福建省龍巖市蓮東中學2023-2024學年九年級上學期期中數(shù)學試題（原卷版+解析版）

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閉卷考（考試時間：120分鐘 滿分：150分）
一、單項選擇題．（本大題共10小題，每小題4分，共40分．）
1. 下列四個圖形是國際通用的交通標志，其中既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義判斷即可．
【詳解】A、是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，故本選項符合題意；
B、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
C、不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
D、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故本選項不符合題意．
故選：A．
【點睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的識別，掌握兩種對稱圖形的概念是關鍵．
2. 對于二次函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A. 圖象開口向上B. 圖象的對稱軸是直線
C. 圖象的頂點坐標是D. 當時，y隨x的增大而減小
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查的是二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，根據(jù)題意把二次函數(shù)化為頂點式的形式是解答此題的關鍵．根據(jù)二次函數(shù)的性質和圖象上點的坐標特征進行解答．
【詳解】解：∵，
∴拋物線開口向下，對稱軸為直線，頂點坐標為，
當時，y隨x的增大而減小，
故A，B，C選項錯誤，D選項正確．
故選：D．
3. 關于x的一元二次方程的一個根是0，則a的值為（ ）
A. 1B. C. 1或D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義和一元二次方程的根，方程的根即方程的解，就是能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，利用方程解的定義就可以得到關于a的方程，從而求得a的值．
【詳解】解：把代入方程得到：，
解得：，
，
，
故選：B．
4. 學校連續(xù)三年組織學生參加義務植樹，第一年共植樹400棵，第三年共植樹625棵．設該校植樹棵數(shù)年平均增長率為x，根據(jù)題意，下列方程正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】第一年共植樹400棵，第二年植樹400（1+x）棵，第三年植樹400（1+x）2棵，再根據(jù)題意列出方程即可．
【詳解】第一年植樹為400棵，第二年植樹為400（1+x）棵，第三年400（1+x）2棵，根據(jù)題意列出方程：．
故選：B．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，屬于增長率的常規(guī)應用題，解決此類題目要多理解、練習增長率相關問題．
5. 如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形．若，則的度數(shù)為（ ）

A. 138°B. 121°C. 118°D. 112°
【答案】C
【解析】
【分析】由圓內(nèi)接四邊形的性質得，再由圓周定理可得．
【詳解】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，
∴
∵
∴
∴
故選：C
【點睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質和圓周角定理，熟練掌握相關性質和定理是解答本題的關鍵
6. 將拋物線向左平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到的拋物線的解析式為（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)平移法則：左加右減(x），上加下減(y)可知， 進而得出變化后的解析式．
【詳解】拋物線的頂點坐標為，
將拋物線左平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度后的頂點坐標為，
得到的拋物線的解析式為，故A正確．
故選：A
【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)圖像與幾何變換，熟記平移規(guī)律“左加右減，上加下減”，是解題的關鍵．
7. 如圖，已知⊙O的周長等于6π，則該圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG為（ ）
A. 3B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】利用圓的周長先求出圓的半徑，正六邊形的邊長等于圓的半徑，正六邊形一條邊與圓心構成等邊三角形，根據(jù)邊心距即為等邊三角形的高用勾股定理求出OG．
【詳解】∵圓O的周長為，設圓的半徑為R，
∴
∴R=3
連接OC和OD，則OC=OD=3
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠COD=，
∴△OCD是等邊三角形，OG垂直平分CD，
∴OC=OD=CD，
∴
故選 C
【點睛】本題考查了正多邊形，熟練掌握圓內(nèi)接正多邊形的相關概念是解題的關鍵．
8. 如圖．拋物線經(jīng)過點，對稱軸為直線，則當時，的取值范圍是（ ）
A. B. 或
C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征及函數(shù)性質，是基礎題型，熟記二次函數(shù)的各種性質是解題的關鍵．
由條件拋物線經(jīng)過點，對稱軸為直線，可求出拋物線和x軸的另一個交點，結合函數(shù)的圖象即可求出當時，x的取值范圍．
