（考試時間：120分鐘 滿分：150分）
一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.
1. 下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查軸對稱圖形，中心對稱圖形，關(guān)鍵是掌握軸對稱圖形，中心對稱圖形的定義．
把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，由此即可判斷．
【詳解】A、圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
B、圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
C、圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
D、圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意．
故選：D．
2. 下列一元二次方程沒有實數(shù)根的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查根的判別式，分別計算出每個方程中的判別式的值，從而得出答案．
【詳解】解：A．方程中，此方程有兩個不相等的實數(shù)根；
B．方程中，此方程有兩個相等的實數(shù)根；
C．方程中，此方程有兩個不相等的實數(shù)根；
D．方程中，此方程沒有實數(shù)根；您看到的資料都源自我們平臺，20多萬份最新小初高試卷，家威鑫 MXSJ663 性價比最高 故選D．
3. 將拋物線向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，所得拋物線的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的法則進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：將拋物線向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度所得的拋物線解析式為．
故選：B．
【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知二次函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．
4. 已知x＝1是一元二次方程x2﹣2mx+1＝0的一個解，則m的值是（ ）
A. 1B. 0C. 0或1D. 0或﹣1
【答案】A
【解析】
【分析】本題根據(jù)一元二次方程的根的定義、一元二次方程的定義求解．把x=1代入方程式即可求解．
【詳解】解：把x=1代入方程x2-2mx+1=0，可得1-2m+1=0，得m=1，
故選：A．
【點評】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義．把求未知系數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為方程求解的問題．
5. 關(guān)于的一元二次方程的根的情況是（ ）
A. 有兩不相等實數(shù)根B. 有兩相等實數(shù)根
C. 無實數(shù)根D. 不能確定
【答案】A
【解析】
【詳解】【分析】根據(jù)一元二次方程的根的判別式進(jìn)行判斷即可.
【詳解】，
△=[-(k+3)]2-4k=k2+6k+9-4k=(k+1)2+8，
∵(k+1)2≥0，
∴(k+1)2+8>0，
即△>0，
∴方程有兩個不相等實數(shù)根，
故選A.
【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式△=b2-4ac．當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0時，方程沒有實數(shù)根．
6. 點均在二次函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)；根據(jù)二次函數(shù)的解析式可得，，對稱軸為，二次函數(shù)圖像上的點離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：二次函數(shù)中，，開口向下，對稱軸為直線，
則二次函數(shù)圖像上的點離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，
到對稱軸的距離分別為、、
∵，
∴
故選：B．
7. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，其中一個三角形是由另一個三角形繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度得到的，則其旋轉(zhuǎn)中心是（ ）

