本試卷共23小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.
第I卷選擇題（60分）
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 全集，集合，，則陰影部分表示的集合是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定的條件利用韋恩圖反應(yīng)的集合運(yùn)算直接計(jì)算作答.
【詳解】韋恩圖的陰影部分表示的集合為，而全集，集合，，
所以.
故選：C
2. 復(fù)數(shù)（，為虛數(shù)單位），在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在上，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入，求得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的公式即可得解.
【詳解】解：復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)辄c(diǎn)在上，
所以，解得，
所以，
所以.
故選：B.
3. 若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則z=3x+y的最大值為（）
A. B. 3C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求解即可．
【詳解】解：可行域如圖所示，作出直線，可知要取最大值，
即直線經(jīng)過點(diǎn)．
解方程組得，，
所以．
故選：D．
4. 函數(shù)的大致圖象是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】從各項(xiàng)圖象的區(qū)別，確定先判斷函數(shù)奇偶性(對(duì)稱性)，再求導(dǎo)研究的符號(hào),判斷單調(diào)性即可.
【詳解】，
是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，排除選項(xiàng)AB.
當(dāng)時(shí)，，則，由，，
故存在使得，即函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，排除D.
故選：C.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)圖象辨識(shí)可從以下方面入手：
(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；
(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；
(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；
(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.
5. 設(shè)，，則“'”是“”的（）
A. 充要條件B. 充分條件但不是必要條件
C. 既不是充分條件也不是必要條件D. 必要條件但不是充分條件
【答案】D
【解析】
【分析】由基本不等式得，，若，則是真命題，反之，舉例即可判斷，進(jìn)而根據(jù)充分條件與必要條件的概念求解.
【詳解】解：因?yàn)?，，?br>所以，即，，若，則是真命題；
反之若，滿足，此時(shí)，
所以“'”是“”的必要條件但不是充分條件.
故選：D
6. 天文學(xué)中，用視星等表示觀測者用肉眼所看到的星體亮度，用絕對(duì)星等反映星體的真實(shí)亮度.星體的視星等，絕對(duì)星等，距地球的距離有關(guān)系式（為常數(shù)）.若甲星體視星等為，絕對(duì)星等為，距地球距離；乙星體視星等為，絕對(duì)星等為，距地球距離，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算可求得的值.
【詳解】由已知可得，
上述兩個(gè)等式作差得，因此，.
故選：A.
7. 已知為等邊三角形，，設(shè)點(diǎn)，滿足，，與交于點(diǎn)，則（）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
先根據(jù)已知條件確定出點(diǎn)位置，然后用表示出，最后根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算求解出的結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?，所以?br>所以為的一個(gè)靠近的三等分點(diǎn)，又因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，
過作交于點(diǎn)，如下圖所示：
因?yàn)榍?，所以，所以?br>所以，
所以，
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)的位置，通過將待求的向量都轉(zhuǎn)化為，即可直接根據(jù)數(shù)量積的計(jì)算公式完成求解.
8. 將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，且的圖象的一條對(duì)稱軸是直線，則的最小值為（）
A. B. 2C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平移變換得出，再由對(duì)稱軸的性質(zhì)得出，，結(jié)合得出的最小值.
【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是直線
所以，
解得，，又
所以當(dāng)時(shí)，取最小值，為
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于利用對(duì)稱軸的性質(zhì)結(jié)合得出的最小值.
9. 已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則滿足
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【詳解】,故, 又,故,故選D.
10. 已知函數(shù)，其中為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則（）
A. 0B. 2C. 2020D. 2021
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出，則，再求出，得到，從而求出，求出答案.
【詳解】
所以
所以
所以
所以
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的對(duì)稱性和求導(dǎo)函數(shù)以及求導(dǎo)函數(shù)的奇偶性，解答本題的關(guān)鍵是由解析式求得，從而得到，求出，得到，得到，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.
11. 已知三棱錐中，平面平面，且和都是邊長為2的等邊三角形，則該三棱錐的外接球表面積為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由題意畫出圖形分別取與的外心，過分別作兩面的垂線，相交于，結(jié)合已知由，求出三棱錐外接球的半徑，則外接球的表面積可求.
【詳解】如圖，
由已知可得，與均為等邊三角形，
取中點(diǎn)，連接，，則，
∵平面平面，則平面，
分別取與的外心，過分別作兩面的垂線，相交于，
則為三棱錐的外接球的球心，
由與均為邊長為的等邊三角形，
可得，
，
，
∴三棱錐A?BCD的外接球的表面積為.
故選：D.