【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過點，對稱軸為直線，
∴拋物線和x軸的另一個交點為，
∴時，x的取值范圍是或，
故選：C．
9. 如圖，在△ABC中，∠ACB＝105°，將△ABC繞著點C順時針方向旋轉到△，經(jīng)過點 A．若＝AC，則∠B的度數(shù)為（ ）
A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°
【答案】B
【解析】
【分析】設∠B=x，AB與B'C交點為M，用x的代數(shù)式表示出∠BAB'、∠BAC、∠CAA'的度數(shù)，利用平角為180°即可列出方程．
【詳解】解：設∠B＝x，AB與B'C交點為M，如圖，
∵AB'＝AC，
∴∠B'＝∠ACB'＝∠B，
∵∠ACB＝105°，
∴∠B+∠BCB'＝105°，
∴∠BMC＝180﹣∠B﹣∠BCB'＝75°＝∠AMB'，
∴∠BAB'＝180﹣∠AMB'﹣∠B'＝105°﹣x，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝75°﹣x＝∠A'，
又∵AC＝A'C，
∴∠CAA'＝∠A'＝75°﹣x，
∵點A在線段A'B'上，
∴（105°﹣x）+（75°﹣x）+（75°﹣x）＝180°，
解得x＝25°，即∠B＝25°，
故選：B
【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，三角形內(nèi)角和定理等知識，設∠B=x，用x的代數(shù)式表示出∠BAB'、∠BAC、∠CAA'的度數(shù)是解題的關鍵．
10. 如圖，拋物線交軸分別于點，交軸正半軸于點，拋物線頂點為．下列結論：①；②；③時，；④當是等腰直角三角形時；⑤點是拋物線對稱軸上的一點，若，則周長的最小值為．其中，錯誤的個數(shù)為（ ）
A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，二次函數(shù)圖象的性質，勾股定理，根據(jù)對稱性先求出拋物線對稱軸為直線，再由對稱性計算公式得到，由此可判斷①；根據(jù)當時，即可判斷②；當時，有最大值，最大值，則，據(jù)此可判斷③；當是等腰直角三角形時，則 ，設，則，解方程求出點C坐標，進而利用待定系數(shù)法求出a的值即可判斷④；如圖，連接交拋物線的對稱軸于，連接，由對稱性可得，則當三點共線時，最小，即此時的周長最小，利用勾股定理求出的長即可判斷⑤．
【詳解】解：∵拋物線交軸分別于點，
∴拋物線對稱軸為直線，
∴，
∴，即，故①正確；
∵當時，，
∴，故②正確；
∵拋物線開口向下，稱軸為直線，
∴時，有最大值，最大值，
∵，
∴，
∴，故③正確，
當是等腰直角三角形時，則 ，
設，
∴，
∴（負值舍去）；
∴，
∴拋物線的解析式為，
把代入得到，故④錯誤，
如圖，連接交拋物線對稱軸于，連接，
由對稱性可得，
∴的周長，
∴當三點共線時，最小，即此時的周長最小，
∴的周長最小值，
∵，，
∴周長最小值為，故⑤錯誤．
故選：C．
二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分，請將答案填入答題卡的相應位置）
11. 若將一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0化成（x﹣m）2＝p（m，p為常數(shù)）的形式，則m+p的值為__________．
【答案】11
【解析】
【分析】依據(jù)配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方求解可得．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴m=2，p=9，
∴m+p=11，
故答案為：11．
【點睛】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應用．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．
12. 在平面直角坐標系中，已知點與點關于原點對稱，點為_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了點坐標關于原點對稱規(guī)律，由規(guī)律得，即可求解；掌握坐標變化規(guī)律“關于原點的對稱點坐標為”是解題的關鍵．
【詳解】解：由題意得
點與點關于原點對稱，
，
解得：，
，
故答案：．
13. 已知扇形面積為，半徑為6，則扇形構成圓錐的底面半徑長為_______．
【答案】2
【解析】
【分析】本題考查了扇形的面積公式，扇形與對應圓錐的關系；設圓錐的底面半徑長，扇形弧長為，由扇形面積公式得，可求出，再由扇形與對應圓錐的關系即可求解；理解扇形的弧長是對應圓錐底面圓的周長是解題的關鍵．
【詳解】解：設圓錐的底面半徑長，扇形弧長為，則有
，
解得：，
，
解得：，
故答案：．
14. 如圖，，是的兩條切線，切點分別為，，直徑，，求的長_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了切線的性質，正方形的判定及性質；由切線的性質得，，由正方形的判定方法得四邊形是正方形，即可求解；掌握切線的性質，正方形的判定方法是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖
，是的兩條切線，切點分別為，，
，
，
，
四邊形是矩形，
，
四邊形是正方形，
，
故答案：．
15. 在如圖所示的平面直角坐標系中，有一個拋物線形拱橋，其最大高度為，跨度為，此拋物線的解析式為_______．
【答案】+16
【解析】
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應用，解題時要能熟練掌握并能利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式是關鍵．
依據(jù)題意，根據(jù)圖象得到：頂點坐標是，因而可以利用頂點式求解析式．
【詳解】解：由題意，設解析式：，
根據(jù)題意得：，
解得．
∴函數(shù)關系式.
故答案為：.
