1．小明同學(xué)的微信錢包部分賬單明細(xì)如圖所示，表示收入10.5元，下列說法正確的是
A．表示收入6.3元B．表示支出元
C．表示支出6.3元D．收支總和為16.8元
2．國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一的東北大鼓是中國北方曲種，流行于遼寧、吉林、黑龍江3省，一度盛行于沈陽，故又稱奉天大鼓、奉派大鼓、奉調(diào)大鼓、遼寧大鼓．如圖是表演情景及樂器之一鼓的立體圖形，該立體圖形的主視圖是
A．B．C．D．
3．2021年8月5日，安徽省政府新聞辦舉辦新聞發(fā)布會上獲悉，到2025年，我省林長制組織體系和目標(biāo)責(zé)任體系更加完善，森林覆蓋率超過，森林蓄積量達(dá)到2.9億立方米．用科學(xué)記數(shù)法表示“2.9億”，正確的是
A．B．C．D．
4．下列事件中，屬于隨機(jī)事件的是
A．拋出的籃球會落下
B．從裝有紅球、白球的袋中摸出黑球
C．14人中至少有2人是同月出生
D．經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到綠燈
5．如圖，中，，，，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于，兩點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，則的長為 您看到的資料都源自我們平臺，20多萬份試卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比價最高
A．B．C．D．5
6．一段加固后的護(hù)欄如圖所示，該護(hù)欄豎直部分是由等距（任意相鄰兩根木條之間的距離相等）且平行的木條構(gòu)成．已知，則的長度為
A．B．C．D．
7．翻花繩是中國民間流傳的兒童游戲，在中國不同的地域，有不同的稱法，如線翻花、翻花鼓、挑繃繃、解股等等，如圖1是翻花繩的一種圖案，可以抽象成右圖，在矩形中，，，，的度數(shù)為
A．B．C．D．
8．下列說法不正確的是
A．方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根
B．若△由旋轉(zhuǎn)得到，則它們的對應(yīng)角、對應(yīng)邊以及對應(yīng)邊上的高都相等C．用尺規(guī)作圖能完成：過一點(diǎn)作已知直線的垂線
D．在同一平面內(nèi)，若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等
9．某市開發(fā)區(qū)在一項(xiàng)工程招標(biāo)時，接到甲、乙兩個工程隊(duì)的投標(biāo)書，工程領(lǐng)導(dǎo)小組根據(jù)甲、乙兩隊(duì)的投標(biāo)書測算，共有三種施工方案：①甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程，剛好如期完工；②乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程要比規(guī)定工期多用5天；③，剩下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)做，也正好如期完工．某同學(xué)設(shè)規(guī)定的工期為天，根據(jù)題意列出了方程：，則方案③中被墨水污染的部分應(yīng)該是
A．甲乙合作了4天B．甲先做了4天
C．甲先做了工程的D．甲乙合作了工程的
10．如圖，為圓的直徑，為圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線交的延長線于點(diǎn)，，連接，若，則的長度為
A．B．C．D．
二．填空題（每題3分，共15分）
11．若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
12．因式分解： ．
13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，軸于點(diǎn)，連接，則面積為 ．
14．新定義：，為一次函數(shù)，，為實(shí)數(shù)）的“關(guān)聯(lián)數(shù)”．若“關(guān)聯(lián)數(shù)”為，的一次函數(shù)是正比例函數(shù)，則點(diǎn)在第 象限．
15．如圖，正方形中，，點(diǎn)是對角線上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，將沿翻折，得到，連接，交于點(diǎn)，若，則的長為 ．
三．解答題（共55分）
16．（5分）計算：．
17．（5分）先化簡，再求值：，其中．
