高二數(shù)學(xué)學(xué)科試題
考生須知：
1.本試題卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級?姓名?考場號(hào)?座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào).
3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效.
4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.
選擇題部分
一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.）
1.已知拋物線的焦點(diǎn)在直線上，則（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知向量，則在上的投影為（ ）
A. B. C. D.
3.已知點(diǎn)及直線上一點(diǎn)，則的值不可能是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知數(shù)列是各項(xiàng)為正的等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，且，則（ ）
A. B. C.1 D.
5.若圓與圓只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值可以是（ ）
A.-1 B.-2 C.1 D.2
6.已知的三個(gè)內(nèi)角分別為，則的值可能是（ ）
A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1
7.圓錐曲線具有豐富的光學(xué)性質(zhì)，在人教版A版選擇性必修第一冊的閱讀與思考中提到了橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上，（如圖（1））.如圖（2），已知為橢圓的左焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為橢圓的任一條切線，為在上的射影，則點(diǎn)的軌跡是（ ）
A.圓 B.橢圓 C.雙曲性 D.拋物線
8.已知，則（ ）
A. B.
C. D.
二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分）
9.已知，則方程表示的曲線可能是（ ）
A.兩條直線 B.圓
C.焦點(diǎn)在軸的橢圓 D.焦點(diǎn)在軸的雙曲線
10.如圖，已知四棱錐中，平面，底面為正方形，為線段上一點(diǎn)（含端點(diǎn)），則直線與平面所成角不可能是（ ）
A.0 B. C. D.
11.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.數(shù)列為等比數(shù)列
B.數(shù)列為等差數(shù)列
C.數(shù)列中任意三項(xiàng)不能構(gòu)成等比數(shù)列
D.數(shù)列中可能存在三項(xiàng)成等比數(shù)列
12.如圖，已知棱長為2的正方體，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，過點(diǎn)作正方體的截面，關(guān)于下列判斷正確的是（ ）
A.截面的形狀可能是正三角形
B.截面的形狀可能是直角梯形
C.此截面可以將正方體體積分成1：3
D.若截面的形狀是六邊形，則其周長為定值
非選擇題部分
三?填空題（本大題共4小題，共20分.）
13.某校新建一個(gè)報(bào)告廳，要求容納800個(gè)座位，第一排21個(gè)座位，從第2排起后一排都比前一排多兩個(gè)位置，那么這個(gè)報(bào)告廳共有__________排座位.
14.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為__________.
15.已知正四面體，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為__________.
16.已知點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的最小值為，則橢圓的離心率為__________.
四?解答題（本大題共6小題，共70分.）
17.設(shè)，函數(shù).
（1）若有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；
（2）若的一個(gè)極值點(diǎn)為1，求函數(shù)的極值.
18.如圖，已知等腰三角形中，是的中點(diǎn)，且.
（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）設(shè)所在直線與軌跡的另一個(gè)交點(diǎn)為，當(dāng)面積最大且在第一象限時(shí)，求.
19.如圖，是邊長為2的等邊三角形，且.
（1）若點(diǎn)到平面的距離為1，求；
（2）若且，求直線與平面所成角的正弦值.
20.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且成等比數(shù)列.
（1）寫出，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若對任意的恒成立，求的取值范圍.
21.已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，求證：.
22.已知等軸雙曲線過定點(diǎn)，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，記，且.
（1）求等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）證明：直線過定點(diǎn).
高二數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案與解析
一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.）
二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.）
6.【參考答案】：
由得：，故選D
7.【參考答案】：
解法一：設(shè)切線與橢圓相切于點(diǎn)，則切線的方程是，
則直線的方程是，
，故點(diǎn)的軌跡是圓.故選
解法二：如圖，設(shè)切線與橢圓相切于點(diǎn)，過右焦點(diǎn)
作于，延長與直線交于點(diǎn)，易知，
由橢圓光學(xué)性質(zhì)知，
設(shè)，
則，
，所以，
故，故選.
