一．選擇題（共10小題，每小題3分，共30分，每小題給出4個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的）
1．右圖是我們生活中常用的“空心卷紙”，其主視圖為（ ）
A．B．C．D．
2．用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝1，變形正確的是（ ）
A．（x﹣2）2＝0B．（x﹣2）2＝5C．（x﹣1）2＝1D．（x﹣1）2＝5
3．不透明的盒子放有三張大小、形狀及質(zhì)地相同的卡片，卡片上分別寫有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荊門送別》和王維《寄荊州張丞相》三首詩，小明從盒子中隨機(jī)抽取兩張卡片，卡片上詩的作者都是李白的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線上，若線段AB＝3，則線段BC的長是（ ）
A．B．C．1D．
5．點(diǎn)A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函數(shù)的圖象上，若x1＜x2＜0，則下列不等式正確的是（ ）
A．y1＜y2＜0B．0＜y1＜y2C．0＜y2＜y1D．y2＜y1＜0
6．下列說法中，錯(cuò)誤的是（ ）
A．有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 B．平行四邊形對角相等
C．對角線互相垂直且相等的四邊形是矩形 D．對角線互相垂直的矩形是正方形
7．如圖，E、F、G、H分別是四邊形ABCD四條邊的中點(diǎn)，則四邊形EFGH一定是（ ）
A．平行四邊形B．矩形
C．菱形D．正方形
8．10月8日，杭州亞運(yùn)會乒乓球比賽全部結(jié)束，國乒攬獲除女雙項(xiàng)目外的6塊金牌，展現(xiàn)了在乒乓球領(lǐng)域強(qiáng)大的統(tǒng)治力．乒乓球比賽采用雙循環(huán)制（每兩隊(duì)之間都進(jìn)行兩場比賽），比賽總場數(shù)為380場，若設(shè)參賽隊(duì)伍有x支，則可列方程為（ ）
A． B．x（x﹣1）＝380 C．2x（x﹣1）＝380 D．x2＝380您看到的資料都源自我們平臺，20多萬份試卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比價(jià)最高9．如圖，BD為?ABCD的對角線，分別以B，D為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)，過這兩點(diǎn)的直線分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，交BD于點(diǎn)O，連接BE，DF．根據(jù)以上尺規(guī)作圖過程，下列結(jié)論不一定正確的是（ ）
A．點(diǎn)O為?ABCD的對稱中心 B．BE平分∠ABD
C．S△ABE：S△BDF＝AE：ED D．四邊形BEDF為菱形
10．如圖1，在平行四邊形ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段AB運(yùn)動到點(diǎn)B停止，同時(shí)動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個(gè)單位的速度沿折線B﹣C﹣D運(yùn)動到點(diǎn)D停止．圖2是點(diǎn)P、Q運(yùn)動時(shí)，△BPQ的面積S與運(yùn)動時(shí)間t函數(shù)關(guān)系的圖象，則a的值是（ ）
A．6B．9C．6D．12
二．填空題（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分）
11．如果，那么＝ ．
12．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣csB）2＝0，則∠C的度數(shù)是 ．
13．如圖，某幅畫的總面積為4m2，該幅畫平鋪在地面上被墨汁污染了一部分，向畫內(nèi)隨機(jī)投擲骰子（假設(shè)骰子落在畫內(nèi)的每一點(diǎn)都是等可能的），經(jīng)過大量重復(fù)投擲試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)骰子落在畫內(nèi)被污染部分上的頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.6附近，由此可估計(jì)畫上被污染部分的面積約為 ．
14．如圖，為某公園“水上滑梯”的側(cè)面圖，其中BC段可看成是一段雙曲線，建立如圖的坐標(biāo)系后，其中，矩形AOEB為向上攀爬的梯子，OA＝5米，進(jìn)口AB∥OD，且AB＝2米，出口C點(diǎn)距水面的距離CD為1米，則B、C之間的水平距離DE的長度為 ．
（第14題） （第15題）
15．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD邊BC的中點(diǎn)，AD＝2，連接AE，將△ABE沿AE翻折，得到△AFE，延長EF，交AD的延長線于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N．則MN的長度為 ．
三．解答題（本大題有七題，其中第16題5分、第17題7分、第18題8分、第19題8分，第20題8分、第21題9分、第22題10分，共55分，解答應(yīng)寫出文字說明或演算步驟）
16．（1）計(jì)算：（π﹣1）0+|﹣1|+（﹣）﹣1﹣3tan30°．
（2）先化簡，再求值：（﹣1）÷，其中a＝﹣1．
17．我校舉行“創(chuàng)建文明城市，從我做起”的征文比賽，賽后整理參賽學(xué)生的成績，將學(xué)生的成績分為A，B，C，D四個(gè)等級，并將結(jié)果繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，但均不完整，請你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問題．
