福建省泉州市晉江市晉江市南僑中學(xué)2021-2022學(xué)年九年級上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（滿分：150分；考試時間：100分鐘）
一、選擇題（每小題4分，共40分）
1. 下列計算正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)和運算，根據(jù)二次根式的運算法則和性質(zhì)逐個進行化簡.
【詳解】A. ，本選項錯誤；
B. ，本選項錯誤；
C. ，本選項錯誤；
D. ，本選項正確．
故選D．
2. 用配方法解一元二次方程時，原方程可變形為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】將常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可．
【詳解】解：，
，
．
故選B．
【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．
3. 下列說法正確的是（）
A. “任意畫出一個等邊三角形，它是軸對稱圖形”是隨機事件
B. 某種彩票的中獎率為，說明每買1000張彩票，一定有一張中獎
C. 拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，出現(xiàn)正面朝上的概率為
D. “概率為1的事件”是必然事件
【答案】D
【解析】
【詳解】A、“任意畫出一個等邊三角形，它是軸對稱圖形”是必然事件，選項錯誤；
B. 某種彩票的中獎概率為，說明每買1000張，有可能中獎，也有可能不中獎，故B錯誤；
C. 拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣一次,出現(xiàn)正面朝上的概率為，故C錯誤；
D. “概率為1的事件”是必然事件，正確.
故選：D.
4. 若關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（）
A. k＞﹣1B. k＞﹣1且k≠0C. k＜﹣1D. k＜﹣1或k=0
【答案】B
【解析】
【分析】利用一元二次方程的定義和判別式的意義得到k≠0且△=（﹣2）2﹣4k（﹣1）＞0，然后求出兩個不等式的公共部分即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得k≠0且△=（﹣2）2﹣4k（﹣1）＞0，
解得k＞﹣1且k≠0．
故選B．
【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與Δ=b2-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根．
5. 如圖，小正方形邊長均為1，則下列圖形中三角形(陰影部分)與△ABC相似的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點求出三角形的三邊，再根據(jù)相似三角形的判定定理即可求解．
【詳解】已知給出的三角形的各邊AB、CB、AC分別為、2、、
只有選項B的各邊為1、、與它的各邊對應(yīng)成比例．
故選B．
【點睛】此題主要考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的判定定理．
6. “低碳生活，綠色出行”，電動汽車將逐漸代替燃油汽車，成為人們出行的主要交通工具，某城市一汽車銷售店，今年2月份銷售電動汽車共計64輛，4月份銷售電動汽車共計100輛．若每月汽車銷售增長率相同，則該汽車銷售店5月份能銷售電動汽車（）
A. 111輛B. 118輛C. 125輛D. 132輛
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)增長率問題的計算方法列出方程解決問題．
【詳解】解：設(shè)2月到4月汽車銷售的月平均增長率為，
根據(jù)題意列方程：，
解得（不合題意，舍去），，
則該汽車銷售店5月份能銷售電動汽車輛．
故選：C．
7. 如圖，在中，點在上，，交于，則下列結(jié)論不正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記相似三角形對應(yīng)邊之比等于相似比，相似三角形面積之比等于相似比的平方．
【詳解】∵，
∴，故選項正確；
∴，
∴，
∴，故選項正確；
∵，
∴，
∴，
∴，故選項正確；
由，故選項錯誤；
故選：．
8. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，則∠A的正切值為（）
A. 3B. C. D.
【答案】A
【解析】
【詳解】【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出即可．
【詳解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，
∴∠A的正切值為=3，
故選A．
【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，能熟記銳角三角函數(shù)的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．
9. 某校九年級共有1、2、3、4四個班，現(xiàn)從這四個班中隨機抽取兩個班進行一場籃球比賽，則恰好抽到1班和2班的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出恰好抽到1班和2班的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
【詳解】解：畫樹狀圖為：
共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中恰好抽到1班和2班的結(jié)果數(shù)為2，
所以恰好抽到1班和2班的概率=．
故選：B．
10. 如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，ME⊥AM，ME交AD的延長線于點E．若AB=12，BM=5，則DE的長為（）
A. 18 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)題意得出△ABM∽△MCG，故可得出CG的長，再求出DG的長，根據(jù)△MCG∽△EDG即可得出結(jié)論.
【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，AB=12，BM=5，
∴MC=12﹣5=7.
∵ME⊥AM，
∴∠AME=90°，
∴∠AMB+∠CMG=90°.
∵∠AMB+∠BAM=90°，
∴∠BAM=∠CMG，∠B=∠C=90°，
∴△ABM∽△MCG，
∴ = ，即 = ，解得CG= ，
∴DG=12﹣ = .
∵AE∥BC，
∴∠E=CMG，∠EDG=∠C，
∴△MCG∽△EDG，
∴ = ，即 = ，解得DE= .
故選B.
【點睛】本題主要考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.
二、填空題（每小題4分，共24分）
11. 若二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查的是二次根式有意義的條件，即被開方數(shù)大于等于．先根據(jù)二次根式有意義的條件列出關(guān)于的不等式，求出的取值范圍即可．
【詳解】解：式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，
，
解得．
故答案為：．
12. 若＝＝（b＋d0），則＝____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)合比的性質(zhì)即可求解．
【詳解】已知＝＝（b＋d0），根據(jù)等比性質(zhì)可得＝．
【點睛】本題考查了比例線段，解題的關(guān)鍵是利用比例的基本性質(zhì)．
13. 三角形的兩邊長分別是3和4，第三邊長是方程x2﹣13x+40=0的根，則該三角形的周長為_______．
【答案】12
【解析】
【詳解】解：解方程x2-13x+40=0，（x-5）（x-8）=0，
∴x1=5，x2=8，
∵3+4=7＜8，不能組成三角形，
∴x=5.
∴周長為3+4+5=12.
故答案為12.
14. 若斜坡的坡度，則該斜坡坡角的度數(shù)是______．
【答案】##30度
【解析】
【分析】根據(jù)坡度等于坡角的正切值即可求解．
【詳解】解：如圖，

