一、選擇題
1.如圖，已知線段AB，分別以A，B為圓心，大于eq \f(1,2)AB為半徑作弧，連接弧的交點(diǎn)得到直線l，在直線l上取一點(diǎn)C，使得∠CAB＝25°，延長AC至M，求∠BCM的度數(shù)為( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
2.下列四種基本尺規(guī)作圖分別表示：①作一個(gè)角等于已知角；②作一個(gè)角的平分線；③作一條線段的垂直平分線；④過直線外一點(diǎn)P作已知直線的垂線，則對(duì)應(yīng)選項(xiàng)中作法錯(cuò)誤的是( )
A.① B.② C.③ D.④
3.如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于eq \f(1,2)AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN分別交BC，AC于點(diǎn)D，E.若AE＝3 cm，△ABD的周長為13 cm，則△ABC的周長為( )
A.16 cm B.19 cm C.22 cm D.25 cm
4.已知：在△ABC中，AB＝AC，求作：△ABC的內(nèi)心O.以下是甲、乙兩同學(xué)的作法：

甲：如圖1
①作AB的垂直平分線DE；
②作BC的垂直平分線FG；
③DE，F(xiàn)G交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為所求.
乙：如圖2
①作∠ABC的平分線BD；
②作BC的垂直平分線EF；
③BD，EF交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為所求.
對(duì)于兩人的作法，正確的是( )
A.兩人都對(duì) B.兩人都不對(duì) C.甲對(duì)，乙不對(duì) D.甲不對(duì)，乙對(duì)
5.如圖，已知點(diǎn)P在線段AB外，且PA＝PB，求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，在證明該結(jié)論時(shí)，需添加輔助線，則作法不正確的是( )
A.作∠APB的平分線PC交AB于點(diǎn)C
B.過點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C且AC＝BC
C.取AB中點(diǎn)C，連接PC
D.過點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為C
6.如圖，已知在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸上，BC⊥x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)D恰好在BC上，點(diǎn)E與點(diǎn)O關(guān)于直線BC對(duì)稱，∠OBC＝35°，則∠OED的度數(shù)為( )
A.10° B.20° C.30° D.35°
7.如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，若BC＝6，AC＝5，則△ACE的周長為( )
A.8 B.11 C.16 D.17
8.到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的( )
A.三條高的交點(diǎn)
B.三條角平分線的交點(diǎn)
C.三條中線的交點(diǎn)
D.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)
9.如圖，已知鈍角△ABC，依下列步驟尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡.
步驟1：以C為圓心，CA為半徑畫?、?；
步驟2：以B為圓心，BA為半徑畫?、?，交弧①于點(diǎn)D；
步驟3：連結(jié)AD，交BC延長線于點(diǎn)H.
下列敘述正確的是( )
A.BH垂直平分線段AD B.AC平分∠BAD
C.S△ABC＝BC·AH D.AB＝AD
10.如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，CD平分∠ACB，BD⊥CD于點(diǎn)D,∠ABD＝∠A，若BD＝1，BC＝3，則AC的長為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空題
11.如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，△ABD的周長為13，△ABC的周長為19，則AE＝____________
12.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D，連接BE，則△BEC的周長為 .
13.如圖，AB垂直平分CD，AD＝4，BC＝2，則四邊形ACBD的周長是 .
14.如圖，AD是△ABC的中線，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD對(duì)折，點(diǎn)C落在C′的位置，則BC′與CC′之間的關(guān)系是 .
15.如圖，△ABC的邊AB，AC的垂直平分線相交于點(diǎn)P，連接PB，PC，若∠A＝70°，則∠PBC的度數(shù)是______度.
16.如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點(diǎn)O，將∠C沿EF(E在BC上，F(xiàn)在AC上)折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合，則∠OEC為 .
三、解答題
17.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)D，垂足為E，且∠CAD∶∠CAB＝1∶3，求∠B的度數(shù).
18.如圖，在△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，且BD＝CE，BD與CE相交于點(diǎn)O，連接AO.求證：AO垂直平分BC.