（1）參加比賽的學(xué)生人數(shù)共有 名，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，表示“B等級”的扇形的圓心角為 度，圖中m的值為 ；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）組委會決定從本次比賽中獲得A等級的學(xué)生中，選出兩名去參加市中學(xué)生征文比賽，已知A等級中男生有2名，請用畫樹狀圖或列表的方法求出所選學(xué)生恰是一男一女的概率．
18．請用學(xué)過的方法研究一類新函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k≠0）的圖象和性質(zhì)．
（1）在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝的圖象；
（2）對于函數(shù)y＝，當(dāng)自變量x的值增大時(shí)，函數(shù)值y怎樣變化？
（3）在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝x的圖象，并結(jié)合圖象，求當(dāng)x時(shí)，x的取值范圍．
19．公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個(gè)，6月份銷售216個(gè)，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．
（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；
（2）若此種頭盔的進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)，測算在市場中，當(dāng)售價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，月銷售量為600個(gè)，若在此基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲1元/個(gè)，則月銷售量將減少5個(gè)，為使月銷售利潤達(dá)到8625元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元/個(gè)？
20．下面是多媒體上的一道試題：
如圖，在菱形ABCD中，過點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊AB上，AF＝CE，連接BD，DF．求證：四邊形BFDE是矩形．
小星和小紅分別給出了自己的思路．
小星：先證明四邊形BFDE是平行四邊形，然后利用矩形定義即可得證；
小紅：先證明△ADF與△CBE全等，然后利用“有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”即可得證．
（1）請你選擇一位同學(xué)的思路，并進(jìn)行證明；
（2）若，BE＝4，求BC的長．
21．根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．
22．【問題呈現(xiàn)】
如圖1，在?ABCD中，∠BAD＝45°，AB＝，BC＝2，點(diǎn)P，Q分別是射線CB，射線CD上的兩動點(diǎn)，且滿足∠PAQ＝135°，連接PQ．問：△APQ有何特點(diǎn)？
【探究與延伸】
（1）以下是某中學(xué)九年級（4）班同學(xué)們的一些猜測，其中正確的是 （填序號）；
①運(yùn)動過程中，△APQ的周長不變；
②運(yùn)動過程中，△APQ面積不變；
③運(yùn)動過程中，△APQ的形狀不變；
④運(yùn)動過程中，∠APQ的大小不變．
（2）某同學(xué)提問：運(yùn)動過程中，的值是否發(fā)生變化？請你幫忙解惑（若變化，請說明理由；若不變，請你依圖1中的位置情形，求出其值）．
（3）如圖2，點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，點(diǎn)M是PQ的中點(diǎn)，當(dāng)PQ最小時(shí)，M，O兩點(diǎn)間的距離是多少？（可直接寫出結(jié)果）
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．右圖是我們生活中常用的“空心卷紙”，其主視圖為（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中．
【解答】解：觀察圖形可知，該幾何體的主視圖如下：
．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了簡單組合體的三視圖，主視圖是從物體的正面看得到的視圖．
2．用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝1，變形正確的是（ ）
A．（x﹣2）2＝0B．（x﹣2）2＝5C．（x﹣1）2＝1D．（x﹣1）2＝5
【分析】把方程兩邊加上4，然后把方程左邊寫成完全平方的形式，從而可對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解答】解：x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝5，
（x﹣2）2＝5．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法：熟練掌握用配方法解一元二次方程的一般步驟是解決問題的關(guān)鍵．
3．不透明的盒子放有三張大小、形狀及質(zhì)地相同的卡片，卡片上分別寫有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荊門送別》和王維《寄荊州張丞相》三首詩，小明從盒子中隨機(jī)抽取兩張卡片，卡片上詩的作者都是李白的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中卡片上詩的作者都是李白的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把分別寫有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荊門送別》和王維《寄荊州張丞相》三首詩的卡片分別記為A、B、C，
