考點一　直角三角形的性質1.直角三角形的兩銳角互余.2.直角三角形中,30°角所對的邊等于斜邊的一半.3.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.4.勾股定理:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
考點二　直角三角形的判定1.有一個角等于90°的三角形是直角三角形.2.有兩角互余的三角形是直角三角形.3.如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半,則該三角形是直角三角形.4.勾股定理的逆定理:如果三角形一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和,那么這個三角形是直角三角形.
1.下列每一組數據中的三個數值分別為三角形的三邊長,不能構成直角三角形的是(　　)
2.將一副直角三角板如圖擺放,點C在EF上,AC經過點D.已知∠A=∠EDF=90°,AB=AC,∠E=30°,∠BCE=40°,則∠CDF的度數為(　　)
A.30°B.40°C.25°D.35°答案:C
3.如圖,x,y,z分別表示以直角三角形三邊為邊長的正方形面積,則下列結論正確的是(　　)A.x2=y2+z2B.xz D.x=y+z
4.如圖,在△ABC中,AB=AC=8,AD是底邊上的高,E為AC中點,則DE=　　　　　.?
5.已知直角三角形兩邊的長分別是3和4,則第三邊的長為　　　　　　　　.?
【例1】 如圖,有一塊直角三角形紙片,兩直角邊AC=6 cm,BC=8 cm,現將直角邊AC沿直線AD折疊,使它落在斜邊AB上,且與AE重合,求CD的長.
解:設CD長為x cm,由折疊得△ACD≌△AED.∴AE=AC=6 cm,∠AED=∠C=90°,DE=CD=x cm.在Rt△ABC中,AC=6 cm,BC=8 cm,
∴EB=AB-AE=10-6=4(cm),BD=BC-CD=(8-x)cm.在Rt△DEB中,由勾股定理得DE2+BE2=DB2.∴x2+42=(8-x)2,解得x=3.∴CD的長為3 cm.
變式訓練有一塊直角三角形的綠地,量得兩直角邊的長分別為6 m,8 m,現在要將綠地擴充成等腰三角形,且擴充部分是以8 m為直角邊的直角三角形,求擴充后等腰三角形綠地的周長.
解:在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,由勾股定理得AB= =10,擴充部分為Rt△ACD,擴成等腰三角形ABD,應分以下三種情況:(1)如圖①,當AB=AD=10時,可求得CD=CB=6,故△ABD的周長為32 m.
(2)如圖②,當AB=BD=10時,可求得CD=4,由勾股定理得
(3)如圖③,當AB為底時,設AD=BD=x,則CD=x-6,
【例2】 如圖,在四邊形ABCD中,∠A=90°,AB=3,AD=4,CD=13,CB=12,求四邊形ABCD的面積.
在△BCD中,CD=13,CB=12,BD=5,∴CB2+BD2=CD2.∴∠DBC=90°.
【例3】 如圖,鐵路上A,B兩站(視為直線上兩點)相距14 km,C,D為兩村莊(可看為兩個點),DA⊥AB于點A,CB⊥AB于點B,已知DA=8 km,CB=6 km,現要在鐵路上建一個土特產收購站E,使C,D兩村到E站的距離相等,則E站應建在距A站多少千米處?
分析:因為DA⊥AB于點A,CB⊥AB于點B,在AB上找一點可構成兩個直角三角形,我們可想到通過勾股定理列方程進行求解.
解:設E站應建在距A站x km處.根據勾股定理有82+x2=62+(14-x)2,解得x=6.所以E站應建在距A站6 km處.
【例4】 已知在△ABC中,AB=AC,過點A的直線α從與邊AC重合的位置開始繞點A按順時針方向旋轉角θ,直線α交BC邊于點P(點P不與點B、點C重合),△BMN的邊MN始終在直線α上(點M在點N的上方),且BM=BN,連接CN.(1)當∠BAC=∠MBN=90°時,①如圖a,當θ=45°時,∠ANC的度數為　　　　　;?②如圖b,當θ≠45°時,①中的結論是否發(fā)生變化?說明理由.(2)如圖c,當∠BAC=∠MBN≠90°時,請直接寫出∠ANC與∠BAC之間的數量關系,不必證明.
分析:在(1)中,①由AB=AC,∠BAC=∠MBN=90°,θ=45°,可得AN垂直平分BC,同理可得BC垂直平分AN,因此AC=CN,所以有∠ANC=θ=45°;②求角的度數,一般要想辦法把它放到直角三角形中進行,因此可分別過B,C兩點作MN的垂線,用三角形全等作為橋梁找到解決問題所需要的邊角關系;(2)根據②的思路得出結論.
解:(1)①45°;②不變.理由:過B,C分別作BD⊥AP于點D,CE⊥AP于點E.∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠EAC=90°.∵BD⊥AE,∴∠ADB=90°,∴∠ABD+∠BAD=90°,∴∠ABD=∠EAC.又AB=AC,∠ADB=∠CEA=90°,∴△ABD≌△CAE,
∴AD=CE,BD=AE.∵BD是等腰直角三角形NBM斜邊上的高,∴BD=DN,∠BND=45°,∴DN=BD=AE,∴DN-DE=AE-DE,即NE=AD=EC.∵∠NEC=90°,∴∠ANC=45°.(2)∠ANC=90°- ∠BAC.

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