A. （1，0）B. （0，0）C. （-1，2）D. （-1，1）
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)其中一個三角形是由另一個三角形繞著某點旋轉(zhuǎn)一定的角度得到的，那么對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，找出這個點即可．
【詳解】解：如圖所示，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，只有（-1，2）點到三角形的三頂點距離相等，故（-1，2）是圖形的旋轉(zhuǎn)中心，
故選：C．
【點睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心到對應(yīng)點的距離相等，是解決問題的關(guān)鍵．
8. 某小區(qū)新增了一家快遞店，第一天攬件200件，第三天攬件242件，設(shè)該快遞店攬件日平均增長率為，由題意所列方程正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)該快遞店攬件日平均增長率為x，第二天的攬件數(shù)為：，則第三天的攬件數(shù)為：，即可解答．
【詳解】解：依題意得：，
故選：A
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解題的關(guān)鍵是要找到等量關(guān)系，同時要注意增長率問題的一般規(guī)律．
9. 四位同學(xué)在研究函數(shù)（是常數(shù)）時，甲發(fā)現(xiàn)當(dāng)時，函數(shù)有最小值；乙發(fā)現(xiàn)是方程的一個根；丙發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最小值為3；丁發(fā)現(xiàn)當(dāng)時，，已知這四位同學(xué)中只有一位發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是錯誤的，則該同學(xué)是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】利用假設(shè)法逐一分析，分別求出二次函數(shù)的解析式，再判斷與假設(shè)是否矛盾即可得出結(jié)論．
【詳解】解：A．假設(shè)甲同學(xué)的結(jié)論錯誤，則乙、丙、丁的結(jié)論都正確
由乙、丁同學(xué)的結(jié)論可得
解得：
∴二次函數(shù)的解析式為：
∴當(dāng)x=時，y的最小值為，與丙的結(jié)論矛盾，故假設(shè)不成立，故本選項不符合題意；
B．假設(shè)乙同學(xué)的結(jié)論錯誤，則甲、丙、丁的結(jié)論都正確
由甲、丙的結(jié)論可得二次函數(shù)解析式為
當(dāng)x=2時，解得y=4，當(dāng)x=-1時，y=7≠0
∴此時符合假設(shè)條件，故本選項符合題意；
C． 假設(shè)丙同學(xué)的結(jié)論錯誤，則甲、乙、丁的結(jié)論都正確
由甲乙的結(jié)論可得
解得：
∴
當(dāng)x=2時，解得：y=-3，與丁的結(jié)論矛盾，故假設(shè)不成立，故本選項不符合題意；
D． 假設(shè)丁同學(xué)的結(jié)論錯誤，則甲、乙、丙的結(jié)論都正確
由甲、丙的結(jié)論可得二次函數(shù)解析式為
當(dāng)x=-1時，解得y=7≠0，與乙的結(jié)論矛盾，故假設(shè)不成立，故本選項不符合題意．
故選B．
【點睛】此題考查的是利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用假設(shè)法求出b、c的值是解決此題的關(guān)鍵．
10. 已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）圖象的對稱軸是直線x＝1，其圖象的一部分如圖所示，下列說法中：①abc＜0；②2a+b＝0；③當(dāng)﹣1＜x＜3時，y＞0；④a﹣b+c＜0；⑤2c﹣3b＞0．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）