8.【參考答案】：
構(gòu)造函數(shù)
則
由于（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）恒成立，故
由于（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）恒成立，
故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）
即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），故
構(gòu)造函數(shù)
，當(dāng)時(shí)，
在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞減
，綜上，選B
11.【參考答案】：
（1）設(shè)數(shù)列的公差為
數(shù)列為等差數(shù)列，又?jǐn)?shù)列為等差數(shù)列
數(shù)列為等差數(shù)列.故B正確，錯(cuò)誤；
（2）（反證法）假設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)，且能構(gòu)成等比數(shù)列，即成立.由（1）得，
整理得：
與矛盾，
數(shù)列中任意三項(xiàng)不能構(gòu)成等比數(shù)列，故C正確，同理可知，錯(cuò)誤.
12.【參考答案】：
如圖（1），M，N分別為所在棱中點(diǎn)，A正確；
當(dāng)截面是梯形時(shí)如圖（2），如果為直角梯形，則，又，故面，，矛盾，形狀不可能為直角梯形，錯(cuò)誤；
如圖（3），為所在棱中點(diǎn)，截面將正方體分成1：3，正確；
如圖（4）?（5），當(dāng)截面是六邊形時(shí)，可以是正六邊形，也可以是一般的六邊形，周長不是定值，D錯(cuò)誤.
三?填空題（本大題共4小題，共20分.）
13. 14. 15. 16.
15.【參考答案】：
正四面體的棱長設(shè)為2，則
異面直線與所成角的余弦值為
16.【參考答案】：
直線關(guān)于原點(diǎn)的對稱直線為，記直線與直線的交點(diǎn)為，連結(jié)，
則，設(shè)
或24
當(dāng)時(shí)，與橢圓相交，最小值為0，與矛盾，舍去.
當(dāng)時(shí)，符合要求，此時(shí)，，橢圓離心率.
四?解答題（本大題共6小題，共70分.）
17.【參考答案】
解：
（1），若有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則這個(gè)唯一零點(diǎn)一定是0
故，即函數(shù)無零點(diǎn)；
（2）
的一個(gè)極值點(diǎn)為
，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增
18.【參考答案】
解：
（1），
即.
（2）由題意，
所在直線方程為
圓心到直線的距離
19.【參考答案】：
（1）是邊長為2的等邊三角形，又，
中，
點(diǎn)到平面的距離為1，不妨設(shè)平面的法向量為
則
又即
平面，
，又
（2）由（1）知，
又，且平面
又
設(shè)中點(diǎn)為，則，又，且，
，且平面；
設(shè)中點(diǎn)為，則，
因此，兩兩垂直；
如圖建系；則
；
設(shè)平面的法向量為，則，
，取，則
20.【參考答案】：
（1）解：
由成等比數(shù)列得，且，
當(dāng)時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，又
（2）解法一：
由（1）易得，
則，故
，而
.
解法二：
設(shè)，則
是一個(gè)等比數(shù)列
，而
.
21.【參考答案】：
（1）當(dāng)時(shí)，
，故在單調(diào)遞增，
又時(shí)，時(shí)，
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為
（2）當(dāng)時(shí)，
令，則，
在單調(diào)遞增，又，
，使得，且是在上的唯一零點(diǎn)，
在上為負(fù)，在上為正，
故在處取到極小值，也就是最小值.
，即
當(dāng)時(shí)，求證：.
22.【參考答案】
解：
（1）設(shè)等軸雙曲線C：；
過的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）證明：設(shè)直線的方程為；
聯(lián)立方程：
設(shè)，則
化簡整理得：
或
當(dāng)，直線恒過定點(diǎn)；
當(dāng)，直線恒過定點(diǎn)，故舍去.1
2
3
4
5
6
7
8
B
C
A
C
D
D
A
B
9
10
11
12
ABC
CD
BC
AC

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