由題意知，
即，
，
即該斜坡坡角的度數(shù)是．
故答案為：．
15. 在平面直角坐標(biāo)系中，點C、D的坐標(biāo)分別為C（2，3）、D（1，0），現(xiàn)以原點為位似中心，將線段CD放大得到線段AB．若點D的對應(yīng)點B在x軸上且OB=2，則點C的對應(yīng)點A的坐標(biāo)為______________________________．
【答案】（4，6）或（﹣4，﹣6）．
【解析】
【詳解】已知點D（1，0），點D的對應(yīng)點B在x軸上，且OB=2，所以位似比為2，即可得點A的坐標(biāo)為（2×2，3×2）或[2×（-2），3×（-2）],即點A的坐標(biāo)為（4，6）或（-4，-6）.
16. 如圖，長方形中，，，點E是的中點，動點P從A點出發(fā)，以每秒的速度沿運動，最終到達點E．若點P運動的時間為x秒，那么（1）當(dāng)時，______（2）當(dāng)_____時，的面積等于5．

【答案】 ①. 3 ②. 或5
【解析】
【分析】本題考查長方形的性質(zhì)和三角形的面積公式的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，分類討論是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)長方形的性質(zhì)，及當(dāng)時，，利用三角形的面積公式進行計算解答即可；
（2）分析題意可知有三種情況，即點在上，上及上；再根據(jù)分上述三種情況分別畫出圖形，利用三角形的面積公式進行計算解答即可．
【詳解】解：（1）∵四邊形是長方形，，，
∴，，
當(dāng)時，，則，
故答案為：3；
（2）∵四邊形是長方形，，，
∴，，
∵點是的中點，
∴，
①如圖1，當(dāng)在上時，，，