A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由拋物線的開口方向判斷a，由拋物線與y軸的交點判斷c，根據(jù)對稱軸的位置判斷b及a、b關(guān)系，根據(jù)拋物線與x軸交點情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所有結(jié)論進(jìn)行逐一判斷．
【詳解】∵拋物線開口向下，則 a＜0．
對稱軸在 y 軸右側(cè)，a、b 異號，則 b＞0．
拋物線與 y 軸交于正半軸，則 c＞0，
∴abc＜0，故①正確；
∵拋物線的對稱軸是直線 x=1，則=1，b=﹣2a，
∴2a+b=0，故②正確；
由圖象可知，拋物線與 x 軸的左交點位于 0 和﹣1 之間，在兩個交點之間時，y＞0，在 x=﹣1 時，y＜0，故③錯誤；
當(dāng) x=﹣1 時，有 y=a﹣b+c＜0，故④正確；
由 2a+b=0，得 a=﹣，代入a﹣b+c＜0得﹣+c＜0，兩邊乘以 2 得 2c﹣3b＜0，故⑤錯誤．
綜上，正確的選項有：①②④．
所以正確結(jié)論的個數(shù)是3個．
故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，明確二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)并數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分.
11. 若y與x的函數(shù)+3x是二次函數(shù)，則m=______．
【答案】-1
【解析】
【分析】由二次函數(shù)的定義可知m2+1=2，m-1≠0，從而可求得m的值．
【詳解】∵+3x 是二次函數(shù)，
∴m2+1=2且m-1≠0，
解得：m=-1，
故答案為-1．
【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的定義，掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
12. 已知拋物線y＝ax2+x+c與x軸交點的橫坐標(biāo)為﹣1，則a+c＝_______．
【答案】1
【解析】
【詳解】∵物線 與x軸交點的橫坐標(biāo)為-1，
∴a-1+c=0，
∴a+c=1，
故答案為1.
13. 已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9的常數(shù)項為0，則m的值為 ___．
【答案】-3
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得： 且 ，即可求解．
【詳解】解：將一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9整理得：
（m﹣3）x2﹣3x+m2-9=0，
∵關(guān)于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9的常數(shù)項為0，
∴ 且 ，
解得： ．
故答案為：-3
【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義和一般式，熟練掌握一元二次方程的一般式 是解題的關(guān)鍵．
14. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點P（4，6）繞坐標(biāo)原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點Q，則點Q的坐標(biāo)為_____．
【答案】（6，﹣4）
【解析】
【分析】畫出坐標(biāo)系，然后找到旋轉(zhuǎn)后得到的Q點，根據(jù)三角形全等找到對應(yīng)線段，從而求出坐標(biāo)．
【詳解】解：作圖如下，
∵∠MPO+∠POM＝90°，∠QON+∠POM＝90°，
∴∠MPO＝∠QON，
在△PMO和△ONQ中，
，
∴△PMO≌△ONQ（AAS），
∴PM＝ON，OM＝QN，
∵P點坐標(biāo)為（4，6），
∴Q點坐標(biāo)為（6，﹣4），
故答案為（6，﹣4）．
【點睛】本題考查了點的坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)變換的關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的條件，確定全等三角形．
15. 已知拋物線y＝﹣x2﹣3x+3，點P（m，n）在拋物線上，則m+n的最大值是_____．
【答案】4．
【解析】
【分析】把點P（m，n）代入拋物線y＝﹣x2﹣3x+3，整理可得m+n＝﹣（m+1）2+4，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】∵點P（m，n）在拋物線y＝﹣x2﹣3x+3上，
∴n＝﹣m2﹣3m+3，
∴m+n＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，
∴當(dāng)m＝﹣1時，m+n有最大值4．
故答案為4．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，利用二次函數(shù)求最值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.
16. 如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，點D是線段BC上的動點，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°至AD'，連接BD'．若AB＝2cm，則BD'的最小值為_____．
【答案】1．
【解析】
【分析】在AC上截取AE＝AB＝2，作EF⊥BC于F，如圖，先計算出AC＝2AB＝4，BC＝2，∠BAC＝60°，則CE＝2，再在Rt△CEF中計算出EF＝1，F(xiàn)C＝，接著證明△ABD′≌△ADE得到DE＝BE′，然后利用勾股定理得到DE2＝DF2+EF2＝（BD﹣）2+1，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．
【詳解】解：在AC上截取AE＝AB＝2，作EF⊥BC于F，如圖，
∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，
∴AC＝2AB＝4，BC＝AB＝2，∠BAC＝60°，
∴CE＝AC﹣AE＝2，
在Rt△CEF中，EF＝CE＝1，F(xiàn)C＝EF＝，
∵線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°至AD'，
∴AD＝AD′，∠DAD′＝60°，
∴∠BAD′＝∠EAD，
在△ABD′和△ADE中
，
∴△ABD′≌△ADE，
∴DE＝BE′，
在Rt△DEF中，DE2＝DF2+EF2＝（﹣BD）2+12＝（BD﹣）2+1，
∴當(dāng)BD＝時，DE2有最小值1，
∴BD'的最小值為1．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．構(gòu)建△ADE與△AD′B全等是解決此題的關(guān)鍵．
三、解答題：本題共9小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 解方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了解一元二次方程；
（1）根據(jù)因式分解法解一元二次方程，即可求解；
（2）根據(jù)因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【小問1詳解】
解：，
∴，
∴或，
解得：；
【小問2詳解】
解：，
∴，
∴，
∴或，
解得：．
18. 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(1，10)，頂點坐標(biāo)為(－1，－2)，則此二次函數(shù)的解析式并寫出y隨x值的增大而增大的x取值范圍？
【答案】；當(dāng)x>-1時，y隨x的增大而增大
【解析】
【分析】由頂點為(－1，－2)，則可設(shè)二次函數(shù)為，然后把點（1，10）代入即可.
【詳解】解：設(shè)此二次函數(shù)的解析式為且經(jīng)過點（1,10）
∴
解得：，