16. 在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別為、、，點E是的外接圓上一點，BE交線段AC于點D，若，則點D的坐標為______．
【答案】
【解析】
【分析】連接CE，過E作EF⊥AC于F，根據(jù)已知條件得到OA=OB=2，OC=4，得到△OBA是等腰直角三角形，得到∠BAC=45°，根據(jù)圓周角定理得到∠BEC=∠BAC=45°，推出△BCE是等腰直角三角形，求得BC=CE，根據(jù)全等三角形的性質得到E（2，﹣4），待定系數(shù)法得到直線BE的解析式為y=﹣3x+2，于是得到結論．
【詳解】連接CE，過E作EF⊥AC于F．
∵點A、B、C的坐標分別為（﹣2，0）、（0，2）、（4，0），∴OA=OB=2，OC=4，∴△OBA是等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠BEC=∠BAC=45°．
∵∠DBC=45°，∴∠BCE=90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴BC=CE．
∵∠CBO+∠BCO=∠BOC+∠ECF=90°，∴∠OBC=∠FCE．
在△OBC與△FCE中，∵，∴△OBC≌△FCE（AAS），∴CF=OB=2，EF=OC=4，∴OF=2，∴E（2，﹣4），設直線BE的解析式為y=kx+b，∴，∴，∴直線BE的解析式為y=﹣3x+2，當y=0時，x，∴D（，0）．
故答案為（，0）．
【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，全等三角形的判定和性質，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．
三、解答題
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用解一元二次方程直接開平方法，進行計算即可解答；
（2）利用解一元二次方程因式分解法，進行計算即可解答．
【小問1詳解】
解：，
，
，
或，
，；
【小問2詳解】
解：，
，
或，
，．
【點睛】本題考查了解一元二次方程因式分解法，直接開平方法，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．
18. 二次函數(shù)的圖像如圖所示，根據(jù)圖像解答下列問題：
（1）寫出不等式的解集；
（2）當時，寫出函數(shù)值y的取值范圍．
（3）若方程有兩個不相等的正實數(shù)根，寫出k的取值范圍．
【答案】（1）或
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖像中的數(shù)據(jù)可以得到的范圍；
（2）根據(jù)圖像中的數(shù)據(jù)可以得到當時，函數(shù)值y的取值范圍；
（3）根據(jù)圖像中的數(shù)據(jù)可以得到方程有兩個不相等的正實數(shù)根時，k的取值范圍．
【小問1詳解】
由圖像可得，
當或時，；
【小問2詳解】
由圖像可知，
當時，函數(shù)值 y的取值范圍；
【小問3詳解】
由圖像可知，
函數(shù)的最小值是，
當 時，，
故方程有兩個不相等的正實數(shù)根， k 的取值范圍是．
【點睛】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質和數(shù)形結合的思想解答．
19. 已知關于的一元二次方程．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）如果方程的兩實根為、，且，求的值．
【答案】（1）見解析 （2）或
【解析】
【分析】（1）表示出根的判別式，判斷其正負即可作出判斷；
（2）利用根與系數(shù)的關系表示出兩根之積與兩根之和，已知等式變形代入代入計算即可求出的值．
【小問1詳解】
解：證明：關于的一元二次方程，
，
，
則方程有兩個不相等的實數(shù)根；
【小問2詳解】
由根與系數(shù)的關系可得：，，
，
，即，
整理得：，即，
所以或，
解得：或．
【點睛】此題考查了根與系數(shù)的關系，根的判別式，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解本題的關鍵．
20. 如圖，在邊長為的正方形組成的網(wǎng)格中建立直角坐標系，的頂點均在格點上，點、、的坐標分別是、、．

（1）將向下平移個單位，則點的對應點坐標為 ；
（2）將繞點逆時針旋轉后得到，請在圖中作出；
（3）求的面積．
【答案】（1）
（2）見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由平移的性質可得答案；
（2）根據(jù)旋轉的性質作圖即可；
（3）利用割補法求三角形的面積即可．
【小問1詳解】
解：由題意得，點的對應點坐標為，