∵的面積等于5，
∴ ，
解得；
②如圖2，當(dāng)在上時，，，則，

∵的面積等于5，
∴，
∴，
解得；
③如圖3，當(dāng)在上時，，，則，

∴ ，
解得，不合題意，舍去．
綜上可知，當(dāng)或5時，的面積等于．
故答案為：或．
三、解答題（共86分）
17. 計算：
【答案】4
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的運算，特殊角的三角函數(shù)值，零次冪，熟練掌握相關(guān)運算是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：原式
．
18. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的解法，先把方程化為一般式，然后利用求根公式法解方程．掌握并靈活選用一元二次方程的解法是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，即：，
這里，，，
∵，
∴，
∴，．
19. 已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根．
（2）如果方程的兩實數(shù)根為x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．
【答案】（1）見解析；（2）m=﹣1或m=3.
【解析】
【分析】（1）求出?的值，即可判斷出方程根的情況；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．
【詳解】（1）由題意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）=4＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．
（2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，
∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10，
∴m2﹣2m﹣3=0，
∴m=﹣1或m=3
【點睛】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練運用根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解法，本題屬于中等題型．
20. 如圖，在方格紙中
（1）請在方格紙上建立平面直角坐標(biāo)系，使，，并寫出點坐標(biāo)；
（2）以原點為位似中心，位似比為2，在第一象限內(nèi)將放大，畫出放大后的圖形．
【答案】（1）見解析，；（2）見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)點，可確認出坐標(biāo)原點O的位置，從而可建立平面直角坐標(biāo)系，再根據(jù)點B的位置即可得出其坐標(biāo)；
（2）根據(jù)位似的定義畫圖即可．
【詳解】（1）由點，確認出坐標(biāo)原點O的位置，由此畫出x軸和y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：
由點B在平面直角坐標(biāo)系中的位置得：點B坐標(biāo)為；
（2）根據(jù)位似的定義，分別連接，將它們分別延長至點，使得，然后順次連接點，即可得到，如圖所示：
【點睛】本題考查了建立平面直角坐標(biāo)系、畫位似圖形，依據(jù)點A、C坐標(biāo)正確建立平面直角坐標(biāo)系是解題關(guān)鍵．
21. 某山區(qū)學(xué)校為開發(fā)學(xué)生特長，培養(yǎng)興趣愛好，準(zhǔn)備開設(shè)“第二課堂培訓(xùn)班”，每周進行一次．?dāng)M開設(shè)科目有：A．?dāng)?shù)學(xué)興趣，B．古詩詞欣賞；C．英語特長；D．藝術(shù)賞析；E．競技體育等五類．學(xué)校對學(xué)生進行了抽樣調(diào)查（每人只能選擇一項），并將調(diào)查結(jié)果繪制成圖1和圖2所示兩個不完整統(tǒng)計圖．

根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）求x的值，并將圖1補充完整；
（2）在圖2中，D科目所占扇形圓心角的度數(shù)為_____；
（3）為提高學(xué)生對C、E科目的了解與關(guān)注，學(xué)校準(zhǔn)備從選C、E科目的學(xué)生中隨機選出2名出黑板報進行宣傳，請你用列表法或樹狀圖法求這2名同學(xué)選擇不同科目的概率．
【答案】（1）x=30；補圖見解析；（2）72；（3）.
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)A科目人數(shù)及其百分比求得總?cè)藬?shù)，總?cè)藬?shù)乘以C的百分比求得其人數(shù)，再由各科目人數(shù)等于總?cè)藬?shù)可得B的人數(shù)，最后用其人數(shù)除以總?cè)藬?shù)可得；
（2）用360°乘以D科目人數(shù)所占比例可得；
（3）畫樹狀圖列出所有等可能結(jié)果，從中找到2名同學(xué)選擇不同科目的情況，利用概率公式即可得．
【詳解】（1）∵被調(diào)查人數(shù)為16÷40%＝40人，
∴C科目人數(shù)為40×5%＝2，
∴B科目的人數(shù)為40﹣（16+2+8+2）＝12人，
則x%＝×100%＝30%，
∴x=30.
補全圖1如圖所示：

