?2020-2021學(xué)年浙江省浙南名校聯(lián)盟高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.
1．已知集合A＝{x|x2﹣5x≤0}，B＝{x||x|＜3}，則A∩B＝（　　）
A．（﹣3，5] B．[﹣3，5] C．（﹣∞，5] D．[0，3）
2．若復(fù)數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（　?。?br /> A． B． C． D．
3．已知平面向量，，若，則實數(shù)x的值是（　?。?br /> A． B．1 C．5 D．﹣8
4．已知命題p：?x∈R，x2+a＜0，那么“a≤0”是“p為真命題”的（　　）條件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
5．已知函數(shù)y＝cosax+b（a＞0）的圖像如圖所示，則函數(shù)y＝loga（x+b）的圖像可能是（　?。?br />
A． B．
C． D．
6．聲強級Li（單位：dB）與聲強I（單位：ω/m2）之間的關(guān)系是：Li＝101g，其中I0指的是人能聽到的最低聲強，對應(yīng)的聲強級稱為聞閾．人能承受的最大聲強為1ω/m2，對應(yīng)的聲強級為120dB，稱為痛閾．某歌唱家唱歌時，聲強級范圍為[60，70]（單位：dB）．下列選項中錯誤的是（　?。?br /> A．聞閾的聲強級為0dB
B．此歌唱家唱歌時的聲強范圍[10﹣6，10﹣5]（單位：dB）
C．如果聲強變?yōu)樵瓉淼?倍，對應(yīng)聲強級也變?yōu)樵瓉淼?倍
D．聲強級增加10dB，則聲強變?yōu)樵瓉淼?0倍
7．已知平行四邊形ABCD，若，，且EF交AC于點M，則＝（　?。?br /> A． B． C． D．
8．已知函數(shù)f（x）＝max{x2，3﹣2|x|}，其中，若方程有四個不同的實根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），則x1x4+x2+x3的取值范圍是（　?。?br /> A． B．
C． D．
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分。
9．下面關(guān)于空間幾何體敘述正確的是（　　）
A．正四棱柱是長方體
B．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐
C．有兩個面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺
D．直角三角形以其直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓錐
10．已知函數(shù)f（x）＝2|sinx|+|cosx|，下列說法正確的有（　?。?br /> A．f（x）為偶函數(shù)
B．f（x）在上單調(diào)遞增
C．f（x）為周期函數(shù)
D．方程f（x）＝2在[0，π]上有三個實根
11．下列說法正確的有（　?。?br /> A．的最小值為2
B．已知x＞1，則的最小值為
C．若正數(shù)x、y滿足x+2y＝3xy，則2x+y的最小值為3
D．設(shè)x、y為實數(shù)，若9x2+y2+xy＝1，則3x+y的最大值為
12．設(shè)函數(shù)f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c∈R，a＞0），則下列說法正確的是（　　）
A．若f（x）＝x有實根，則方程f（f（x））＝x有實根
B．若f（x）＝x無實根，則方程f（f（x））＝x無實根
C．若，則函數(shù)y＝f（x）與y＝f（f（x））都恰有2個零點
D．若，則函數(shù)y＝f（x）與y＝f（f（x））都恰有2零點
三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分.
13．求值：＝　 ?。?br /> 14．如圖，△A'B'C'是△ABC用“斜二測畫法”畫出的直觀圖，其中O'B'＝O'C'＝1，，那么△ABC的周長是 　 ?。?br />
15．在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝3，，CD＝4，，則四邊形ABCD的面積為　 ?。?br /> 16．已知非零向量，，，滿足，，，若，則的取值范圍是　 ?。?br /> 四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．已知，且．
（1）求tanθ的值；
（2）求[sin（3π﹣θ）﹣2cos（π+θ）]的值．
18．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對得到邊分別為a，b，c，向量，，且．
（1）求角C的值；
（2）若△ABC為銳角三角形，，求a﹣b的取值范圍．
19．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝1，∠CAB＝90°．
（1）求該直三棱柱的表面積S；
（2）若把兩個這樣的直三棱柱拼成一個大棱柱，當(dāng)該大棱柱表面積最大時，求該大棱柱的外接球的體積．