畫樹狀圖如下：
共有6種等可能的結(jié)果，其中卡片上詩的作者都是李白的結(jié)果有2種，即AB、BA，
∴卡片上詩的作者都是李白的概率是＝，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
4．如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線上，若線段AB＝3，則線段BC的長是（ ）
A．B．C．1D．
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理解答即可．
【解答】解：∵五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，
∴＝，
∵AB＝3，
∴BC＝1．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查的是平行線分線段成比例，熟知三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例是解題的關(guān)鍵．
5．點(diǎn)A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函數(shù)的圖象上，若x1＜x2＜0，則下列不等式正確的是（ ）
A．y1＜y2＜0B．0＜y1＜y2C．0＜y2＜y1D．y2＜y1＜0
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)k＞0時(shí)，圖象在第一三象限，在圖象的每一支上y隨x的增大而減小，可以判斷出y2＜y1＜0，
【解答】解：∵反比例函數(shù)中，k＝1＞0，
∴在圖象的每一支上y隨x的增大而減小，
∵x1＜x2＜0，
∴y2＜y1＜0．
故選：D．
【點(diǎn)評】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是看k，并能正確把握反比例函數(shù)的性質(zhì)．
6．下列說法中，錯(cuò)誤的是（ ）
A．有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
B．平行四邊形對角相等
C．對角線互相垂直且相等的四邊形是矩形
D．對角線互相垂直的矩形是正方形
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，矩形、菱形及正方形的判定定理進(jìn)行排除．
【解答】解：A、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；故原說法正確；
B、平行四邊形對角相等；故原說法正確；
C、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是矩形，故原說法錯(cuò)誤；
D、對角線互相垂直的矩形是正方形，原說法正確；
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，矩形、菱形及正方形的判定，掌握判定定理是解題關(guān)鍵．
7．如圖，E、F、G、H分別是四邊形ABCD四條邊的中點(diǎn)，則四邊形EFGH一定是（ ）
A．平行四邊形B．矩形
C．菱形D．正方形
【分析】順次連接任意四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形，一組對邊平行并且等于原來四邊形某一對角線的一半，說明新四邊形的對邊平行且相等．所以是平行四邊形．
【解答】解：如圖，連接AC，
∵E、F、G、H分別是四邊形ABCD邊的中點(diǎn)，
∴HG∥AC，HG＝AC，EF∥AC，EF＝AC；
∴EF＝HG且EF∥HG；
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
故選：A．
【點(diǎn)評】此題主要考查了平行四邊形的判定以及三角形的中位線定理，根據(jù)已知利用三角形中位線定理得出EH∥BD，EH＝BD，F(xiàn)G∥BD，F(xiàn)G＝BD是解決問題的關(guān)鍵．
8．10月8日，杭州亞運(yùn)會乒乓球比賽全部結(jié)束，國乒攬獲除女雙項(xiàng)目外的6塊金牌，展現(xiàn)了在乒乓球領(lǐng)域強(qiáng)大的統(tǒng)治力．乒乓球比賽采用雙循環(huán)制（每兩隊(duì)之間都進(jìn)行兩場比賽），比賽總場數(shù)為380場，若設(shè)參賽隊(duì)伍有x支，則可列方程為（ ）
A．B．x（x﹣1）＝380
C．2x（x﹣1）＝380D．x2＝380
【分析】利用比賽的總場數(shù)＝參賽隊(duì)伍數(shù)×（參賽隊(duì)伍數(shù)﹣1），即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：根據(jù)題意得：x（x﹣1）＝380．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
9．如圖，BD為?ABCD的對角線，分別以B，D為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)，過這兩點(diǎn)的直線分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，交BD于點(diǎn)O，連接BE，DF．根據(jù)以上尺規(guī)作圖過程，下列結(jié)論不一定正確的是（ ）
A．點(diǎn)O為?ABCD的對稱中心
B．BE平分∠ABD
C．S△ABE：S△BDF＝AE：ED
D．四邊形BEDF為菱形
