2024屆北京市延慶區(qū)高考一模數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2024.03
本試卷共6頁，150分?？荚嚂r(shí)長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將答題紙交回。
第一部分（選擇題，共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題中選出符合題目要求的一項(xiàng)。
（1）已知集合，，則
（A）（B）
（C）（D）
（2）若復(fù)數(shù)滿足，則
（A）（B）
（C）（D）
（3）在的展開式中，的系數(shù)為
（A）（B）
（C）（D）
（4）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若到直線的距離為，則
（A）（B）
（C）（D）
（5）已知正方形的邊長為，點(diǎn)滿足，則
（6）“”是“為第一或第三象限角”的
（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件
（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件
（7）已知函數(shù)，則不等式的解集是
（8）設(shè)，，，則
（A）（B）
（C）（D）
（9）在等邊中，，為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，為邊
上的動(dòng)點(diǎn)，則線段長度的最大值是
（A）（B）
（C）（D）
（10）已知在正方體中，，是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，
，則滿足條件的點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積等于
第二部分（非選擇題，共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。
（11）已知雙曲線的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為．
（12）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，，則，的面積為．
（13）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的一個(gè)取值
為．
（14）北京天壇的圜丘壇分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多塊，向外每環(huán)依次也增加塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且三層共有扇面形石板(不含天心石) 塊，則上層有扇形石板塊．
（15）已知函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：
①存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的最小值為；
②存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的最小值為；
③存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)；
④存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．
三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
（16）（本小題14分）
已知函數(shù)，的最大值為.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）將的圖象向右平移個(gè)單位得到的圖象，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（17）（本小題13分）
第十四屆全國冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)雪橇項(xiàng)目比賽于2023年12月16日至17日在北京延慶舉行，賽程時(shí)間安排如下表：
（Ⅰ）若小明在每天各隨機(jī)觀看一場(chǎng)比賽，求他恰好看到單人雪橇和雙人雪橇的概率；
（Ⅱ）若小明在這兩天的所有比賽中隨機(jī)觀看三場(chǎng)，記為看到雙人雪橇的次數(shù)，求的分布列及期望；
（Ⅲ）若小明在每天各隨機(jī)觀看一場(chǎng)比賽，用“”表示小明在周六看到單人雪橇，“” 表示小明在周六沒看到單人雪橇，“”表示小明在周日看到單人雪橇，“”表示小明在周日沒看到單人雪橇，寫出方差，的大小關(guān)系．
（18）（本小題15分）
如圖，四棱柱的底面是邊長為的正方形，側(cè)面底面，，是的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）再從條件 = 1 \* GB3 ①、條件 = 2 \* GB3 ②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)條件作為已知，使二面角唯一確定，并求二面角的余弦值．
條件①：；
條件②：；
條件③：．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
（19）（本小題15分）
已知橢圓的離心率為，分別是的上、下頂點(diǎn)，，分別是的左、右頂點(diǎn)．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）設(shè)為第二象限內(nèi)上的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，求證：．
（20）（本小題15分）
已知函數(shù).
（Ⅰ）若曲線的一條切線方程為，求的值；
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求的取值范圍；
（Ⅲ）若，無零點(diǎn)，求的取值范圍．
（21）（本小題13分）
已知數(shù)列，記集合.
（Ⅰ）若數(shù)列為，寫出集合；
（Ⅱ）若，是否存在，使得？若存在，求出一組符合條件的；若不存在，說明理由；
（Ⅲ）若，把集合中的元素從小到大排列，得到的新數(shù)列為，若，求的最大值．
參考答案
一、選擇題: （每小題4分，共10小題，共40分）
1. B 2.C 3. D 4. B 5. C 6. C 7. A 8. D 9. D 10. A
二、填空題: （每小題5分，共5小題，共25分）
11．； 12. ，； 13．； 14； 15．①③
12題第一空3分，第二空2分；15題選對(duì)一個(gè)給3分，二個(gè)給5分，有錯(cuò)誤不給分.