18．（9分）下表是小明這一學(xué)期數(shù)學(xué)成績測試記錄，根據(jù)表格提供的信息，回答下列問題：
（1）小明6次成績的眾數(shù)是 ，中位數(shù)是 ；
（2）若把四次練習(xí)成績的平均分89分作為平時成績，按照學(xué)校規(guī)定，本學(xué)期的綜合成績的權(quán)重如圖所示，請求出小明本學(xué)期的綜合成績；
（3）若從四次練習(xí)成績中隨機(jī)抽取兩次成績作為平時成績，則小明抽到兩次成績最好的練習(xí)的概率是多少？請用樹狀圖或列表法示意．
19．（8分）如圖，中，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，過，，三點(diǎn)作，是的直徑，連接．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求的直徑．
20．（8分）某學(xué)校正在推進(jìn)課堂信息化建設(shè)，希望通過采購一體機(jī)，提高學(xué)校硬件設(shè)備水平，更好的輔助教師教學(xué)．現(xiàn)有，兩種型號64英寸的教學(xué)一體機(jī)．若購買2臺型一體機(jī)，6臺型一體機(jī)需要10萬元；3臺型一體機(jī)，5臺型一體機(jī)需要9.8萬元．
（1）請問每臺，型一體機(jī)售價各是多少萬元；
（2）現(xiàn)需要采購一體機(jī)共100臺，并且按照學(xué)校現(xiàn)有的設(shè)備匹配發(fā)現(xiàn)購進(jìn)型一體機(jī)不超過35臺，請問怎么安排采購方案，能使得本次采購費(fèi)用最少．
21．（11分）探究閱讀題：
【閱讀】在大自然里，有很多數(shù)學(xué)的奧秘，一片美麗的心形葉片，一棵生長的幼苗都可以看作把一條拋物線的一部分沿直線折疊而形成．（如圖1和圖
【探究任務(wù)1】確定心形葉片的形狀
如圖3建立平面直角坐標(biāo)系，心形葉片下部輪廓線可以看作是二次函數(shù)圖象的一部分，且過原點(diǎn)，求拋物線的解析式和頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
【探究任務(wù)2】研究心形葉片的尺寸
如圖3，心形葉片的對稱軸直線與坐標(biāo)軸交于、兩點(diǎn)，直線分別交拋物線和直線于點(diǎn)、點(diǎn)，點(diǎn)、是葉片上的一對對稱點(diǎn)，交直線與點(diǎn)，求葉片此處的寬度．
【探究任務(wù)3】研究幼苗葉片的生長小李同學(xué)在觀察幼苗生長的過程中，發(fā)現(xiàn)幼苗葉片下方輪廓線都可以看作是二次函數(shù)圖象的一部分．如圖4，幼苗葉片下方輪廓線正好對應(yīng)探究任務(wù)1中的二次函數(shù)，已知直線與水平線的夾角為，三天后，點(diǎn)長到與點(diǎn)同一水平位置的點(diǎn)時，葉尖落在射線上，如圖5所示，求此時幼苗葉子的長度和最大寬度．
22．（9分）綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“線段的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動．
問題情境：在中，，點(diǎn)在邊上，連接，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至的位置，使得．
（1）操作判斷
當(dāng)時，如圖1，連接，試判斷四邊形的形狀，并證明；
（2）深入探究
連接，取的中點(diǎn)，連接．善于思考的小東發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動時，的值始終不變，請你利用圖2求的值．
（3）解決問題
若，，如圖3，在（2）的探究中，當(dāng)時，直接寫出，兩點(diǎn)之間的距離．
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．小明同學(xué)的微信錢包部分賬單明細(xì)如圖所示，表示收入10.5元，下列說法正確的是
A．表示收入6.3元B．表示支出元
C．表示支出6.3元D．收支總和為16.8元
【解答】解：根據(jù)表示收入10.5元，“收入”用正數(shù)表示，那么“支出”就用負(fù)數(shù)表示，
表示支出6.3元，
故選：．
2．國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一的東北大鼓是中國北方曲種，流行于遼寧、吉林、黑龍江3省，一度盛行于沈陽，故又稱奉天大鼓、奉派大鼓、奉調(diào)大鼓、遼寧大鼓．如圖是表演情景及樂器之一鼓的立體圖形，該立體圖形的主視圖是
A．B．C．D．
【解答】解：這個立體圖形的主視圖為：
．
故選：．