20．用洗衣機洗衣時，洗滌并甩干后進入漂洗階段．每次漂洗都經(jīng)歷放水、漂洗、甩干三個過程．每次漂洗時，衣服的殘留物都能均勻溶于水，在甩干時也能被均勻甩出，并且每次甩干后重量（殘留物和水分重量總和）不變．假設(shè)衣服在洗滌并甩干后，殘留物與水分共有m千克，其中水分占．
（1）求第一次漂洗后剩余殘留物y與這次漂洗放入水的重量x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）若進行兩次漂洗，加入水總重量為a千克，求剩余殘留物y的最小值．
21．已知函數(shù)sinxcosx﹣cos2x．
（1）求f（x）的對稱軸；
（2）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，M是AB邊上一點，且MA＝2MB，求△MBC的最大面積．
22．已知函數(shù)y＝f（x）與y＝g（x）的圖像關(guān)于點（1，1）對稱，且二次函數(shù)f（x）＝ax2+bx+c過點（1，0），f（0）f（2）＞0．
（1）求的取值范圍：
（2）試判斷y＝g（x）的圖像與直線y＝2﹣a是否有兩個不同的交點？若有，請求出兩交點間距離的取值范圍；若沒有，請說明理由．


參考答案
一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.
1．已知集合A＝{x|x2﹣5x≤0}，B＝{x||x|＜3}，則A∩B＝（　　）
A．（﹣3，5] B．[﹣3，5] C．（﹣∞，5] D．[0，3）
解：因為集合A＝{x|x2﹣5x≤0}＝{x|0≤x≤5}，
又B＝{x||x|＜3}＝{x|﹣3＜x＜3}，
則A∩B＝{x|0≤x＜3}．
故選：D．
2．若復(fù)數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（　　）
A． B． C． D．
解：∵＝，
∴，
∴z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為，
故選：A．
3．已知平面向量，，若，則實數(shù)x的值是（　　）
A． B．1 C．5 D．﹣8
解：根據(jù)題意，平面向量，，
則﹣＝（x﹣2，﹣2），
若，則（﹣）?＝2（x﹣2）﹣6＝0，解可得x＝5；
故選：C．
4．已知命題p：?x∈R，x2+a＜0，那么“a≤0”是“p為真命題”的（　?。l件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
解：∵命題p：?x∈R，x2+a＜0，
∴△＝﹣4a＞0，∴a＜0，
∴p為真命題時，a＜0，
∵{a|a＜0}?{a|a≤0}，
∴a≤0是p為真命題的必要不充分條件，
故選：B．
5．已知函數(shù)y＝cosax+b（a＞0）的圖像如圖所示，則函數(shù)y＝loga（x+b）的圖像可能是（　　）

A． B．
C． D．
解：由函數(shù)y＝cosax+b（a＞0）的圖象知，函數(shù)的最小正周期滿足＞2π，
所以T＞4π，即＞4π，
所以0＜a＜；
又1＜cos0+b＜2，
所以0＜b＜1，
所以函數(shù)y＝loga（x+b）的大致圖象如圖所示：

故選：A．
6．聲強級Li（單位：dB）與聲強I（單位：ω/m2）之間的關(guān)系是：Li＝101g，其中I0指的是人能聽到的最低聲強，對應(yīng)的聲強級稱為聞閾．人能承受的最大聲強為1ω/m2，對應(yīng)的聲強級為120dB，稱為痛閾．某歌唱家唱歌時，聲強級范圍為[60，70]（單位：dB）．下列選項中錯誤的是（　?。?br /> A．聞閾的聲強級為0dB
B．此歌唱家唱歌時的聲強范圍[10﹣6，10﹣5]（單位：dB）
C．如果聲強變?yōu)樵瓉淼?倍，對應(yīng)聲強級也變?yōu)樵瓉淼?倍
D．聲強級增加10dB，則聲強變?yōu)樵瓉淼?0倍
解：因為Li＝101g＝10lgI﹣10lgI0，當(dāng)I＝1ω/m2時，Li＝120，
代入公式可得I0＝10﹣121ω/m2，
對于A，當(dāng)I＝I0時，Li＝10lg1＝0，故選項A正確；
對于B，由題意可得，60≤10lgI﹣10lg10﹣12≤70，即60≤10lgI+120≤70，
所以﹣6≤lgI≤﹣5，解得10﹣6≤I≤10﹣5，故選項B正確；
對于C，當(dāng)I變?yōu)?I時，代入Li'＝10lg（2I）﹣10lgI0≠2Li，故選項C錯誤；
對于D，設(shè)聲強變?yōu)樵瓉淼膋倍，則10lg（kI）﹣10lgI＝10，解得k＝10，故選項D正確．
故選：C．
7．已知平行四邊形ABCD，若，，且EF交AC于點M，則＝（　?。?br /> A． B． C． D．
解：因為M在AC上，所以存在實數(shù)t，使得．
在平行四邊形中，，所以．
因為E，M，F(xiàn)三點共線，所以3t+2t＝1，解得．
故選：B．
8．已知函數(shù)f（x）＝max{x2，3﹣2|x|}，其中，若方程有四個不同的實根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），則x1x4+x2+x3的取值范圍是（　?。?br /> A． B．
C． D．
解：方程有四個不同的實根，等價于函數(shù)y＝f（x）與y＝ax+有四個交點，
畫出函數(shù)f（x）的大致圖像，如圖所示：
由圖像可知x1，x4是y＝ax+與y＝x2的交點的橫坐標(biāo)，
聯(lián)立方程，消去y得：，
∴x1x4＝，
當(dāng)直線y＝ax+過點（﹣1，1）時，a＝，
易知直線y＝ax+恒過定點（0，），又a＞0，
∴要使函數(shù)y＝f（x）與y＝ax+有四個交點，則0＜a，
聯(lián)立方程，解得x＝﹣，
∴﹣1，
聯(lián)立方程，解得x＝，
聯(lián)立方程，解得x＝，
∴，
∴，
∴，
故選：B．