∴ 二次函數(shù)的解析式為：，
∵對稱軸為：，且拋物線開口向上，
∴當(dāng)時，y隨x的增大而增大.
【點睛】本題考查了用頂點式求拋物線解析式的一般方法，必須熟練掌握拋物線解析式的幾種形式，解題的關(guān)鍵是熟記二次函數(shù)的性質(zhì).
19. 圖，在4×4的方格紙中，△ABC的三個頂點都在格點上．
（1）在圖1中，畫出一個與△ABC成中心對稱的格點三角形；
（2）在圖2中，畫出△ABC繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后的三角形．
【答案】（1）見解析；（2）見解析．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)中心對稱性質(zhì)即可畫出一個與△ABC成中心對稱的格點三角形；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可畫出△ABC繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后的三角形．
【詳解】解：（1）如圖1，△DCE即為所求；
（2）如圖2，△DCE即為所求．
【點睛】本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)和對稱的性質(zhì)．
20. 已知關(guān)于x的方程
（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根
（2）若方程有一個小于1的正根，求實數(shù)k的取值范圍
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】
【分析】（1）證出根的判別式即可完成；
（2）將k視為數(shù)，求出方程的兩個根，即可求出k的取值范圍.
【詳解】（1）證明：
∴方程總有兩個實數(shù)根
（2）
∴
∴
∵方程有一個小于1的正根
∴
∴
【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式與方程的根之間的關(guān)系，熟練掌握相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵.
21. 如圖①，等腰直角三角形的直角頂點O為正方形的中心，點C，D分別在和上，現(xiàn)將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α角，連接，（如圖②）．
（1）在圖②中，＝ ；（用含α的式子表示）
（2）在圖②中猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【答案】（1）
（2），見解析
【解析】
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)得，再利用正方形性質(zhì)求出，進(jìn)而求出；
（2）由正方形的性質(zhì)得到，，由等腰直角三角形的性質(zhì)得，再證明，即可得出
【小問1詳解】
解：繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α角，
，
四邊形為正方形，
，
，
故答案為：；
【小問2詳解】
，理由如下，
如圖②，∵四邊形為正方形，
，，
∵，
∴，
∵為等腰直角三角形，
∴，
在和中
，
，
∴．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵
22. 如圖所示，∠DBC＝90°，∠C＝45°，AC＝2，△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE，連接AE．
（1）求證：△ABC≌△ABE；
（2）連接AD，求AD的長．
【答案】（1）見解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DBE＝∠ABC，∠EBC＝60°，BE＝BC，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）連接AD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到DE＝AC，∠BED＝∠C，DE＝AC＝2，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BEA＝∠C，AE＝AC＝2，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE，
∴∠DBE＝∠ABC，∠EBC＝60°，BE＝BC，
∵∠DBC＝90°，
∴∠DBE＝∠ABC＝30°，
∴∠ABE＝30°，
在△ABC與△ABE中，，
∴△ABC≌△ABE（SAS）；
（2）解：連接AD，
∵△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE，
∴DE＝AC，∠BED＝∠C，DE＝AC＝2，
∵△ABC≌△ABE，
∴∠BEA＝∠C，AE＝AC＝2，
∵∠C＝45°，
∴∠BED＝∠BEA＝∠C＝45°，
∴∠AED＝90°，DE＝AE，
∴AD＝AE＝2．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
23. “互聯(lián)網(wǎng)”時代，網(wǎng)上購物備受消費者青睞．某網(wǎng)店專售一款休閑褲，其成本為每條元，當(dāng)售價為每條元時，每月可銷售條．為了吸引更多顧客，該網(wǎng)店采取降價措施．據(jù)市場調(diào)查反映：銷售單價每降元，則每月可多銷售條．設(shè)每條褲子的售價為元為正整數(shù)，每月的銷售量為條．
（1）求與的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)該網(wǎng)店每月獲得的利潤為元，當(dāng)銷售單價降低多少元時，每月獲得的利潤最大，最大利潤是多少？
【答案】（1）
（2）當(dāng)銷售單價降低元時，每月獲得最大利潤為元
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的應(yīng)用；
（1）根據(jù)銷售單價每降元，則每月可多銷售條，寫出與函數(shù)關(guān)系式；
（2）該網(wǎng)店每月獲得的利潤元等于每件的利潤乘以銷售量，由此列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【小問1詳解】
解：由題意得：，
與的函數(shù)關(guān)系式為，
故答案為：；
【小問2詳解】
由題意得：，
，拋物線開口向下，
當(dāng)時，有最大值，最大值為，
此時元，
當(dāng)銷售單價降低元時，每月獲得最大利潤元；
24. 如圖，已知拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，對稱軸為且．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點為軸上一點， 點為拋物線頂點，連接，若為等腰三角形，求點的坐標(biāo)；
（3）點在拋物線的對稱軸上，若線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后，點的對應(yīng)點恰好也落在此拋物線上，求點的坐標(biāo)．
【答案】（1）拋物線解析式
（2）點坐標(biāo)為，，
（3）或
【解析】
【分析】（1）由對稱軸為，可求點坐標(biāo)，設(shè)：，代入點坐標(biāo)，即可求解，
（2）求出頂點坐標(biāo)，根據(jù)兩點間距離公式，可求長，分①時②③三種情況，分別列式，即可求解，
（3）設(shè)點為，作對稱軸于，分①點在軸上方②點在軸下方，兩種情況，由，求出點，代入拋物線解析式，進(jìn)而求出的值，即可求解，
本題考查了，求拋物線解析式，等腰三角形存在性，一線三垂直，解題的關(guān)鍵是：牢記等腰三角形存在的三種可能性，一線三垂直全等．
【小問1詳解】
解：與軸交于點和點，對稱軸為，
點為，，
設(shè)：，
，，
點為，
，解得：，
，
故答案為： 拋物線的解析式，
【小問2詳解】
解：，
頂點為，，
設(shè)，
①當(dāng)時，，解得：，
，
②當(dāng)時，，解得：，
，
③當(dāng)時，，解得：，
，
故答案為：點坐標(biāo)為，，，
【小問3詳解】
解：設(shè)點為，作對稱軸于，
①如圖點在軸上方時，