3．2021年8月5日，安徽省政府新聞辦舉辦新聞發(fā)布會上獲悉，到2025年，我省林長制組織體系和目標(biāo)責(zé)任體系更加完善，森林覆蓋率超過，森林蓄積量達(dá)到2.9億立方米．用科學(xué)記數(shù)法表示“2.9億”，正確的是
A．B．C．D．
【解答】解：2.9億，
故選：．
4．下列事件中，屬于隨機(jī)事件的是
A．拋出的籃球會落下
B．從裝有紅球、白球的袋中摸出黑球
C．14人中至少有2人是同月出生
D．經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到綠燈
【解答】解：、拋出的籃球會落下，是必然事件，不符合題意；
、從裝有紅球、白球的袋中摸出黑球，是不可能事件，不符合題意；
、14人中至少有2人是同月出生，是必然事件，不符合題意；
、經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到綠燈，是隨機(jī)事件，符合題意．
故選：．
5．如圖，中，，，，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于，兩點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，則的長為
A．B．C．D．5
【解答】解：，，，
，
由作法得垂直平分，
，
為斜邊上的中線，
．
故選：．
6．一段加固后的護(hù)欄如圖所示，該護(hù)欄豎直部分是由等距（任意相鄰兩根木條之間的距離相等）且平行的木條構(gòu)成．已知，則的長度為
A．B．C．D．
【解答】解：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
，
，
，
．
故選：．
7．翻花繩是中國民間流傳的兒童游戲，在中國不同的地域，有不同的稱法，如線翻花、翻花鼓、挑繃繃、解股等等，如圖1是翻花繩的一種圖案，可以抽象成右圖，在矩形中，，，，的度數(shù)為
A．B．C．D．
【解答】解：如圖：
四邊形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
，
故選：．
8．下列說法不正確的是
A．方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根
B．若△由旋轉(zhuǎn)得到，則它們的對應(yīng)角、對應(yīng)邊以及對應(yīng)邊上的高都相等
C．用尺規(guī)作圖能完成：過一點(diǎn)作已知直線的垂線
D．在同一平面內(nèi)，若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等
【解答】解：、方程，△，
方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；
、若△由旋轉(zhuǎn)得到，則它們的對應(yīng)角、對應(yīng)邊以及對應(yīng)邊上的高都相等，正確，本選項(xiàng)不符合題意；
、用尺規(guī)作圖能完成：過一點(diǎn)作已知直線的垂線，正確，本選項(xiàng)不符合題意；
、在同一平面內(nèi)，若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等，錯誤這兩個角也可能是互補(bǔ)，本選項(xiàng)符合題意．
故選：．
9．某市開發(fā)區(qū)在一項(xiàng)工程招標(biāo)時，接到甲、乙兩個工程隊(duì)的投標(biāo)書，工程領(lǐng)導(dǎo)小組根據(jù)甲、乙兩隊(duì)的投標(biāo)書測算，共有三種施工方案：①甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程，剛好如期完工；②乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程要比規(guī)定工期多用5天；③，剩下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)做，也正好如期完工．某同學(xué)設(shè)規(guī)定的工期為天，根據(jù)題意列出了方程：，則方案③中被墨水污染的部分應(yīng)該是
A．甲乙合作了4天B．甲先做了4天
C．甲先做了工程的D．甲乙合作了工程的
【解答】解：某同學(xué)設(shè)規(guī)定的工期為天，根據(jù)題意列出了方程：，
甲工作了4天，乙工作了天，
即甲乙合作了4天，剩下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)做，也正好如期完工，
可知在③應(yīng)填入的內(nèi)容為：甲乙合作了4天，
故選：．
10．如圖，為圓的直徑，為圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線交的延長線于點(diǎn)，，連接，若，則的長度為