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分。
9．下面關(guān)于空間幾何體敘述正確的是（　?。?br /> A．正四棱柱是長方體
B．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐
C．有兩個面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺
D．直角三角形以其直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓錐
解：因為正四棱柱是底面為正方形的直棱柱，所以正四棱柱是長方體，故選項A正確；
因為底面是正多邊形，并且頂點在底面內(nèi)的射影是底面中心，這樣的棱錐叫做正棱錐，故選項B錯誤；
由棱臺的定義，棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面間的部分叫做棱臺，故選項C錯誤；
直角三角形以其直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓錐，故選項D正確．
故選：AD．
10．已知函數(shù)f（x）＝2|sinx|+|cosx|，下列說法正確的有（　?。?br /> A．f（x）為偶函數(shù)
B．f（x）在上單調(diào)遞增
C．f（x）為周期函數(shù)
D．方程f（x）＝2在[0，π]上有三個實根
解：f（﹣x）＝2|sin（﹣x）|+|cos（﹣x）|＝2|sinx|+|cosx|＝f（x），為偶函數(shù)，A對；
＞，B錯；
f（π+x）＝2|sin（π+x）|+|cos（π+x）|＝2|sinx|+|cosx|＝f（x），則π為函數(shù)的一個周期，C對；
f（+x）＝2|sin（+x）|+|cos（+x）|＝|sinx|+2|cosx|＝f（﹣x），函數(shù)關(guān)于x＝對稱，故只需判斷0的圖像，
當(dāng)0時，f（0）＝1，，f（x）＝2sinx+cosx＝sin（x+θ），（tanθ＝，0），
0＜x+θ＜，則函數(shù)在0上單調(diào)遞增，再單調(diào)遞減，且可以取最大值，
則可以畫出f（x）在[0，π]上的圖象，如圖，

則D對；
故選：ACD．
11．下列說法正確的有（　　）
A．的最小值為2
B．已知x＞1，則的最小值為
C．若正數(shù)x、y滿足x+2y＝3xy，則2x+y的最小值為3
D．設(shè)x、y為實數(shù)，若9x2+y2+xy＝1，則3x+y的最大值為
解：對于A選項，當(dāng)x＜0時，，故A選項錯誤，
對于B選項，當(dāng)x＞1時，x﹣1＞0，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故B選項正確，
對于C選項，若正數(shù)x、y滿足x+2y＝3xy，
則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時，等號成立，故C選項正確，
對于D選項，，
所以，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)y＝3x時，等號成立，故3x+y的最大值為，D選項正確．
故選：BCD．
12．設(shè)函數(shù)f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c∈R，a＞0），則下列說法正確的是（　?。?br /> A．若f（x）＝x有實根，則方程f（f（x））＝x有實根
B．若f（x）＝x無實根，則方程f（f（x））＝x無實根
C．若，則函數(shù)y＝f（x）與y＝f（f（x））都恰有2個零點
D．若，則函數(shù)y＝f（x）與y＝f（f（x））都恰有2零點
解：對于選項A：若f（x）＝x有實根x＝x0，則方程f（f（x））＝f（x0）＝x0，A選項正確，
對于選項B：因為a＞0，若方程f（x）＝x無實根，則f（x）﹣x＞0對任意的x∈R恒成立，
所以f（f（x））＞f（x）＞x，從而方程f（f（x））＝x無實根，B選項正確，
對于選項C：取f（x）＝x2﹣x，則f（）＝﹣＜0，函數(shù)y＝f（x）有2個零點，
則f（f（x））＝[f（x）]2﹣f（x）＝0，可得f（x）＝0或f（x）＝1，
即x2﹣x＝0或x2﹣x＝1，
解得x＝0或1或，
此時，函數(shù)y＝f（f（x））有4個零點，C選項錯誤，
對于選項D：因為，設(shè)t＝f（﹣），則t＝f（x）min，
因為f（t）＜0且a＞0，
所以函數(shù)f（x）必有2個零點，設(shè)為x1，x2，且x1＜x2，
則x1＜t＜x2，所以方程f（x）＝x1無解，方程f（x）＝x2有2個解，
因此若，則函數(shù)y＝f（x）與y＝f（f（x））都恰有2零點，D選項正確，
故選：ABD．
三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分.
13．求值：＝　5　．
解：＝8﹣1﹣lg10＝7﹣2＝5．
故答案為：5．
14．如圖，△A'B'C'是△ABC用“斜二測畫法”畫出的直觀圖，其中O'B'＝O'C'＝1，，那么△ABC的周長是 　6?。?br />
解：把直觀圖還原出原圖形，如圖所示：