【分析】根據(jù)作圖可知：EF垂直平分BD，得到BD＝DO，于是得到點(diǎn)O為?ABCD的對稱中心，故A正確；根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BE＝ED，BF＝FD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BFE＝∠DFE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BFE＝∠DEF，推出四邊形BFDE是菱形，故D正確；根據(jù)三角形的面積公式得到S△ABE：S△BDF＝S△ABE：S△BDE＝AE：ED，故C正確；由于無法證明∠ABE＝∠DBE，得到BE不一定平分∠ABD，故B錯(cuò)誤．
【解答】解：根據(jù)作圖可知：EF垂直平分BD，
∴BO＝DO，
∴點(diǎn)O為?ABCD的對稱中心，故A正確；
∴BE＝ED，BF＝FD，
∵FE＝EF，
∴△BFE≌△DFE（SSS），
∴∠BFE＝∠DFE，
∵在四邊形ABCD中，AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF，
∴∠DFE＝∠DEF，
∴DE＝DF，
∴BE＝DE＝DF＝BF，
∴四邊形BFDE是菱形，故D正確；
∴S△BDE＝S△BFD，
∴S△ABE：S△BDF＝S△ABE：S△BDE＝AE：ED，故C正確；
∵無法證明∠ABE＝∠DBE，
∴BE不一定平分∠ABD，故B錯(cuò)誤，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，尺規(guī)作圖，菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，掌握菱形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
10．如圖1，在平行四邊形ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段AB運(yùn)動到點(diǎn)B停止，同時(shí)動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個(gè)單位的速度沿折線B﹣C﹣D運(yùn)動到點(diǎn)D停止．圖2是點(diǎn)P、Q運(yùn)動時(shí)，△BPQ的面積S與運(yùn)動時(shí)間t函數(shù)關(guān)系的圖象，則a的值是（ ）
A．6B．9C．6D．12
【分析】由點(diǎn)P和點(diǎn)Q的運(yùn)動可知，AB＝1×6＝6，BC＝12，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，即0≤t＜3時(shí)，BQ＝4t，當(dāng)點(diǎn)Q在CD上時(shí)，即3≤t≤6時(shí)，分別表達(dá)出△BPQ的面積，分析可知當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，S＝a，此時(shí)t＝3，再結(jié)合△BPQ的面積公式求解即可．
【解答】解：由題圖2得，t＝6時(shí)點(diǎn)P停止運(yùn)動，
∴點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位速度從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B用了6秒，
∴AB＝1×6＝6，
∴BC＝2AB＝12，
由點(diǎn)P和點(diǎn)Q的運(yùn)動可知，AP＝t，BP＝6﹣t，
當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，即0≤t＜3時(shí)，BQ＝4t，過點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，
∵∠B＝60°，
∴PM＝BP?sinB＝（6﹣t），
此時(shí)△BPQ的面積＝BQ?PM＝?4t?（6﹣t）＝﹣t2+6t，
當(dāng)點(diǎn)Q在CD上時(shí)，即3≤t≤6時(shí)，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴S△BPQ＝S△BPC＝BC?PM＝×12×（6﹣t）＝﹣3t+18，
由上可知，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，S＝a，
即當(dāng)t＝3時(shí)，a＝﹣3×3+18＝9，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題主要考查了動點(diǎn)函數(shù)的圖象，解決本題的關(guān)鍵是由點(diǎn)的運(yùn)動結(jié)合圖2得出AB及BC的長．
二．填空題（共5小題）
11．如果，那么＝ ．
【分析】先根據(jù)比例的性質(zhì)得a＝b，再代入計(jì)算即可．
【解答】解：∵，
∴a＝b，
∴＝＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是關(guān)鍵．
12．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣csB）2＝0，則∠C的度數(shù)是 105° ．
【分析】先利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到sinA﹣＝0，﹣csB＝0，即sinA＝，csB＝，則根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得到∠A、∠B的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出∠C的度數(shù)．
【解答】解：∵|sinA﹣|+（﹣csB）2＝0，
∴sinA﹣＝0，﹣csB＝0，
即sinA＝，csB＝，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．
故答案為：105°．
【點(diǎn)評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值：記住特殊角的三角函數(shù)值是解決問題的關(guān)鍵．也考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．