故答案為：．
【小問2詳解】
解：如圖，即為所求．
【小問3詳解】
解：的面積為．
【點睛】本題考查作圖——旋轉變換，平移的性質，網(wǎng)格中三角形的面積，熟練掌握平移和旋轉的性質是解答本題的關鍵．
21. 如圖，△ABD是⊙O的內(nèi)接三角形，E是弦BD的中點，點C是⊙O外一點，且∠DBC＝∠A＝60°，連接OE并延長與⊙O相交于點F，與BC相交于點C．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為6cm，求弦BD的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）弦BD的長為6．
【解析】
【分析】（1）連接OB，由垂徑定理的推論得出BE=DE，OE⊥BD，，由圓周角定理得出∠BOE=∠A，證出∠OBE+∠DBC=90°，得出∠OBC=90°即可；
（2）由勾股定理求出OC，由△OBC的面積求出BE，即可得出弦BD的長．
【詳解】（1）證明：連接OB，如圖所示：
∵E是弦BD的中點，
∴BE＝DE，OE⊥BD，，
∴∠BOE＝∠A，∠OBE+∠BOE＝90°，
∵∠DBC＝∠A，
∴∠BOE＝∠DBC，
∴∠OBE+∠DBC＝90°，
∴∠OBC＝90°，
即BC⊥OB，
∴BC是⊙O的切線；
（2）解：∵OB＝6，∠DBC＝∠A＝60°，BC⊥OB，
∴OC＝12，
∵△OBC的面積＝OC?BE＝OB?BC，
∴BE＝，
∴BD＝2BE＝6，
即弦BD的長為6．
【點睛】本題考查了切線判定、垂徑定理的推論、圓周角定理、勾股定理、三角形面積的計算；熟練掌握垂徑定理的推論和圓周角定理是解決問題的關鍵．
22. 對某一個函數(shù)給出如下定義：對于函數(shù)，若當，函數(shù)值滿足，且滿足，則稱此函數(shù)為“系和諧函數(shù)”．
（1）已知正比例函數(shù)為“系和諧函數(shù)”，則的值為 ；
（2）若一次函數(shù)為“3系和諧函數(shù)”，求的值；
（3）已知二次函數(shù)，當時，是“系和諧函數(shù)”，求的取值范圍．
【答案】（1）2 （2）
（3）
【解析】
【分析】直接利用“系和諧函數(shù)”的定義即可得出結論；
分兩種情況：利用“系和諧函數(shù)”的定義即可得出結論；
分四種情況，各自確定出最大值和最小值，最后利用“系和諧函數(shù)”的定義即可得出結論；
【小問1詳解】
解：正比例函數(shù)，當時，，
，
，
故答案為；
【小問2詳解】
解：由題意得，當時，，解得，
當時，，解得，
綜上所述，的值為或；
【小問3詳解】
二次函數(shù)的對稱軸為，
當時，；
當時，；
當，；
如圖，當時，當，有，，，
，
即，
，
如圖，當時，當，有；當，，
，即，
；
如圖，當時，當，有；當，有，
，
即，
；
如圖，當時，當，有，當時，有；
，
即，
；
綜上所述，的取值范圍為．
【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了的新定義的理解和應用，二次函數(shù)的性質，一次函數(shù)的性質，分類討論的思想解決問題是解本題的關鍵．
．
23. 某超市銷售一款洗手液，這款洗手液成本價為每瓶16元，當銷售單價定為每瓶20元時，每天可售出60瓶．市場調查反應：銷售單價每上漲1元，則每天少售出5瓶．若設這款洗手液的銷售單價上漲x元，每天的銷售量利潤為y元．
（1）每天的銷售量為___瓶，每瓶洗手液的利潤是___元；（用含x的代數(shù)式表示）
（2）若這款洗手液的日銷售利潤y達到300元，則銷售單價應上漲多少元？
（3）當銷售單價上漲多少元時，這款洗手液每天的銷售利潤y最大，最大利潤為多少元？
【答案】（1），；（2）應上漲2元或6元；（3）當銷售單價上漲4元時，這款洗手液每天的銷售利潤y最大，最大利潤為320元．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)銷售單價上漲x元，每天銷售量減少瓶即可得，再根據(jù)“每瓶的利潤售價成本價”即可得；
（2）結合（1）的結論，根據(jù)“這款洗手液的日銷售利潤y達到300元”可建立關于x的一元二次方程，再解方程即可得；
（3）根據(jù)“每天的利潤（每瓶的售價每瓶的成本價）每天的銷售量”可得y與x的函數(shù)關系式，再利用二次函數(shù)的性質求最值即可得．
【詳解】（1）由題意得：當銷售單價上漲x元時，每天銷售量會減少瓶，
則每天的銷售量為瓶，
每瓶洗手液的利潤是（元），
故答案為：，；
（2）由題意得：，
解得，，
答：銷售單價應上漲2元或6元；
（3）由題意得：，
化成頂點式為，
由二次函數(shù)的性質可知，當時，y取得最大值，最大值為320，
答：當銷售單價上漲4元時，這款洗手液每天的銷售利潤y最大，最大利潤為320元．
【點睛】本題考查了一元二次方程應用、二次函數(shù)的應用，依據(jù)題意，正確建立方程和函數(shù)關系式是解題關鍵．