19.如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)D到點(diǎn)C的距離相等.
(1)利用尺規(guī)作圖作出點(diǎn)D，不寫作法但保留作圖痕跡.
(2)若△ABC的底邊長5，周長為21，求△BCD的周長.
20.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°
(1)用尺規(guī)作AB的垂直平分線MN交BC于點(diǎn)P(不寫作法，保留作圖痕跡).
(2)連接AP，如果AP平分∠CAB，求∠B的度數(shù).
21.如圖，已知在△ABC中，AB＝8cm，AC＝4cm，△BAC的平分線AD與BC的垂直平分線DG交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D的直線DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F(或AC延長線).
(1)求證：AE＝AF；
(2)求證：BE＝CF；
(3)求AE的長.
22.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于N，交AC于M.
(1)若∠B＝70°，則∠NMA的度數(shù)是________.
(2)連接MB，若AB＝8cm，△MBC的周長是14cm.
①求BC的長；
②在直線MN上是否存在點(diǎn)P，使由P，B，C構(gòu)成的△PBC的周長值最小？若存在，標(biāo)出點(diǎn)P的位置并求△PBC的周長最小值；若不存在，說明理由.
答案
1.B.
2.C．
3.B
4.D
5.B
6.B.
7.B.
8.D
9.A
10.D
11.答案為：3.
12.答案為：14.
13.答案為：12.
14.答案為：垂直且相等
15.答案為：20
16.答案為：100°
17.解：設(shè)∠CAD＝x°，
則∠CAB＝3x°，∠BAD＝2x°.
∵DE是AB的垂直平分線，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠BAD＝2x°.
∵∠C＝90°，
∴∠CAB＋∠B＝90°，
即3x＋2x＝90，解得x＝18，
∴∠B＝2×18°＝36°.
18.證明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°，
在Rt△BEC和Rt△CDB中
，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB (HL)，
∴∠ABC＝∠ACB，∠ECB＝∠DBC，
∴AB＝AC，BO＝OC，
∴點(diǎn)A、O在BC的垂直平分線上，
∴AO垂直平分BC.
19.解：(1)點(diǎn)D如圖所示；
(2)∵DE垂直平分線線段AC，
∴AD＝DC，
∴△CDB的周長＝BC＋BD＋CD＝BC＋BD＋AD＝BC＋AB，
∵AB＋AC＋BC＝21，BC＝5，
∴AB＝AC＝8，
∴△CDB的周長為13.
20.解：(1)如圖，點(diǎn)P為所作；
(2)∵點(diǎn)P在AB的垂直平分線MN上
∴PA＝PB，
∴∠B＝∠PAB，
∵AP平分∠CAB，
∴∠PAB＝eq \f(1,2)∠CAB，
∴∠CAB＝2∠B，
∵∠CAB＋∠B＝90°，
即2∠B＋∠B＝90°，
∴∠B＝30°.
21.證明：(1)∵點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
在Rt△AED與Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，
∴AE＝AF；
(2)證明：連接BD，CD.
∵點(diǎn)D在BC的垂直平分線上，
∴DB＝DC；
在Rt△DCF與Rt△DBE中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DBE(HL)，
∴CF＝BE；
(3)解：∵AB＝8cm，AC＝4cm，CF＝BE，AE＝AF＝AC＋CF，
∴AB＝AE＋BE＝AC＋BE＋CF＝AC＋2BE，
∴BE＝2cm，
∴AE＝AB﹣BE＝6cm.
22.解：(1)50°
(2)猜想的結(jié)論為：∠NMA＝2∠B﹣90°.
理由：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠A＝180°﹣2∠B，
又∵M(jìn)N垂直平分AB，
∴∠NMA＝90°﹣∠A＝90°﹣(180°﹣2∠B)＝2∠B﹣90°.
如圖：
①∵M(jìn)N垂直平分AB.
∴MB＝MA，
又∵△MBC的周長是14cm，
∴AC＋BC＝14cm，
∴BC＝6cm.
②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，PB＋CP的值最小，最小值是8cm.

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