13．如圖，某幅畫的總面積為4m2，該幅畫平鋪在地面上被墨汁污染了一部分，向畫內(nèi)隨機(jī)投擲骰子（假設(shè)骰子落在畫內(nèi)的每一點(diǎn)都是等可能的），經(jīng)過大量重復(fù)投擲試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)骰子落在畫內(nèi)被污染部分上的頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.6附近，由此可估計(jì)畫上被污染部分的面積約為 2.4m2 ．
【分析】用長方形的總面積乘以骰子落在被污染部分上的頻率的穩(wěn)定值即可．
【解答】解：∵長方形的總面積為4m2，骰子落在畫內(nèi)被污染部分上的頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.6附近，
∴宣傳畫上圖案的面積約為：4×0.6＝2.4（m2）．
故答案為：2.4m2．
【點(diǎn)評】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．當(dāng)實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè)或結(jié)果個(gè)數(shù)很多，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，一般通過統(tǒng)計(jì)頻率來估計(jì)概率．
14．如圖，為某公園“水上滑梯”的側(cè)面圖，其中BC段可看成是一段雙曲線，建立如圖的坐標(biāo)系后，其中，矩形AOEB為向上攀爬的梯子，OA＝5米，進(jìn)口AB∥OD，且AB＝2米，出口C點(diǎn)距水面的距離CD為1米，則B、C之間的水平距離DE的長度為 ．
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BE＝OA＝5，AB＝2，求得B（2，5），設(shè)雙曲線BC的解析式為y＝，得到k＝10，于是得到結(jié)論．
【解答】解：∵四邊形AOEB是矩形，
∴BE＝OA＝5，AB＝2，
∴B（2，5），
設(shè)雙曲線BC的解析式為y＝，
∴k＝10，
∴y＝，
∵CD為1
∴當(dāng)y＝1時(shí)，x＝10，
∴DE的長＝10﹣2＝8m，
【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，掌握的識別圖形是解題的關(guān)鍵．
15．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD邊BC的中點(diǎn)，AD＝2，連接AE，將△ABE沿AE翻折，得到△AFE，延長EF，交AD的延長線于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N．則MN的長度為 ．
【分析】連接AN，過點(diǎn)M作MH⊥AE于點(diǎn)H，求出，得出，證明△AHM∽△EBA，求出，再證明△DNM∽△CNE，求出結(jié)果即可．
【解答】解：連接AN，過點(diǎn)M作MH⊥AE于點(diǎn)H，如圖所示：
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠BAD＝90°，AD∥BC，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴BE＝CE＝1，
根據(jù)折疊可知，AF＝AB＝2，EF＝BE＝1，∠AFE＝∠B＝90°，∠AEF＝∠AEB，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠EAM＝∠AEB，
∴∠AEF＝∠EAM，
∴AM＝EM，
∵M(jìn)H⊥AE，
∴，
∵∠AHM＝∠B＝90°，∠EAM＝∠AEB，
∴△AHM∽△EBA，
∴，
即，
解得：，
∴，，
∵∠MDN＝∠C＝90°，∠DNM＝∠CNE，
∴△DNM∽△CNE，
∴，
即，
解得：．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，證明，求出．
三．解答題（共7小題）
16．(1)計(jì)算：（π﹣1）0+|﹣1|+（﹣）﹣1﹣3tan30°．
【分析】直接利用絕對值的性質(zhì)以及零指數(shù)冪的性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值分別化簡得出答案．
【解答】解：原式＝1+﹣1﹣3﹣3×
＝1+﹣1﹣3﹣
＝﹣3．
【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．
（2）．先化簡，再求值：（﹣1）÷，其中a＝﹣1．
【分析】先根據(jù)分式的減法法則進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（﹣1）÷
＝?
＝?
＝，
當(dāng)a＝﹣1時(shí)，原式＝＝＝．
【點(diǎn)評】本題考查了分式的化簡求值，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．
17．我校舉行“創(chuàng)建文明城市，從我做起”的征文比賽，賽后整理參賽學(xué)生的成績，將學(xué)生的成績分為A，B，C，D四個(gè)等級，并將結(jié)果繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，但均不完整，請你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問題．
（1）參加比賽的學(xué)生人數(shù)共有 20 名，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，表示“B等級”的扇形的圓心角為 90 度，圖中m的值為 40 ；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）組委會決定從本次比賽中獲得A等級的學(xué)生中，選出兩名去參加市中學(xué)生征文比賽，已知A等級中男生有2名，請用畫樹狀圖或列表的方法求出所選學(xué)生恰是一男一女的概率．