則OB＝OC＝O'B'＝O'C'＝1，
OA＝2O′A′＝2×＝，
所以BC＝OB+OC＝2，AB＝AC＝＝2，
所以△ABC的周長是AB+AC+BC＝2+2+2＝6．
故答案為：6．
15．在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝3，，CD＝4，，則四邊形ABCD的面積為　?。?br /> 解：如圖，設(shè)＝x，則cos∠ABD＝，cos∠BDC＝，
∵在四邊形ABCD中，AB∥CD，∴cos∠ABD＝cos∠BDC，
即＝，解得x＝2．
∴cos∠ABD＝＝，sin，
則四邊形ABCD的面積為S＝S△ADB+S△BDC＝+＝．
故答案為：．

16．已知非零向量，，，滿足，，，若，則的取值范圍是　[﹣1，+1]?。?br /> 解：∵，，，
∴?＝2×1×cos＜，＞＝1，∴cos＜，＞＝，∵＜，＞∈[0，π]，∴＜，＞＝，
建立如圖平面坐標(biāo)系，且A（2，0），B（，），

設(shè)＝＝（2，0），＝＝（，），＝＝（x，y），
∵，∴x2+y2﹣x﹣y＝0，
∴C在以B（，）為圓心，1為半徑的圓上，
∵表示圓上點到點A（2，0）的距離，
又∵圓心B（，）到點A（2，0）的距離為＝，
∴的最大值為+1，最小值為﹣1，
∴的取值范圍為[﹣1，+1]．
故答案為：[﹣1，+1]．
四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．已知，且．
（1）求tanθ的值；
（2）求[sin（3π﹣θ）﹣2cos（π+θ）]的值．
解：（1）由＝cosθsinθ，得，
∵，∴sinθ+cosθ＞0，sinθ﹣cosθ＜0，
∴，＝，
∴，，∴．
（2）∵?[sin（3π﹣θ）﹣2cos（π+θ）]＝（sinθ﹣cosθ）（sinθ+2cosθ）
＝＝．
18．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對得到邊分別為a，b，c，向量，，且．
（1）求角C的值；
（2）若△ABC為銳角三角形，，求a﹣b的取值范圍．
解：（1）∵向量，，且，
∴a＝2b﹣2ccosA，即2b＝a+2ccosA，
∴2sinB＝sinA+2sinCcosA，
∴2sin（A+C）＝sinA+2sinCcosA，即2sinAcosC+2cosAsinC＝sinA+2sinCcosA，
∴2sinAcosC＝sinA，
∵A∈（0，π），sinA≠0，
∴，
∵C∈（0，π），
∴．
（2）∵，，
∴由正弦定理可得，
∴a﹣b＝4sinA﹣4sinB＝，
∵△ABC為銳角三角形，可得，可得，有，則，
∴a﹣b的取值范圍為（﹣2，2）．
19．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝1，∠CAB＝90°．
（1）求該直三棱柱的表面積S；
（2）若把兩個這樣的直三棱柱拼成一個大棱柱，當(dāng)該大棱柱表面積最大時，求該大棱柱的外接球的體積．