A．B．C．D．
【解答】解：連接，，
，為圓的直徑，
，，
是圓的切線，
，
，
，
，
，
在中，，
故選：．
二．填空題（共5小題）
11．若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【解答】解：代數(shù)式有意義，
，
解得．
故答案為：．
12．因式分解： ．
【解答】解：原式
，
故答案為：．
13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，軸于點(diǎn)，連接，則面積為 1 ．
【解答】解：函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，軸于點(diǎn)，
，
故答案為1．
14．新定義：，為一次函數(shù)，，為實(shí)數(shù)）的“關(guān)聯(lián)數(shù)”．若“關(guān)聯(lián)數(shù)”為，的一次函數(shù)是正比例函數(shù)，則點(diǎn)在第 二 象限．
【解答】解： “關(guān)聯(lián)數(shù)”為，的一次函數(shù)是正比例函數(shù)，
是正比例函數(shù)，
，
解得：，
則，，
故點(diǎn)在第二象限．
故答案為：二．
15．如圖，正方形中，，點(diǎn)是對角線上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，將沿翻折，得到，連接，交于點(diǎn)，若，則的長為 ．
【解答】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，．連接交于．
四邊形是正方形，
，，，，
，
，
，
，
，，，四點(diǎn)共圓，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案為：．
三．解答題（共7小題）
16．計算：
【解答】解：原式
．
17．先化簡，再求值：，其中．
【解答】解：原式
；
，
，，
，，
原式．
18．下表是小明這一學(xué)期數(shù)學(xué)成績測試記錄，根據(jù)表格提供的信息，回答下列問題：
（1）小明6次成績的眾數(shù)是 ，中位數(shù)是 ；
（2）若把四次練習(xí)成績的平均分89分作為平時成績，按照學(xué)校規(guī)定，本學(xué)期的綜合成績的權(quán)重如圖所示，請求出小明本學(xué)期的綜合成績；
（3）若從四次練習(xí)成績中隨機(jī)抽取兩次成績作為平時成績，則小明抽到兩次成績最好的練習(xí)的概率是多少？請用樹狀圖或列表法示意．
【解答】解：（1）由題意知，小明6次成績的眾數(shù)是90，中位數(shù)是，
故答案為：90，90；
（2）綜合成績?yōu)椋海ǚ郑?br>即小明本學(xué)期的綜合成績?yōu)?3.5分．
（3）畫樹狀圖如下：（練習(xí)一~四的成績記為A，B，C，D）
由樹狀圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中小明抽到兩次成績最好的練習(xí)，兩組的有2種結(jié)果，
概率為．
19．如圖，中，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，過，，三點(diǎn)作，是的直徑，連接．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求的直徑．
【解答】（1）證明：，，
，，
，
又，
，
是的直徑，
，
，
，即，
，
是的切線；
（2）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，
，
，
在中，，
設(shè)，，
，
，解得，
，
，
，，
，
，即，解得，
即的直徑為．
20．某學(xué)校正在推進(jìn)課堂信息化建設(shè)，希望通過采購一體機(jī)，提高學(xué)校硬件設(shè)備水平，更好的輔助教師教學(xué)．現(xiàn)有，兩種型號64英寸的教學(xué)一體機(jī)．若購買2臺型一體機(jī)，6臺型一體機(jī)需要10萬元；3臺型一體機(jī)，5臺型一體機(jī)需要9.8萬元．
（1）請問每臺，型一體機(jī)售價各是多少萬元；
（2）現(xiàn)需要采購一體機(jī)共100臺，并且按照學(xué)?，F(xiàn)有的設(shè)備匹配發(fā)現(xiàn)購進(jìn)型一體機(jī)不超過35臺，請問怎么安排采購方案，能使得本次采購費(fèi)用最少．
【解答】解：（1）設(shè)每臺型一體機(jī)售價是萬元，每臺型一體機(jī)售價是萬元，
根據(jù)題意得：，
解得，
答：每臺型一體機(jī)售價是1.1萬元，每臺型一體機(jī)售價是1.3萬元；