【分析】（1）根據(jù)等級為A的人數(shù)除以所占的百分比求出學(xué)生總數(shù)，再用總?cè)藬?shù)減去A、C、D的人數(shù)得到“B等級”，然后用360°乘以“B等級”所占的百分比即可求得“B等級”的扇形的圓心角的度數(shù)；再后求出“C等級”所占的百分比即可求得m的值；
（2）根據(jù)（1）求得“B等級”的數(shù)量，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可；
（3）列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出一男一女的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算即可．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：3÷15%＝20（人），即參賽學(xué)生共20人；
則B等級人數(shù)20﹣（3+8+4）＝5（人）．
“B等級”的扇形的圓心角的度數(shù)為：；
“C等級”的所占的百分比為：，即m＝40．
故答案為：20，90，40．
（2）補(bǔ)全條形圖如下：
（3）根據(jù)題意，列表表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：
由表可知共有6種等可能的結(jié)果，其中所選兩名學(xué)生恰好是1名男生和1名女生的結(jié)果有4種，
∴所選學(xué)生恰是一男一女的概率＝．
【點(diǎn)評】本題主要考查了條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、列表法求概率等知識點(diǎn)，弄清題意、從條形圖和扇形圖得到解題所需數(shù)據(jù)是解本題的關(guān)鍵．
18．請用學(xué)過的方法研究一類新函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k≠0）的圖象和性質(zhì)．
（1）在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝的圖象；
（2）對于函數(shù)y＝，當(dāng)自變量x的值增大時(shí)，函數(shù)值y怎樣變化？
（3）在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝x的圖象，并結(jié)合圖象，求當(dāng)x時(shí)，x的取值范圍．
【分析】（1）利用描點(diǎn)法可以畫出圖象．
（2）分k＜0和k＞0兩種情形討論增減性即可；
（3）畫出函數(shù)y＝x的圖象，根據(jù)圖象即可求得．
【解答】解：（1）函數(shù)y＝的圖象，如圖所示，
（2）①k＞0時(shí)，當(dāng)x＜0，y隨x增大而增大，x＞0時(shí)，y隨x增大而減小．
②k＜0時(shí)，當(dāng)x＜0，y隨x增大而減小，x＞0時(shí)，y隨x增大而增大；
（3）由圖象可知，當(dāng)x時(shí)，x的取值范圍是x＜0或0＜x＜2．
【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)圖象、正比例函數(shù)的圖象，反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象，學(xué)會利用函數(shù)圖象說明函數(shù)增減性．
19．公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個(gè)，6月份銷售216個(gè)，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．
（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；
（2）若此種頭盔的進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)，測算在市場中，當(dāng)售價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，月銷售量為600個(gè)，若在此基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲1元/個(gè)，則月銷售量將減少5個(gè)，為使月銷售利潤達(dá)到8625元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元/個(gè)？
【分析】（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，根據(jù)該品牌頭盔4月份及6月份的月銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)月銷售利潤＝每個(gè)頭盔的利潤×月銷售量，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，
依題意，得：150（1+x）2＝216，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．
答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%．
（2）設(shè)該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)為y元，
依題意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝8625，
整理，得：y2﹣190y+6525＝0，
解得：y1＝145，y2＝45，
∵盡可能讓顧客得到實(shí)惠，
∴y1＝145（不合題意，舍去），
答：該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為45元．
【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
20．下面是多媒體上的一道試題：
