問(wèn)題】如圖，一塊空地由三條直路線段、、和一條道路劣弧圍成，已知千米，，的半徑為千米，市政府準(zhǔn)備將這塊空地規(guī)劃為一個(gè)公園，主入口在點(diǎn)處，另外三個(gè)入口分別在點(diǎn)、、處，其中點(diǎn)在上，并在公園中修四條慢跑道，即圖中的線段、、、，某數(shù)學(xué)興趣小組探究后發(fā)現(xiàn)、、、四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，請(qǐng)你幫他們證明、、、四點(diǎn)共圓，并判斷是否存在一種規(guī)劃方案，使得四條慢跑道總長(zhǎng)度即四邊形的周長(zhǎng)最大？若存在，求其最大值；若不存在，說(shuō)明理由．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：該方程是二元一次方程，故此選項(xiàng)不符合題意；
B.該方程是二元二次方程，故此選項(xiàng)不符合題意；
C.該方程是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意；
D、該方程是分式方程，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：．
根據(jù)只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的整式方程叫一元二次方程進(jìn)行分析即可．
此題主要考查了一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是掌握判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住個(gè)方面：“化簡(jiǎn)后”；“一個(gè)未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于”；“整式方程”．2.【答案】 【解析】解：，
移項(xiàng)，得，
兩邊同時(shí)加，得，
，
故選：．
根據(jù)配方法即可求出答案．
本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．3.【答案】 【解析】解：的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離為，
即點(diǎn)到圓心的距離大于圓的半徑，
所以點(diǎn)在外．
故選：．
根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．
本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．4.【答案】 【解析】解：，
方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
故選：．
先計(jì)算出判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況．
本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．5.【答案】 【解析】解：、不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、等弧所對(duì)的弦相等，故故本選項(xiàng)正確；
D、三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：．
根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得出答案．
本題考查了命題與定理，關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)性質(zhì)和定理，能對(duì)命題的真假進(jìn)行判斷．6.【答案】 【解析】解：如圖所示：點(diǎn)為外接圓圓心，則為外接圓半徑，

故能夠完全覆蓋這個(gè)三角形的最小圓面的半徑是：．
故選：．
根據(jù)題意得出的外接圓的圓心位置，進(jìn)而利用勾股定理得出能夠完全覆蓋這個(gè)三角形的最小圓面的半徑．
此題主要考查了三角形的外接圓與外心，得出外接圓圓心位置是解題關(guān)鍵．7.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了一元二次方程的解三角形三邊的關(guān)系有關(guān)知識(shí)，把代入已知方程求得的值；然后通過(guò)解方程求得該方程的兩根，即等腰的兩條邊長(zhǎng)，由三角形三邊關(guān)系和三角形的周長(zhǎng)公式進(jìn)行解答即可．
【解答】
解：把代入方程得，
解得，
則原方程為，
解得，，
因?yàn)檫@個(gè)方程的兩個(gè)根恰好是等腰的兩條邊長(zhǎng)，
當(dāng)的腰為，底邊為時(shí)，則的周長(zhǎng)為；
當(dāng)的腰為，底邊為時(shí)，則的周長(zhǎng)為．
綜上所述，該的周長(zhǎng)為或．
故選D．8.【答案】 【解析】解：連接、、，作于，

，
，，
，，
，
，
，，
，
，，
，
當(dāng)是直徑時(shí)，的值最大，最大值為，
的最大值為．
故選：．
連接、、，作于，首先求出的長(zhǎng)，利用三角形的中位線定理即可解決問(wèn)題．
本題考查圓周角定理、三角形的中位線的定理、解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．9.【答案】， 【解析】解：由原方程得，
整理得，
則或，
解得，．
故答案是：，．
先移項(xiàng)，然后利用提取公因式法對(duì)等式的左邊進(jìn)行因式分解．
本題考查了解一元二次方程因式分解法．因式分解法就是先把方程的右邊化為，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想．10.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意將代入方程，得，
解得．
故答案為．
根據(jù)一元二次方程的根的定義，方程的根就是能使方程的左右兩邊相等的未知數(shù)的值，因而把代入方程就得到一個(gè)關(guān)于的方程，就可以求出的值．
本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義，逆用一元二次方程解的定義易得出的值．11.【答案】 【解析】解：與的值互為相反數(shù)，
，
，
，
解得．
故答案為：．
由題意得，整理得，根據(jù)方程系數(shù)的特點(diǎn)，應(yīng)用因式分解法解答．
本題既考查了相反數(shù)的性質(zhì)，又考查了解一元二次方程的方法，當(dāng)把方程通過(guò)移項(xiàng)把等式的右邊化為后，方程的左邊能因式分解時(shí)，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為的式子的特點(diǎn)解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一種簡(jiǎn)便方法，要會(huì)靈活運(yùn)用．當(dāng)化簡(jiǎn)后不能用分解因式的方法時(shí)，即可考慮用求根公式法，此法適用于任何一元二次方程．12.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得，再利用同弧所對(duì)的圓周角相等可得，然后在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，從而求出的半徑，即可解答．
【解答】
解：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，

