2024浙江省浙南名校聯(lián)盟高一下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題含解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考生須知：
1．本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字．
3．所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效．
4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．
選擇題部分
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，則（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)并集的知識(shí)求得正確答案.
【詳解】依題意，.
故選：A
2. 已知是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函數(shù)的奇偶性得到，結(jié)合時(shí)函數(shù)解析式，得到答案.
【詳解】時(shí)，，
則，
又為偶函數(shù)，故，
故.
故選：B
3. “”是“是第一象限角”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)象限角、充分和必要條件等知識(shí)確定正確答案.
【詳解】，
是第一象限角，
所以“”是“是第一象限角”的必要不充分條件.
故選：B
4. 設(shè)是第二象限角，為其終邊上一點(diǎn)，且，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】按三角函數(shù)的定義計(jì)算即可
【詳解】依題意有且
故，
故選：C
5. 在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖像可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分和兩種情況，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可．
【詳解】對(duì)于A，B，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上為單調(diào)遞減函數(shù)；
又，所以在區(qū)間和區(qū)間上單調(diào)遞減，
且當(dāng)時(shí)，，故A和B均錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，
又，所以在區(qū)間和區(qū)間上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤，D正確．
故選：D．
6. 宇宙之大，粒子之微，無(wú)處不用到數(shù)學(xué)．2023年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)?lì)C給了“阿秒光脈沖”，光速約為阿秒等于．一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭，一根米長(zhǎng)的木棰，第一次截去總長(zhǎng)的一半，以后每次截去剩余長(zhǎng)度的一半，至少需要截（）次才能使其長(zhǎng)度小于光在阿秒內(nèi)走的距離．（參考數(shù)據(jù)：）
A. 30B. 31C. 32D. 33
【答案】C
【解析】
【分析】先求得光在阿秒內(nèi)走的距離，由此列不等式，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算求得正確答案.
【詳解】光在阿秒內(nèi)走的距離為，
設(shè)需要截次，則，兩邊取以為底的對(duì)數(shù)得：，，所以，
所以至少要截次.
故選：C
7. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若，且，都有成立，則不等式的解集為（）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性來(lái)對(duì)不等式進(jìn)行求解，從而確定正確答案.
【詳解】設(shè)，由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，
所以，所以是偶函數(shù)，
由于，且，都有成立，
所以在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，
由可知，
①當(dāng)時(shí)，有，，
即，而，
所以，解得.
②當(dāng)時(shí)，有，，
即，所以，
即或，
不等式組的解集為空集，
不等式組的解集為.
綜上所述，的取值范圍是.
故選：B
8. 已知，則大小關(guān)系為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】畫(huà)出在區(qū)間的圖象，根據(jù)圖象確定正確答案.
【詳解】依題意，
畫(huà)出在區(qū)間的圖象如下圖所示，
由圖可知.
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：主要是根據(jù)函數(shù)的增長(zhǎng)快慢來(lái)進(jìn)行求解，其中是勻速增長(zhǎng)，相對(duì)是先慢后快，相對(duì)是先快后慢，解題過(guò)程中可先畫(huà)出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，根據(jù)圖象來(lái)確定大小關(guān)系.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分．
9. 已知，則下列說(shuō)法中正確的是（）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】AD
【解析】
【分析】利用特殊值、差比較法、不等式的性質(zhì)等知識(shí)確定正確答案.
【詳解】A選項(xiàng)，若，則，
所以，所以A選項(xiàng)正確.
B選項(xiàng)，若，當(dāng)時(shí)，，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
C選項(xiàng)，若，如，則，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
D選項(xiàng)，若，則
，所以，所以D選項(xiàng)正確.
故選：AD
10. 設(shè)函數(shù)，已知在有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，下述結(jié)論中，正確的是（）
A. 在有且僅有1個(gè)解
B. 的取值范圍是
C. 在單調(diào)遞減
D. 若是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，且，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求得的取值范圍，根據(jù)三角方程、三角函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)值等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
依題意在有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，所以，
解得，所以B選項(xiàng)正確.
對(duì)于A選項(xiàng)，若，即時(shí)，
由或可得或是的解，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
對(duì)于C選項(xiàng)，由，得，所以，
所以在單調(diào)遞減，C選項(xiàng)正確.
對(duì)于D選項(xiàng)，由于，所以，
即，，所以，不妨設(shè)，
所以由可得，
兩式相減得，則，
所以，D選項(xiàng)正確.
故選：BCD
11. 已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，且，則（）
A.
B. 為偶函數(shù)
C. 在上單調(diào)遞減
D. 任意，存在，使得
【答案】ACD
【解析】
分析】運(yùn)用賦值法，結(jié)合函數(shù)定義逐項(xiàng)判斷即可得.
【詳解】對(duì)A：令，，則有，又，
故，即，故A正確；
對(duì)B：由，則有，
即，即有，
又定義域?yàn)?，故為奇函?shù)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C：令，則有，，，由當(dāng)時(shí)，，
故，，則，
即時(shí)，有，故在上單調(diào)遞減，
即C正確；
對(duì)D：等價(jià)于，
由為奇函數(shù)，設(shè)函數(shù)，
則對(duì)任意，
都有，
故函數(shù)為奇函數(shù)，
故對(duì)任意，存在，使，
即任意，存在，使得，故D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于運(yùn)用賦值法，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)的定義解決函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題.