如圖，在菱形ABCD中，過點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊AB上，AF＝CE，連接BD，DF．求證：四邊形BFDE是矩形．
小星和小紅分別給出了自己的思路．
小星：先證明四邊形BFDE是平行四邊形，然后利用矩形定義即可得證；
小紅：先證明△ADF與△CBE全等，然后利用“有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”即可得證．
（1）請你選擇一位同學(xué)的思路，并進(jìn)行證明；
（2）若，BE＝4，求BC的長．
【分析】（1）小星的思路．先證明四邊形BFDE是平行四邊形，然后利用矩形定義即可得證；
小紅的思路．由“SAS”可證△ADF≌△CBE，可得∠AFD＝∠CEB＝90°，然后利用“有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”即可得證；
（2）由勾股定理可求BC的長．
【解答】解：（1）選擇小星的思路．
證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD．
∵AF＝CE，
∴BF＝DE，
∴四邊形DFBE是平行四邊形．
∵CD⊥BE，
∴∠BED＝90°，
∴四邊形DFBE是矩形；
選擇小紅的思路．
證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C．
∵AF＝CE，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠AFD＝∠CEB＝90°，
∴∠DFB＝90°．
∵CD∥AB，
∴∠FBE＝∠CEB＝90°，
∴∠DFB＝∠FBE＝∠BED＝90°，
∴．四邊形DFBE是矩形；
（2）在 Rt△BDE 中，，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，
∴CE＝CD﹣DE＝BC﹣2．
在Rt△BCE中，BC2＝CE2+BE2，
∴BC2＝（BC﹣2）2+42，
解得BC＝5．
∴BC的長為5．
【點(diǎn)評】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
21．根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．
【分析】任務(wù)1：依據(jù)題意，用待定系數(shù)法求得拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
任務(wù)2：依據(jù)題意，由噴泉池的半徑為2.1米，令x＝2.1，則y＝﹣（2.1﹣）2+＝﹣0.33，從而可以求出噴水口升高的最小值；
任務(wù)3：依據(jù)題意，當(dāng)y＝﹣（x﹣）2+向上平移個(gè)單位，再令y＝0，即0＝﹣（x﹣）2++，求出x的值，再減去2.1即可判斷得解．
【解答】解：任務(wù)1：由題意得，A（0，0.72），頂點(diǎn)為（0.3，0.75）．
∴可設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝a（x﹣0.3）2+0.75．
又拋物線過A（0，0.72），
∴0.72＝0.09a+0.75．
∴a＝﹣．
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣（x﹣）2+．
任務(wù)2：由題意，∵噴泉池的半徑為2.1米，
∴令x＝2.1，則y＝﹣（2.1﹣）2+＝﹣0.33．
∴噴水口升高的最小值為|﹣0.33|＝0.33（米）．
任務(wù)3：當(dāng)y＝﹣（x﹣）2+向上平移個(gè)單位，
∴y＝﹣（x﹣）2++．
令y＝0，即0＝﹣（x﹣）2++．
∴當(dāng)x＝2.3或x＝﹣1.7（舍去）．
∴2.3﹣2.1＝0.2（米）．
∴建議花卉的種植寬度為0.2米．
【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．
22．【問題呈現(xiàn)】
如圖1，在?ABCD中，∠BAD＝45°，AB＝，BC＝2，點(diǎn)P，Q分別是射線CB，射線CD上的兩動點(diǎn)，且滿足∠PAQ＝135°，連接PQ．問：△APQ有何特點(diǎn)？
【探究與延伸】
（1）以下是某中學(xué)九年級（4）班同學(xué)們的一些猜測，其中正確的是 ③④ （填序號）；
①運(yùn)動過程中，△APQ的周長不變；
②運(yùn)動過程中，△APQ面積不變；
③運(yùn)動過程中，△APQ的形狀不變；
④運(yùn)動過程中，∠APQ的大小不變．
（2）某同學(xué)提問：運(yùn)動過程中，的值是否發(fā)生變化？請你幫忙解惑（若變化，請說明理由；若不變，請你依圖1中的位置情形，求出其值）．
（3）如圖2，點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，點(diǎn)M是PQ的中點(diǎn)，當(dāng)PQ最小時(shí)，M，O兩點(diǎn)間的距離是多少？（可直接寫出結(jié)果）
【分析】（1）作AE⊥AB交CB的延長線于點(diǎn)E，連接DE，可證明△ADQ∽△AEP，得＝，所以＝，再證明△APQ∽△AED，因?yàn)椤鰽ED的形狀不變，所以△APQ的形狀不變，∠APQ的大小不變，而點(diǎn)P是射線CB上的動點(diǎn)，所以△APQ的周長和面積改變，于是得到問題的答案；
（2）作EG⊥DA交DA的延長線于點(diǎn)G，可證明AG＝EG，則AE＝EG＝，求得AG＝EG＝1，則DG＝3，所以ED＝＝，由相似三角形的性質(zhì)得＝，所以＝＝，可知的值不發(fā)生變化，的值為；
（3）由＝，得PQ＝AP，則當(dāng)AP⊥CB時(shí)，AP最小，此時(shí)PQ最小，作AE⊥AB交CB的延長線于點(diǎn)E，可證明E、A、Q三點(diǎn)在同一條直線上，求得BE＝＝2＝AD，可證明四邊形AEBD是平行四邊形，則AE＝BD＝，AQ∥BD，進(jìn)而證明四邊形ABDQ是平行四邊形，則AQ＝BD，所以AQ＝AE，設(shè)PQ交AD于點(diǎn)F，則△AFQ∽△EPQ，得＝＝＝，由點(diǎn)F、點(diǎn)M都是PQ的中點(diǎn)，證明點(diǎn)M與點(diǎn)F重合，求得AF＝EP＝，作OH⊥AD于點(diǎn)H，則OD＝BD＝，求得DH＝OH＝，則FH＝1，所以MO＝FO＝＝，則M，O兩點(diǎn)間的距離是．