12. 已知函數(shù)，其中，，且，若對(duì)一切恒成立，則（）
A. B. 是奇函數(shù)
C. D. 在區(qū)間上有2個(gè)極值點(diǎn)
【答案】D
【解析】
【分析】
令，由已知可得進(jìn)而可寫出對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)式，根據(jù)其性質(zhì)判斷各選項(xiàng)的正誤即可.
【詳解】由題意得：，
∵對(duì)一切恒成立，即，可得，
∴不妨設(shè)，有；，有，
綜上，
當(dāng)時(shí)，，為偶函數(shù)，，在區(qū)間上有2個(gè)極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，為偶函數(shù)，，在區(qū)間上有2個(gè)極值點(diǎn)；
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)一切恒成立，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)有，進(jìn)而可得三角函數(shù)式，結(jié)合性質(zhì)判斷正誤.
第II卷非選擇題
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分
13. 曲線與軸所圍成的圖形面積為______．
【答案】2
【解析】
【分析】
直接利用定積分求解.
【詳解】由題得.
所以所求的圖形的面積為2.
故答案為：2
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定積分的方法：(1)代數(shù)法：利用微積分基本原理求；（2）幾何法：數(shù)形結(jié)合利用面積求.
14. 已知中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則___________.
【答案】(或)
【解析】
【分析】
利用余弦定理和正弦定理邊角互化，整理已知條件，最后變形為，求角的值.
【詳解】根據(jù)余弦定理可知，
所以原式，變形為，
根據(jù)正弦定理邊角互化，可知，
又因?yàn)椋?br>則原式變形整理為,
即，因?yàn)椋?br>所以（或）
故答案為（或）
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更適合，或是兩個(gè)定理都要用，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到；(2)解題中注意三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用及角的范圍限制．
15. 已知，則______．
【答案】
【解析】
【分析】由可得，再由二倍角公式可得，代入即可得答案.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以，
所以.
故答案為：
16. 在空間中，過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，記作：.關(guān)于兩個(gè)不同的平面，有如下四個(gè)命題：
①若，則存點(diǎn)滿足.
②若，則存在點(diǎn)滿足.
③若，則不存在點(diǎn)滿足.
④若對(duì)空間任意一點(diǎn)，恒有，則.
其中所有真命題的序號(hào)是______.
【答案】②③ ④
【解析】
【分析】
①根據(jù)，判斷；②由判斷；③根據(jù)，判斷；④設(shè)，根據(jù)，則重合與一點(diǎn)Q判斷.
【詳解】①設(shè)，因?yàn)?，所以，則，故錯(cuò)誤；
②設(shè)，若，當(dāng)點(diǎn)時(shí)，滿足，故正確；
③設(shè)，則，. 因?yàn)?，所以，則，故正確；
④設(shè)，則，因?yàn)楹阌?，則重合與一點(diǎn)Q，則為矩形，所以，故正確；
故答案為：②③ ④
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是對(duì)垂足新定義的理解，將問題轉(zhuǎn)化為線面垂直判斷.
三、解答題：共 70 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第 17～21 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第 22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
（一）必考題：共 60 分.
17. 已知函數(shù).
（1）求單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若，且，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角公式和兩角和的正弦公式化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的遞增區(qū)間可得結(jié)果；
（2）由得到，由可得，再根據(jù)可求得結(jié)果.
【詳解】（1），
由，得，
則函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）由得，即，
由，，可得，
則，
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（2）問將拆為已知角和特殊角是本題解題關(guān)鍵.
18. 已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
（1）求，的值；
（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并證明．
【答案】（1），；（2）在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）求出即得的值，求出即得的值；
（2）先證明在上為單調(diào)遞增函數(shù)且圖象連續(xù)不斷，再求出，，即得證.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
又因?yàn)椋?br>因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線方程為．
所以，
所以
所以；
（2）在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
因?yàn)?，，?br>所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)且圖象連續(xù)不斷，
因?yàn)?，?br>所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：研究零點(diǎn)問題常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）圖象法（直接畫出函數(shù)的圖象得解）；（3）方程+圖象法（令得到，畫出的圖象得解）.
19. 已知銳角三角形的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別記作a，b，c，滿足，且．
（1）求；
（2）若點(diǎn)，分別在邊和上，且將分成面積相等的兩部分，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二倍角公式、正弦定理和得到，，再利用同角三角函數(shù)基本公式得到，利用和差公式得到，即可得到；
（2）利用三角形面積公式得到，然后利用余弦定理和基本不等式即可得到的最小值.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，因?yàn)?，所以?br>又，且為銳角，所以，
所以．
因?yàn)椋裕裕?br>【小問2詳解】
設(shè)，，根據(jù)題設(shè)有，
所以，可得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
所以的最小值為．
20. 如圖，在三棱柱中，已知底面，，，，D為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱上，且，E為線段上的動(dòng)點(diǎn).