解：（1）；
（2）由題得：最小，如下圖所示

組合1：組合2：組合3：
四棱柱還可以有另外兩種情況，
因為兩個棱柱的表面積是固定的，當(dāng)拼起來時，接觸面積重合，重合的面積在新圖形中只被算一次，當(dāng)接觸面積最小時，表面積最大，所以組合1大柱體的表面積最大，
所以此時外接球直徑，，；
20．用洗衣機洗衣時，洗滌并甩干后進入漂洗階段．每次漂洗都經(jīng)歷放水、漂洗、甩干三個過程．每次漂洗時，衣服的殘留物都能均勻溶于水，在甩干時也能被均勻甩出，并且每次甩干后重量（殘留物和水分重量總和）不變．假設(shè)衣服在洗滌并甩干后，殘留物與水分共有m千克，其中水分占．
（1）求第一次漂洗后剩余殘留物y與這次漂洗放入水的重量x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）若進行兩次漂洗，加入水總重量為a千克，求剩余殘留物y的最小值．
解：（1）由題意可知，，即；
（2）設(shè)第一次漂洗后殘留物為y1，第一次加入水量為x1，第二次加入的水量為x2，
則有x1+x2＝a，
因為，即，
又，
所以，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
故二次漂洗后殘留物y的最小值為．
21．已知函數(shù)sinxcosx﹣cos2x．
（1）求f（x）的對稱軸；
（2）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，M是AB邊上一點，且MA＝2MB，求△MBC的最大面積．
解：（1）＝
令，k∈Z，得對稱軸為，k∈Z．
（2）由（1）知，，
因為，所以．
又因為A∈（0，π），所以，
①當(dāng)時，，，
解法1：由余弦定理可知，，得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時取等號，，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時取等號，
解法2：設(shè)△ABC外接圓半徑為R，則由正弦定理可知，
圓上弦長BC＝2一定，動點A在圓弧上運動，當(dāng)b＝c時，△ABC底邊BC上的高最大，此時△ABC面積最大值為，所以△MBC的最大面積為．
②當(dāng)時，，，
方法如①，，
即△MBC的最大面積為，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時取等號．
22．已知函數(shù)y＝f（x）與y＝g（x）的圖像關(guān)于點（1，1）對稱，且二次函數(shù)f（x）＝ax2+bx+c過點（1，0），f（0）f（2）＞0．
（1）求的取值范圍：
（2）試判斷y＝g（x）的圖像與直線y＝2﹣a是否有兩個不同的交點？若有，請求出兩交點間距離的取值范圍；若沒有，請說明理由．
解：（1）由題得a+b+c＝0，∵f（0）f（2）＝c（4a+2b+c）＞0，
∴（a+b）（3a+b）＜0即，
∵a2＞0∴；
（2）解法1：設(shè)點P（x，y）是函數(shù)y＝g（x）圖像上的任意一點，
則點P（x，y）關(guān)于點（1，1）對稱的點P'（x'，y'）在函數(shù)y＝f（x）的圖像上．
∴即，
∵點P'（x'，y'）在在函數(shù)y＝f（x）的圖像上，
∴2﹣y＝f（2﹣x），
∴y＝2﹣f（2﹣x）（若直接寫出g（x）＝2﹣f（2﹣x）就給分）
即g（x）＝2﹣f（x）＝2﹣a（2﹣x）2﹣bx﹣c＝﹣ax2+（4a+b）x+2﹣4a﹣2b﹣c＝﹣ax2+（4a+b）x+2﹣3a﹣b，
由方程g（x）＝2﹣a，得ax2﹣（4a+b）x+2a+b＝0，
∵△＝（4a+b）2﹣4a（2a+b）＝，
設(shè)y＝g（x）的圖像與直線y＝2﹣a有兩個不同的交點A（x1，y1），B（x2，y2），
即x1，x2是方程ax2﹣（4a+b）x+2a+b＝0的兩個根，
∴，
，
∴
＝＝，
∵∴，
∴．
解法2：∵函數(shù)y＝f（x）與y＝g（x）的圖像關(guān)于點（1，1）對稱，
∴y＝g（x）的圖像與直線y＝2﹣a是否有兩個不同的交點
?y＝f（x）與y＝a是否有兩個不同的交點，
由方程f（x）＝a得ax2+bx+c﹣a＝0即ax2+bx﹣2a﹣b＝0，
∵△＝b2+8a2+4ab＝（b+2a）2+4a2＞0，
∴y＝f（x）與y＝a有兩個不同的交點A（x1，y1），B（x2，y2），
即x1，x2是方程ax2+bx﹣2a﹣b＝0的兩個根，
∴，
，
∴
＝＝，
∵∴，
∴．


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