2. 回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3. 考試結束后，將答題卡交回.
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的）
1. 若集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先確定集合，再由并集的定義計算．
詳解】由已知
，
故選：C．
2. 命題“，”的否定為（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)命題的否定的定義判斷．
【詳解】存在命題的否定是全稱命題，
命題“，”的否定是：，．
故選：C．
3. 函數(shù)的零點為，且，，則（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)零點的存在性定理求解.
【詳解】因為在單調(diào)遞增，
且，
即，所以，
故選：C.
4. 已知函數(shù)的最小正周期是，當時，函數(shù)取得最小值，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函數(shù)的最小正周期可求得的值，由當時，函數(shù)取得最小值，可求出的值，可得出函數(shù)的解析式，然后代值計算可得的值.
【詳解】因為函數(shù)的最小正周期是，則，則，
當時，函數(shù)取得最小值，則，
所以，，所以，，其中，
因此，.
故選：B.
5. 在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度（單位：）與燃料的質量（單位：），火箭（除燃料外）的質量（單位：）的函數(shù)關系是．當燃料質量與火箭質量的比值為時，火箭的最大速度可達到．若要使火箭的最大速度達到，則燃料質量與火箭質量的比值應為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)運算法則可求得，由此可得結果.
【詳解】由題意得：，
，，
即當火箭的最大速度達到，則燃料質量與火箭質量的比值為.
故選：D.
6. 已知等差數(shù)列，其前n項和滿足，則（）
A. 4B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】由等差數(shù)列的前項和公式，與等差中項易得，由等差中項易得.
【詳解】是等差數(shù)列，其前n項為，
，
，.
故選：A.
7. 已知點在冪函數(shù)f（x）＝xn的圖象上，設，則a，b，c的大小關系為（ ）
A. b＜a＜cB. a＜b＜cC. b＜c＜aD. a＜c＜b
【答案】C
【解析】
【分析】
先將點代入冪函數(shù)即可求出，再利用冪函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出大小.
【詳解】解：∵點在冪函數(shù)f（x）＝xn的圖象上，
∴，∴，
∴冪函數(shù)，在上單調(diào)遞減，
又∵，
∴，即a＞c＞b.
故選：C．
8. 若：實數(shù)使得“”為真命題，：實數(shù)使得“”為真命題，則是的（）
A. 必要不充分條件B. 充分不必要條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)命題的真假性求出的范圍，化簡命題，再根據(jù)充分性和必要性的概念求解即可.
【詳解】因為：實數(shù)使得“”為真命題，
所以有解，所以，解得，
即；
因為：實數(shù)使得“”為真命題，
所以，由指數(shù)函數(shù)的圖象和性質可得，
即，
所以，，即是的必要不充分條件，
故選：A
9. 部分圖象大致是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、對稱性以及函數(shù)值的對應性，利用排除法即可得出結果.
【詳解】函數(shù)的定義域為，定義域關于原點對稱，
又，可化為
所以，
故為偶函數(shù)，圖形關于y軸對稱，排除B，D選項；
令可得，或，
由，解得，，
由，解得，
所以函數(shù)最小的正零點為，
當時，，，，排除A，
故選：C.
10. 設函數(shù)，則使得的的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)單調(diào)性和奇偶性，將外函數(shù)大小比較轉換為內(nèi)函數(shù)的大小比較，由此得出答案.
【詳解】函數(shù)的定義域為，且
所以函數(shù)為偶函數(shù)，
又因為當時，函數(shù)，單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因為偶函數(shù)有，
所以由可得，
所以，即，整理得：，
解得：，
所以的取值范圍為.
故選：C.
11. 若函數(shù)滿足，且時，，已知函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)為（）
A. 14B. 13C. 12D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，分析函數(shù)的性質，在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)的部分圖象，借助圖形求出在內(nèi)兩個圖象交點個數(shù)作答.
【詳解】函數(shù)的定義域為，而，即是周期為2的周期函數(shù)，
函數(shù)在上遞增，且，在上遞減，且，在上遞增，且，
在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)的部分圖象，如圖，
由得，即函數(shù)在內(nèi)的零點個數(shù)是函數(shù)的圖象在內(nèi)的交點個數(shù)，
觀察圖象知，函數(shù)的圖象在內(nèi)有12個交點，
所以函數(shù)在內(nèi)有12個零點，C正確.