（1）證明：；
（2）若直線與所成角的余弦值為，求二面角的余弦值.
【答案】（1）詳見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由底面，結(jié)合，得到，再根據(jù)， D為的中點(diǎn)，得到,則平面，從而，然后由，得到，進(jìn)而證明平面即可；
（2）由（1）取的中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由直線與所成角的余弦值為，求得x=2，再求得平面的一個(gè)法向量，由平面的一個(gè)法向量，然后由求解.
【小問1詳解】
證明：在三棱柱中，底面，
所以三棱柱是直三棱柱，則，
因?yàn)椋?br>所以，
又因?yàn)椋?D為的中點(diǎn)，
所以又，
所以平面，
則，
易知，則，
因?yàn)椋?br>三條，則，
即，又，
所以平面，
所以；
小問2詳解】
由（1）取的中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：
則，設(shè)，
所以，，
因?yàn)橹本€與所成角的余弦值為，
所以，
解得x=2，
則，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，
令，則，
易知是平面的一個(gè)法向量，
則
二面角的余弦值是.
21. 已知函數(shù)（）存在極值點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍：
（2）若是的極值點(diǎn)，求證：．
參考數(shù)據(jù)：．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由題意，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可；
（2）根據(jù)極值點(diǎn)的定義可得，將所證不等式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)一步構(gòu)造函數(shù)，求出最值，即可證明不等式.
【小問1詳解】
由題意，得（）有非重根，
變形得．
記，則，
令，得，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以．
【小問2詳解】
由題意可得，，得．
要證，
即證（）．
①先證，只需證．
記，則．
令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，所以，故原不等式左邊證畢．
②再證．
法1：原式即證．
由可得，，
所以在上單調(diào)遞增．
又因?yàn)?，?br>所以，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
又因?yàn)椋?br>，，，
所以，，．
由，
所以，，
所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減．
．
記，，
則在上單調(diào)遞減，且，
所以在上單調(diào)遞減．
又因?yàn)椋?br>所以．
又因?yàn)?，，所以?br>法2：原式即證．
由（1）可得，．
記，則：．
記，則，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
又因?yàn)?，，?br>所以，即，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
即，
所以，故原不等式右邊證畢．
法3：即證．
記，則，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故．
記，則．
記，，
則在恒成立，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，即在恒成立．
令，解得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故．
又因?yàn)?，所以?br>即，
所以，故原不等式右邊證畢．
綜上所述，．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，其中的關(guān)鍵點(diǎn)是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù).可通過構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，經(jīng)過一階、二階導(dǎo)數(shù)，以及其中的部分函數(shù)求導(dǎo)，求出函數(shù)的最值，從而證明不等式；也可左右兩邊分別構(gòu)造函數(shù)，如欲證，令，，利用導(dǎo)數(shù)的方法，求出和，發(fā)現(xiàn)，則該不等式也得證.
（二）選考題：共 10 分.請(qǐng)考生在第 22、23 題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.
選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
22. 如圖，在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，曲線是以極點(diǎn)為圓心，以為半徑的半圓，曲線是過極點(diǎn)且與曲線相切于點(diǎn)的圓.
（1）分別寫出曲線、的極坐標(biāo)方程；
（2）直線與曲線、分別相交于點(diǎn)、（異于極點(diǎn)），求面積的最大值.
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）分析可知曲線是以極點(diǎn)為圓心，以為半徑的半圓，結(jié)合圖形可得到曲線的極坐標(biāo)方程，設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得出曲線的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)、，由題意得，，求出以及點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式以及基本不等式可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
解：由題意可知，曲線是以極點(diǎn)為圓心，以為半徑的半圓，
結(jié)合圖形可知，曲線的極坐標(biāo)方程為.
設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn)，可得．
因此，曲線極坐標(biāo)方程為．
【小問2詳解】
解：因?yàn)橹本€與曲線、分別相交于點(diǎn)、（異于極點(diǎn)），
設(shè)、，由題意得，，
所以，．
因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故面積的最大值為.
選修 4-5：不等式選講
23. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的定義域；
（2）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】(1)將代入，列出不等式，再解含絕對(duì)值符號(hào)的不等式作答.
(2)利用給定條件去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化成恒成立的不等式，分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)推理作答.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，依題意，，
當(dāng)時(shí)，不等式化：，解得，則有，
當(dāng)時(shí)，不等式化為：，解得，則有；
當(dāng)時(shí)，不等式化為：，解得，則有，
綜上得：或，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?
【小問2詳解】
因當(dāng)時(shí)，，則對(duì)，成立，
此時(shí)，，，則，
于是得，成立，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，從而得，解得，又，則，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.

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四川省瀘縣2023_2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考文試題含解析：

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