是的直徑，
，
，
，
即
，
的半徑是，
故答案為：．13.【答案】 【解析】解：連接，

，，
，
，
是的一個(gè)外角，
，
，
，
是的一個(gè)外角，
，
，
，
故答案為：．
連接，根據(jù)已知可得，從而可得，然后利用三角形的外角性質(zhì)可得，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得，最后利用三角形的外角性質(zhì)可得，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．14.【答案】 【解析】解：為一元二次方程的實(shí)數(shù)根，
，
，
，
，分別為一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
，
．
故答案為：．
先根據(jù)一元二次方程解的定義得到，則可化為，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算．
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，．15.【答案】 【解析】解：如圖，

連接、，交于點(diǎn)，
點(diǎn)是弧中點(diǎn)，，
，且，
，
，
，
，
故圓心到弦的距離為．
故答案為：．
根據(jù)題意連接、，交于點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理推出，且，再由圓周角定理推出，從而根據(jù)直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
本題考查圓周角定理及垂徑定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，，從而根據(jù)垂徑定理和圓周角定理進(jìn)行求解，注意數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用．16.【答案】或 【解析】解：如圖：連接，，

弦把分成：兩部分，
的度數(shù)，
，
，
四邊形是的內(nèi)接四邊形，
，
弦所對(duì)的圓周角為或，
故答案為：或．
連接，，根據(jù)已知易得的度數(shù)為，從而可得，然后根據(jù)圓周角定理可得，再利用圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．17.【答案】 【解析】解：把方程看作關(guān)于的一元二次方程，
關(guān)于的方程的兩根為，，
或，
解得，，
．
故答案為：．
把方程看作關(guān)于的一元二次方程，則利用方程的兩根為，得到或，于是可求出方程的兩根，然后得到兩根之和．
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，利用換元的思想是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．18.【答案】 【解析】解：如圖，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓上，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，由對(duì)稱知，，
，．
過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則，，
在中，．
，，，四點(diǎn)共線時(shí)，，
的最小值為；

故答案為：．
如圖，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓上，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，由對(duì)稱知，，可得當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，最短，此時(shí)最短；過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則中，，的最小值為．
本題考查兩點(diǎn)之間線段最短，正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，圓的定義，勾股定理；通過(guò)軸對(duì)稱，作線段的等量轉(zhuǎn)移是解題的關(guān)鍵．19.【答案】解：，
，即，
則，
，；
，
，
或，
解得：，． 【解析】利用配方法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．20.【答案】解：原方程化為，
令，原方程化成，
解得：，，
當(dāng)，
，
解得：，；
當(dāng)時(shí)舍去．
則原方程的解是，． 【解析】將方程第一項(xiàng)變形為，設(shè)，將方程化為關(guān)于的一元二次方程，求出方程的解得到的值，即為的值，利用絕對(duì)值的代數(shù)意義即可求出的值，即為原方程的解．
此題考查了換元法解一元二次方程，絕對(duì)值的代數(shù)意義，以及解一元二次方程分解因式法，弄清題意閱讀材料中的例題的解法是解本題的關(guān)鍵．21.【答案】證明：連接．

，
，即，
，
． 【解析】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．
連接，利用圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系、等腰三角形的判定定理解答即可．22.【答案】解：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
，
解得：．
、是方程的實(shí)數(shù)根，
，，
，
解得：，，
經(jīng)檢驗(yàn)，，都是原分式方程的根．
又，
． 【解析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范圍；
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出、，結(jié)合即可得出關(guān)于的方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)即可得出結(jié)論．
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：牢記“當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合找出關(guān)于的方程．23.【答案】 【解析】解：連接，