故選：C
12. 函數(shù)是定義在上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，且滿足，若不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題目條件可構造函數(shù)，利用導函數(shù)判斷出函數(shù)單調(diào)性，將不等式轉化成，即在上恒成立，求出函數(shù)在上的最大值即可得的取值范圍.
【詳解】設，，
所以函數(shù)在上為增函數(shù)．
由的定義域為可知，得，
將不等式整理得，即，
可得在上恒成立，即在上恒成立；
令，其中，所以
，令，得．
當時，，所以在上單調(diào)遞增；
當時，，所以在上單調(diào)遞減；
所以，即
故選：B．
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 若實數(shù)滿足約束條件，則的最大值為__________.
【答案】3
【解析】
【分析】由實數(shù)滿足約束條件，作出可行域，再平移直線，由直線直線在y軸上的截距最小時求解.
【詳解】解：由實數(shù)滿足約束條件，得可行域如圖所示：
平移直線，當直線過點時，直線在y軸上的截距最小，
此時目標函數(shù)取的最大值，最大值為3，
故答案為：3
14. 已知函數(shù)，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，先求出的值，進而求解結論.
【詳解】解：∵函數(shù)，
∴，
∴.
故答案為：.
15. 若，則的最小值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)的運算找出之間的關系，再利用基本不等式求出最值.
【詳解】
即：則，于是
當且僅當時等號成立.
故答案為：.
【點睛】靈活使用對數(shù)的運算法則，以及掌握基本的基本不等式題型.
16. 設定義在上的函數(shù)與的導函數(shù)分別為和，若，，且為奇函數(shù)，則下列說法中一定正確的是_______________.
（1）函數(shù)圖象關于對稱；
（2）；
（3）；
（4）
【答案】（1）（3）
【解析】
【分析】根據(jù)為奇函數(shù)推出對稱中心, 根據(jù)逆向思維得到, 代入推出的對稱軸, 進一步得出周期 4 ,周期也為 4 , 算出時的函數(shù)值以及一個周期內(nèi)的值即可求解.
【詳解】因為, 則,
因為，所以,
用去替x，所以有，所以有,
取代入得到則，
故，用換x，可得，函數(shù)的圖象關于對稱,故（1）正確；
在上為奇函數(shù), 則過, 圖像向右移動兩個單位得到過，故圖像關于對稱，; ，而，所以有，則的周期;
又因為圖像關于對稱，;函數(shù)的圖象關于對稱,，故
,
,故（3）正確；
, 是由的圖像移動變化而來, 故周期也為 4 ,
因為,
所以，,
所以，故（2）錯誤；
，周期為 4 , ，,,
故，
由于的值未知，不一定為0，所以無法判斷的值為-4046，
故（4）錯誤;
故答案為：（1）（3）
三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17. 已知數(shù)列的前項和，且滿足：，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【詳解】試題分析：（1）當時，可求出，當時，利用可求出是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故而可求出其通項公式；（2）由裂項相消可求出其前項和.
試題解析：（1）依題意：當時，有：，又，故，由①
當時，有②，①－②得：化簡得：，∴是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴.
（2）由（1）得：，∴
∴
18. 已知函數(shù)在時取得極大值4.
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值.
【答案】（1）；
（2）最大值為4，,最小值為0.
【解析】
【分析】（1）先求導，根據(jù)，解方程組求出a，b的值；
（2）根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，分別求出極值和端點值，再比較得出最大值和最小值.
【小問1詳解】
，由題意得，解得.
此時，，
當時，，所以在單調(diào)遞增，
當時，，所以在單調(diào)遞減，
當時，，所以單調(diào)遞增，
所以在時取得極大值.
所以.
【小問2詳解】
由（1）可知，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
又因為，，，，
所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，,最小值為0.
19. 記的內(nèi)角所對邊分別為．已知．
（1）求的大??；
（2）若，再從下列條件①，條件②中任選一個作為已知，求的面積．
條件①：；條件②：．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】(1)由正弦定理化邊為角，結合內(nèi)角和公式，三角函數(shù)恒等變換化簡求；
(2)若選①，由正弦定理求，由條件求，結合三角形面積公式求面積，
若選②，由條件可設，利用余弦定理求，結合三角形面積公式求面積.