（2）在圖2中，D科目所占扇形圓心角的度數(shù)為360°×＝72°，
故答案為72；
（3）畫樹狀圖如下：

由樹狀圖知，共有12種等可能結(jié)果，其中2名同學(xué)選擇不同科目情況有8種，
所以2名同學(xué)選擇不同科目的概率為．
【點睛】本題考查了列表法或樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率．也考查了扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖．
22. 如圖，將一塊正方形空地劃出區(qū)域進行綠化，原空地一邊減少了，一邊減少了，剩余矩形空地的面積為，求原正方形空地的邊長．
【答案】原正方形空地的邊長為．
【解析】
【分析】設(shè)原正方形空地的邊長為，則矩形空地的長為，寬為，根據(jù)矩形的面積公式結(jié)合矩形空地的面積為，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)原正方形空地的邊長為，則矩形空地的長為，寬為，
根據(jù)題意得：，
解得：（不合題意，舍去）．
答：原正方形空地的邊長為．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
23. 如圖所示，將矩形ABCD沿AE折疊得到△AFE，且點B恰好與DC上的點F重合．
（1）求證：△ADF∽△FCE；
（2）若tan∠CEF＝2，求tan∠AEB的值．
【答案】（1）見解析；（2）tan∠AEB＝．
【解析】
【分析】（1）因為△AEF是由△AEB翻折得到，推出∠AFB＝∠B＝90°，推出∠AFD+∠EFC＝90°，∠EFC+∠FEC＝90°，推出∠AFD＝∠FEC，由此即可證明．
（2））由tan∠FEC2，推出CF＝2EC，設(shè)EC＝a，則FC＝2a，EF＝EBa，由△ADF∽△FCE，得，即，推出DFa，根據(jù)tan∠AEB計算即可．
【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝DC，AD＝BC，∠D＝∠C＝∠B＝90°．
∵△AEF是由△AEB翻折得到，∴∠AFB＝∠B＝90°，∴∠AFD+∠EFC＝90°，∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFD＝∠FEC．
∵∠D＝∠C，∴△ADF∽△FCE．
（2）∵tan∠FEC2，∴CF＝2EC，設(shè)EC＝a，則FC＝2a，EF＝EBa．
∵△ADF∽△FCE，∴，∴，∴DFa，∴AB＝CD＝DF+CFa，∴tan∠AEB．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換、相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型．
24. 如圖，點M的坐標(biāo)為，點A在第一象限，軸，垂足為B，.
(1)如果是等腰三角形，求點A的坐標(biāo)；
(2)設(shè)直線MA與y軸交于點N，則是否存在與相似？若存在，請直接寫出點A坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)點A的坐標(biāo)是或或；(2)存在，點A的坐標(biāo)為或.
【解析】
【分析】（1）是等腰三角形的情況有三種：①，②，③，根據(jù)點M的坐標(biāo)和勾股定理分別求出在不同情況下點A的對應(yīng)的坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得,，根據(jù)比例的性質(zhì)，可得，，構(gòu)建方程組，可解得答案．
【詳解】【解】(1)設(shè)，，①
當(dāng)時，則，
即.②
由①②得，，
解得，即.
當(dāng)時，則，即.③
由①③得，
解得，或，即.
當(dāng)時，則，即.④
由①④得，
解得或，( 舍去)，即.
綜上所述，如果是等腰三角形，點A的坐標(biāo)是或或.
(2)存在點A，使以M，O，N為頂點的三角形與相似.
當(dāng)時.，故，
則，0.
直線MN的解析式為，⑤
曲①⑤，解得，；
當(dāng)時.，，
則，，
直線MN的解析式為，⑥
由①⑥得，解得..
綜上所述，當(dāng)點A的坐標(biāo)為或時，與相似.
【點睛】本題考查的知識點有相似三角形的判定、相似三角形的性質(zhì)、一次函數(shù)解析式的建模，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)判定相似所需要的對應(yīng)邊成比例的條件（或兩三角形相似對應(yīng)邊成比例）構(gòu)成方程（方程組）．
25. 如圖，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點P從A出發(fā)，沿AB以4cm/s的速度向點B運動；同時點Q從C點出發(fā)，沿CA以3cm/s的速度向A點運動．設(shè)運動時間為x（s）．
（1）當(dāng)x為何值時，PQ∥BC；
（2）當(dāng)△APQ與△CQB相似時，AP的長為；
（3）當(dāng)S△BCQ：S△ABC=1：3，求S△APQ：S△ABQ的值．
【答案】（1）cm
（2）cm或20cm
（3）2．
【解析】
【分析】（1）當(dāng)PQBC時，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得出關(guān)于AP，PQ，AB，AC的比例關(guān)系式，我們可根據(jù)P，Q的速度，用時間x表示出AP，AQ，然后根據(jù)得出的關(guān)系式求出x的值；
（2）本題要分兩種情況進行討論．已知了∠A和∠C對應(yīng)相等，那么就要分成AP和CQ對應(yīng)成比例以及AP和BC對應(yīng)成比例兩種情況來求x的值；
（3）當(dāng)S△BCQ：S△ABC=1：3時，，于是得到，通過相似三角形的性質(zhì)得到，即可得到結(jié)論．
【小問1詳解】
由題意得，PQ平行于BC，則AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30﹣3x
∴
∴x=；
【小問2詳解】
假設(shè)兩三角形可以相似，
情況1：當(dāng)△APQ∽△CQB時，CQ：AP=BC：AQ，
解得
經(jīng)檢驗，x=是原分式方程的解．
此時AP=
情況2：當(dāng)△APQ∽△CBQ時，CQ：AQ=BC：AP，
解得5
經(jīng)檢驗，x=5是原分式方程的解．
此時AP=20cm．
故答案為：cm或20cm
【小問3詳解】
解：當(dāng)S△BCQ：S△ABC=1：3時，，
∴，
由（1）知，PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴，
∴S△APQ：S△ABQ=2．
【點睛】本題主要考查了相似三角形判定和性質(zhì)，根據(jù)三角形相似得出線段比或面積比是解題的關(guān)鍵．

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