非選擇題部分
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知，，，則的最小值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】觀察所求問(wèn)題的形式，對(duì)所給已知條件進(jìn)行配湊，然后再利用基本不等式中‘1的靈活用法’，即可求解.
【詳解】由條件可得，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立．
故答案為：.
13. 已知且為第四象限角，若，則值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件求得，進(jìn)而求得.
【詳解】依題意，且為第四象限角，
所以，.
，，
，
所以.
故答案為：
14. 已知函數(shù)對(duì)任意的滿足，且當(dāng)時(shí)，．若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________．
【答案】
【解析】
【分析】將因式分解，可將函數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程及的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可得.
【詳解】，
令，則有或，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，令，解得，
由，則關(guān)于對(duì)稱，故當(dāng)時(shí)，有，
即有，即函數(shù)有零點(diǎn)即，
故當(dāng)時(shí)，需有兩個(gè)不同于、的解，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，有，有，
又當(dāng)時(shí)，，故有，
即.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于將因式分解，從而將函數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程及的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題.
四、解答題：本題共5個(gè)小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
15. 已知集合，．
（1）求；
（2）記關(guān)于的不等式的解集為，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）先解不等式求得集合，然后根據(jù)補(bǔ)集、交集的知識(shí)求得正確答案.
（2）根據(jù)集合的包含關(guān)系列不等式，由此求得的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
由解得，所以.
由得或，解得或，
所以，，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
由，解得，
所以，要使，
則需或，解得或.
16. 已知函數(shù)（其中）的圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)向右平移，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象，依次求得的值，從而求得的解析式.
（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的知識(shí)求得，根據(jù)在區(qū)間上的值域求得正確答案.
【小問(wèn)1詳解】
由圖可知，，，
，由于，
所以，所以.
【小問(wèn)2詳解】
將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)向右平移，得到，
再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得到函數(shù)，
由得，此時(shí)，
所以要使函數(shù)有零點(diǎn)，則.
17. 某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為萬(wàn)元，每生產(chǎn)千件，需另投入成本為.當(dāng)年產(chǎn)量不足千件時(shí)，（萬(wàn)元）；當(dāng)年產(chǎn)量不小于千件時(shí)，（萬(wàn)元）.通過(guò)市場(chǎng)分析，若每件售價(jià)為元時(shí)，該廠年內(nèi)生產(chǎn)的商品能全部售完.（利潤(rùn)銷(xiāo)售收入總成本）
（1）寫(xiě)出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；
（2）年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？
【答案】17.
18. 千件
【解析】
【分析】（1）由題意，分別寫(xiě)出與對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，即可得分段函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)時(shí)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最大值，當(dāng)時(shí)，利用基本不等式求解最大值，比較之后得整個(gè)范圍的最大值.
【小問(wèn)1詳解】
解：當(dāng)，時(shí)，
當(dāng)，時(shí)，
∴
【小問(wèn)2詳解】
解：當(dāng)，時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值（萬(wàn)元）
當(dāng)，時(shí)，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
即時(shí)，取得最大值萬(wàn)元
綜上，所以生產(chǎn)量為千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大為萬(wàn)元
18. 已知函數(shù)
（1）若，求的值域；
（2）若，都有恒成立，求a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）使用換元法結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可得；
（2）使用換元法分類(lèi)討論計(jì)算即可得.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
令，
則，
由，則，故，又，故，
即的值域?yàn)椋?br>【小問(wèn)2詳解】
令，則，
當(dāng)時(shí)，，，
則，
由，即，化簡(jiǎn)得，
令，，
由，故，故在上單調(diào)遞增，
故，解得；
當(dāng)時(shí)，，，
故，
則有，即，
由，故有，，
解得，
綜上所述，.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是采用換元法，將復(fù)雜的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)問(wèn)題，再結(jié)合分類(lèi)討論的思想即可.
19. 已知函數(shù)為奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）設(shè)函數(shù)，
i．證明：有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
ii．記函數(shù)的零點(diǎn)為，證明：．
【答案】（1）
（2）i．證明見(jiàn)解析；ii．證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）借助函數(shù)的奇偶性計(jì)算即可得；
（2）結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理分類(lèi)討論可證有且只有一個(gè)零點(diǎn)；結(jié)合零點(diǎn)性質(zhì)與單調(diào)性放縮可得.
【小問(wèn)1詳解】
，
即有，即恒成立，
故；
【小問(wèn)2詳解】
i．當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)均在定義域上單調(diào)遞增，
故在上單調(diào)遞增，
又，，
故存在唯一零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，，故，
當(dāng)時(shí)，，，故，
故當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，
綜上所述，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且該零點(diǎn)；
ii．由上可知，且有，
則，
即，
由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
故
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題i．問(wèn)關(guān)鍵在于借助零點(diǎn)的存在性定理判定有且只有一個(gè)零點(diǎn)，ii．問(wèn)關(guān)鍵在于借助零點(diǎn)，將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，得到.

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