【小問1詳解】
，
由正弦定理知，即．
在中，由，
．
．
．
．
【小問2詳解】
若選擇條件①，由正弦定理，得．
．
又，即．
．
．
若選擇條件②，由，即．
設．
則．
由，得．
．
．
20. 已知函數(shù)（），（）．
（1）若函數(shù)在處的切線方程為，求實數(shù)與的值；
（2）當時，若對任意的，存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）求導，由導函數(shù)幾何意義得到方程，求出，從而得到，代入切線中，求出答案；
（2）轉化為時，，求導得到的單調(diào)性，求出，再分三種情況求出，得到不等式，求出的取值范圍.
【小問1詳解】
，由得，
∴，，
即切點為，代入方程得，
所以，；
【小問2詳解】
由題意可得時，．
∵時，在恒成立，
故在為增函數(shù)，
∴，
．
①當時，在區(qū)間上遞增，所以，
由解得，舍去；
②當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，
故，解得或，
∴；
③當時，在區(qū)間上遞減，所以，
由解得，∴.
綜上，.
21. 已知函數(shù)（為常數(shù)）.
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當時，設的兩個極值點，（）恰為的零點，求的最小值.
【答案】（Ⅰ）當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅱ）.
【解析】
【詳解】試題分析：（1）先求函數(shù)導數(shù)，討論導函數(shù)符號變化規(guī)律：當時，導函數(shù)不變號，故的單調(diào)遞增區(qū)間為.當時，導函數(shù)符號由正變負，即單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間減區(qū)間為，（2）先求導數(shù)得為方程的兩根，再求導數(shù)得，因此，而由為的零點，得,兩式相減得,即得，因此，從而，其中根據(jù)韋達定理確定自變量范圍：因為
又，所以
試題解析：（1），當時，由解得,即當時，單調(diào)遞增， 由解得,即當時，單調(diào)遞減,當時，,即在上單調(diào)遞增,當時，故，即在上單調(diào)遞增,所以當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間減區(qū)間為，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）,則,所以的兩根即為方程的兩根. 因為,所以,又因為為的零點，所以,兩式相減得,得,而,
所以
令,由得
因為,兩邊同時除以，得，因為，故，解得或，所以，設，所以，則在上是減函數(shù)，所以，即的最小值為.
考點：利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，利用導數(shù)求函數(shù)最值
【思路點睛】導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性
(1)函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果f′(x)＞0，則
y＝f(x)在該區(qū)間為增函數(shù)；如果f′(x)＜0，則y＝f(x)在該區(qū)間為減函數(shù).
(2)函數(shù)單調(diào)性問題包括：①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，常常通過求導，轉化為解方程或不等式，常用到分類討論思想；②利用單調(diào)性證明不等式或比較大小，常用構造函數(shù)法.
請考生在第22、23兩題中任選一題作答．注意：只能做所選定的題目．如果多做，則按所做的第一個題目計分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑．
22. 已知在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），點.
（Ⅰ）將曲線的方程化為普通方程，并指出曲線是哪一種曲線；
（Ⅱ）直線與曲線交于點，當時，求直線的斜率..
【答案】(Ⅰ)，圓;(Ⅱ)1.
【解析】
【分析】（Ⅰ）消去參數(shù)可得曲線的普通方程是，曲線是圓.
（Ⅱ）聯(lián)立直線的參數(shù)方程與圓的普通方程，結合直線參數(shù)的幾何意義計算可得直線的斜率為.
【詳解】（Ⅰ）參數(shù)方程化為普通方程可得曲線的普通方程是，曲線是圓.
（Ⅱ）點滿足：
所以，即.
因為，所以.
從而.
所以.
據(jù)此可得直線的斜率為.
【點睛】直角坐標方程轉為極坐標方程的關鍵是利用公式，而極坐標方程轉化為直角坐標方程的關鍵是利用公式，后者也可以把極坐標方程變形盡量產(chǎn)生，,以便轉化.
23. 設函數(shù)，M為不等式的解集.
（1）求M；
（2）證明：當a，時，.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意給的函數(shù)解析式，分段去絕對值號，分別求解不等式解集即可完成求解；
（2）根據(jù)第（1）問求解出的范圍，對要證明的式子進行平方，然后合并即可判斷.
【小問1詳解】
①當時，由得，
解得；即；
②當時，由得，
解得，即；
③當時，由得，
解得，此時，這樣的x不存在.
所以的解集.
【小問2詳解】
證明：由（1）知，當時，，，
從而，
因此，

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