，，
，
，，
，
，代入
得：解得：（舍），，
，，
②如圖點在軸下方時，

同①可得：，
，，
，
，代入
得：解得：，（舍），
，，
故答案為：或．
25. 如圖，在等邊三角形內(nèi)有一點．

（1）若，，，求的度數(shù)；
（2）若等邊三角形邊長為，求的最小值；
（3）如圖，在正方形內(nèi)有一點，且，，，求正方形的邊長．

【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)、，則，得到，，，，證得是等邊三角形，求出，，根據(jù)勾股定理逆定理證得是直角三角形，，即可求出；
（2）根據(jù)（1）的方法將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，再將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，則，當(dāng)四點共線時，取得最小值，即的長，勾股定理，即可求解．
（3）如圖，延長，過點作于，得到，求出，勾股定理求出即可．
【小問1詳解】
解： 如圖所示，

將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接、，
，
，，，，
是等邊三角形，
，，
，
是直角三角形，，
，
，
【小問2詳解】
解：如圖所示，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，

則，，，則是等邊三角形，
，
再將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，則
，，，
當(dāng)四點共線時，取得最小值，即的長，
設(shè)，交于點，
，，
，
，
在中，
，
即的最小值為；
【小問3詳解】
如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，

，
，，，，
是等腰直角三角形，
，，
，
是直角三角形，，
如圖，延長，過點作于，則，

，，
，
，
，
，即正方形的邊長為．
【點睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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