【解答】解：（1）如圖1，作AE⊥AB交CB的延長線于點(diǎn)E，連接DE，則∠BAE＝90°，
∵∠PAQ＝135°，∠BAD＝45°，
∴∠EAD＝∠BAE+∠BAD＝135°，
∴∠PAQ＝∠EAD＝135°，
∴∠DAQ＝∠EAP＝135°﹣∠PAD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∴∠ABE＝∠BAD＝45°，∠ADQ＝∠BAD＝45°，
∴∠AEP＝∠ABE＝45°，
∴∠ADQ＝∠AEP，AE＝AB＝，
∴△ADQ∽△AEP，
∴＝，
∴＝，
∴△APQ∽△AED，
∵AE＝AB＝，AD＝BC＝2，∠EAD＝135°，點(diǎn)P是射線CB上的動點(diǎn)，
∴△AED的形狀不變，
∴△APQ的形狀不變，∠APQ的大小不變，△APQ的周長和面積改變，
故答案為：③④．
（2）的值不發(fā)生變化，
如圖1，作EG⊥DA交DA的延長線于點(diǎn)G，則∠G＝90°，
∵∠GAE＝∠AEP＝45°，
∴∠GEA＝∠GAE＝45°，
∴AG＝EG，
∴AE＝＝EG＝，
∴AG＝EG＝1，
∴DG＝AD+AG＝2+1＝3，
∴ED＝＝＝，
∵△APQ∽△AED，
∴＝，
∴＝＝＝，
∴的值不發(fā)生變化，的值為．
（3）M，O兩點(diǎn)間的距離是，
理由：∵＝，
∴PQ＝AP，
∴當(dāng)AP⊥CB時(shí)，AP最小，此時(shí)PQ最小，
如圖2，AE⊥AB交CB的延長線于點(diǎn)E，AP⊥CB，則∠APE＝90°，
∴∠EAP＝∠AEP＝45°，
∴∠EAQ＝45°+135°＝180°，
∴E、A、Q三點(diǎn)在同一條直線上，
∵∠DAQ＝∠AEP＝45°，∠ADQ＝∠BAD＝45°，
∴∠AQD＝90°＝∠EAB，
∴AB∥DQ，
∵BE＝＝＝2＝AD，BE∥AD，
∴四邊形AEBD是平行四邊形，
∴AE＝BD＝，AE∥BD，即AQ∥BD，
∴四邊形ABDQ是平行四邊形，
∴AQ＝BD，
∴AQ＝AE，
設(shè)PQ交AD于點(diǎn)F，則AF∥EP，
∴△AFQ∽△EPQ，
∴＝＝＝，
∵點(diǎn)F、點(diǎn)M都是PQ的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)M與點(diǎn)F重合，
∵∠BAE＝90°，AE＝AB，AP⊥BE，
∴EP＝BP＝AP＝BE＝1，
∴AF＝EP＝，
作OH⊥AD于點(diǎn)H，則∠OHD＝∠OHF＝90°，
∵點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，∠HDO＝∠AEP＝45°，
∴OD＝OB＝BD＝，∠HOD＝∠HDO＝45°，
∴DH＝OH，
∴OD＝＝OH＝，
∴DH＝OH＝，
∴FH＝AD﹣AF﹣DH＝2﹣﹣＝1，
∴MO＝FO＝＝＝，
∴M，O兩點(diǎn)間的距離是．
【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短等知識，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．素材1
一圓形噴泉池的中央安裝了一個(gè)噴水裝置OA，通過調(diào)節(jié)噴水裝置OA的高度，從而實(shí)現(xiàn)噴出水柱豎直方向的升降，但不改變水柱的形狀．為了美觀在半徑為2.1米的噴泉池四周種植了一圈寬度均相等的花卉（圖1中的陰影部分）．

素材2
從噴泉口A噴出的水柱成拋物線形，如圖2是該噴泉噴水時(shí)的一個(gè)截面示意圖，已知噴水口A離地面高度為0.72米，噴出的水柱在離噴水口水平距離為0.3米處離地面最高，高度為0.75米．

問題解決
任務(wù)1
建立模型
以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)素材2求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
任務(wù)2
利用模型
為了提高對水資源的利用率，在欣賞噴泉之余也能噴灌四周的花卉，確定噴水口A升高的最小值．
任務(wù)3
分析計(jì)算
噴泉口A升高的最大值為米，為能充分噴灌四周花卉，請對花卉的種植寬度提出合理的建議．
女
男1
男2
女
女男1
女男2
男1
男1女
男1男2
男2
男2女
男2男1
素材1
一圓形噴泉池的中央安裝了一個(gè)噴水裝置OA，通過調(diào)節(jié)噴水裝置OA的高度，從而實(shí)現(xiàn)噴出水柱豎直方向的升降，但不改變水柱的形狀．為了美觀在半徑為2.1米的噴泉池四周種植了一圈寬度均相等的花卉（圖1中的陰影部分）．

素材2
從噴泉口A噴出的水柱成拋物線形，如圖2是該噴泉噴水時(shí)的一個(gè)截面示意圖，已知噴水口A離地面高度為0.72米，噴出的水柱在離噴水口水平距離為0.3米處離地面最高，高度為0.75米．

問題解決
任務(wù)1
建立模型
以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)素材2求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
任務(wù)2
利用模型
為了提高對水資源的利用率，在欣賞噴泉之余也能噴灌四周的花卉，確定噴水口A升高的最小值．
任務(wù)3
分析計(jì)算
噴泉口A升高的最大值為米，為能充分噴灌四周花卉，請對花卉的種植寬度提出合理的建議．

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廣東省深圳市南山區(qū)南外集團(tuán)文華學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級下學(xué)期開學(xué)考數(shù)學(xué)試題：

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