弧的度數(shù)為，
，
，
，
，
，
故答案為：；
過(guò)點(diǎn)作于，

，
在中，，，
，
的面積，
，
解得：，
在中，，
，
，
線段的長(zhǎng)為．
連接，根據(jù)已知可得，然后利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得，從而利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余進(jìn)行計(jì)算，即可解答；
過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)垂徑定理可得，然后在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再利用面積法求出的長(zhǎng)，最后在
中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，進(jìn)而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．24.【答案】解：解方程得：或，
，
是“鄰根方程”；

由方程解得：或，
由于關(guān)于的二次方程是常數(shù)是“鄰根方程”，
則或，
解得或． 【解析】根據(jù)解一元二次方程的方法求出已知方程的兩個(gè)根，再計(jì)算兩根的差是否為，從而確定方程是否為“鄰根方程”；
先解方程求得其根，再根據(jù)新定義列出關(guān)于的方程，注意有兩種情況；
本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法以及正確理解“鄰根方程”的定義，本題屬于中等題型．25.【答案】解：如圖，為所作；

連接交于，如圖，
，
，
垂直平分，
即，，
在中，，
設(shè)的半徑為，則，，
在中，，解得，
即的半徑為． 【解析】作和的垂直平分線，它們相交于點(diǎn)，然后以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)圓即可；
連接交于，如圖，先得到，再根據(jù)垂徑定理得到垂直平分，則可根據(jù)勾股定理計(jì)算出，設(shè)的半徑為，則，，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可．
本題考查了作圖復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．26.【答案】解：設(shè)該店“冰墩墩”銷量的月平均增長(zhǎng)率為，
由題意可得，，
解得，舍去，
答：該店“冰墩墩”銷量的月平均增長(zhǎng)率為．
設(shè)每件商品的售價(jià)應(yīng)該定為元，
則每件商品的銷售利潤(rùn)為元，
每天的銷售量為件，
依題意可得，
解得，，
要使銷量盡可能大，
，
答：每件商品的售價(jià)應(yīng)該定為元． 【解析】設(shè)該店“冰墩墩”銷量的月平均增長(zhǎng)率為，由題意可列方程為，求解即可．
設(shè)每件商品的售價(jià)應(yīng)該定為元，根據(jù)題意可列方程為，求出的值，再使其滿足銷量盡可能大即可．
本題考查一元二次方程的應(yīng)用，能根據(jù)已知條件列出方程是解答本題的關(guān)鍵．27.【答案】  【解析】解：，
，
，
，，
滿足要求的矩形存在．
故答案為，；

設(shè)所求矩形的兩邊分別是和，由題意，得
，
消去化簡(jiǎn)，得
，
，
不存在矩形．
，
，
當(dāng)時(shí)，矩形存在．
直接利用求根公式計(jì)算即可；
參照中的解法解題即可；
解法同上，利用根的判別式列不等關(guān)系可求，滿足的條件．
此類題目考查了一元二次方程的應(yīng)用，要讀懂題意，準(zhǔn)確的找到等量關(guān)系列方程組，要會(huì)靈活運(yùn)用根的判別式在不解方程的情況下判斷一元二次方程的解的情況．28.【答案】 【解析】解：連接、，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案為：；
證明：在上取點(diǎn)，使，連接、，

，，
為等邊三角形，
，，
四邊形為圓的內(nèi)接四邊形，
，
，
，
，
，
為等邊三角形，
，，
，
，
即，
≌，
，
；
解：存在，理由如下：
千米，
當(dāng)取得最大值時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最大，
連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
設(shè)千米，

，，，
≌，
，
千米，
千米，
，
，
解得：，不符合題意，舍去，
千米，
千米，
、、、四點(diǎn)共圓，，
，
由可知，，
當(dāng)是直徑時(shí)，最大值為千米，
四邊形的周長(zhǎng)，
四邊形的周長(zhǎng)的最大值為：千米，
存在一種規(guī)劃方案，使得四條慢跑道總長(zhǎng)度即四邊形的周長(zhǎng)最大，最大值為千米．
連接、，求出的度數(shù)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，解直角三角形求出的長(zhǎng)，即可得出答案；
在上取點(diǎn)，使，連接、，證為等邊三角形，得，，再證≌，得，即可得出結(jié)論；
連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)千米，證≌，得，則千米，再由勾股定理求出，則千米，千米，進(jìn)而證、、、四點(diǎn)共圓，然后由，當(dāng)是直徑時(shí)，最大值為千米，即可得出答案．
本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，含角的直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義等知識(shí)，本題綜合性較強(qiáng)，熟練掌握?qǐng)A周角定理和等邊三角形的判定與性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．

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