（2）設(shè)學(xué)校購進(jìn)型一體機(jī)臺，則購進(jìn)型一體機(jī)臺，采購費(fèi)用為元，
根據(jù)題意得：，
，，
當(dāng)時，有最小值，最小值為123，
此時型一體機(jī)（臺，
購買35臺型一體機(jī)，65臺型一體機(jī)時采購費(fèi)用最少．
21．探究閱讀題：
【閱讀】在大自然里，有很多數(shù)學(xué)的奧秘，一片美麗的心形葉片，一棵生長的幼苗都可以看作把一條拋物線的一部分沿直線折疊而形成．（如圖1和圖
【探究任務(wù)1】確定心形葉片的形狀
如圖3建立平面直角坐標(biāo)系，心形葉片下部輪廓線可以看作是二次函數(shù)圖象的一部分，且過原點(diǎn)，求拋物線的解析式和頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
【探究任務(wù)2】研究心形葉片的尺寸
如圖3，心形葉片的對稱軸直線與坐標(biāo)軸交于、兩點(diǎn)，直線分別交拋物線和直線于點(diǎn)、點(diǎn)，點(diǎn)、是葉片上的一對對稱點(diǎn)，交直線與點(diǎn)，求葉片此處的寬度．
【探究任務(wù)3】研究幼苗葉片的生長小李同學(xué)在觀察幼苗生長的過程中，發(fā)現(xiàn)幼苗葉片下方輪廓線都可以看作是二次函數(shù)圖象的一部分．如圖4，幼苗葉片下方輪廓線正好對應(yīng)探究任務(wù)1中的二次函數(shù)，已知直線與水平線的夾角為，三天后，點(diǎn)長到與點(diǎn)同一水平位置的點(diǎn)時，葉尖落在射線上，如圖5所示，求此時幼苗葉子的長度和最大寬度．
【解答】解：【探究任務(wù)1】：把代入，
得，
解得，
拋物線解析式為，
頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；
【探究任務(wù)2】：直線的解析式為，
，，
，
，
在中，
當(dāng) 時，，
在中，
當(dāng) 時，，
，，
．
，
，
、是葉片上的一對對稱點(diǎn)，
，．
是等腰直角三角形，
，
．
【探究任務(wù)3】：直線與軸成角，
設(shè)直線的解析式為，
把點(diǎn)代入得，
解得．
直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得或，
，
同理可求出直線的解析式為，
，
把代入，
，
解得，
拋物線解析式為，
聯(lián)立，
解得，，
幼苗是越長越張開，
不合題意，舍去，
，
作交 延長線于點(diǎn)，
，
設(shè)直線的解析式為，
把點(diǎn)和代入得，
解得，
直線的解析式為，
作軸交拋物線和直線分別于點(diǎn)，，作交曲線于，
，
，
，
，
，
△．
，
，，
葉片此時的長度為，最大寬度為．
22．綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“線段的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動．
問題情境：在中，，點(diǎn)在邊上，連接，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至的位置，使得．
（1）操作判斷
當(dāng)時，如圖1，連接，試判斷四邊形的形狀，并證明；
（2）深入探究
連接，取的中點(diǎn)，連接．善于思考的小東發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動時，的值始終不變，請你利用圖2求的值．
（3）解決問題
若，，如圖3，在（2）的探究中，當(dāng)時，直接寫出，兩點(diǎn)之間的距離．
【解答】解：（1）四邊形是菱形，理由如下：
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
又，
，
四邊形是平行四邊形，
又，
四邊形是菱形，
（2）如圖所示，延長至點(diǎn)，使，連接，
是的中點(diǎn)，
，
，，
，
，
，
又，，
，
，
，
即；
（3）延長至點(diǎn)，使，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
是的中點(diǎn)，
是三角形是中位線
，，
，
，
，
即，
又，
，
，
，，
，，
是等邊三角形，
，
點(diǎn)在上，
，
，
，
，
，
或，
或，
或．測試
平時成績
期中測試
期末測試
練習(xí)一
練習(xí)二
練習(xí)三
練習(xí)四
成績
88
92
90
86
90
96
測試
平時成績
期中測試
期末測試
練習(xí)一
練習(xí)二
練習(xí)三
練習(xí)四
成績
88
92
90
86
90
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