三、解答題：（共6小題，共85分. 解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟.）
16. 解：
（Ⅰ）因?yàn)? …………2分
其中， …………3分
所以， …………5分
又因?yàn)椋?br>所以. …………6分
（Ⅱ）因?yàn)? …………8分
所以 …………10分
則， …………12分
， …………13分
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 …………14分
沒有出現(xiàn)扣一分,結(jié)果不寫區(qū)間形式扣一分。
17.解：
（Ⅰ）記“小明在每天各隨機(jī)觀看一場(chǎng)比賽，恰好看到單人雪橇和雙人雪橇”為事件. 由表可知，每天隨機(jī)觀看一場(chǎng)比賽，共有種不同方法，其中恰好看到單人雪橇和雙人雪橇，共有種不同方法．
所以． ……4分
（Ⅱ）隨機(jī)變量的所有可能取值為． ……5分
根據(jù)題意，， ……6分
， ……7分
． ……8分
隨機(jī)變量的分布列是：
……9分
數(shù)學(xué)期望． ……11分
（Ⅲ） ……13分
18.解：（Ⅰ）證明：
方法一：在四棱柱中，連結(jié)，設(shè)，連結(jié)，在中，因?yàn)椤⒎謩e為的中點(diǎn)，
所以， …………2分
又因?yàn)槠矫妫矫妫? …………3分
所以. …………4分
方法二：在四棱柱中，設(shè)中點(diǎn)為，連結(jié)，，，
因?yàn)椋?br>所以為平行四邊形，
所以， ……1分
因?yàn)椋?br>所以為平行四邊形，
所以， ……2分
因?yàn)?br>所以平面， ……3分
因?yàn)槠矫?br>所以． ……4分
（Ⅱ）解:
選擇條件①：本問記為分．
選擇條件②：
連結(jié)，因?yàn)榈酌媸钦叫危?br>所以，
又因?yàn)閭?cè)面底面，且側(cè)面底面，
所以，
所以，
在中，因?yàn)椋?br>所以，
在中，因?yàn)?，?br>所以，
所以，即，，
又因?yàn)椋?br>所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系， …………6分
其中，，，，且，， …………7分
因?yàn)閭?cè)面底面，，
所以，
因?yàn)槠矫?br>所以，故，…9分
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則即 .
不妨設(shè)，則,可得． …………12分
所以， …………14分
因?yàn)槎娼堑钠矫娼鞘氢g角,
所以二面角的余弦值為. …………15分
選擇條件③：
因?yàn)榈酌媸钦叫危?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)?br>所以，
因?yàn)閭?cè)面底面，且側(cè)面底面，
所以，即，，
又因?yàn)椋?br>所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系， …………6分
下面同選擇條件②.
19.解：
（Ⅰ）由題設(shè)， …………3分
解得． …………4分
所以的方程為． …………5分
（Ⅱ）方法一：
因?yàn)闄E圓的方程為，所以，
因?yàn)闉榈诙笙奚系膭?dòng)點(diǎn)，設(shè)．…………6分
所以，即． …………7分
直線的方程為，即． …………8分
直線的方程為，即． …………9分
由得． …………10分
直線的方程為，即． …………11分
直線的方程為，即． …………12分
由得． …………13分
， ………15分
（）
所以，即．
方法二：
因?yàn)闄E圓的方程為，所以，
設(shè)直線的方程為，其中． …………7分
由得． …………9分
直線的方程為，即． …………10分
由得． …………11分
直線的方程為，即． …………12分
直線的方程為，即． …………13分
由得． …………14分
因?yàn)?，所以? …………15分
20.解：
（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?，設(shè)切點(diǎn)為，
因?yàn)椋? ………………1分
所以，即， ………………2分
因?yàn)?，? ………………4分
所以，即，
所以，即. ………………5分
（Ⅱ）因?yàn)?，在區(qū)間上為增函數(shù)，
所以在內(nèi)恒成立， ………………7分
因?yàn)?，所以? ………………8分
所以，即. ………………10分
（Ⅲ）因?yàn)?，?br> 當(dāng)，即時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，
因?yàn)椋?br>所以在上無零點(diǎn)，符合題意； ……11分
當(dāng)時(shí)，令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間是；單調(diào)遞增區(qū)間是，
的最小值為， ……12分
當(dāng)，即時(shí)，無零點(diǎn)，符合題意； ……13分
當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意； ……14分
當(dāng)時(shí)，的最小值，
因?yàn)椋?br>所以，使得，不符合題意； ……15分
綜上所述，當(dāng)時(shí)，，無零點(diǎn).

21.解：
（Ⅰ）. ………………4分
（Ⅱ）假設(shè)存在，使得，則有
，………6分
由于與奇偶性相同，
所以與奇偶性不同.
又因?yàn)?，?
所以必有大于等于的奇數(shù)因子，
這與無以外的奇數(shù)因子矛盾.
故不存在，使得成立. …………………8分
（Ⅲ）首先證明時(shí)，對(duì)任意的都有.
若，使得：，
由于與均大于且奇偶性不同，所以不成立分
其次證明除形式以外的數(shù)，都可以寫成若干個(gè)連續(xù)正整數(shù)之和.
若正整數(shù)其中，.
當(dāng)時(shí)，由等差數(shù)列的性質(zhì)有：
此時(shí)結(jié)論成立.
當(dāng)時(shí)，由等差數(shù)列的性質(zhì)有：
此時(shí)結(jié)論成立. 分
對(duì)于數(shù)列，求其相應(yīng)集合中滿足：有多少項(xiàng).
由前面的證明可知正整數(shù)
不是集合中的項(xiàng)，
所以的最大值為. 分（A）
（B）
（C）
（D）
（A）
（B）
（C）
（D）
（A）
（B）
（C）
（D）
12月16日
星期六
9:30
單人雪橇第1輪
10:30
單人雪橇第2輪
15:30
雙人雪橇第1輪
16:30
雙人雪橇第2輪
12月17日
星期日
9:30
單人雪橇第3輪
10:30
單人雪橇第4輪
15:30
團(tuán)體接力

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